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Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-06-07T19:32:15Z

Rora: /* RICEVIMENTO STUDENTI */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

===ESAME===
Si avvisano gli studenti che l' esame di Istituzioni di Matematiche si terrà il giorno 13/06/2007 alle ore 09:30 in aula V1 per chi deve sostenere l' esame con i proff. Tarallo e Forti e in aula V3 per chi deve sostenere l' esame con la prof.ssa Rusconi.

===RICEVIMENTO STUDENTI===
Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi' 4 giugno a partire dalle ore 10.30.

Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è reperibile nel suo ufficio su appuntamento.

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===
*Numero di Nepero e limiti notevoli.

===Esercitazione [20/03/2007]===
*Esercizi successioni ed asintotico.

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni, confronto di infiniti.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-06-06T17:43:11Z

Rora: /* Esercitazione [22/03/2007] */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

===RICEVIMENTO STUDENTI===
Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi' 4 giugno a partire dalle ore 10.30.

Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è reperibile nel suo ufficio su appuntamento.

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===
*Numero di Nepero e limiti notevoli.

===Esercitazione [20/03/2007]===
*Esercizi successioni ed asintotico.

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni, confronto di infiniti.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-06-06T17:42:30Z

Rora: /* Esercitazione [20/03/2007] */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

===RICEVIMENTO STUDENTI===
Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi' 4 giugno a partire dalle ore 10.30.

Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è reperibile nel suo ufficio su appuntamento.

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===
*Numero di Nepero e limiti notevoli.

===Esercitazione [20/03/2007]===
*Esercizi successioni ed asintotico.

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-06-06T17:42:04Z

Rora: /* Esercitazione [19/03/2007] */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

===RICEVIMENTO STUDENTI===
Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi' 4 giugno a partire dalle ore 10.30.

Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è reperibile nel suo ufficio su appuntamento.

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===
*Numero di Nepero e limiti notevoli.

===Esercitazione [20/03/2007]===

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-06-03T11:00:08Z

Rora: /* RICEVIMENTO STUDENTI */

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===RICEVIMENTO STUDENTI===
Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi' 4 giugno a partire dalle ore 10.30.

Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è reperibile nel suo ufficio su appuntamento.

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===

===Esercitazione [20/03/2007]===

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-06-01T17:07:09Z

Rora: /* AVVISO */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

===RICEVIMENTO STUDENTI===
Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi' 4 giugno a partire dalle ore 10.30.

Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è disponibile nel suo ufficio su appuntamento.

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===

===Esercitazione [20/03/2007]===

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-06-01T17:06:40Z

Rora: /* AVVISO */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
===RICEVIMENTO STUDENTI===
Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi' 4 giugno a partire dalle ore 10.30.

Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è disponibile nel suo ufficio su appuntamento.

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
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Raccolta di scritti e soluzioni:
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http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===

===Esercitazione [20/03/2007]===

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-06-01T17:05:32Z

Rora: /* AVVISO */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
RICEVIMENTO STUDENTI
Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del
Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi'
4 giugno a partire dalle ore 10.30.

Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è disponibile nel suo ufficio su appuntamento.

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===

===Esercitazione [20/03/2007]===

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

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=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
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=== Siti del corso ===
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http://www.mat.unimi.it/users/massa/

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== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
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=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===

===Esercitazione [20/03/2007]===

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-31T08:42:57Z

Rora: /* Lezione 9 [26/03/2007] */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Esercitazione [19/03/2007]===

===Esercitazione [20/03/2007]===

===Esercitazione [21/03/2007]===

===Esercitazione [22/03/2007]===
*Limiti di successioni.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-24T17:51:26Z

Rora: /* Esercitazione [24/05/2007] */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-24T17:50:31Z

Rora: /* Lezione 31 [23/05/2007] */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

===Esercitazione [24/05/2007]===
*Serie risolte con i metodi del confronto, confronto asintotico, confronto integrale e Leibnitz.

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-23T18:33:19Z

Rora: /* Lezione 30 [22/052007] */

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=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali lineari;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

===Lezione 31 [23/05/2007]===
*Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
*Dominio delle soluzioni;
*Esempi.

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-22T21:11:35Z

Rora: /* Diario del corso */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

===Lezione 30 [22/052007]===
*Equazioni differenziali;
*Problema di Cauchy;
*Equazioni differenziali a variabili separabili;
*Esempi.

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-21T20:36:50Z

Rora: /* Diario del corso */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 29 [21/05/2007]===
*Esercizi sulle serie.

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-20T22:38:42Z

Rora: /* Testi */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-20T22:32:27Z

Rora: /* Diario del corso */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

===Esercitazione [17/05/2007]===
*Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-17T18:17:45Z

Rora: /* AVVISO */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/avvisi/4987.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-16T20:38:04Z

Rora: /* Diario del corso */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/corsiDiStudio/cds/curriculum/af/F49-29.07.2/avvisi/4962.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*Condizione necessaria per la convergenza;
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-16T20:35:49Z

Rora: /* Diario del corso */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/corsiDiStudio/cds/curriculum/af/F49-29.07.2/avvisi/4962.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati===
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

===Lezione 26 [14/05/2007] ===
*Integrali generalizzati;
*Integrali impropri;
*Criterio del confronto e del confronto asintotico.

===Lezione 27 [15/05/2007]===
*Serie numeriche;
*Somme parziali;
*Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
*La serie di Mengoli, serie telescopiche;
*La serie geometrica di ragione q;
*Operazioni algebriche con le serie;
*La serie armonica;
*Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
*Criterio del confronto integrale;
*Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

===Lezione 28 [16/05/2007]===
*Criterio della radice e del rapporto;
*Convergenza assoluta;
*Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
*Esempi.

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-14T20:16:52Z

Rora: /* Lezione 26 [14/05/2007] */

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2007-05-14T18:52:23Z

Rora: /* Diario del corso */

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2007-05-14T15:39:13Z

Rora: /* Materiale didattico */

Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

2007-05-14T15:38:51Z

Rora: /* Materiale didattico */

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== AVVISO ===
http://www.ccdi.unimi.it/it/corsiDiStudio/cds/curriculum/af/F49-29.07.2/avvisi/4962.html

=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

== Materiale didattico ==
===Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.

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2007-05-14T15:29:16Z

Rora: /* Esercitazione [24/04/2007] */

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=== AVVISO ===
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=== Corsi di laurea ===
*[[:Categoria:Corsi Informatica|Informatica]]

=== Siti del corso ===
Pagina personale della professoressa Rusconi:
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Raccolta di scritti e soluzioni:
http://www.mat.unimi.it/users/massa/

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== Materiale didattico ==
=== Programma del corso ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

=== Modalità d'esame ===
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

=== Testi ===
*P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
*P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

== Orari e luogo delle lezioni ==
*Lunedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Martedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
*Mercoledì ''13:30-15:30'' Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
*Giovedì ''13:30-15:30'' Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

==Diario del corso ==

===Lezione 1 [05/03/2007]===
*Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
*Disequazioni;
*Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
*Funzioni pari e dispari;
*Monotonia e crescenza;
*Esercizi ed esempi .

===Lezione 2 [06/03/2007]===
*Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
*Costruzione e manipolazioni di grafici;
*Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

===Lezione 3 [07/03/2007]===
*Iniettività;
*Funzione inversa;
*Funzione logaritmo;
*Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 4 [08/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
*Funzione composta.

===Lezione 5 [12/03/2007]===
*Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
*Assioma di completezza;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 6 [13/03/2007]===
*Limiti di successioni;
*Definizione di limite finito e infinito;
*Definizione di intorno;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 7 [14/03/2007]===
*Unicità del limite;
*Relazioni fra limitatezza e convergenza;
*Teorema regolarità delle successioni monotone;
*Teorema del confronto;
*Teorema della permanenza del segno.

===Lezione 8 [15/03/2007]===
*Teorema del confronto con un solo termine;
*Teorema della permanenza del segno;
*Confronto fra limiti;
*Divergenza;
*Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

===Lezione 9 [26/03/2007]===
*Perché si utilizzano gli asintotici;
*Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
*Definizione di "o-piccolo";
*Proprietà di "o-piccolo";
*Operazioni con "o-piccolo";
*Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

=== Esercitazione [27/03/2007]===
*Calcolo di limiti di successioni;

===Lezione 10 [28/03/2007]===
*Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
*Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
*Criterio della radice per il confronto fra successioni;
*Fine parte sulle successioni;
*Intorni;
*Limiti di funzioni;
*Definizione limite e dimostrazione;
*Definizione funzione continua.

===Lezione 11 [29/03/2007]===
*Limiti di funzioni;
*Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
*Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
*Non esistenza di limite: dimostrazione;
*Limiti notevoli (x->0);
*Confronto fra infiniti;
*Funzioni continue: somma e composizione.

===Lezione 12 [02/04/2007]===
*Continuità;
*Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
*Estensione per continuità;
*Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
*Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

===Lezione 13 [03/04/2007]===
*Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
*Teorema dei valori intermedi;
*Teorema di Weierstrass;
*Retta tangente al grafico di una funzione;
*Derivata: definizione;
*La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
*Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

===Lezione 14 [04/04/2007]===
*Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
*Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
*Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
*Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
*Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
*Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
*Derivata di a^x;
*Derivata dei logaritmi;
*Derivata delle funzioni trigonometriche;
*Algebra delle derivate: esempi;
*Derivata della funzione inversa.

===Lezione 15 [12/04/2007]===
*Estremi locali e loro caratterizzazione;
*Teorema di Fermat e dimostrazione;
*Teorema di Rolle e dimostrazione;
*Teorema di Lagrange e dimostrazione;
*Conseguenze del teorema di Lagrange;
*Esempi di applicazioni.

===Esercitazione [16/04/2007]===
*Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

===Lezione 16 [17/04/2007]===
*Segno della derivata;
*Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
*Studio di funzione: esempio;
*Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
*Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
*Esercizi ed esempi.

===Lezione 17 [18/04/2007]===
*Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
*Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
*Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
*Teroema De L'Hospital: enunciato;
*Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
*Applicazioni del teorema;
*Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
*Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

=== Lezione 18 [19/04/2007]===
*Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
*Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
*Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0,
le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
ALLORA x0 è estremo
n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ]
n dispari --> x0 non è estremo;
*Esempi.

=== Lezione 19 [23/04/2007]===
*Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
*Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
*Esercizi.

=== Esercitazione [24/04/2007] ===
*Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568] materiale del Dott. Penati

=== Lezione 20 [26/04/2007]===
*Successioni definite per ricorrenza;
*Criteri di convergenza per le successioni.
*Esempi.

=== Lezione 21 [02/05/2007]===
*Integrali;
*Calcolo di aree per esaustione;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Primitiva;
*Funzione integrale;
*Formula fondamentale del calcolo integrale;
*Definizione di integrale alla Riemann.

=== Lezione 22 [03/05/2007] ===
*Convenzioni di scrittura;
*Confronto fra integrali;
*Teorema della media integrale;
*Teorema fondamentale del calcolo integrale;
*Importanza dell'estremo di integrazione.

=== Lezione 23 [07/05/2007] ===
*Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
*Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
*Esempi di decomposizione;
*Integrali di razionali fratte;
*Esempi.

===Lezione 24 [08/05/2007]===
*Integrali per parti;
*Integrali per sostituzione;
*Esempi.

===Lezione 25 [09/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali.

===Esercitazione [10/05/2007]===
*Esercizi sul calcolo di integrali;
*Calcolo della media integrale.