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Calcolo probabilità e statistica matematica

2008-01-15T19:19:43Z

Lallyblue: /* Lezione del 14/12/07 - Teoria */

{{introduzione}}
== Turni ==
{{Turni2|(De Falco)|(Apolloni)}}

== A.A. passati ==
{{Annipassati|2007-2008|(De Falco)| T1}}
{{Annipassati|2006-2007|(De Falco)| T1}}
{{Annipassati|2006-2007|(Apolloni)| T2}}
{{Annipassati|2005-2006|(De Falco)| T1}}

== Informazioni ==
Corso del primo semestre, il superamento di quest'esame da diritto a 6 CFU.

* Docente: Bruno Apolloni
* [http://laren.dsi.unimi.it/Stat/ Url del corso]

=== Obiettivi del corso ===
Fornire gli elementi di base per la costruzione di modelli probabilistici e per l’analisi statistica di fenomeni aleatori.

=== Modalità d'esame ===
* Scritto
* Orale

=== Propedeuticità consigliate e prerequisiti===
* Istituzioni matematiche

* Rudimenti di insiemistica e di calcolo differenziale ed integrale.

=== Programma del corso ===
* Legame tra conoscenza e aleatorietà
** Proprietà corrette su insiemi di dati incerti
** Misure di probabilità
** Elementi di calcolo combinatorio
** Variabili aleatorie
** Da uno a più bit per definire una variabile
** Aggregati di variabili aleatorie
** Funzioni di variabili aleatorie
** Teoremi limiti
* Inferenza statistica
** L’approccio predittivo
** Intervalli di confidenza
** Stimatori puntuali
** Test di ipotesi

=== Metodi didattici ===
Il corso si articola attraverso lezioni teoriche volte spiegare i ragionamenti alla base della modellistica probabilistica e dell’inferenza statistica ed esercitazioni nelle quali a questi ragionamenti si da un riscontro operativo, in termini di regole ed algoritmi per definire quantitativamente decisioni in ambito incerto.

=== Giudizio sul corso ===
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|3}}
{{Giudizio/Difficoltà|5}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|5}}
{{Giudizio/Ore|5}}

== Diario del corso 2007/2008 ==

===Lezione del 01/10/07 - Teoria===
* Definizioni di ESITO, EVENTO, PROBABILITA' (prima meta' del cap.1 del MOOD)

===Lezione del 05/10/07 - Teoria===
* Assiomi di Kolmogorov
* Evento certo
* Evento impossibile

===Lezione del 08/10/07 - Teoria===
* Probabilita' dell'unione come somma delle probabilita'

===Lezione del 12/10/07 - Teoria===
* Probabilita' condizionata (Teorema di Bayes o Chain Rule)
* Teorema delle probabilita' totali

===Lezione del 19/10/07 - Teoria===
* Funzione indicatrice (o caratteristica)
* Variabili casuali
* Funzione di ripartizione
* Distribuzione Bernoulliana Uniforme

===Lezione del 22/10/07 - Teoria===
* Funzione di ripartizione
* Probabilita' condizionata
* Binomiale: Sm e P(Sm=k)

===Lezione del 24/10/07 - Esercitazione "Corso Ombra"===
[http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2007-09-13 Tema d'esame del 13/09/2007]: Svolgimento

===Lezione del 26/10/07 - Teoria===
* Variabile Casuale Binomiale
* Funzione di densita' (o funzione di probabilita' discreta) di Var.Cas. Binomiale

===Lezione del 29/10/07 - Teoria===
* Distribuzione Binomiale
* Legge Debole dei Grandi Numeri
* Chebyshev
* Moda

===Lezione del 31/10/07 - Esercitazione "Corso Ombra"===
[http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2007-09-13 Tema d'esame del 13/09/2007]: Parole chiave
* dimostrazione "4 dummies" di Chebyshev
<math>
I_B =
\bigg \{
{
1 \ se \ \omega \in B \atop 0 \ altrimenti
}
</math>

quindi <math>I_B</math> e' BERNOULLIANA.

<math>
E(Z) = \sum_{j=0}^n (z_jP(Z=z_j) = z_1P_1 + z_2P_2 + ... + z_nP_n
</math>
<math>
E(I_B \cdot Z) = \sum_{j=0}^n (I_B(z_j) \cdot z_jP(Z=z_j) = z_1P_1I_B(z_1) + z_2P_2I_B(z_2) + ... + z_nP_nI_B(z_n)
</math>

=> se tutti i termini sono tali che <math>I_B = 1</math>, allora <math>E(I_B \cdot Z)=E(Z)</math>

=> ma se almeno un termine e' tale che <math>I_B = 0</math>, allora <math>E(I_B \cdot Z)<E(Z)</math>

=> in nessun caso posso avere <math>E(I_B \cdot Z) > E(Z)</math>

premesso questo, ne segue che:

<math>E(I_B \cdot Z) \le E(Z)</math>

<math>B = \{ \omega \in \Omega \ | \ Z(\omega) \ge k \}</math>

<math>E(Z) \ge E(I_B \cdot Z) \ge E(I_B \cdot k)</math>

<math>E(I_B \cdot k) = k \cdot E(I_B)</math>

ma <math>I_B</math> e' bernoulliana, allora:

<math>E(I_B) = P(B) = P(Z \ge k)</math>

quindi:

<math>E(I_B \cdot k) = k \cdot P(Z \ge k)</math>

riassumendo:

<math>E(Z) \ge k \cdot P(Z \ge k)</math>

percio' dividendo per k e invertendo i termini e il verso della disequazione:

<math>P(Z \ge k) \le {E(Z)\over k}</math>

===Lezione del 02/11/07 - PONTE===
''PONTE''

===Lezione del 05/11/07 - Teoria===
* Valore atteso
* Varianza
* Chebyshev

===Lezione del 07/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"===
[http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2007-07-05 Tema d'esame del 05/07/2007]: Svolgimento

===Lezione del 09/11/07 - Teoria===
* Esempio [http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2007-09-13 tema d'esame del 13/09/2007]

===Lezione del 12/11/07 - Teoria===
* Chebyshev sul continuo
* Covarianza
* Varianza della Binomiale (var(Sm))

===Lezione del 14/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"===
* [http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2007-07-05 Tema d'esame del 05/07/2007]: Svolgimento
* [http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2007-07-05 Tema d'esame del 05/07/2007]: Parole chiave:
** V.C. continua
** V.C. uniforme
** V.C. esponenziale
** V.C. poissoniana
** approssimazione della binomiale con la poissoniana

===Lezione del 16/11/07 - Teoria===
Riscrittura di Chebyshev dopo note su:
* E(X)
* Proprieta' di E(X)
* Proprieta' della var(X)
* cov(X,Y)
Legge Debole dei Grandi Numeri

===Lezione del 19/11/07 - Teoria===
Chebyshev

===Lezione del 21/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"===
[http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2007-06-13 Tema d'esame del 13/06/2007]: Svolgimento

===Lezione del 23/11/07 - Teoria===
Svolto [http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2005-01-12 tema d'esame del 12/01/2005]

===Lezione del 26/11/07 - Teoria===
* Svolto [http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2000-02-24 tema d'esame del 24/02/2000]
* Polya - contagio
* Note sulla covarianza

===Lezione del 28/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"===
[http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2007-06-13 Tema d'esame del 13/06/2007]: Parole chiave:
* Funzione di ripartizione
* Funzione di ripartizione congiunta
* Proprieta' Fx singola e multipla
* Funzione di densita' congiunta
* Distribuzioni condizionali
* Somma di variabili casuali

===Lezione del 30/11/07 - Teoria===
* Polya
* Chebyshev per la Binomiale
* Chebyshev per la Ipergeometrica
* var(Sm) con contagio
* Stima migliore sul problema delle viti ([http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2005-01-12 tema d'esame del 12/01/2005])

===Lezione del 03/12/07 - Teoria===
* Polya
* Distorsione stimatori
* Distribuzione Geometrica
* Probabilita' condizionata

===Lezione del 05/12/07 - Esercitazione "Corso Ombra"===
[http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2005-01-12 Tema d'esame del 12/01/2005]: Svolgimento

===Lezione del 07/12/07 - FESTA===
''FESTA''

===Lezione del 10/12/07 - Teoria===
* Ipergeometrica
* Estrazioni indipendenti
* Estrazioni senza contagio
* Geometrica

===Lezione del 12/12/07 - Esercitazione "Corso Ombra"===
* [http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2000-02-24 Tema d'esame del 24/02/2000]
* [http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2006-09-13 Tema d'esame del 13/09/2006]

===Lezione del 14/12/07 - Teoria===
* [http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2005-09-14 Tema d'esame del 14/09/2005]
* [http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2004-01-14 Tema d'esame del 14/01/2004]
* Geometrica
* Chebyshev per la Geometrica
* Funzione generatrice dei momenti per la Geometrica:
[[Image:Cpsm 20071214d.jpg|300px|FGM per Geometrica]]

===Lezione del 17/12/07 - Teoria===
* Normale
* Poissoniana
* Funzione generatrice dei momenti

===Lezione del 19/12/07 - Esercitazione "Corso Ombra"===
[http://wiki.dsy.it/w/Calcolo_probabilit%C3%A0_e_statistica_matematica/Esami/2004-01-14 Tema d'esame del 14/01/2004]

===Lezione del 21/12/07 - Teoria===
* Poissoniana
* Moda
* Somma di Poissoniane
* Gaussiana
* Normale
* Continua Uniforme

===Lezione del 07/01/08 - Teoria===
* Geometrica
* Esponenziale
* Relazione tra Geometrica ed Esponenziale

===Lezione del 11/01/08 - Teoria===
Ancora da fare

===Lezione del 14/01/08 - Teoria===
* Variabili Casuali Continue
* Distribuzione Normale

[[Categoria:Corsi Informatica]][[Categoria:Corsi Primo Semestre]]

File:Cpsm 20071214d.jpg

2008-01-15T19:15:55Z

Lallyblue: Funzione Generatrice dei Momenti per la Geometrica. Appunti del 14/12/2007.

Funzione Generatrice dei Momenti per la Geometrica. Appunti del 14/12/2007.

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T16:13:26Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

==Tema d'esame del 10-01-2007==
===Problemi modellati===
* Generatore di impulsi
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Binomiale
* Geometrica

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20080110.jpg|800px|Tema del 10Gen2008]]

===Testo soluzione===
ESERCIZIO I
<math>X_1, X_2, ...</math> sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

<math>P(X_1=1) = p</math> con <math> 0<p<1</math>

quindi <math>E(X_i)=p</math>

* punto 1)
----

per la linearita' del valore atteso:
<math>E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

e visto che sono identicamente distribuite:

<math>\sum_{i=1}^n E(X_i) = n \cdot E(X) = n \cdot p</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_n=0) = \prod_{i=1}^n P(X_i = 0)</math>

visto che

<math>P(X_i=0) = 1-P(X_i=1) = 1-p</math>

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i = 0) = (1-p)^n</math>

* punto 3)
----

dal punto precedente abbiamo che:

<math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = n \cdot p</math>

e che:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i=0) = (1-p)^n</math>

** a) <math>n=1, p={1 \over 3}</math>

<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>

** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>

<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>

** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>

** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>

ESERCIZIO II
<math>x \in \R^+</math>

<math>X_1, X_2, ...</math> sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma '''QUANTI''' valori puo' assumere l'impulso, cioe' '''2''' valori)

* punto 1)
----

<math>m(x) = \lfloor x \rfloor</math>

<math>m(17.412) = \lfloor 17.412 \rfloor = 17</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1 = 1) = p</math>

<math>S_{m(x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi"

<math>S_{m(x)}</math> conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri <math>p</math> e <math>\lfloor x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

G = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 1 impulso al secondo"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

** a)
<math>P(G>x) = P(S_{m(x)}=0)</math>

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo <math>x</math> equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo <math>x</math> son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare <math>x</math> insuccessi.

<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

Quindi:

<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

** b)
<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

* punto 4)
----

<math>p={1 \over 3} \Rightarrow 1-p = {2 \over 3} \Rightarrow F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

<math>x=1 \Rightarrow F_G(x) = {1 \over 3}</math>

<math>x=2 \Rightarrow F_G(x) = {5 \over 9}</math>

<math>x=3 \Rightarrow F_G(x) = {19 \over 27}</math>

<math>x=4 \Rightarrow F_G(x) = {65 \over 81}</math>

<math>\vdots</math>

ESERCIZIO III
<math> r \in \N^+</math> conta il numero di impulsi al secondo

<math>X_1 = </math> primo segnale emesso al tempo <math>t={1 \over r}</math>

<math>X_2 = </math> secondo segnale emesso al tempo <math>t={2 \over r}</math>

<math>X_3 = </math> terzo segnale emesso al tempo <math>t={3 \over r}</math>

<math>\vdots</math>

* punto 1)
----

<math>x \in \R^+ </math>

<math>m(r, x) = </math> numero di impulsi nei primi <math>x</math> secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = <math>r \cdot x</math>. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a <math>r \cdot x</math>.

<math>m(r, x) = \lfloor r \cdot x \rfloor</math>

<math>m(3, 17.412) = \lfloor 3 \cdot 17.412 \rfloor = \lfloor 52.236 \rfloor = 52</math>

* punto 2)
----

Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con <math>P(X_1=1) = p</math>

<math>S_{m(r,x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi.

<math>S_{m(r,x)} </math> conta il numero di successi (segnali = '1'), quindi e' di nuovo una BINOMIALE con parametri <math>p</math> e <math>\lfloor r \cdot x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

* punto 4)
----

T = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 3 impulsi al secondo".

** a)
<math>P(T>x) = P(S_{m(r,x)}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor r \cdot x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor r \cdot x \rfloor}</math>

** b)
dalla III.3):

<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

ricavo: <math>p = {E(S_{m(r,x)}) \over {\lfloor r \cdot x \rfloor}}</math>

<math> \Rightarrow P(T > x) = \bigg ({1- {E(S_{m(r,x)}) \over {\lfloor r \cdot x \rfloor}}}\bigg )^{\lfloor r \cdot x \rfloor}</math>

** c)
<math>F_T(x) = P(T \le x) = 1 - P(T>x) = 1-{\bigg ({1- {E(S_{m(r,x)}) \over {\lfloor r \cdot x \rfloor}}}\bigg )^{\lfloor r \cdot x \rfloor}}</math>

* punto 5)
----

* punto 6)
----

===Domande orale===
--

[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T16:08:55Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

==Tema d'esame del 10-01-2007==
===Problemi modellati===
* Generatore di impulsi
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Binomiale
* Geometrica

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20080110.jpg|800px|Tema del 10Gen2008]]

===Testo soluzione===
ESERCIZIO I
<math>X_1, X_2, ...</math> sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

<math>P(X_1=1) = p</math> con <math> 0<p<1</math>

quindi <math>E(X_i)=p</math>

* punto 1)
----

per la linearita' del valore atteso:
<math>E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

e visto che sono identicamente distribuite:

<math>\sum_{i=1}^n E(X_i) = n \cdot E(X) = n \cdot p</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_n=0) = \prod_{i=1}^n P(X_i = 0)</math>

visto che

<math>P(X_i=0) = 1-P(X_i=1) = 1-p</math>

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i = 0) = (1-p)^n</math>

* punto 3)
----

dal punto precedente abbiamo che:

<math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = n \cdot p</math>

e che:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i=0) = (1-p)^n</math>

** a) <math>n=1, p={1 \over 3}</math>

<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>

** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>

<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>

** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>

** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>

ESERCIZIO II
<math>x \in \R^+</math>

<math>X_1, X_2, ...</math> sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma '''QUANTI''' valori puo' assumere l'impulso, cioe' '''2''' valori)

* punto 1)
----

<math>m(x) = \lfloor x \rfloor</math>

<math>m(17.412) = \lfloor 17.412 \rfloor = 17</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1 = 1) = p</math>

<math>S_{m(x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi"

<math>S_{m(x)}</math> conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri <math>p</math> e <math>\lfloor x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

G = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 1 impulso al secondo"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

** a)
<math>P(G>x) = P(S_{m(x)}=0)</math>

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo <math>x</math> equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo <math>x</math> son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare <math>x</math> insuccessi.

<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

Quindi:

<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

** b)
<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

* punto 4)
----

<math>p={1 \over 3} \Rightarrow 1-p = {2 \over 3} \Rightarrow F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

<math>x=1 \Rightarrow F_G(x) = {1 \over 3}</math>

<math>x=2 \Rightarrow F_G(x) = {5 \over 9}</math>

<math>x=3 \Rightarrow F_G(x) = {19 \over 27}</math>

<math>x=4 \Rightarrow F_G(x) = {65 \over 81}</math>

<math>\vdots</math>

ESERCIZIO III
<math> r \in \N^+</math> conta il numero di impulsi al secondo

<math>X_1 = </math> primo segnale emesso al tempo <math>t={1 \over r}</math>

<math>X_2 = </math> secondo segnale emesso al tempo <math>t={2 \over r}</math>

<math>X_3 = </math> terzo segnale emesso al tempo <math>t={3 \over r}</math>

<math>\vdots</math>

* punto 1)
----

<math>x \in \R^+ </math>

<math>m(r, x) = </math> numero di impulsi nei primi <math>x</math> secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = <math>r \cdot x</math>. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a <math>r \cdot x</math>.

<math>m(r, x) = \lfloor r \cdot x \rfloor</math>

<math>m(3, 17.412) = \lfloor 3 \cdot 17.412 \rfloor = \lfloor 52.236 \rfloor = 52</math>

* punto 2)
----

Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con <math>P(X_1=1) = p</math>

<math>S_{m(r,x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi.

<math>S_{m(r,x)} </math> conta il numero di successi (segnali = '1'), quindi e' di nuovo una BINOMIALE con parametri <math>p</math> e <math>\lfloor r \cdot x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

* punto 4)
----

T = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 3 impulsi al secondo".

** a)
<math>P(T>x) = P(S_{m(r,x)}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor r \cdot x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor r \cdot x \rfloor}</math>

** b)
dalla III.3):

<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

ricavo: <math>p = {E(S_{m(r,x)}) \over {\lfloor r \cdot x \rfloor}}</math>

<math> \Rightarrow P(T > x) = \bigg ({1- {E(S_{m(r,x)}) \over {\lfloor r \cdot x \rfloor}}}\bigg )^{\lfloor r \cdot x \rfloor}</math>

* punto 5)
----

* punto 6)
----

===Domande orale===
--

[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T16:04:52Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

==Tema d'esame del 10-01-2007==
===Problemi modellati===
* Generatore di impulsi
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Binomiale
* Geometrica

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20080110.jpg|800px|Tema del 10Gen2008]]

===Testo soluzione===
ESERCIZIO I
<math>X_1, X_2, ...</math> sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

<math>P(X_1=1) = p</math> con <math> 0<p<1</math>

quindi <math>E(X_i)=p</math>

* punto 1)
----

per la linearita' del valore atteso:
<math>E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

e visto che sono identicamente distribuite:

<math>\sum_{i=1}^n E(X_i) = n \cdot E(X) = n \cdot p</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_n=0) = \prod_{i=1}^n P(X_i = 0)</math>

visto che

<math>P(X_i=0) = 1-P(X_i=1) = 1-p</math>

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i = 0) = (1-p)^n</math>

* punto 3)
----

dal punto precedente abbiamo che:

<math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = n \cdot p</math>

e che:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i=0) = (1-p)^n</math>

** a) <math>n=1, p={1 \over 3}</math>

<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>

** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>

<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>

** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>

** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>

ESERCIZIO II
<math>x \in \R^+</math>

<math>X_1, X_2, ...</math> sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma '''QUANTI''' valori puo' assumere l'impulso, cioe' '''2''' valori)

* punto 1)
----

<math>m(x) = \lfloor x \rfloor</math>

<math>m(17.412) = \lfloor 17.412 \rfloor = 17</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1 = 1) = p</math>

<math>S_{m(x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi"

<math>S_{m(x)}</math> conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri <math>p</math> e <math>\lfloor x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

G = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 1 impulso al secondo"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

** a)
<math>P(G>x) = P(S_{m(x)}=0)</math>

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo <math>x</math> equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo <math>x</math> son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare <math>x</math> insuccessi.

<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

Quindi:

<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

** b)
<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

* punto 4)
----

<math>p={1 \over 3} \Rightarrow 1-p = {2 \over 3} \Rightarrow F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

<math>x=1 \Rightarrow F_G(x) = {1 \over 3}</math>

<math>x=2 \Rightarrow F_G(x) = {5 \over 9}</math>

<math>x=3 \Rightarrow F_G(x) = {19 \over 27}</math>

<math>x=4 \Rightarrow F_G(x) = {65 \over 81}</math>

<math>\vdots</math>

ESERCIZIO III
<math> r \in \N^+</math> conta il numero di impulsi al secondo

<math>X_1 = </math> primo segnale emesso al tempo <math>t={1 \over r}</math>

<math>X_2 = </math> secondo segnale emesso al tempo <math>t={2 \over r}</math>

<math>X_3 = </math> terzo segnale emesso al tempo <math>t={3 \over r}</math>

<math>\vdots</math>

* punto 1)
----

<math>x \in \R^+ </math>

<math>m(r, x) = </math> numero di impulsi nei primi <math>x</math> secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = <math>r \cdot x</math>. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a <math>r \cdot x</math>.

<math>m(r, x) = \lfloor r \cdot x \rfloor</math>

<math>m(3, 17.412) = \lfloor 3 \cdot 17.412 \rfloor = \lfloor 52.236 \rfloor = 52</math>

* punto 2)
----

Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con <math>P(X_1=1) = p</math>

<math>S_{m(r,x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi.

<math>S_{m(r,x)} </math> conta il numero di successi (segnali = '1'), quindi e' di nuovo una BINOMIALE con parametri <math>p</math> e <math>\lfloor r \cdot x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

* punto 4)
----

T = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 3 impulsi al secondo".

** a)
<math>P(T>x) = P(S_{m(r,x)}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor r \cdot x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor r \cdot x \rfloor}</math>

** b)
dalla III.3):

<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

ricavo:

<math>p = {E(S_{m(r,x)}) \over {\lfloor r \cdot x \rfloor}}</math>

* punto 5)
----

* punto 6)
----

===Domande orale===
--

[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T15:59:53Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

==Tema d'esame del 10-01-2007==
===Problemi modellati===
* Generatore di impulsi
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Binomiale
* Geometrica

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20080110.jpg|800px|Tema del 10Gen2008]]

===Testo soluzione===
ESERCIZIO I
<math>X_1, X_2, ...</math> sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

<math>P(X_1=1) = p</math> con <math> 0<p<1</math>

quindi <math>E(X_i)=p</math>

* punto 1)
----

per la linearita' del valore atteso:
<math>E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

e visto che sono identicamente distribuite:

<math>\sum_{i=1}^n E(X_i) = n \cdot E(X) = n \cdot p</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_n=0) = \prod_{i=1}^n P(X_i = 0)</math>

visto che

<math>P(X_i=0) = 1-P(X_i=1) = 1-p</math>

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i = 0) = (1-p)^n</math>

* punto 3)
----

dal punto precedente abbiamo che:

<math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = n \cdot p</math>

e che:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i=0) = (1-p)^n</math>

** a) <math>n=1, p={1 \over 3}</math>

<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>

** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>

<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>

** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>

** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>

ESERCIZIO II
<math>x \in \R^+</math>

<math>X_1, X_2, ...</math> sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma '''QUANTI''' valori puo' assumere l'impulso, cioe' '''2''' valori)

* punto 1)
----

<math>m(x) = \lfloor x \rfloor</math>

<math>m(17.412) = \lfloor 17.412 \rfloor = 17</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1 = 1) = p</math>

<math>S_{m(x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi"

<math>S_{m(x)}</math> conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri <math>p</math> e <math>\lfloor x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

G = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 1 impulso al secondo"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

** a)
<math>P(G>x) = P(S_{m(x)}=0)</math>

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo <math>x</math> equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo <math>x</math> son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare <math>x</math> insuccessi.

<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

Quindi:

<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

** b)
<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

* punto 4)
----

<math>p={1 \over 3} \Rightarrow 1-p = {2 \over 3} \Rightarrow F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

<math>x=1 \Rightarrow F_G(x) = {1 \over 3}</math>

<math>x=2 \Rightarrow F_G(x) = {5 \over 9}</math>

<math>x=3 \Rightarrow F_G(x) = {19 \over 27}</math>

<math>x=4 \Rightarrow F_G(x) = {65 \over 81}</math>

<math>\vdots</math>

ESERCIZIO III
<math> r \in \N^+</math> conta il numero di impulsi al secondo

<math>X_1 = </math> primo segnale emesso al tempo <math>t={1 \over r}</math>

<math>X_2 = </math> secondo segnale emesso al tempo <math>t={2 \over r}</math>

<math>X_3 = </math> terzo segnale emesso al tempo <math>t={3 \over r}</math>

<math>\vdots</math>

* punto 1)
----

<math>x \in \R^+ </math>

<math>m(r, x) = </math> numero di impulsi nei primi <math>x</math> secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = <math>r \cdot x</math>. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a <math>r \cdot x</math>.

<math>m(r, x) = \lfloor r \cdot x \rfloor</math>

<math>m(3, 17.412) = \lfloor 3 \cdot 17.412 \rfloor = \lfloor 52.236 \rfloor = 52</math>

* punto 2)
----

Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con <math>P(X_1=1) = p</math>

<math>S_{m(r,x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi.

<math>S_{m(r,x)} </math> conta il numero di successi (segnali = '1'), quindi e' di nuovo una BINOMIALE con parametri <math>p</math> e <math>\lfloor r \cdot x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

* punto 4)
----

T = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 3 impulsi al secondo".

** a)
<math>P(T>x) = P(S_{m(r,x)}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor r \cdot x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor r \cdot x \rfloor}</math>

* punto 5)
----

* punto 6)
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===Domande orale===
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[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T15:54:12Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

==Tema d'esame del 10-01-2007==
===Problemi modellati===
* Generatore di impulsi
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Binomiale
* Geometrica

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20080110.jpg|800px|Tema del 10Gen2008]]

===Testo soluzione===
ESERCIZIO I
<math>X_1, X_2, ...</math> sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

<math>P(X_1=1) = p</math> con <math> 0<p<1</math>

quindi <math>E(X_i)=p</math>

* punto 1)
----

per la linearita' del valore atteso:
<math>E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

e visto che sono identicamente distribuite:

<math>\sum_{i=1}^n E(X_i) = n \cdot E(X) = n \cdot p</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_n=0) = \prod_{i=1}^n P(X_i = 0)</math>

visto che

<math>P(X_i=0) = 1-P(X_i=1) = 1-p</math>

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i = 0) = (1-p)^n</math>

* punto 3)
----

dal punto precedente abbiamo che:

<math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = n \cdot p</math>

e che:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i=0) = (1-p)^n</math>

** a) <math>n=1, p={1 \over 3}</math>

<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>

** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>

<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>

** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>

** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>

ESERCIZIO II
<math>x \in \R^+</math>

<math>X_1, X_2, ...</math> sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma '''QUANTI''' valori puo' assumere l'impulso, cioe' '''2''' valori)

* punto 1)
----

<math>m(x) = \lfloor x \rfloor</math>

<math>m(17.412) = \lfloor 17.412 \rfloor = 17</math>

* punto 2)
----

<math>P(X_1 = 1) = p</math>

<math>S_{m(x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi"

<math>S_{m(x)}</math> conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri <math>p</math> e <math>\lfloor x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

G = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 1 impulso al secondo"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

** a)
<math>P(G>x) = P(S_{m(x)}=0)</math>

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo <math>x</math> equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo <math>x</math> son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare <math>x</math> insuccessi.

<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

Quindi:

<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

** b)
<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

* punto 4)
----

<math>p={1 \over 3} \Rightarrow 1-p = {2 \over 3} \Rightarrow F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

<math>x=1 \Rightarrow F_G(x) = {1 \over 3}</math>

<math>x=2 \Rightarrow F_G(x) = {5 \over 9}</math>

<math>x=3 \Rightarrow F_G(x) = {19 \over 27}</math>

<math>x=4 \Rightarrow F_G(x) = {65 \over 81}</math>

<math>\vdots</math>

ESERCIZIO III
<math> r \in \N^+</math> conta il numero di impulsi al secondo

<math>X_1 = </math> primo segnale emesso al tempo <math>t={1 \over r}</math>

<math>X_2 = </math> secondo segnale emesso al tempo <math>t={2 \over r}</math>

<math>X_3 = </math> terzo segnale emesso al tempo <math>t={3 \over r}</math>

<math>\vdots</math>

* punto 1)
----

<math>x \in \R^+ </math>

<math>m(r, x) = </math> numero di impulsi nei primi <math>x</math> secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = <math>r \cdot x</math>. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a <math>r \cdot x</math>.

<math>m(r, x) = \lfloor r \cdot x \rfloor</math>

<math>m(3, 17.412) = \lfloor 3 \cdot 17.412 \rfloor = \lfloor 52.236 \rfloor = 52</math>

* punto 2)
----

Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con <math>P(X_1=1) = p</math>

<math>S_{m(r,x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi.

<math>S_{m(r,x)} </math> conta il numero di successi (segnali = '1'), quindi e' di nuovo una BINOMIALE con parametri <math>p</math> e <math>\lfloor r \cdot x \rfloor</math>.

* punto 3)
----

<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

* punto 4)
----

T = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 3 impulsi al secondo".

* punto 5)
----

* punto 6)
----

===Domande orale===
--

[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T15:49:13Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

==Tema d'esame del 10-01-2007==
===Problemi modellati===
* Generatore di impulsi
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Binomiale
* Geometrica

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20080110.jpg|800px|Tema del 10Gen2008]]

===Testo soluzione===
ESERCIZIO I
<math>X_1, X_2, ...</math> sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

<math>P(X_1=1) = p</math> con <math> 0<p<1</math>

quindi <math>E(X_i)=p</math>

* punto 1)
per la linearita' del valore atteso:
<math>E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

e visto che sono identicamente distribuite:

<math>\sum_{i=1}^n E(X_i) = n \cdot E(X) = n \cdot p</math>

* punto 2)
<math>P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_n=0) = \prod_{i=1}^n P(X_i = 0)</math>

visto che

<math>P(X_i=0) = 1-P(X_i=1) = 1-p</math>

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i = 0) = (1-p)^n</math>

* punto 3)
dal punto precedente abbiamo che:

<math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = n \cdot p</math>

e che:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i=0) = (1-p)^n</math>

** a) <math>n=1, p={1 \over 3}</math>

<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>

** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>

<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>

** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>

** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>

ESERCIZIO II
<math>x \in \R^+</math>

<math>X_1, X_2, ...</math> sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma '''QUANTI''' valori puo' assumere l'impulso, cioe' '''2''' valori)

* punto 1)
<math>m(x) = \lfloor x \rfloor</math>

<math>m(17.412) = \lfloor 17.412 \rfloor = 17</math>

* punto 2)
<math>P(X_1 = 1) = p</math>

<math>S_{m(x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi"

<math>S_{m(x)}</math> conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri <math>p</math> e <math>\lfloor x \rfloor</math>.

* punto 3)
G = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 1 impulso al secondo"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

** a)
<math>P(G>x) = P(S_{m(x)}=0)</math>

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo <math>x</math> equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo <math>x</math> son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare <math>x</math> insuccessi.

<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

Quindi:

<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

** b)
<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

* punto 4)
<math>p={1 \over 3} \Rightarrow 1-p = {2 \over 3} \Rightarrow F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

<math>x=1 \Rightarrow F_G(x) = {1 \over 3}</math>

<math>x=2 \Rightarrow F_G(x) = {5 \over 9}</math>

<math>x=3 \Rightarrow F_G(x) = {19 \over 27}</math>

<math>x=4 \Rightarrow F_G(x) = {65 \over 81}</math>

<math>\vdots</math>

ESERCIZIO III
<math> r \in \N^+</math> conta il numero di impulsi al secondo

<math>X_1 = </math> primo segnale emesso al tempo <math>t={1 \over r}</math>

<math>X_2 = </math> secondo segnale emesso al tempo <math>t={2 \over r}</math>

<math>X_3 = </math> terzo segnale emesso al tempo <math>t={3 \over r}</math>

<math>\vdots</math>

* punto 1)

<math>x \in \R^+ </math>

<math>m(r, x) = </math> numero di impulsi nei primi <math>x</math> secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = <math>r \cdot x</math>. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a <math>r \cdot x</math>.

<math>m(r, x) = \lfloor r \cdot x \rfloor</math>

<math>m(3, 17.412) = \lfloor 3 \cdot 17.412 \rfloor = \lfloor 52.236 \rfloor = 52</math>

* punto 2)
Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con <math>P(X_1=1) = p</math>

<math>S_{m(r,x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi.

<math>S_{m(r,x)} </math> conta il numero di successi (segnali = '1'), quindi e' di nuovo una BINOMIALE con parametri <math>p</math> e <math>\lfloor r \cdot x \rfloor</math>.

* punto 3)
<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

* punto 4)
T = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 3 impulsi al secondo".

* punto 5)

* punto 6)

===Domande orale===
--

[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T15:42:33Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

==Tema d'esame del 10-01-2007==
===Problemi modellati===
* Generatore di impulsi
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Binomiale
* Geometrica

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20080110.jpg|800px|Tema del 10Gen2008]]

===Testo soluzione===
ESERCIZIO I
<math>X_1, X_2, ...</math> sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

<math>P(X_1=1) = p</math> con <math> 0<p<1</math>

quindi <math>E(X_i)=p</math>

* punto 1)
per la linearita' del valore atteso:
<math>E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

e visto che sono identicamente distribuite:

<math>\sum_{i=1}^n E(X_i) = n \cdot E(X) = n \cdot p</math>

* punto 2)
<math>P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_n=0) = \prod_{i=1}^n P(X_i = 0)</math>

visto che

<math>P(X_i=0) = 1-P(X_i=1) = 1-p</math>

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i = 0) = (1-p)^n</math>

* punto 3)
dal punto precedente abbiamo che:

<math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = n \cdot p</math>

e che:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i=0) = (1-p)^n</math>

** a) <math>n=1, p={1 \over 3}</math>

<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>

** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>

<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>

** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>

** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>

ESERCIZIO II
<math>x \in \R^+</math>

<math>X_1, X_2, ...</math> sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma '''QUANTI''' valori puo' assumere l'impulso, cioe' '''2''' valori)

* punto 1)
<math>m(x) = \lfloor x \rfloor</math>

<math>m(17.412) = \lfloor 17.412 \rfloor = 17</math>

* punto 2)
<math>P(X_1 = 1) = p</math>

<math>S_{m(x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi"

<math>S_{m(x)}</math> conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri <math>p</math> e <math>\lfloor x \rfloor</math>.

* punto 3)
G = "numero di secondi passati al primo segnale '1'"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

** a)
<math>P(G>x) = P(S_{m(x)}=0)</math>

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo <math>x</math> equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo <math>x</math> son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare <math>x</math> insuccessi.

<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

Quindi:

<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

** b)
<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

* punto 4)
<math>p={1 \over 3} \Rightarrow 1-p = {2 \over 3} \Rightarrow F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

<math>x=1 \Rightarrow F_G(x) = {1 \over 3}</math>

<math>x=2 \Rightarrow F_G(x) = {5 \over 9}</math>

<math>x=3 \Rightarrow F_G(x) = {19 \over 27}</math>

<math>x=4 \Rightarrow F_G(x) = {65 \over 81}</math>

<math>\vdots</math>

ESERCIZIO III
<math> r \in \N^+</math> conta il numero di impulsi al secondo

<math>X_1 = </math> primo segnale emesso al tempo <math>t={1 \over r}</math>

<math>X_2 = </math> secondo segnale emesso al tempo <math>t={2 \over r}</math>

<math>X_3 = </math> terzo segnale emesso al tempo <math>t={3 \over r}</math>

<math>\vdots</math>

* punto 1)

<math>x \in \R^+ </math>

<math>m(r, x) = </math> numero di impulsi nei primi <math>x</math> secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = <math>r \cdot x</math>. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a <math>r \cdot x</math>.

<math>m(r, x) = \lfloor r \cdot x \rfloor</math>

<math>m(3, 17.412) = \lfloor 3 \cdot 17.412 \rfloor = \lfloor 52.236 \rfloor = 52</math>

* punto 2)
Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con <math>P(X_1=1) = p</math>

<math>S_{m(r,x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi.

<math>S_{m(r,x)} </math> conta il numero di successi (segnali = '1'), quindi e' di nuovo una BINOMIALE con parametri <math>p</math> e <math>\lfloor r \cdot x \rfloor</math>.

* punto 3)
<math>E(S_{m(r,x)}) = \lfloor r \cdot x \rfloor \cdot p</math>

* punto 4)

* punto 5)

* punto 6)

===Domande orale===
--

[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T15:32:02Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

==Tema d'esame del 10-01-2007==
===Problemi modellati===
* Generatore di impulsi
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Binomiale
* Geometrica

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20080110.jpg|800px|Tema del 10Gen2008]]

===Testo soluzione===
ESERCIZIO I
<math>X_1, X_2, ...</math> sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

<math>P(X_1=1) = p</math> con <math> 0<p<1</math>

quindi <math>E(X_i)=p</math>

* punto 1)
per la linearita' del valore atteso:
<math>E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

e visto che sono identicamente distribuite:

<math>\sum_{i=1}^n E(X_i) = n \cdot E(X) = n \cdot p</math>

* punto 2)
<math>P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_n=0) = \prod_{i=1}^n P(X_i = 0)</math>

visto che

<math>P(X_i=0) = 1-P(X_i=1) = 1-p</math>

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i = 0) = (1-p)^n</math>

* punto 3)
dal punto precedente abbiamo che:

<math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = n \cdot p</math>

e che:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i=0) = (1-p)^n</math>

** a) <math>n=1, p={1 \over 3}</math>

<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>

** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>

<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>

** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>

** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>

ESERCIZIO II
<math>x \in \R^+</math>

<math>X_1, X_2, ...</math> sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma '''QUANTI''' valori puo' assumere l'impulso, cioe' '''2''' valori)

* punto 1)
<math>m(x) = \lfloor x \rfloor</math>

<math>m(17.412) = \lfloor 17.412 \rfloor = 17</math>

* punto 2)
<math>P(X_1 = 1) = p</math>

<math>S_{m(x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi"

<math>S_{m(x)}</math> conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri <math>p</math> e <math>\lfloor x \rfloor</math>.

* punto 3)
G = "numero di secondi passati al primo segnale '1'"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

** a)
<math>P(G>x) = P(S_{m(x)}=0)</math>

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo <math>x</math> equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo <math>x</math> son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare <math>x</math> insuccessi.

<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

Quindi:

<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

** b)
<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

* punto 4)
<math>p={1 \over 3} \Rightarrow 1-p = {2 \over 3} \Rightarrow F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

<math>x=1 \Rightarrow F_G(x) = {1 \over 3}</math>

<math>x=2 \Rightarrow F_G(x) = {5 \over 9}</math>

<math>x=3 \Rightarrow F_G(x) = {19 \over 27}</math>

<math>x=4 \Rightarrow F_G(x) = {65 \over 81}</math>

<math>\vdots</math>

ESERCIZIO III
<math> r \in \N^+</math> conta il numero di impulsi al secondo

<math>X_1 = </math> primo segnale emesso al tempo <math>t={1 \over r}</math>

<math>X_2 = </math> secondo segnale emesso al tempo <math>t={2 \over r}</math>

<math>X_3 = </math> terzo segnale emesso al tempo <math>t={3 \over r}</math>

<math>\vdots</math>

* punto 1)

<math>x \in \R^+ </math>

<math>m(r, x) = </math> numero di impulsi nei primi <math>x</math> secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = <math>r \cdot x</math>. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a <math>r \cdot x</math>.

<math>m(r, x) = \lfloor r \cdot x \rfloor</math>

<math>m(3, 17.412) = \lfloor 3 \cdot 17.412 \rfloor = \lfloor 52.236 \rfloor = 52</math>

* punto 2)
Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con <math>P(X_1=1) = p</math>

<math>S_{m(r,x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi.

<math>S_{m(r,x)} </math> conta il numero di successi (segnali = '1'), quindi e' di nuovo una BINOMIALE con parametri <math>p</math> e <math>\lfloor r \cdot x \rfloor</math>.

* punto 3)

* punto 4)

* punto 5)

* punto 6)

===Domande orale===
--

[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T15:20:19Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

==Tema d'esame del 10-01-2007==
===Problemi modellati===
* Generatore di impulsi
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Binomiale
* Geometrica

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20080110.jpg|800px|Tema del 10Gen2008]]

===Testo soluzione===
ESERCIZIO I
<math>X_1, X_2, ...</math> sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

<math>P(X_1=1) = p</math> con <math> 0<p<1</math>

quindi <math>E(X_i)=p</math>

* punto 1)
per la linearita' del valore atteso:
<math>E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

e visto che sono identicamente distribuite:

<math>\sum_{i=1}^n E(X_i) = n \cdot E(X) = n \cdot p</math>

* punto 2)
<math>P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_n=0) = \prod_{i=1}^n P(X_i = 0)</math>

visto che

<math>P(X_i=0) = 1-P(X_i=1) = 1-p</math>

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i = 0) = (1-p)^n</math>

* punto 3)
dal punto precedente abbiamo che:

<math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = n \cdot p</math>

e che:

<math>\prod_{i=1}^n P(X_i=0) = (1-p)^n</math>

** a) <math>n=1, p={1 \over 3}</math>

<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>

** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>

<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>

** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>

** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>

<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>

<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>

ESERCIZIO II
<math>x \in \R^+</math>

<math>X_1, X_2, ...</math> sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma '''QUANTI''' valori puo' assumere l'impulso, cioe' '''2''' valori)

* punto 1)
<math>m(x) = \lfloor x \rfloor</math>

<math>m(17.412) = \lfloor 17.412 \rfloor = 17</math>

* punto 2)
<math>P(X_1 = 1) = p</math>

<math>S_{m(x)} = </math> "numero di segnali '1' emessi nei primi <math>x</math> secondi"

<math>S_{m(x)}</math> conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri <math>p</math> e <math>\lfloor x \rfloor</math>.

* punto 3)
G = "numero di secondi passati al primo segnale '1'"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

** a)
<math>P(G>x) = P(S_{m(x)}=0)</math>

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo <math>x</math> equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo <math>x</math> son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare <math>x</math> insuccessi.

<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

Quindi:

<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

** b)
<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>

* punto 4)
<math>p={1 \over 3} \Rightarrow 1-p = {2 \over 3} \Rightarrow F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

<math>x=1 \Rightarrow F_G(x) = {1 \over 3}</math>

<math>x=2 \Rightarrow F_G(x) = {5 \over 9}</math>

<math>x=3 \Rightarrow F_G(x) = {19 \over 27}</math>

<math>x=4 \Rightarrow F_G(x) = {65 \over 81}</math>

<math>\vdots</math>

ESERCIZIO III
<math> r \in \N^+</math> conta il numero di impulsi al secondo

<math>X_1 = </math> primo segnale emesso al tempo <math>t={1 \over r}</math>

<math>X_2 = </math> secondo segnale emesso al tempo <math>t={2 \over r}</math>

<math>X_3 = </math> terzo segnale emesso al tempo <math>t={3 \over r}</math>

<math>\vdots</math>

* punto 1)

<math>x \in \R^+ </math>

<math>m(r, x) = </math> numero di impulsi nei primi <math>x</math> secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = <math>r \cdot x</math>. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a <math>r \cdot x</math>.

<math>m(r, x) = \lfloor r \cdot x \rfloor</math>

<math>m(3, 17.412) = \lfloor 3 \cdot 17.412 \rfloor = \lfloor 52.236 \rfloor = 52</math>

* punto 2)
Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con <math>P(X_1=1) = p</math>

* punto 3)

* punto 4)

* punto 5)

* punto 6)

===Domande orale===
--

[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T14:37:11Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T14:15:15Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T14:07:22Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T14:02:21Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T13:34:41Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T13:33:01Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T13:27:22Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T13:01:52Z

Lallyblue: /* Testo soluzione */

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T12:51:39Z

Lallyblue: /* Link/immagine/testo soluzione */

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

2008-01-12T12:28:31Z

Lallyblue:

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2007-07-05

2008-01-12T12:27:05Z

Lallyblue: /* Link/immagine testo */

==Tema d'esame del 05-07-2007==
===Problemi modellati===
* Moneta truccata
* Volano
* Attesa tram
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Uniforme
* Esponenziale
* Poisson
* Approssimazione di Poisson con Esponenziale
* (Chebyshev)

===Immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20070705a.jpg|800px|Tema del 05Lug2007 Prima parte]]
[[Image:Cpsm esame 20070705b.jpg|800px|Tema del 05Lug2007 Seconda parte]]

===Link/immagine/testo soluzione===
--
===Domande orale===
--

[[Categoria:Esami]]

File:Cpsm esame 20080110.jpg

2008-01-12T12:24:40Z

Lallyblue: Tema d'esame di Calcolo probabilita' e statistica matematica del 10 Gennaio 2008

Tema d'esame di Calcolo probabilita' e statistica matematica del 10 Gennaio 2008

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2007-07-05

2008-01-09T22:35:32Z

Lallyblue: /* Link/immagine testo */

==Tema d'esame del 05-07-2007==
===Problemi modellati===
* Moneta truccata
* Volano
* Attesa tram
===Distribuzioni===
* Bernoulli
* Uniforme
* Esponenziale
* Poisson
* Approssimazione di Poisson con Esponenziale
* (Chebyshev)

===Link/immagine testo===
[[Image:Cpsm esame 20070705a.jpg|800px|Tema del 05Lug2007 Prima parte]]
[[Image:Cpsm esame 20070705b.jpg|800px|Tema del 05Lug2007 Seconda parte]]

===Link/immagine/testo soluzione===
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===Domande orale===
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[[Categoria:Esami]]

File:Cpsm esame 20070705b.jpg

2008-01-09T22:33:58Z

Lallyblue: Tema d'esame di Calcolo probabilita' e statistica matematica del 05 Luglio 2007 - Seconda parte

Tema d'esame di Calcolo probabilita' e statistica matematica del 05 Luglio 2007 - Seconda parte

File:Cpsm esame 20070705a.jpg

2008-01-09T22:31:33Z

Lallyblue: Tema d'esame di Calcolo probabilita' e statistica matematica del 05 Luglio 2007 - Prima parte

Tema d'esame di Calcolo probabilita' e statistica matematica del 05 Luglio 2007 - Prima parte

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2004-04-07

2008-01-09T22:28:51Z

Lallyblue: /* Link/immagine testo */

==Tema d'esame del 07-04-2004==
===Problemi modellati===
* Commercializzazione del grano
===Distribuzioni===
* (Funzione generatrice dei momenti)
* Esponenziale
* (Chebyshev)

===Link/immagine testo===
[[Immagine:Cpsm esame 20040407.jpg|800px|Tema del 07Apr2004]]

===Link/immagine/testo soluzione===
--
===Domande orale===
--
[[Categoria:Esami]]

Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2004-04-07

2008-01-09T22:23:53Z

Lallyblue: /* Link/immagine testo */

==Tema d'esame del 07-04-2004==
===Problemi modellati===
* Commercializzazione del grano
===Distribuzioni===
* (Funzione generatrice dei momenti)
* Esponenziale
* (Chebyshev)

===Link/immagine testo===
[[Immagine:Cpsm esame 20040407.jpg|thumb|Tema del 07Apr2004]]

===Link/immagine/testo soluzione===
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===Domande orale===
--
[[Categoria:Esami]]

File:Cpsm esame 20040407.jpg

2008-01-09T22:19:57Z

Lallyblue: Tema d'esame di Calcolo probabilita' e statistica matematica del 07 Aprile 2004.

Tema d'esame di Calcolo probabilita' e statistica matematica del 07 Aprile 2004.