WikiDsy - Contributi utente [it]

Istituzioni di matematiche

2017-07-21T04:33:52Z

Walter:

{{introduzione}}

== A.A. passati ==

=== 2005-2006 ===
{{Annipassati|2006-2007|(Rusconi)| info T2}}
{{Annipassati|2005-2006|(Calanchi)| comdig T1}}
{{Annipassati|2005-2006|(Rusconi)| info T1}}

== Informazioni ==

=== Giudizio sul corso ===
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|3}}
{{Giudizio/Difficoltà|4}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|5}}
{{Giudizio/Ore|4}}

[[Categoria:Corsi Informatica]][[Categoria:Corsi ComDig]][[Categoria:Corsi Telecom]][[Categoria:Corsi Secondo Semestre]]

Utente:Walter

2014-04-24T07:29:45Z

Walter: Annullata la modifica 21313 di Walter (discussione)

Utente:Walter

2014-04-24T07:28:48Z

Walter:

test

WikiDsy:Aiuto

2014-02-07T12:32:23Z

Walter: Annullate le modifiche di Redoxt (discussione), riportata alla versione precedente di Walter

== Informazioni generali ==

Su Wiki la '''formattazione''' del testo (ad esempio la possibilità di scrivere in corsivo, o di mettere un titolo di paragrafo) segue regole proprie, differenti dai comuni programmi utilizzati per la videoscrittura.
Wiki accetta anche alcuni tag [[:it:HTML|HTML]], ma ti raccomandiamo di utilizzare il linguaggio di markup proprio di wiki, realizzato proprio per essere facilmente utilizzabile.

Cliccando in alto su "edit" ti sarà possibile [[WikiDsy:Modificare|cancellare, aggiungere e correggere]] ciò che desideri.

Ricorda comunque che, appena sopra al testo che editi, ci sono delle icone che ricordano le principali [[WikiDsy:Aiuto|regole di sintassi]].

== Formattazione ==

I tag più utilizzati sono '''grassetto''' e ''corsivo'', realizzati racchiudendo il testo con più apostrofi singoli, in questo modo:

*<tt><nowiki>''corsivo''</nowiki></tt> è visualizzato come ''corsivo''. (2 apostrofi)
*<tt><nowiki>'''grassetto'''</nowiki></tt> è visualizzato come '''grassetto'''. (3 apostrofi)
*<tt><nowiki>'''''grassetto corsivo'''''</nowiki></tt> è visualizzato come '''''grassetto corsivo'''''. (2 + 3 = 5 apostrofi)

==Indentazione==
Per mantenere leggibile una discussione, è abitudine comune, quando si risponde ad un utente, indentare la propria risposta di un livello in più rispetto al commento di quest'ultimo. È facile indentare il proprio intervento: basta scrivere all'inizio della riga il carattere di due punti <tt><nowiki>:</nowiki></tt> tante volte quanti sono i livelli di indentazione che ti servono. Fai però attenzione: da quando premerai il tasto di "a capo" (solitamente contrassegnato da "Return" o "Invio"), il sistema considererà ciò che scriverai come un contributo differente, e non lo indenterà automaticamente.

Ecco un esempio di indentazione:

:<tt>Questo è allineato a sinistra.</tt>
:<tt><nowiki>:</nowiki>Questo è leggermente indentato.</tt>
:<tt><nowiki>::</nowiki>Questo è ancora più indentato.</tt>
che apparirà così:
:Questo è allineato a sinistra.
::Questo è leggermente indentato.
:::Questo è ancora più indentato.

==Scrivere un elenco==
I due tipi più utilizzati di elenco sono quelli presenti anche nei normali programmi di videoscrittura. Inoltre, per realizzare elenchi annidati, si segue la stessa logica delle indentazioni: aggiungere un simbolo di elenco ha l'effetto di annidare la voce corrente di un livello in più: ora vediamo brevemente come.

===Elenco puntato===
Per inserire una voce di un elenco puntato, basta utilizzare un asterisco (<tt>*</tt>);

Un esempio:
:<tt><nowiki>*</nowiki>Prima voce dell'elenco</tt>
:<tt><nowiki>*</nowiki>Seconda voce dell'elenco</tt>
:<tt><nowiki>**</nowiki>Sotto-voce della seconda voce</tt>
:<tt><nowiki>*</nowiki>Terza voce dell'elenco</tt>

Che darà come risultato:
:*Prima voce dell'elenco
:*Seconda voce dell'elenco
:**Sotto-voce della seconda voce
:*Terza voce dell'elenco

===Elenco numerato===
Per creare una lista numerata automaticamente, basta inserire all'inizio di ogni riga il carattere <tt>#</tt>; valgono anche qui tutte le considerazioni precedenti sugli annidamenti, eccone un esempio:

:<tt><nowiki>#</nowiki>Prima voce dell'elenco</tt>
:<tt><nowiki>#</nowiki>Seconda voce dell'elenco</tt>
:<tt><nowiki>##</nowiki>Sotto-voce della seconda voce</tt>
:<tt><nowiki>#</nowiki>Terza voce dell'elenco</tt>

il cui risultato è:
:#Prima voce dell'elenco
:#Seconda voce dell'elenco
:##Sotto-voce della seconda voce
:#Terza voce dell'elenco

== Links ==

=== Link esterno ===

:Per aggiungere un link ad una pagina ''esterna'' a questo Wiki: '''<nowiki>[http://LINK TESTO_LINK]</nowiki>'''
:(ad esempio '''<nowiki>[http://www.dsy.it Homepage del Dsy]</nowiki>''' che punta a ''[http://www.dsy.it http://www.dsy.it]'' visualizzando ''[http://www.dsy.it Homepage del Dsy]''.
:[nota che si può omettere ''|TESTO_LINK''; in questo caso il link verrà visualizzato come semplice numero con una freccia, in questo modo: [http://www.dsy.it]]

=== Link interno ===
:Per aggiungere un link ad una pagina ''interna'' a questo Wiki: '''<nowiki>[[NOMEVOCE|TESTO_DA_VISUALIZZARE]]</nowiki>'''
:(ad esempio '''<nowiki>[[Elenco dei diari dei corsi|Qui ci sono i diari dei corsi]]</nowiki>''' che punta a ''[[Elenco dei diari dei corsi|http://wiki.dsy.it/w/Elenco_dei_diari_dei_corsi]]'' visualizzando ''[[Elenco dei diari dei corsi|Qui ci sono i diari dei corsi]]''.
:[nota che si può omettere ''|TESTO_DA_VISUALIZZARE'' dal link; in questo caso il link verrà visualizzato come "''[[Elenco dei diari dei corsi]]''" semplicemente]

=== Link a Wikipedia ===

:Fanno eccezione i link a '''Wikipedia''' italiana e inglese:
:* Wikipedia '''italiana''': '''<nowiki>[[:it:NOMEVOCE|TESTO_DA_VISUALIZZARE]]</nowiki>'''
::(ad esempio '''<nowiki>[[:it:Hermann Hesse|Pagina dell'autore]]</nowiki>''' che punta a ''[[:it:Hermann Hesse|http://it.wikipedia.org/wiki/Hermann_Hesse]]'' visualizzando ''[[:it:Hermann Hesse|Pagina dell'autore]]''.
::[nota che si può omettere ''|TESTO_DA_VISUALIZZARE'' dal link; in questo caso il link verrà visualizzato come "''[[:it:Hermann Hesse]]''" semplicemente]
:* Wikipedia '''inglese''': '''<nowiki>[[wikipedia:NOMEVOCE|TESTO_DA_VISUALIZZARE]]</nowiki>'''
::(ad esempio '''<nowiki>[[wikipedia:Hermann Hesse|Pagina dell'autore]]</nowiki>''' che punta a ''[[wikipedia:Hermann Hesse|http://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Hesse]]'' visualizzando ''[[wikipedia:Hermann Hesse|Pagina dell'autore]]''.
::[nota che si può omettere ''|TESTO_DA_VISUALIZZARE'' dal link; in questo caso il link verrà visualizzato come "''[[wikipedia:Hermann Hesse]]''" semplicemente]

== Struttura della pagina ==
=== Sezioni ===
Le sezioni si creano in questo modo:
*<tt><nowiki>==Titolo di livello alto== </nowiki></tt> (2 segni di uguaglianza) - disegna anche una riga di separazione
*<tt><nowiki>===Titolo intermedio=== </nowiki></tt> (3 segni di uguaglianza)
*<tt><nowiki>====Titolo minore====</nowiki></tt> (4 segni di uguaglianza)

=== Indice dell'articolo ===

Se un articolo ha più di '''tre''' titoli, verrà generato automaticamente un indice in cima alla pagina.

== Immagini ==

Per quanto riguarda le immagini puoi far riferimento a:
*[[WikiDsy:Aiuto/Immagini]]
*[[WikiDsy:Politica di uso delle immagini]]
*[[WikiDsy:Come caricare una immagine]]

== Formule Matematiche ==

Si consiglia di fare riferimento a:
*[[Aiuto:Formule matematiche TeX|La Guida di TeX]]
*[[Aiuto:Prontuario TeX|Il Prontuario di TeX]].

[[Categoria:Aiuto|Aiuto]]

MediaWiki:Loginstart

2012-10-24T23:35:09Z

Walter:

* usa le tua credenziali di accesso a [http://www.dsy.it .dsy:it.]. Se non sei ancora registrato [http://www.dsy.it/forum/register.php iscriviti ora!]

* se non riesci comunque ad accedere con i tuoi dati, contattaci via [mailto:staff.dsy.it email]

MediaWiki:Loginstart

2012-10-24T23:34:35Z

Walter:

MediaWiki:Loginstart

2012-10-24T23:22:00Z

Walter: Creata pagina con 'Usa le tua credenziali di accesso a [http://www.dsy.it .dsy:it.] Non sei ancora registrato? [http://www.dsy.it/forum/register.php Iscriviti ora!]'

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Aiuto:Formule matematiche TeX

2012-10-02T20:43:52Z

Walter:

'''Questa pagina è la traduzione della pagina inglese [[:meta:Help:Formula]] tratta da [[:it:Aiuto:Formule matematiche TeX|Wikipedia]].
Verrà aggiornata di tanto in tanto, ma la pagina inglese resta la guida di riferimento ufficiale.'''

Da febbraio 2006 è stato aggiunta la possibilità di usare su WikiDsy dei comandi [[:it:TeX|TeX]] per formule matematiche. Queste stringhe nel caso di espressioni semplici generano del semplice markup [[:it:HTML|HTML]], nel caso di espressioni elaborate generano immagini [[:it:PNG|PNG]] di maggiore evidenza che si differenziano dalle parti verbali. Se si vuole dare evidenza anche ad espressioni semplici, basta renderle elaborate aggiungendo richieste di spaziatura (v.o.). Nel futuro, col miglioramento dei browser, si apriranno possibilità di generare markup HTML (o [[:it:XHTML|XHTML]]) più sofisticato e di richiedere anche inserti [[:it:MathML|MathML]] (e di controllare grafici con richieste in [[:it:SVG|SVG]]).

'''Ogni markup matematico deve rientrare all'interno dei due tag <nowiki><math> ... </math></nowiki>.''' Le interruzioni fisiche di linea all'interno di questi tag non vengono tradotte. Si possono invece richiedere interruzioni di linea e altri posizionamenti con richieste apposite (ad esempio, un'interruzione di linea dopo ogni termine o riga di una matrice).

Per problemi con gli stili che riguardino la composizione di contenuto matematico si guardi: [[:en:Wikipedia:WikiProject_Mathematics|WikiProject Mathematics]] (''in inglese''). In particolare, si prega di evitare l'uso di formule in una riga di testo normale dato che le formule non hanno un allineamento coerente con il resto e il loro font ha una misura superiore.

== MediaWiki e TeX ==

[[:it:MediaWiki|MediaWiki]] usa un sottoinsieme dei markup di '''[[:it:TeX|TeX]]''' (incluse qualche estensione di [[:it:LaTeX|LaTeX]] e [[:it:AMSLaTeX|AMSLaTeX]]) per la formattazione di formule matematiche. Può essere generata un'immagine [[:it:PNG|PNG]] oppure una semplice stringa di [[:it:HTML|HTML]]. Quello che viene mostrato all'utente dipende dalle sue preferenze e dalla complessità dell'espressione. In futuro, come molti browser sono già in grado di fare, sarà possibile sfruttare, oltre all'HTML il linguaggio di markup [[:it:MathML|MathML]].

Più precisamente [[:it:MediaWiki|MediaWiki]] filtra il markup attraverso [[:it:Texvc|Texvc]], che converte i comandi in '''[[:it:TeX|TeX]]''' per poi darli in pasto al motore di [[:it:rendering|rendering]], così che solo una piccola parte del linguaggio '''[[:it:TeX|TeX]]''' è supportata. Per maggiori dettagli vedi di seguito.

== Sintassi ==

I comandi di TeX vanno racchiusi nei markup <code><nowiki><math> ... </math></nowiki></code>. La barra degli strumenti per la modifica contiene un pulsante apposito per questa operazione, vedi [[m:Help:Edit_toolbar|Modificare la barra degli strumenti]].

'''[[:it:TeX|TeX]]''' tratta gli spazi bianchi e i ritorno-a-capo in modo molto simile all'[[:it:HTML|HTML]], cioè vengono ignorati, ma vedremo in seguito come aggirare questo problema (anche se non si tratta di un vero e proprio problema).

== Funzioni, simboli, caratteri speciali ==

{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Come appare
|-
| Accenti
| \acute{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \check{a} \quad \tilde{a}
| <math>\acute{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \check{a} \quad \tilde{a}\!</math>
|-
| Funzioni elementari (metodo corretto)
| \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z 
\sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f 
\sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j 
\arcsin k \ \arccos l \ \arctan m 
\lim n \ \limsup o \ \liminf p 
\min q \ \max r \ \inf s \ \sup t 
\exp u \ \lg v \ \log w 
\ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x
| <math>\sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z</math> 
<math>\sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f\!</math> 
<math>\sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j\!</math> 
<math>\arcsin k \ \arccos l \ \arctan m\!</math> 
<math>\lim n \ \limsup o \ \liminf p\!</math> 
<math>\min q \ \max r \ \inf s \ \sup t\!</math> 
<math>\exp u \ \lg v \ \log w\!</math> 
<math>\ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x\!</math>
|-
| Funzioni elementari (metodo non corretto)
| sin x + ln y + sgn z
| <math>sin x + ln y + sgn z\,\!</math>
|-
| Aritmetica dell'orologio
| s_k \equiv 0 \pmod{m} 
a \bmod b
| <math>s_k \equiv 0 \pmod{m}\!</math> 
<math>a \bmod b\,\!</math>
|-
| Derivate
| \nabla \; \partial x \; dx \; \dot x \; \ddot y
| <math>\nabla \; \partial x \; dx \; \dot x \; \ddot y\!</math>
|-
| rowspan="2" | Insiemi
| \forall \; \exists \; \empty \; \emptyset \; \varnothing \in \ni \not\in \notin 
\subset \subseteq \supset \supseteq \cap \bigcap \cup \bigcup \biguplus
| <math>\forall \; \exists \; \empty \; \emptyset \; \varnothing \in \ni \not\in \notin\!</math> 
<math>\subset \subseteq \supset \supseteq \cap \bigcap \cup \bigcup \biguplus\!</math>
|-
| \sqsubset \sqsubseteq \sqsupset \sqsupseteq \sqcap \sqcup \bigsqcup
| <math>\sqsubset \sqsubseteq \sqsupset \sqsupseteq \sqcap \sqcup \bigsqcup\!</math>
|-
| Logica
| p \land \wedge \; \bigwedge \; \bar{q} \to p \; \lor \vee \; \bigvee \; \lnot \; \neg q \; \setminus \; \smallsetminus
| <math>p \land \wedge \; \bigwedge \; \bar{q} \to p \lor \vee \; \bigvee \; \lnot \; \neg q \; \setminus \; \smallsetminus\!</math>
|-
| rowspan="2" | Radicali
| \sqrt{2}\approx 1.4
| <math>\sqrt{2}\approx 1.4\!</math>
|-
| \sqrt[n]{x}
| <math>\sqrt[n]{x}\!</math>
|-
| Simboli relazionali
| \sim \; \approx \; \simeq \; \cong \; \le \; < \; \ll \; \gg \; \ge \; > \; \equiv \; \not\equiv \; \ne \; \propto \; \pm \; \mp
| <math>\sim \; \approx \; \simeq \; \cong \; \le \; < \; \ll \; \gg \; \ge \; > \; \equiv \; \not\equiv \; \ne \; \propto \; \pm \; \mp\!</math>
|-
| Simboli geometrici
| \Diamond \; \Box \; \triangle \; \angle \; \perp \; \mid \; \nmid \; <nowiki>\|</nowiki> \; 45^\circ
| <math>\Diamond \; \Box \; \triangle \; \angle \; \perp \; \mid \; \nmid \; \| \; 45^\circ\!</math>
|-
| rowspan="3" | Frecce
| \leftarrow \; \gets \; \rightarrow \; \to \; \leftrightarrow 
\longleftarrow \; \longrightarrow 
\mapsto \; \longmapsto \; \hookrightarrow \; \hookleftarrow 
\nearrow \; \searrow \; \swarrow \; \nwarrow 
\uparrow \; \downarrow \; \updownarrow
| <math>\leftarrow \; \gets \; \rightarrow \; \to \; \leftrightarrow\!</math> 
<math>\longleftarrow \; \longrightarrow\!</math> 
<math>\mapsto \; \longmapsto \; \hookrightarrow \; \hookleftarrow\!</math> 
<math>\nearrow \; \searrow \; \swarrow \; \nwarrow\!</math> 
<math>\uparrow \; \downarrow \; \updownarrow\!</math>
|-
| \rightharpoonup \; \rightharpoondown \; \leftharpoonup \; \leftharpoondown \; \upharpoonleft \; \upharpoonright \; \downharpoonleft \; \downharpoonright
| <math>\rightharpoonup \; \rightharpoondown \; \leftharpoonup \; \leftharpoondown \; \upharpoonleft \; \upharpoonright \; \downharpoonleft \; \downharpoonright\!</math>
|-
| \Leftarrow \; \Rightarrow \; \Leftrightarrow 
\Longleftarrow \; \Longrightarrow \; \Longleftrightarrow (or \iff) 
\Uparrow \; \Downarrow \; \Updownarrow
| <math>\Leftarrow \; \Rightarrow \; \Leftrightarrow\!</math> 
<math>\Longleftarrow \; \Longrightarrow \; \Longleftrightarrow (or \iff)\!</math> 
<math>\Uparrow \; \Downarrow \; \Updownarrow\!</math>
|-
| Simboli speciali
| \eth \; \S \; \P \; \% \; \dagger \; \ddagger \; \star \; * \; \ldots 
\smile \frown \wr \oplus \bigoplus \otimes \bigotimes 
\times \cdot \circ \bullet \bigodot \triangleleft \triangleright \infty \bot \top \vdash \vDash \Vdash \models \lVert \rVert 
\imath \; \hbar \; \ell \; \mho \; \Finv \; \Re \; \Im \; \wp \; \complement \quad \diamondsuit \; \heartsuit \; \clubsuit \; \spadesuit \; \Game \quad \flat \; \natural \; \sharp
| <math>\eth \; \S \; \P \; \% \; \dagger \; \ddagger \; \star \; * \; \ldots\!</math> 
<math>\smile \frown \wr \oplus \bigoplus \otimes \bigotimes\!</math> 
<math>\times \cdot \circ \bullet \bigodot \triangleleft \triangleright \infty \bot \top \vdash \vDash \Vdash \models \lVert \rVert\!</math> 
<math>\imath \; \hbar \; \ell \; \mho \; \Finv \; \Re \; \Im \; \wp \; \complement \quad \diamondsuit \; \heartsuit \; \clubsuit \; \spadesuit \; \Game \quad \flat \; \natural \; \sharp\!</math>
|-
| Le lettere minuscole con \mathcal consentono caratteri extra
| \mathcal {45abcdenpqs}
| <math>\mathcal {45abcdenpqs}\!</math>
|}

== Apici, pedici, integrali ==
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! colspan="2" | Come appare
|-
!  
!  
! HTML
! PNG
|-
| Apice
| a^2
| <math>a^2</math>
| <math>a^2 \!</math>
|-
| Pedice
| a_2
| <math> a_2 </math>
| <math> a_2 \!</math>
|-
| rowspan="2" | Raggruppamento
| a^{2+2}
| <math>a^{2+2}</math>
| <math>a^{2+2} \!</math>
|-
| a_{i,j}</td>
| <math>a_{i,j}</math>
| <math>a_{i,j} \!</math>
|-
| Combinazione di apici e pedici
| x_2^3
| <math>x_2^3</math>
| <math>x_2^3 \!</math>
|-
| Derivate (forzato in PNG)
| x', y'', f', f''
|  
| <math>x', y'', f', f'' \!</math>
|-
| Derivate (il corsivo sovrappone gli apici)
| x', y'', f', f''
| <math>x', y'', f', f''</math>
| <math>x', y'', f', f'' \!</math>
|-
| Derivate (errato in HTML)</td>
| x^\prime, y^{\prime\prime}
| <math>x^\prime, y^{\prime\prime}</math>
| <math>x^\prime, y^{\prime\prime} \!</math>
|-
| Derivate (errato in PNG)</td>
| x\prime, y{\prime\prime}
| <math>x\prime, y{\prime\prime}</math>
| <math>x\prime, y{\prime\prime} \!</math>
|-
| Sottolineato, sopralineato, vettori
| \hat a \ \bar b \ \vec c \ \overrightarrow{a b} \ \overleftarrow{c d} \ \widehat{d e f} \ \overline{g h i} \ \underline{j k l}
| colspan="2" | <math>\hat a \ \bar b \ \vec c \ \overrightarrow{a b} \ \overleftarrow{c d} \ \widehat{d e f} \ \overline{g h i} \ \underline{j k l}\!</math>
|-
| Parentesi sopra
| \begin{matrix} 5050 \\ \overbrace{ 1+2+\cdots+100 } \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} 5050 \\ \overbrace{ 1+2+\cdots+100 } \end{matrix} \!</math>
|-
| Parentesi sotto
| \begin{matrix} \underbrace{ a+b+\cdots+z } \\ 26 \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \underbrace{ a+b+\cdots+z } \\ 26 \end{matrix} \!</math>
|-
| Sommatoria
| \sum_{k=1}^N k^2
| colspan="2" | <math>\sum_{k=1}^N k^2</math></td>
|-
| Sommatoria (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \sum_{k=1}^N k^2 \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \sum_{k=1}^N k^2 \end{matrix}</math></td>
|-
| Produttoria
| \prod_{i=1}^N x_i
| colspan="2" | <math>\prod_{i=1}^N x_i</math>
|-
| Produttoria (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \prod_{i=1}^N x_i \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \prod_{i=1}^N x_i \end{matrix}</math>
|-
| Coproduttoria
| \coprod_{i=1}^N x_i</td>
| colspan="2" | <math>\coprod_{i=1}^N x_i</math>
|-
| Coproduttoria (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \coprod_{i=1}^N x_i \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \coprod_{i=1}^N x_i \end{matrix}</math>
|-
| Limite
| \lim_{n \to \infty}x_n
| colspan="2" | <math>\lim_{n \to \infty}x_n</math>
|-
| Limite (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \lim_{n \to \infty}x_n \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}x_n \end{matrix}</math>
|-
| Integrale
| \int_{-N}^{N} e^x\, dx
| colspan="2" | <math>\int_{-N}^{N} e^x\, dx</math>
|-
| Integrale (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \int_{-N}^{N} e^x\, dx \end{matrix}
| td colspan="2" | <math>\begin{matrix} \int_{-N}^{N} e^x\, dx \end{matrix}</math>
|-
| Integrale doppio
| \iint_{D}^{W} \, dx\,dy
| colspan="2" | <math>\iint_{D}^{W} \, dx\,dy</math>
|-
| Integrale triplo
| \iiint_{E}^{V} \, dx\,dy\,dz
| colspan="2" | <math>\iiint_{E}^{V} \, dx\,dy\,dz</math>
|-
| Integrale quadruplo
| \iiiint_{F}^{U} \, dx\,dy\,dz\,dt
| colspan="2" | <math>\iiiint_{F}^{U} \, dx\,dy\,dz\,dt</math>
|-
| Integrale curvilineo
| \oint_{C} x^3\, dx + 4y^2\, dy
| colspan="2" | <math>\oint_{C} x^3\, dx + 4y^2\, dy</math>
|-
| Intersezioni
| \bigcap_1^{n} p
| colspan="2" | <math>\bigcap_1^{n} p</math>
|-
| Unioni
| \bigcup_1^{k} p
| colspan="2" | <math>\bigcup_1^{k} p</math>
|}

== Frazioni, matrici, multi-linea ==
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Come appare
|-
| Frazioni
| \frac{2}{4} or {2 \over 4}
| <math>\frac{2}{4}\!</math>
|-
| Coefficienti binomiali
| \binom{n}{k} or {n \choose k}
| <math>{n \choose k}</math>
|-
| rowspan="6" | Matrici
| \begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}
| <math>\begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}\!</math>
|-
| \begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}
| <math>\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}\!</math>
|-
| \begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}
| <math>\begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}\!</math>
|-
| \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 
\ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 
0\end{bmatrix}\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}
| <math>\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}</math>
|-
| \begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}
| <math>\begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}\,\!</math>
|-
| \begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}
| <math>\begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}</math>
|-
| Distinzione di casi
| f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{se }n\mbox{ pari} \\ 3n+1, & \mbox{se }n\mbox{ dispari}
\end{matrix}\right.
| <math>f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{se }n\mbox{ pari} \\ 3n+1, & \mbox{se }n\mbox{ dispari} \end{matrix}\right. </math>
|-
| Equazioni su più righe
| \begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 &= \\ \ &
=& n^2 + 2n + 1 \end{matrix}</td>
| <math>\begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 &= \\ \ & =& n^2 + 2n + 1\end{matrix}</math>
|-
| Equazioni su più righe (alternativa usando le tabelle)
|
<pre>
<nowiki>
{|
|-
|<math>f(n+1)</math>
|<math>=(n+1)^2=</math>
|-
|
|<math>=n^2 + 2n + 1</math>
|}
</nowiki>
</pre>
|
{|
|-
|<math>f(n+1)\!</math>
|<math>=(n+1)^2=\!</math>
|-
|
|<math>=n^2 + 2n + 1\!</math>
|}
|}

== Font ==
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Come appare
|-
| [[:it:alfabeto greco|Lettere greche maiuscole]]
| \Alpha \Beta \Gamma \Delta \Epsilon \Zeta \Eta \Theta \Iota \Kappa \Lambda \Mu \Nu \Xi \Pi \Rho \Sigma \Tau \Upsilon \Phi \Chi \Psi \Omega
| colspan="2" | <math>\Alpha\ \Beta\ \Gamma\ \Delta\ \Epsilon\ \Zeta\ \Eta\ \Theta\ \Iota\ \Kappa\ \Lambda\ \Mu\ \Nu\ \Xi\ \Pi\ \Rho\ \Sigma\ \Tau\ \Upsilon\ \Phi\ \Chi\ \Psi\ \Omega \!</math>
|-
| [[:it:alfabeto greco|Lettere greche minuscole]]
| \alpha \beta \gamma \delta \epsilon \zeta \eta \theta \iota \kappa \lambda \mu \nu \xi \pi \rho \sigma \tau \upsilon \phi \chi \psi \omega
| colspan="2" | <math>\alpha\ \beta\ \gamma\ \delta\ \epsilon\ \zeta\ \eta\ \theta\ \iota\ \kappa\ \lambda\ \mu\ \nu\ \xi\ \pi\ \rho\ \sigma\ \tau\ \upsilon\ \phi\ \chi\ \psi\ \omega \!</math>
|-
| [[:it:alfabeto greco|Altre lettere greche]]
| \varepsilon \digamma \vartheta \varkappa \varpi \varrho \varsigma \varphi
| colspan="2" | <math>\varepsilon\ \digamma\ \vartheta\ \varkappa\ \varpi\ \varrho\ \varsigma\ \varphi \!</math>
|-
| [[:it:Grassetto|Grassetto]] lavagna
| \mathbb{N}\ \mathbb{Z}\ \mathbb{Q}\ \mathbb{R}\ \mathbb{C}
| colspan="2" | <math>\mathbb{N}\ \mathbb{Z}\ \mathbb{Q}\ \mathbb{R}\ \mathbb{C} \!</math>
|-
| [[:it:Grassetto|Grassetto]] (per [[:it:vettore|vettori]])
| \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0
| colspan="2" | <math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0 \!</math>
|-
| [[:it:Grassetto|Grassetto]] per [[:it:Alfabeto greco|lettere greche]]
| \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma}
| colspan="2" | <math>\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma} \!</math>
|-
| [[:it:Corsivo|Corsivo]]
| \mathit{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathit{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| Font [[:it:Roman|Roman]]
| \mathrm{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathrm{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| Font [[:it:Fraktur|Fraktur]]
| \mathfrak{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathfrak{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| Calligrafico
| \mathcal{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathcal{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| [[:it:Alfabeto ebraico|Lettere ebraiche]]
| \aleph \beth \gimel \daleth
| colspan="2" | <math>\aleph\ \beth\ \gimel\ \daleth \!</math>
|-
| Caratteri non [[:it:corsivo|corsivi]]
| \mbox{abc}
| <math>\mbox{abc}</math>
| <math>\mbox{abc}\!</math>
|-
| Misto [[:it:corsivo|corsivo]] (cattivo esempio)
| \mbox{se} n \mbox{pari}
| <math>\mbox{se} n \mbox{pari}</math>
| <math>\mbox{se} n \mbox{pari} \,\!</math>
|-
| Misto [[:it:corsivo|corsivo]] (buon esempio)
| \mbox{se } n \mbox{ pari}
| <math>\mbox{se }n\mbox{ pari}</math>
| <math>\mbox{se }n\mbox{ pari} \,\!</math>
|}

== Le parentesi nelle espressioni estese ==

{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Traduzione
|-
| Da evitare
| ( \frac{1}{2} )
| <math>( \frac{1}{2} )</math>
|-
| Preferibile
| \left( \frac{1}{2} \right)
| <math>\left ( \frac{1}{2} \right )</math>
|}

Si possono usare vari delimitatori con \left e \right:

<table border="1">
<tr>
<th>Caratteristica</th>
<th>Sintassi</th>
<th>Come appare</th>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi tonde</td>
<td>\left ( A \right )</td>
<td><math>\left ( A \right )</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi quadre</td>
<td>\left [ A \right ]</td>
<td><math>\left [ A \right ]</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi graffe</td>
<td>\left \{ A \right \}</td>
<td><math>\left \{ A \right \}</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi angolari</td>
<td>\left \langle A \right \rangle</td>
<td><math>\left \langle A \right \rangle</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Barre semplici e doppie</td>
<td>\left | A \right | and \left \| B \right \|</td>
<td><math>\left | A \right | and \left \| B \right \|</math></td>
</tr>
<tr>
<td>
I delimitatori possono essere combinati, facendoli corrispondere con \left e \right
</td>
<td>
\left [ 0,1 \right ) \left \langle \psi \right |
</td>
<td>
<math>\left [ 0,1 \right )</math> <math>\left \langle \psi \right |</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>Usare \left. and \right. se si vuole omettere un delimitatore:</td>
<td>\left . \frac{A}{B} \right \} \to X</td>
<td><math>\left . \frac{A}{B} \right \} \to X</math></td>
</tr>
</table>

== Spaziatura ==
Si rammenta che TeX tratta la spaziatura in modo per lo più automatico, ma a volte può essere necessario controllarla direttamente.

{|border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" align="center"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Traduzione
|-
| Doppia spaziatura quad
| a \qquad b
| <math>a \qquad b</math>
|-
| Spaziatura quad
| a \quad b
| <math> a \quad b</math>
|-
| Spaziatura del testo
| a\ b
| <math>a\ b</math>
|-
| Spaziatura grande
| a\;b
| <math>a\;b</math>
|-
| Spaziatura media
| a\>b
| [non supportata]
|-
| Spaziatura piccola
| a\,b
| <math>a\,b</math>
|-
| Nessuna spaziatura
| ab
| <math>ab\,</math>
|-
| Spaziatura negativa
| a\!b
| <math>a\!b</math>
|}

== Allineamento col testo normale ==
Di default nello stile [[:it:CSS|CSS]] abbiamo:

<pre>img.tex { vertical-align: middle; }</pre>

per questo un'espressione come <math>\int_{-N}^{N} e^x\, dx</math> appare così.

Se dovete assolutamente allineare in altro modo usate <tt><nowiki><div style="vertical-align:-100%;display:inline;"><math>...</math></div></nowiki></tt> e giocate con il valore di <tt>vertical-align</tt> finchè non raggiungete il risultato desiderato. Comunque molto spesso il rendering cambia da browser a browser, non preoccupatevi se a casa vostra vedete una cosa e dal vostro amico un'altra.

== Forzare il rendering PNG ==
Se necessario, è possibile forzare che una formula venga resa in PNG, senza influenzare l'aspetto della formula, aggiungendo \,\! (spazio ridotto e spazio negativo, che si elidono) ovunque all'interno del tag math (possibilmente al termine).

Ciò potrebbe essere utile per mantenere il rendering delle formule uniforme, per esempio, o per correggere una formula che viene resa in modo sbagliato con l'HTML (x derivato, oppure a^{2+2}), o per dimostrare come viene reso qualcosa normalmente visualizzato come HTML (come nell'esempio precedente). Per esempio:

{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;"
|-
! Sintassi
! Come appare
|-
| a^{2+2}
| <math>a^{2+2}</math>
|-
| a^{2+2} \,\!
| <math>a^{2+2} \,\!</math>
|-
| \int_{-N}^{N} e^x\, dx
| <math> \int_{-N}^{N} e^x\, dx </math>
|-
| \int_{-N}^{N} e^x\, dx \,\!
| <math> \int_{-N}^{N} e^x\, dx \,\! </math>
|}

È stato testato con la maggior parte delle formule di questa pagina, e sembra funzionare perfettamente.

Sarebbe opportuno inserire un commento nel codice HTML per evitare che qualcuno "corregga" la formula rimuovendolo:

:''<nowiki></nowiki>''

È possibile come ulteriore opzione aggiungere ''\emph'' prima di ogni formula all'interno del tag <nowiki><math></nowiki> per avere il rendering in PNG (ad esempio <math>Iz = Icm + MR^{2}</math> diventa <math>\emph Iz = Icm + MR^{2}</math>) .

== Esempi ==

<center>
=== Polinomio di secondo grado ===
<math>ax^2 + bx + c = 0</math>

<nowiki><math>ax^2 + bx + c = 0</math></nowiki>

=== Polinomio di secondo grado (forzato in PNG)===
<math>ax^2 + bx + c = 0\,</math>

<nowiki><math>ax^2 + bx + c = 0\,</math></nowiki>

=== Soluzioni di un'equazione di secondo grado ===
<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

<nowiki><math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></nowiki>

=== Parentesi e frazioni ===
<math>2 = \left( \frac{\left(3-x\right) \times 2}{3-x} \right)</math>

<nowiki><math>2 = \left( \frac{\left(3-x\right) \times 2}{3-x} \right)</math></nowiki>

=== Integrali ===
<math>\int_a^x \int_a^s f(y)\,dy\,ds = \int_a^x f(y)(x-y)\,dy</math>

<nowiki><math>\int_a^x \int_a^s f(y)\,dy\,ds = \int_a^x f(y)(x-y)\,dy</math></nowiki>

=== Sommatorie ===
<math>\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{m^2\,n}{3^m\left(m\,3^n+n\,3^m\right)}</math>

<nowiki><math>\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{m^2\,n}</nowiki>
<nowiki>{3^m\left(m\,3^n+n\,3^m\right)}</math></nowiki>

=== Equazioni differenziali ===
<math>u'' + p(x)u' + q(x)u=f(x),\quad x>a</math>

<nowiki><math>u'' + p(x)u' + q(x)u=f(x),\quad x>a</math></nowiki>

=== Numeri complessi ===
<math>|\bar{z}| = |z|, |(\bar{z})^n| = |z|^n, \arg(z^n) = n \arg(z)\,</math>

<nowiki><math>|\bar{z}| = |z|, |(\bar{z})^n| = |z|^n, \arg(z^n) = n \arg(z)\,</math></nowiki>

=== Limiti ===
<math>\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=f(z_0)\,</math>

<nowiki><math>\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=f(z_0)\,</math></nowiki>

=== Equazioni integrali ===
<math>\phi_n(\kappa) = \frac{1}{4\pi^2\kappa^2} \int_0^\infty \frac{\sin(\kappa R)}{\kappa R} \frac{\partial}{\partial R}\left[R^2\frac{\partial D_n(R)}{\partial R}\right]\,dR</math>

<nowiki><math>\phi_n(\kappa) = \frac{1}{4\pi^2\kappa^2} \int_0^\infty</nowiki>
<nowiki>\frac{\sin(\kappa R)}{\kappa R} \frac{\partial}{\partial R}\left[R^2\frac{\partial</nowiki>
<nowiki>D_n(R)}{\partial R}\right]\,dR</math></nowiki>

=== Esempio generico ===
<math>\phi_n(\kappa) = 0.033C_n^2\kappa^{-11/3},\quad \frac{1}{L_0}\ll\kappa\ll\frac{1}{l_0}\,</math>

<nowiki><math>\phi_n(\kappa) = </nowiki>
<nowiki>0.033C_n^2\kappa^{-11/3},\quad \frac{1}{L_0}\ll\kappa\ll\frac{1}{l_0}\,</math></nowiki>

=== Funzioni definite a ''pezzi'' ===
<math>f(x) = \begin{cases}1 & -1 \le x < 0\\
\frac{1}{2} & x = 0\\x&0<x\le 1\end{cases}</math>

<nowiki>f(x) = \begin{cases}1 & -1 \le x < 0\\</nowiki>
<nowiki>\frac{1}{2} & x = 0\\x&0<x\le 1\end{cases}</nowiki>

=== Pedice prescritta ===
<math>{}_pF_q(a_1,...,a_p;c_1,...,c_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdot\cdot\cdot(a_p)_n}{(c_1)_n\cdot\cdot\cdot(c_q)_n}\frac{z^n}{n!}\,</math>

<nowiki> <math>{}_pF_q(a_1,...,a_p;c_1,...,c_q;z) = \sum_{n=0}^\infty</nowiki>
<nowiki>\frac{(a_1)_n\cdot\cdot\cdot(a_p)_n}{(c_1)_n\cdot\cdot\cdot(c_q)_n}\frac{z^n}{n!}\,</math></nowiki>

</center>

== Voci correlate ==
* Proposta [http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:GNU_LilyPond_support en.wiki:GNU LilyPond support]
* [[:it:Aiuto:Prontuario TeX|Prontuario TeX]] su Wikipedia.
* [[Aiuto:Prontuario TeX|Prontuario TeX]] su WikiDsy.

== Collegamenti esterni ==

* Un tutorial di [[:it:LaTeX|LaTeX]]: http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/LaTeXPrimer/
* Un documento [[:it:Portable Document Format|PDF]] di introduzione a TeX -- cfr. pagina 39 e seguenti per una buona introduzione al lato matematico del contenuto: http://www.ctan.org/tex-archive/info/gentle/gentle.pdf
* Un documento [[:it:Portable Document Format|PDF]] di introduzione a TeX -- cfr. pagina 59 per la sezione di matematica. Cfr. pagina 72 per una lista completa di simboli inclusi in LaTeX e AMS-LaTeX. http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/english/lshort.pdf
* Varie estensioni di LaTeX: http://www.ams.org/tex/amslatex.html
* Un insieme di simboli matematici in formato bitmap di pubblico dominio: http://us.metamath.org/symbols/symbols.html
* TeX Wizard: http://de.geocities.com/richyfourtythree/texwizard.html
* [[:it:MathML|MathML]] - Un prodotto del gruppo di lavoro di matematica della [[:it:W3C|W3C]], sono specifiche a basso livello per descrivere enti matematici nella comunicazione tra elaboratori. http://www.w3.org/Math/

[[Categoria:Aiuto|Formule matematiche TeX]]
[[en:TeX]]
[[it:Aiuto:Formule matematiche TeX]]

Aiuto:Formule matematiche TeX

2012-10-02T20:25:45Z

Walter:

'''Questa pagina è la traduzione della pagina inglese [[:meta:Help:Formula]] tratta da [[:it:Aiuto:Formule matematiche TeX|Wikipedia]].
Verrà aggiornata di tanto in tanto, ma la pagina inglese resta la guida di riferimento ufficiale.'''

Da febbraio 2006 è stato aggiunta la possibilità di usare su WikiDsy dei comandi [[:it:TeX|TeX]] per formule matematiche. Tali stringhe nel caso di espressioni semplici generano del semplice markup [[:it:HTML|HTML]], nel caso di espressioni elaborate generano immagini [[:it:PNG|PNG]] di maggiore evidenza che si differenziano dalle parti verbali. Se si vuole dare evidenza anche ad espressioni semplici, basta renderle elaborate aggiungendo richieste di spaziatura (v.o.). Nel futuro, col miglioramento dei browser, si apriranno possibilità di generare markup HTML (o [[:it:XHTML|XHTML]]) più sofisticato e di richiedere anche inserti [[:it:MathML|MathML]] (e di controllare grafici con richieste in [[:it:SVG|SVG]]).

'''Ogni markup matematico deve rientrare all'interno dei due tag <nowiki><math> ... </math></nowiki>.''' Le interruzioni fisiche di linea all'interno di questi tag non vengono tradotte. Si possono invece richiedere interruzioni di linea e altri posizionamenti con richieste apposite (ad esempio, un'interruzione di linea dopo ogni termine o riga di una matrice).

Per problemi con gli stili che riguardino la composizione di contenuto matematico si guardi: [[:en:Wikipedia:WikiProject_Mathematics|WikiProject Mathematics]] (''in inglese''). In particolare, si prega di evitare l'uso di formule in una riga di testo normale dato che le formule non hanno un allineamento coerente con il resto e il loro font ha una misura superiore.

== MediaWiki e TeX ==

[[:it:MediaWiki|MediaWiki]] usa un sottoinsieme dei markup di '''[[:it:TeX|TeX]]''' (incluse qualche estensione di [[:it:LaTeX|LaTeX]] e [[:it:AMSLaTeX|AMSLaTeX]]) per la formattazione di formule matematiche. Può essere generata un'immagine [[:it:PNG|PNG]] oppure una semplice stringa di [[:it:HTML|HTML]]. Quello che viene mostrato all'utente dipende dalle sue preferenze e dalla complessità dell'espressione. In futuro, come molti browser sono già in grado di fare, sarà possibile sfruttare, oltre all'HTML il linguaggio di markup [[:it:MathML|MathML]].

Più precisamente [[:it:MediaWiki|MediaWiki]] filtra il markup attraverso [[:it:Texvc|Texvc]], che converte i comandi in '''[[:it:TeX|TeX]]''' per poi darli in pasto al motore di [[:it:rendering|rendering]], così che solo una piccola parte del linguaggio '''[[:it:TeX|TeX]]''' è supportata. Per maggiori dettagli vedi di seguito.

== Sintassi ==

I comandi di TeX vanno racchiusi nei markup <code><nowiki><math> ... </math></nowiki></code>. La barra degli strumenti per la modifica contiene un pulsante apposito per questa operazione, vedi [[m:Help:Edit_toolbar|Modificare la barra degli strumenti]].

'''[[:it:TeX|TeX]]''' tratta gli spazi bianchi e i ritorno-a-capo in modo molto simile all'[[:it:HTML|HTML]], cioè vengono ignorati, ma vedremo in seguito come aggirare questo problema (anche se non si tratta di un vero e proprio problema).

== Funzioni, simboli, caratteri speciali ==

{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Come appare
|-
| Accenti
| \acute{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \check{a} \quad \tilde{a}
| <math>\acute{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \check{a} \quad \tilde{a}\!</math>
|-
| Funzioni elementari (metodo corretto)
| \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z 
\sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f 
\sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j 
\arcsin k \ \arccos l \ \arctan m 
\lim n \ \limsup o \ \liminf p 
\min q \ \max r \ \inf s \ \sup t 
\exp u \ \lg v \ \log w 
\ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x
| <math>\sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z</math> 
<math>\sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f\!</math> 
<math>\sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j\!</math> 
<math>\arcsin k \ \arccos l \ \arctan m\!</math> 
<math>\lim n \ \limsup o \ \liminf p\!</math> 
<math>\min q \ \max r \ \inf s \ \sup t\!</math> 
<math>\exp u \ \lg v \ \log w\!</math> 
<math>\ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x\!</math>
|-
| Funzioni elementari (metodo non corretto)
| sin x + ln y + sgn z
| <math>sin x + ln y + sgn z\,\!</math>
|-
| Aritmetica dell'orologio
| s_k \equiv 0 \pmod{m} 
a \bmod b
| <math>s_k \equiv 0 \pmod{m}\!</math> 
<math>a \bmod b\,\!</math>
|-
| Derivate
| \nabla \; \partial x \; dx \; \dot x \; \ddot y
| <math>\nabla \; \partial x \; dx \; \dot x \; \ddot y\!</math>
|-
| rowspan="2" | Insiemi
| \forall \; \exists \; \empty \; \emptyset \; \varnothing \in \ni \not\in \notin 
\subset \subseteq \supset \supseteq \cap \bigcap \cup \bigcup \biguplus
| <math>\forall \; \exists \; \empty \; \emptyset \; \varnothing \in \ni \not\in \notin\!</math> 
<math>\subset \subseteq \supset \supseteq \cap \bigcap \cup \bigcup \biguplus\!</math>
|-
| \sqsubset \sqsubseteq \sqsupset \sqsupseteq \sqcap \sqcup \bigsqcup
| <math>\sqsubset \sqsubseteq \sqsupset \sqsupseteq \sqcap \sqcup \bigsqcup\!</math>
|-
| Logica
| p \land \wedge \; \bigwedge \; \bar{q} \to p \; \lor \vee \; \bigvee \; \lnot \; \neg q \; \setminus \; \smallsetminus
| <math>p \land \wedge \; \bigwedge \; \bar{q} \to p \lor \vee \; \bigvee \; \lnot \; \neg q \; \setminus \; \smallsetminus\!</math>
|-
| rowspan="2" | Radicali
| \sqrt{2}\approx 1.4
| <math>\sqrt{2}\approx 1.4\!</math>
|-
| \sqrt[n]{x}
| <math>\sqrt[n]{x}\!</math>
|-
| Simboli relazionali
| \sim \; \approx \; \simeq \; \cong \; \le \; < \; \ll \; \gg \; \ge \; > \; \equiv \; \not\equiv \; \ne \; \propto \; \pm \; \mp
| <math>\sim \; \approx \; \simeq \; \cong \; \le \; < \; \ll \; \gg \; \ge \; > \; \equiv \; \not\equiv \; \ne \; \propto \; \pm \; \mp\!</math>
|-
| Simboli geometrici
| \Diamond \; \Box \; \triangle \; \angle \; \perp \; \mid \; \nmid \; <nowiki>\|</nowiki> \; 45^\circ
| <math>\Diamond \; \Box \; \triangle \; \angle \; \perp \; \mid \; \nmid \; \| \; 45^\circ\!</math>
|-
| rowspan="3" | Frecce
| \leftarrow \; \gets \; \rightarrow \; \to \; \leftrightarrow 
\longleftarrow \; \longrightarrow 
\mapsto \; \longmapsto \; \hookrightarrow \; \hookleftarrow 
\nearrow \; \searrow \; \swarrow \; \nwarrow 
\uparrow \; \downarrow \; \updownarrow
| <math>\leftarrow \; \gets \; \rightarrow \; \to \; \leftrightarrow\!</math> 
<math>\longleftarrow \; \longrightarrow\!</math> 
<math>\mapsto \; \longmapsto \; \hookrightarrow \; \hookleftarrow\!</math> 
<math>\nearrow \; \searrow \; \swarrow \; \nwarrow\!</math> 
<math>\uparrow \; \downarrow \; \updownarrow\!</math>
|-
| \rightharpoonup \; \rightharpoondown \; \leftharpoonup \; \leftharpoondown \; \upharpoonleft \; \upharpoonright \; \downharpoonleft \; \downharpoonright
| <math>\rightharpoonup \; \rightharpoondown \; \leftharpoonup \; \leftharpoondown \; \upharpoonleft \; \upharpoonright \; \downharpoonleft \; \downharpoonright\!</math>
|-
| \Leftarrow \; \Rightarrow \; \Leftrightarrow 
\Longleftarrow \; \Longrightarrow \; \Longleftrightarrow (or \iff) 
\Uparrow \; \Downarrow \; \Updownarrow
| <math>\Leftarrow \; \Rightarrow \; \Leftrightarrow\!</math> 
<math>\Longleftarrow \; \Longrightarrow \; \Longleftrightarrow (or \iff)\!</math> 
<math>\Uparrow \; \Downarrow \; \Updownarrow\!</math>
|-
| Simboli speciali
| \eth \; \S \; \P \; \% \; \dagger \; \ddagger \; \star \; * \; \ldots 
\smile \frown \wr \oplus \bigoplus \otimes \bigotimes 
\times \cdot \circ \bullet \bigodot \triangleleft \triangleright \infty \bot \top \vdash \vDash \Vdash \models \lVert \rVert 
\imath \; \hbar \; \ell \; \mho \; \Finv \; \Re \; \Im \; \wp \; \complement \quad \diamondsuit \; \heartsuit \; \clubsuit \; \spadesuit \; \Game \quad \flat \; \natural \; \sharp
| <math>\eth \; \S \; \P \; \% \; \dagger \; \ddagger \; \star \; * \; \ldots\!</math> 
<math>\smile \frown \wr \oplus \bigoplus \otimes \bigotimes\!</math> 
<math>\times \cdot \circ \bullet \bigodot \triangleleft \triangleright \infty \bot \top \vdash \vDash \Vdash \models \lVert \rVert\!</math> 
<math>\imath \; \hbar \; \ell \; \mho \; \Finv \; \Re \; \Im \; \wp \; \complement \quad \diamondsuit \; \heartsuit \; \clubsuit \; \spadesuit \; \Game \quad \flat \; \natural \; \sharp\!</math>
|-
| Le lettere minuscole con \mathcal consentono caratteri extra
| \mathcal {45abcdenpqs}
| <math>\mathcal {45abcdenpqs}\!</math>
|}

== Apici, pedici, integrali ==
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! colspan="2" | Come appare
|-
!  
!  
! HTML
! PNG
|-
| Apice
| a^2
| <math>a^2</math>
| <math>a^2 \!</math>
|-
| Pedice
| a_2
| <math> a_2 </math>
| <math> a_2 \!</math>
|-
| rowspan="2" | Raggruppamento
| a^{2+2}
| <math>a^{2+2}</math>
| <math>a^{2+2} \!</math>
|-
| a_{i,j}</td>
| <math>a_{i,j}</math>
| <math>a_{i,j} \!</math>
|-
| Combinazione di apici e pedici
| x_2^3
| <math>x_2^3</math>
| <math>x_2^3 \!</math>
|-
| Derivate (forzato in PNG)
| x', y'', f', f''
|  
| <math>x', y'', f', f'' \!</math>
|-
| Derivate (il corsivo sovrappone gli apici)
| x', y'', f', f''
| <math>x', y'', f', f''</math>
| <math>x', y'', f', f'' \!</math>
|-
| Derivate (errato in HTML)</td>
| x^\prime, y^{\prime\prime}
| <math>x^\prime, y^{\prime\prime}</math>
| <math>x^\prime, y^{\prime\prime} \!</math>
|-
| Derivate (errato in PNG)</td>
| x\prime, y{\prime\prime}
| <math>x\prime, y{\prime\prime}</math>
| <math>x\prime, y{\prime\prime} \!</math>
|-
| Sottolineato, sopralineato, vettori
| \hat a \ \bar b \ \vec c \ \overrightarrow{a b} \ \overleftarrow{c d} \ \widehat{d e f} \ \overline{g h i} \ \underline{j k l}
| colspan="2" | <math>\hat a \ \bar b \ \vec c \ \overrightarrow{a b} \ \overleftarrow{c d} \ \widehat{d e f} \ \overline{g h i} \ \underline{j k l}\!</math>
|-
| Parentesi sopra
| \begin{matrix} 5050 \\ \overbrace{ 1+2+\cdots+100 } \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} 5050 \\ \overbrace{ 1+2+\cdots+100 } \end{matrix} \!</math>
|-
| Parentesi sotto
| \begin{matrix} \underbrace{ a+b+\cdots+z } \\ 26 \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \underbrace{ a+b+\cdots+z } \\ 26 \end{matrix} \!</math>
|-
| Sommatoria
| \sum_{k=1}^N k^2
| colspan="2" | <math>\sum_{k=1}^N k^2</math></td>
|-
| Sommatoria (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \sum_{k=1}^N k^2 \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \sum_{k=1}^N k^2 \end{matrix}</math></td>
|-
| Produttoria
| \prod_{i=1}^N x_i
| colspan="2" | <math>\prod_{i=1}^N x_i</math>
|-
| Produttoria (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \prod_{i=1}^N x_i \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \prod_{i=1}^N x_i \end{matrix}</math>
|-
| Coproduttoria
| \coprod_{i=1}^N x_i</td>
| colspan="2" | <math>\coprod_{i=1}^N x_i</math>
|-
| Coproduttoria (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \coprod_{i=1}^N x_i \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \coprod_{i=1}^N x_i \end{matrix}</math>
|-
| Limite
| \lim_{n \to \infty}x_n
| colspan="2" | <math>\lim_{n \to \infty}x_n</math>
|-
| Limite (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \lim_{n \to \infty}x_n \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}x_n \end{matrix}</math>
|-
| Integrale
| \int_{-N}^{N} e^x\, dx
| colspan="2" | <math>\int_{-N}^{N} e^x\, dx</math>
|-
| Integrale (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \int_{-N}^{N} e^x\, dx \end{matrix}
| td colspan="2" | <math>\begin{matrix} \int_{-N}^{N} e^x\, dx \end{matrix}</math>
|-
| Integrale doppio
| \iint_{D}^{W} \, dx\,dy
| colspan="2" | <math>\iint_{D}^{W} \, dx\,dy</math>
|-
| Integrale triplo
| \iiint_{E}^{V} \, dx\,dy\,dz
| colspan="2" | <math>\iiint_{E}^{V} \, dx\,dy\,dz</math>
|-
| Integrale quadruplo
| \iiiint_{F}^{U} \, dx\,dy\,dz\,dt
| colspan="2" | <math>\iiiint_{F}^{U} \, dx\,dy\,dz\,dt</math>
|-
| Integrale curvilineo
| \oint_{C} x^3\, dx + 4y^2\, dy
| colspan="2" | <math>\oint_{C} x^3\, dx + 4y^2\, dy</math>
|-
| Intersezioni
| \bigcap_1^{n} p
| colspan="2" | <math>\bigcap_1^{n} p</math>
|-
| Unioni
| \bigcup_1^{k} p
| colspan="2" | <math>\bigcup_1^{k} p</math>
|}

== Frazioni, matrici, multi-linea ==
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Come appare
|-
| Frazioni
| \frac{2}{4} or {2 \over 4}
| <math>\frac{2}{4}\!</math>
|-
| Coefficienti binomiali
| \binom{n}{k} or {n \choose k}
| <math>{n \choose k}</math>
|-
| rowspan="6" | Matrici
| \begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}
| <math>\begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}\!</math>
|-
| \begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}
| <math>\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}\!</math>
|-
| \begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}
| <math>\begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}\!</math>
|-
| \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 
\ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 
0\end{bmatrix}\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}
| <math>\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}</math>
|-
| \begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}
| <math>\begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}\,\!</math>
|-
| \begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}
| <math>\begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}</math>
|-
| Distinzione di casi
| f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{se }n\mbox{ pari} \\ 3n+1, & \mbox{se }n\mbox{ dispari}
\end{matrix}\right.
| <math>f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{se }n\mbox{ pari} \\ 3n+1, & \mbox{se }n\mbox{ dispari} \end{matrix}\right. </math>
|-
| Equazioni su più righe
| \begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 &= \\ \ &
=& n^2 + 2n + 1 \end{matrix}</td>
| <math>\begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 &= \\ \ & =& n^2 + 2n + 1\end{matrix}</math>
|-
| Equazioni su più righe (alternativa usando le tabelle)
|
<pre>
<nowiki>
{|
|-
|<math>f(n+1)</math>
|<math>=(n+1)^2=</math>
|-
|
|<math>=n^2 + 2n + 1</math>
|}
</nowiki>
</pre>
|
{|
|-
|<math>f(n+1)\!</math>
|<math>=(n+1)^2=\!</math>
|-
|
|<math>=n^2 + 2n + 1\!</math>
|}
|}

== Font ==
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Come appare
|-
| [[:it:alfabeto greco|Lettere greche maiuscole]]
| \Alpha \Beta \Gamma \Delta \Epsilon \Zeta \Eta \Theta \Iota \Kappa \Lambda \Mu \Nu \Xi \Pi \Rho \Sigma \Tau \Upsilon \Phi \Chi \Psi \Omega
| colspan="2" | <math>\Alpha\ \Beta\ \Gamma\ \Delta\ \Epsilon\ \Zeta\ \Eta\ \Theta\ \Iota\ \Kappa\ \Lambda\ \Mu\ \Nu\ \Xi\ \Pi\ \Rho\ \Sigma\ \Tau\ \Upsilon\ \Phi\ \Chi\ \Psi\ \Omega \!</math>
|-
| [[:it:alfabeto greco|Lettere greche minuscole]]
| \alpha \beta \gamma \delta \epsilon \zeta \eta \theta \iota \kappa \lambda \mu \nu \xi \pi \rho \sigma \tau \upsilon \phi \chi \psi \omega
| colspan="2" | <math>\alpha\ \beta\ \gamma\ \delta\ \epsilon\ \zeta\ \eta\ \theta\ \iota\ \kappa\ \lambda\ \mu\ \nu\ \xi\ \pi\ \rho\ \sigma\ \tau\ \upsilon\ \phi\ \chi\ \psi\ \omega \!</math>
|-
| [[:it:alfabeto greco|Altre lettere greche]]
| \varepsilon \digamma \vartheta \varkappa \varpi \varrho \varsigma \varphi
| colspan="2" | <math>\varepsilon\ \digamma\ \vartheta\ \varkappa\ \varpi\ \varrho\ \varsigma\ \varphi \!</math>
|-
| [[:it:Grassetto|Grassetto]] lavagna
| \mathbb{N}\ \mathbb{Z}\ \mathbb{Q}\ \mathbb{R}\ \mathbb{C}
| colspan="2" | <math>\mathbb{N}\ \mathbb{Z}\ \mathbb{Q}\ \mathbb{R}\ \mathbb{C} \!</math>
|-
| [[:it:Grassetto|Grassetto]] (per [[:it:vettore|vettori]])
| \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0
| colspan="2" | <math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0 \!</math>
|-
| [[:it:Grassetto|Grassetto]] per [[:it:Alfabeto greco|lettere greche]]
| \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma}
| colspan="2" | <math>\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma} \!</math>
|-
| [[:it:Corsivo|Corsivo]]
| \mathit{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathit{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| Font [[:it:Roman|Roman]]
| \mathrm{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathrm{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| Font [[:it:Fraktur|Fraktur]]
| \mathfrak{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathfrak{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| Calligrafico
| \mathcal{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathcal{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| [[:it:Alfabeto ebraico|Lettere ebraiche]]
| \aleph \beth \gimel \daleth
| colspan="2" | <math>\aleph\ \beth\ \gimel\ \daleth \!</math>
|-
| Caratteri non [[:it:corsivo|corsivi]]
| \mbox{abc}
| <math>\mbox{abc}</math>
| <math>\mbox{abc}\!</math>
|-
| Misto [[:it:corsivo|corsivo]] (cattivo esempio)
| \mbox{se} n \mbox{pari}
| <math>\mbox{se} n \mbox{pari}</math>
| <math>\mbox{se} n \mbox{pari} \,\!</math>
|-
| Misto [[:it:corsivo|corsivo]] (buon esempio)
| \mbox{se } n \mbox{ pari}
| <math>\mbox{se }n\mbox{ pari}</math>
| <math>\mbox{se }n\mbox{ pari} \,\!</math>
|}

== Le parentesi nelle espressioni estese ==

{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Traduzione
|-
| Da evitare
| ( \frac{1}{2} )
| <math>( \frac{1}{2} )</math>
|-
| Preferibile
| \left( \frac{1}{2} \right)
| <math>\left ( \frac{1}{2} \right )</math>
|}

Si possono usare vari delimitatori con \left e \right:

<table border="1">
<tr>
<th>Caratteristica</th>
<th>Sintassi</th>
<th>Come appare</th>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi tonde</td>
<td>\left ( A \right )</td>
<td><math>\left ( A \right )</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi quadre</td>
<td>\left [ A \right ]</td>
<td><math>\left [ A \right ]</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi graffe</td>
<td>\left \{ A \right \}</td>
<td><math>\left \{ A \right \}</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi angolari</td>
<td>\left \langle A \right \rangle</td>
<td><math>\left \langle A \right \rangle</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Barre semplici e doppie</td>
<td>\left | A \right | and \left \| B \right \|</td>
<td><math>\left | A \right | and \left \| B \right \|</math></td>
</tr>
<tr>
<td>
I delimitatori possono essere combinati, facendoli corrispondere con \left e \right
</td>
<td>
\left [ 0,1 \right ) \left \langle \psi \right |
</td>
<td>
<math>\left [ 0,1 \right )</math> <math>\left \langle \psi \right |</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>Usare \left. and \right. se si vuole omettere un delimitatore:</td>
<td>\left . \frac{A}{B} \right \} \to X</td>
<td><math>\left . \frac{A}{B} \right \} \to X</math></td>
</tr>
</table>

== Spaziatura ==
Si rammenta che TeX tratta la spaziatura in modo per lo più automatico, ma a volte può essere necessario controllarla direttamente.

{|border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" align="center"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Traduzione
|-
| Doppia spaziatura quad
| a \qquad b
| <math>a \qquad b</math>
|-
| Spaziatura quad
| a \quad b
| <math> a \quad b</math>
|-
| Spaziatura del testo
| a\ b
| <math>a\ b</math>
|-
| Spaziatura grande
| a\;b
| <math>a\;b</math>
|-
| Spaziatura media
| a\>b
| [non supportata]
|-
| Spaziatura piccola
| a\,b
| <math>a\,b</math>
|-
| Nessuna spaziatura
| ab
| <math>ab\,</math>
|-
| Spaziatura negativa
| a\!b
| <math>a\!b</math>
|}

== Allineamento col testo normale ==
Di default nello stile [[:it:CSS|CSS]] abbiamo:

<pre>img.tex { vertical-align: middle; }</pre>

per questo un'espressione come <math>\int_{-N}^{N} e^x\, dx</math> appare così.

Se dovete assolutamente allineare in altro modo usate <tt><nowiki><div style="vertical-align:-100%;display:inline;"><math>...</math></div></nowiki></tt> e giocate con il valore di <tt>vertical-align</tt> finchè non raggiungete il risultato desiderato. Comunque molto spesso il rendering cambia da browser a browser, non preoccupatevi se a casa vostra vedete una cosa e dal vostro amico un'altra.

== Forzare il rendering PNG ==
Se necessario, è possibile forzare che una formula venga resa in PNG, senza influenzare l'aspetto della formula, aggiungendo \,\! (spazio ridotto e spazio negativo, che si elidono) ovunque all'interno del tag math (possibilmente al termine).

Ciò potrebbe essere utile per mantenere il rendering delle formule uniforme, per esempio, o per correggere una formula che viene resa in modo sbagliato con l'HTML (x derivato, oppure a^{2+2}), o per dimostrare come viene reso qualcosa normalmente visualizzato come HTML (come nell'esempio precedente). Per esempio:

{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;"
|-
! Sintassi
! Come appare
|-
| a^{2+2}
| <math>a^{2+2}</math>
|-
| a^{2+2} \,\!
| <math>a^{2+2} \,\!</math>
|-
| \int_{-N}^{N} e^x\, dx
| <math> \int_{-N}^{N} e^x\, dx </math>
|-
| \int_{-N}^{N} e^x\, dx \,\!
| <math> \int_{-N}^{N} e^x\, dx \,\! </math>
|}

È stato testato con la maggior parte delle formule di questa pagina, e sembra funzionare perfettamente.

Sarebbe opportuno inserire un commento nel codice HTML per evitare che qualcuno "corregga" la formula rimuovendolo:

:''<nowiki></nowiki>''

È possibile come ulteriore opzione aggiungere ''\emph'' prima di ogni formula all'interno del tag <nowiki><math></nowiki> per avere il rendering in PNG (ad esempio <math>Iz = Icm + MR^{2}</math> diventa <math>\emph Iz = Icm + MR^{2}</math>) .

== Esempi ==

<center>
=== Polinomio di secondo grado ===
<math>ax^2 + bx + c = 0</math>

<nowiki><math>ax^2 + bx + c = 0</math></nowiki>

=== Polinomio di secondo grado (forzato in PNG)===
<math>ax^2 + bx + c = 0\,</math>

<nowiki><math>ax^2 + bx + c = 0\,</math></nowiki>

=== Soluzioni di un'equazione di secondo grado ===
<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

<nowiki><math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></nowiki>

=== Parentesi e frazioni ===
<math>2 = \left( \frac{\left(3-x\right) \times 2}{3-x} \right)</math>

<nowiki><math>2 = \left( \frac{\left(3-x\right) \times 2}{3-x} \right)</math></nowiki>

=== Integrali ===
<math>\int_a^x \int_a^s f(y)\,dy\,ds = \int_a^x f(y)(x-y)\,dy</math>

<nowiki><math>\int_a^x \int_a^s f(y)\,dy\,ds = \int_a^x f(y)(x-y)\,dy</math></nowiki>

=== Sommatorie ===
<math>\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{m^2\,n}{3^m\left(m\,3^n+n\,3^m\right)}</math>

<nowiki><math>\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{m^2\,n}</nowiki>
<nowiki>{3^m\left(m\,3^n+n\,3^m\right)}</math></nowiki>

=== Equazioni differenziali ===
<math>u'' + p(x)u' + q(x)u=f(x),\quad x>a</math>

<nowiki><math>u'' + p(x)u' + q(x)u=f(x),\quad x>a</math></nowiki>

=== Numeri complessi ===
<math>|\bar{z}| = |z|, |(\bar{z})^n| = |z|^n, \arg(z^n) = n \arg(z)\,</math>

<nowiki><math>|\bar{z}| = |z|, |(\bar{z})^n| = |z|^n, \arg(z^n) = n \arg(z)\,</math></nowiki>

=== Limiti ===
<math>\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=f(z_0)\,</math>

<nowiki><math>\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=f(z_0)\,</math></nowiki>

=== Equazioni integrali ===
<math>\phi_n(\kappa) = \frac{1}{4\pi^2\kappa^2} \int_0^\infty \frac{\sin(\kappa R)}{\kappa R} \frac{\partial}{\partial R}\left[R^2\frac{\partial D_n(R)}{\partial R}\right]\,dR</math>

<nowiki><math>\phi_n(\kappa) = \frac{1}{4\pi^2\kappa^2} \int_0^\infty</nowiki>
<nowiki>\frac{\sin(\kappa R)}{\kappa R} \frac{\partial}{\partial R}\left[R^2\frac{\partial</nowiki>
<nowiki>D_n(R)}{\partial R}\right]\,dR</math></nowiki>

=== Esempio generico ===
<math>\phi_n(\kappa) = 0.033C_n^2\kappa^{-11/3},\quad \frac{1}{L_0}\ll\kappa\ll\frac{1}{l_0}\,</math>

<nowiki><math>\phi_n(\kappa) = </nowiki>
<nowiki>0.033C_n^2\kappa^{-11/3},\quad \frac{1}{L_0}\ll\kappa\ll\frac{1}{l_0}\,</math></nowiki>

=== Funzioni definite a ''pezzi'' ===
<math>f(x) = \begin{cases}1 & -1 \le x < 0\\
\frac{1}{2} & x = 0\\x&0<x\le 1\end{cases}</math>

<nowiki>f(x) = \begin{cases}1 & -1 \le x < 0\\</nowiki>
<nowiki>\frac{1}{2} & x = 0\\x&0<x\le 1\end{cases}</nowiki>

=== Pedice prescritta ===
<math>{}_pF_q(a_1,...,a_p;c_1,...,c_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdot\cdot\cdot(a_p)_n}{(c_1)_n\cdot\cdot\cdot(c_q)_n}\frac{z^n}{n!}\,</math>

<nowiki> <math>{}_pF_q(a_1,...,a_p;c_1,...,c_q;z) = \sum_{n=0}^\infty</nowiki>
<nowiki>\frac{(a_1)_n\cdot\cdot\cdot(a_p)_n}{(c_1)_n\cdot\cdot\cdot(c_q)_n}\frac{z^n}{n!}\,</math></nowiki>

</center>

== Voci correlate ==
* Proposta [http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:GNU_LilyPond_support en.wiki:GNU LilyPond support]
* [[:it:Aiuto:Prontuario TeX|Prontuario TeX]] su Wikipedia.
* [[Aiuto:Prontuario TeX|Prontuario TeX]] su WikiDsy.

== Collegamenti esterni ==

* Un tutorial di [[:it:LaTeX|LaTeX]]: http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/LaTeXPrimer/
* Un documento [[:it:Portable Document Format|PDF]] di introduzione a TeX -- cfr. pagina 39 e seguenti per una buona introduzione al lato matematico del contenuto: http://www.ctan.org/tex-archive/info/gentle/gentle.pdf
* Un documento [[:it:Portable Document Format|PDF]] di introduzione a TeX -- cfr. pagina 59 per la sezione di matematica. Cfr. pagina 72 per una lista completa di simboli inclusi in LaTeX e AMS-LaTeX. http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/english/lshort.pdf
* Varie estensioni di LaTeX: http://www.ams.org/tex/amslatex.html
* Un insieme di simboli matematici in formato bitmap di pubblico dominio: http://us.metamath.org/symbols/symbols.html
* TeX Wizard: http://de.geocities.com/richyfourtythree/texwizard.html
* [[:it:MathML|MathML]] - Un prodotto del gruppo di lavoro di matematica della [[:it:W3C|W3C]], sono specifiche a basso livello per descrivere enti matematici nella comunicazione tra elaboratori. http://www.w3.org/Math/

[[Categoria:Aiuto|Formule matematiche TeX]]
[[en:TeX]]
[[it:Aiuto:Formule matematiche TeX]]

Aiuto:Formule matematiche TeX

2012-10-02T20:24:56Z

Walter:

'''Questa pagina è la traduzione della pagina inglese [[:meta:Help:Formula]] tratta da [[:it:Aiuto:Formule matematiche TeX|Wikipedia]].
Verrà aggiornata di tanto in tanto, ma la pagina inglese resta la guida di riferimento ufficiale.'''

Da febbraio 2006 è stato aggiunta la possibilità di usare su WikiDsy dei comandi [[:it:TeX|TeX]] per formule matematiche. Tali stringhe nel caso di espressioni semplici generano del semplice markup [[:it:HTML|HTML]], nel caso di espressioni elaborate generano immagini [[:it:PNG|PNG]] di maggiore evidenza che si differenziano dalle parti verbali. Se si vuole dare evidenza anche ad espressioni semplici, basta renderle elaborate aggiungendo richieste di spaziatura (v.o.). Nel futuro, col miglioramento dei browser, si apriranno possibilità di generare markup HTML (o [[:it:XHTML|XHTML]]) più sofisticato e di richiedere anche inserti [[:it:MathML|MathML]] (e di controllare grafici con richieste in [[:it:SVG|SVG]]).

'''Ogni markup matematico deve rientrare all'interno dei due tag <nowiki><math> ... </math></nowiki>.''' Le interruzioni fisiche di linea all'interno di questi tag non vengono tradotte. Si possono invece richiedere interruzioni di linea e altri posizionamenti con richieste apposite (ad esempio, un'interruzione di linea dopo ogni termine o riga di una matrice).

Per problemi con gli stili che riguardino la composizione di contenuto matematico si guardi: [[:en:Wikipedia:WikiProject_Mathematics|WikiProject Mathematics]] (''in inglese''). In particolare, si prega di evitare l'uso di formule in una riga di testo normale dato che le formule non hanno un allineamento coerente con il resto e il loro font ha una misura superiore.

<math>a^x</math>

== MediaWiki e TeX ==

[[:it:MediaWiki|MediaWiki]] usa un sottoinsieme dei markup di '''[[:it:TeX|TeX]]''' (incluse qualche estensione di [[:it:LaTeX|LaTeX]] e [[:it:AMSLaTeX|AMSLaTeX]]) per la formattazione di formule matematiche. Può essere generata un'immagine [[:it:PNG|PNG]] oppure una semplice stringa di [[:it:HTML|HTML]]. Quello che viene mostrato all'utente dipende dalle sue preferenze e dalla complessità dell'espressione. In futuro, come molti browser sono già in grado di fare, sarà possibile sfruttare, oltre all'HTML il linguaggio di markup [[:it:MathML|MathML]].

Più precisamente [[:it:MediaWiki|MediaWiki]] filtra il markup attraverso [[:it:Texvc|Texvc]], che converte i comandi in '''[[:it:TeX|TeX]]''' per poi darli in pasto al motore di [[:it:rendering|rendering]], così che solo una piccola parte del linguaggio '''[[:it:TeX|TeX]]''' è supportata. Per maggiori dettagli vedi di seguito.

== Sintassi ==

I comandi di TeX vanno racchiusi nei markup <code><nowiki><math> ... </math></nowiki></code>. La barra degli strumenti per la modifica contiene un pulsante apposito per questa operazione, vedi [[m:Help:Edit_toolbar|Modificare la barra degli strumenti]].

'''[[:it:TeX|TeX]]''' tratta gli spazi bianchi e i ritorno-a-capo in modo molto simile all'[[:it:HTML|HTML]], cioè vengono ignorati, ma vedremo in seguito come aggirare questo problema (anche se non si tratta di un vero e proprio problema).

== Funzioni, simboli, caratteri speciali ==

{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Come appare
|-
| Accenti
| \acute{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \check{a} \quad \tilde{a}
| <math>\acute{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \check{a} \quad \tilde{a}\!</math>
|-
| Funzioni elementari (metodo corretto)
| \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z 
\sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f 
\sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j 
\arcsin k \ \arccos l \ \arctan m 
\lim n \ \limsup o \ \liminf p 
\min q \ \max r \ \inf s \ \sup t 
\exp u \ \lg v \ \log w 
\ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x
| <math>\sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z</math> 
<math>\sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f\!</math> 
<math>\sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j\!</math> 
<math>\arcsin k \ \arccos l \ \arctan m\!</math> 
<math>\lim n \ \limsup o \ \liminf p\!</math> 
<math>\min q \ \max r \ \inf s \ \sup t\!</math> 
<math>\exp u \ \lg v \ \log w\!</math> 
<math>\ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x\!</math>
|-
| Funzioni elementari (metodo non corretto)
| sin x + ln y + sgn z
| <math>sin x + ln y + sgn z\,\!</math>
|-
| Aritmetica dell'orologio
| s_k \equiv 0 \pmod{m} 
a \bmod b
| <math>s_k \equiv 0 \pmod{m}\!</math> 
<math>a \bmod b\,\!</math>
|-
| Derivate
| \nabla \; \partial x \; dx \; \dot x \; \ddot y
| <math>\nabla \; \partial x \; dx \; \dot x \; \ddot y\!</math>
|-
| rowspan="2" | Insiemi
| \forall \; \exists \; \empty \; \emptyset \; \varnothing \in \ni \not\in \notin 
\subset \subseteq \supset \supseteq \cap \bigcap \cup \bigcup \biguplus
| <math>\forall \; \exists \; \empty \; \emptyset \; \varnothing \in \ni \not\in \notin\!</math> 
<math>\subset \subseteq \supset \supseteq \cap \bigcap \cup \bigcup \biguplus\!</math>
|-
| \sqsubset \sqsubseteq \sqsupset \sqsupseteq \sqcap \sqcup \bigsqcup
| <math>\sqsubset \sqsubseteq \sqsupset \sqsupseteq \sqcap \sqcup \bigsqcup\!</math>
|-
| Logica
| p \land \wedge \; \bigwedge \; \bar{q} \to p \; \lor \vee \; \bigvee \; \lnot \; \neg q \; \setminus \; \smallsetminus
| <math>p \land \wedge \; \bigwedge \; \bar{q} \to p \lor \vee \; \bigvee \; \lnot \; \neg q \; \setminus \; \smallsetminus\!</math>
|-
| rowspan="2" | Radicali
| \sqrt{2}\approx 1.4
| <math>\sqrt{2}\approx 1.4\!</math>
|-
| \sqrt[n]{x}
| <math>\sqrt[n]{x}\!</math>
|-
| Simboli relazionali
| \sim \; \approx \; \simeq \; \cong \; \le \; < \; \ll \; \gg \; \ge \; > \; \equiv \; \not\equiv \; \ne \; \propto \; \pm \; \mp
| <math>\sim \; \approx \; \simeq \; \cong \; \le \; < \; \ll \; \gg \; \ge \; > \; \equiv \; \not\equiv \; \ne \; \propto \; \pm \; \mp\!</math>
|-
| Simboli geometrici
| \Diamond \; \Box \; \triangle \; \angle \; \perp \; \mid \; \nmid \; <nowiki>\|</nowiki> \; 45^\circ
| <math>\Diamond \; \Box \; \triangle \; \angle \; \perp \; \mid \; \nmid \; \| \; 45^\circ\!</math>
|-
| rowspan="3" | Frecce
| \leftarrow \; \gets \; \rightarrow \; \to \; \leftrightarrow 
\longleftarrow \; \longrightarrow 
\mapsto \; \longmapsto \; \hookrightarrow \; \hookleftarrow 
\nearrow \; \searrow \; \swarrow \; \nwarrow 
\uparrow \; \downarrow \; \updownarrow
| <math>\leftarrow \; \gets \; \rightarrow \; \to \; \leftrightarrow\!</math> 
<math>\longleftarrow \; \longrightarrow\!</math> 
<math>\mapsto \; \longmapsto \; \hookrightarrow \; \hookleftarrow\!</math> 
<math>\nearrow \; \searrow \; \swarrow \; \nwarrow\!</math> 
<math>\uparrow \; \downarrow \; \updownarrow\!</math>
|-
| \rightharpoonup \; \rightharpoondown \; \leftharpoonup \; \leftharpoondown \; \upharpoonleft \; \upharpoonright \; \downharpoonleft \; \downharpoonright
| <math>\rightharpoonup \; \rightharpoondown \; \leftharpoonup \; \leftharpoondown \; \upharpoonleft \; \upharpoonright \; \downharpoonleft \; \downharpoonright\!</math>
|-
| \Leftarrow \; \Rightarrow \; \Leftrightarrow 
\Longleftarrow \; \Longrightarrow \; \Longleftrightarrow (or \iff) 
\Uparrow \; \Downarrow \; \Updownarrow
| <math>\Leftarrow \; \Rightarrow \; \Leftrightarrow\!</math> 
<math>\Longleftarrow \; \Longrightarrow \; \Longleftrightarrow (or \iff)\!</math> 
<math>\Uparrow \; \Downarrow \; \Updownarrow\!</math>
|-
| Simboli speciali
| \eth \; \S \; \P \; \% \; \dagger \; \ddagger \; \star \; * \; \ldots 
\smile \frown \wr \oplus \bigoplus \otimes \bigotimes 
\times \cdot \circ \bullet \bigodot \triangleleft \triangleright \infty \bot \top \vdash \vDash \Vdash \models \lVert \rVert 
\imath \; \hbar \; \ell \; \mho \; \Finv \; \Re \; \Im \; \wp \; \complement \quad \diamondsuit \; \heartsuit \; \clubsuit \; \spadesuit \; \Game \quad \flat \; \natural \; \sharp
| <math>\eth \; \S \; \P \; \% \; \dagger \; \ddagger \; \star \; * \; \ldots\!</math> 
<math>\smile \frown \wr \oplus \bigoplus \otimes \bigotimes\!</math> 
<math>\times \cdot \circ \bullet \bigodot \triangleleft \triangleright \infty \bot \top \vdash \vDash \Vdash \models \lVert \rVert\!</math> 
<math>\imath \; \hbar \; \ell \; \mho \; \Finv \; \Re \; \Im \; \wp \; \complement \quad \diamondsuit \; \heartsuit \; \clubsuit \; \spadesuit \; \Game \quad \flat \; \natural \; \sharp\!</math>
|-
| Le lettere minuscole con \mathcal consentono caratteri extra
| \mathcal {45abcdenpqs}
| <math>\mathcal {45abcdenpqs}\!</math>
|}

== Apici, pedici, integrali ==
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! colspan="2" | Come appare
|-
!  
!  
! HTML
! PNG
|-
| Apice
| a^2
| <math>a^2</math>
| <math>a^2 \!</math>
|-
| Pedice
| a_2
| <math> a_2 </math>
| <math> a_2 \!</math>
|-
| rowspan="2" | Raggruppamento
| a^{2+2}
| <math>a^{2+2}</math>
| <math>a^{2+2} \!</math>
|-
| a_{i,j}</td>
| <math>a_{i,j}</math>
| <math>a_{i,j} \!</math>
|-
| Combinazione di apici e pedici
| x_2^3
| <math>x_2^3</math>
| <math>x_2^3 \!</math>
|-
| Derivate (forzato in PNG)
| x', y'', f', f''
|  
| <math>x', y'', f', f'' \!</math>
|-
| Derivate (il corsivo sovrappone gli apici)
| x', y'', f', f''
| <math>x', y'', f', f''</math>
| <math>x', y'', f', f'' \!</math>
|-
| Derivate (errato in HTML)</td>
| x^\prime, y^{\prime\prime}
| <math>x^\prime, y^{\prime\prime}</math>
| <math>x^\prime, y^{\prime\prime} \!</math>
|-
| Derivate (errato in PNG)</td>
| x\prime, y{\prime\prime}
| <math>x\prime, y{\prime\prime}</math>
| <math>x\prime, y{\prime\prime} \!</math>
|-
| Sottolineato, sopralineato, vettori
| \hat a \ \bar b \ \vec c \ \overrightarrow{a b} \ \overleftarrow{c d} \ \widehat{d e f} \ \overline{g h i} \ \underline{j k l}
| colspan="2" | <math>\hat a \ \bar b \ \vec c \ \overrightarrow{a b} \ \overleftarrow{c d} \ \widehat{d e f} \ \overline{g h i} \ \underline{j k l}\!</math>
|-
| Parentesi sopra
| \begin{matrix} 5050 \\ \overbrace{ 1+2+\cdots+100 } \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} 5050 \\ \overbrace{ 1+2+\cdots+100 } \end{matrix} \!</math>
|-
| Parentesi sotto
| \begin{matrix} \underbrace{ a+b+\cdots+z } \\ 26 \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \underbrace{ a+b+\cdots+z } \\ 26 \end{matrix} \!</math>
|-
| Sommatoria
| \sum_{k=1}^N k^2
| colspan="2" | <math>\sum_{k=1}^N k^2</math></td>
|-
| Sommatoria (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \sum_{k=1}^N k^2 \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \sum_{k=1}^N k^2 \end{matrix}</math></td>
|-
| Produttoria
| \prod_{i=1}^N x_i
| colspan="2" | <math>\prod_{i=1}^N x_i</math>
|-
| Produttoria (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \prod_{i=1}^N x_i \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \prod_{i=1}^N x_i \end{matrix}</math>
|-
| Coproduttoria
| \coprod_{i=1}^N x_i</td>
| colspan="2" | <math>\coprod_{i=1}^N x_i</math>
|-
| Coproduttoria (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \coprod_{i=1}^N x_i \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \coprod_{i=1}^N x_i \end{matrix}</math>
|-
| Limite
| \lim_{n \to \infty}x_n
| colspan="2" | <math>\lim_{n \to \infty}x_n</math>
|-
| Limite (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \lim_{n \to \infty}x_n \end{matrix}
| colspan="2" | <math>\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}x_n \end{matrix}</math>
|-
| Integrale
| \int_{-N}^{N} e^x\, dx
| colspan="2" | <math>\int_{-N}^{N} e^x\, dx</math>
|-
| Integrale (forzando il <tt>\textstyle</tt>)
| \begin{matrix} \int_{-N}^{N} e^x\, dx \end{matrix}
| td colspan="2" | <math>\begin{matrix} \int_{-N}^{N} e^x\, dx \end{matrix}</math>
|-
| Integrale doppio
| \iint_{D}^{W} \, dx\,dy
| colspan="2" | <math>\iint_{D}^{W} \, dx\,dy</math>
|-
| Integrale triplo
| \iiint_{E}^{V} \, dx\,dy\,dz
| colspan="2" | <math>\iiint_{E}^{V} \, dx\,dy\,dz</math>
|-
| Integrale quadruplo
| \iiiint_{F}^{U} \, dx\,dy\,dz\,dt
| colspan="2" | <math>\iiiint_{F}^{U} \, dx\,dy\,dz\,dt</math>
|-
| Integrale curvilineo
| \oint_{C} x^3\, dx + 4y^2\, dy
| colspan="2" | <math>\oint_{C} x^3\, dx + 4y^2\, dy</math>
|-
| Intersezioni
| \bigcap_1^{n} p
| colspan="2" | <math>\bigcap_1^{n} p</math>
|-
| Unioni
| \bigcup_1^{k} p
| colspan="2" | <math>\bigcup_1^{k} p</math>
|}

== Frazioni, matrici, multi-linea ==
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Come appare
|-
| Frazioni
| \frac{2}{4} or {2 \over 4}
| <math>\frac{2}{4}\!</math>
|-
| Coefficienti binomiali
| \binom{n}{k} or {n \choose k}
| <math>{n \choose k}</math>
|-
| rowspan="6" | Matrici
| \begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}
| <math>\begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}\!</math>
|-
| \begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}
| <math>\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}\!</math>
|-
| \begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}
| <math>\begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}\!</math>
|-
| \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 
\ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 
0\end{bmatrix}\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}
| <math>\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}</math>
|-
| \begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}
| <math>\begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}\,\!</math>
|-
| \begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}
| <math>\begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}</math>
|-
| Distinzione di casi
| f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{se }n\mbox{ pari} \\ 3n+1, & \mbox{se }n\mbox{ dispari}
\end{matrix}\right.
| <math>f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{se }n\mbox{ pari} \\ 3n+1, & \mbox{se }n\mbox{ dispari} \end{matrix}\right. </math>
|-
| Equazioni su più righe
| \begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 &= \\ \ &
=& n^2 + 2n + 1 \end{matrix}</td>
| <math>\begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 &= \\ \ & =& n^2 + 2n + 1\end{matrix}</math>
|-
| Equazioni su più righe (alternativa usando le tabelle)
|
<pre>
<nowiki>
{|
|-
|<math>f(n+1)</math>
|<math>=(n+1)^2=</math>
|-
|
|<math>=n^2 + 2n + 1</math>
|}
</nowiki>
</pre>
|
{|
|-
|<math>f(n+1)\!</math>
|<math>=(n+1)^2=\!</math>
|-
|
|<math>=n^2 + 2n + 1\!</math>
|}
|}

== Font ==
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" width="100%"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Come appare
|-
| [[:it:alfabeto greco|Lettere greche maiuscole]]
| \Alpha \Beta \Gamma \Delta \Epsilon \Zeta \Eta \Theta \Iota \Kappa \Lambda \Mu \Nu \Xi \Pi \Rho \Sigma \Tau \Upsilon \Phi \Chi \Psi \Omega
| colspan="2" | <math>\Alpha\ \Beta\ \Gamma\ \Delta\ \Epsilon\ \Zeta\ \Eta\ \Theta\ \Iota\ \Kappa\ \Lambda\ \Mu\ \Nu\ \Xi\ \Pi\ \Rho\ \Sigma\ \Tau\ \Upsilon\ \Phi\ \Chi\ \Psi\ \Omega \!</math>
|-
| [[:it:alfabeto greco|Lettere greche minuscole]]
| \alpha \beta \gamma \delta \epsilon \zeta \eta \theta \iota \kappa \lambda \mu \nu \xi \pi \rho \sigma \tau \upsilon \phi \chi \psi \omega
| colspan="2" | <math>\alpha\ \beta\ \gamma\ \delta\ \epsilon\ \zeta\ \eta\ \theta\ \iota\ \kappa\ \lambda\ \mu\ \nu\ \xi\ \pi\ \rho\ \sigma\ \tau\ \upsilon\ \phi\ \chi\ \psi\ \omega \!</math>
|-
| [[:it:alfabeto greco|Altre lettere greche]]
| \varepsilon \digamma \vartheta \varkappa \varpi \varrho \varsigma \varphi
| colspan="2" | <math>\varepsilon\ \digamma\ \vartheta\ \varkappa\ \varpi\ \varrho\ \varsigma\ \varphi \!</math>
|-
| [[:it:Grassetto|Grassetto]] lavagna
| \mathbb{N}\ \mathbb{Z}\ \mathbb{Q}\ \mathbb{R}\ \mathbb{C}
| colspan="2" | <math>\mathbb{N}\ \mathbb{Z}\ \mathbb{Q}\ \mathbb{R}\ \mathbb{C} \!</math>
|-
| [[:it:Grassetto|Grassetto]] (per [[:it:vettore|vettori]])
| \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0
| colspan="2" | <math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0 \!</math>
|-
| [[:it:Grassetto|Grassetto]] per [[:it:Alfabeto greco|lettere greche]]
| \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma}
| colspan="2" | <math>\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma} \!</math>
|-
| [[:it:Corsivo|Corsivo]]
| \mathit{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathit{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| Font [[:it:Roman|Roman]]
| \mathrm{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathrm{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| Font [[:it:Fraktur|Fraktur]]
| \mathfrak{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathfrak{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| Calligrafico
| \mathcal{ABCDE abcde 1234}
| colspan="2" | <math>\mathcal{ABCDE abcde 1234} \!</math>
|-
| [[:it:Alfabeto ebraico|Lettere ebraiche]]
| \aleph \beth \gimel \daleth
| colspan="2" | <math>\aleph\ \beth\ \gimel\ \daleth \!</math>
|-
| Caratteri non [[:it:corsivo|corsivi]]
| \mbox{abc}
| <math>\mbox{abc}</math>
| <math>\mbox{abc}\!</math>
|-
| Misto [[:it:corsivo|corsivo]] (cattivo esempio)
| \mbox{se} n \mbox{pari}
| <math>\mbox{se} n \mbox{pari}</math>
| <math>\mbox{se} n \mbox{pari} \,\!</math>
|-
| Misto [[:it:corsivo|corsivo]] (buon esempio)
| \mbox{se } n \mbox{ pari}
| <math>\mbox{se }n\mbox{ pari}</math>
| <math>\mbox{se }n\mbox{ pari} \,\!</math>
|}

== Le parentesi nelle espressioni estese ==

{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Traduzione
|-
| Da evitare
| ( \frac{1}{2} )
| <math>( \frac{1}{2} )</math>
|-
| Preferibile
| \left( \frac{1}{2} \right)
| <math>\left ( \frac{1}{2} \right )</math>
|}

Si possono usare vari delimitatori con \left e \right:

<table border="1">
<tr>
<th>Caratteristica</th>
<th>Sintassi</th>
<th>Come appare</th>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi tonde</td>
<td>\left ( A \right )</td>
<td><math>\left ( A \right )</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi quadre</td>
<td>\left [ A \right ]</td>
<td><math>\left [ A \right ]</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi graffe</td>
<td>\left \{ A \right \}</td>
<td><math>\left \{ A \right \}</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Parentesi angolari</td>
<td>\left \langle A \right \rangle</td>
<td><math>\left \langle A \right \rangle</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Barre semplici e doppie</td>
<td>\left | A \right | and \left \| B \right \|</td>
<td><math>\left | A \right | and \left \| B \right \|</math></td>
</tr>
<tr>
<td>
I delimitatori possono essere combinati, facendoli corrispondere con \left e \right
</td>
<td>
\left [ 0,1 \right ) \left \langle \psi \right |
</td>
<td>
<math>\left [ 0,1 \right )</math> <math>\left \langle \psi \right |</math>
</td>
</tr>
<tr>
<td>Usare \left. and \right. se si vuole omettere un delimitatore:</td>
<td>\left . \frac{A}{B} \right \} \to X</td>
<td><math>\left . \frac{A}{B} \right \} \to X</math></td>
</tr>
</table>

== Spaziatura ==
Si rammenta che TeX tratta la spaziatura in modo per lo più automatico, ma a volte può essere necessario controllarla direttamente.

{|border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" align="center"
|-
! Caratteristica
! Sintassi
! Traduzione
|-
| Doppia spaziatura quad
| a \qquad b
| <math>a \qquad b</math>
|-
| Spaziatura quad
| a \quad b
| <math> a \quad b</math>
|-
| Spaziatura del testo
| a\ b
| <math>a\ b</math>
|-
| Spaziatura grande
| a\;b
| <math>a\;b</math>
|-
| Spaziatura media
| a\>b
| [non supportata]
|-
| Spaziatura piccola
| a\,b
| <math>a\,b</math>
|-
| Nessuna spaziatura
| ab
| <math>ab\,</math>
|-
| Spaziatura negativa
| a\!b
| <math>a\!b</math>
|}

== Allineamento col testo normale ==
Di default nello stile [[:it:CSS|CSS]] abbiamo:

<pre>img.tex { vertical-align: middle; }</pre>

per questo un'espressione come <math>\int_{-N}^{N} e^x\, dx</math> appare così.

Se dovete assolutamente allineare in altro modo usate <tt><nowiki><div style="vertical-align:-100%;display:inline;"><math>...</math></div></nowiki></tt> e giocate con il valore di <tt>vertical-align</tt> finchè non raggiungete il risultato desiderato. Comunque molto spesso il rendering cambia da browser a browser, non preoccupatevi se a casa vostra vedete una cosa e dal vostro amico un'altra.

== Forzare il rendering PNG ==
Se necessario, è possibile forzare che una formula venga resa in PNG, senza influenzare l'aspetto della formula, aggiungendo \,\! (spazio ridotto e spazio negativo, che si elidono) ovunque all'interno del tag math (possibilmente al termine).

Ciò potrebbe essere utile per mantenere il rendering delle formule uniforme, per esempio, o per correggere una formula che viene resa in modo sbagliato con l'HTML (x derivato, oppure a^{2+2}), o per dimostrare come viene reso qualcosa normalmente visualizzato come HTML (come nell'esempio precedente). Per esempio:

{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #fff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;"
|-
! Sintassi
! Come appare
|-
| a^{2+2}
| <math>a^{2+2}</math>
|-
| a^{2+2} \,\!
| <math>a^{2+2} \,\!</math>
|-
| \int_{-N}^{N} e^x\, dx
| <math> \int_{-N}^{N} e^x\, dx </math>
|-
| \int_{-N}^{N} e^x\, dx \,\!
| <math> \int_{-N}^{N} e^x\, dx \,\! </math>
|}

È stato testato con la maggior parte delle formule di questa pagina, e sembra funzionare perfettamente.

Sarebbe opportuno inserire un commento nel codice HTML per evitare che qualcuno "corregga" la formula rimuovendolo:

:''<nowiki></nowiki>''

È possibile come ulteriore opzione aggiungere ''\emph'' prima di ogni formula all'interno del tag <nowiki><math></nowiki> per avere il rendering in PNG (ad esempio <math>Iz = Icm + MR^{2}</math> diventa <math>\emph Iz = Icm + MR^{2}</math>) .

== Esempi ==

<center>
=== Polinomio di secondo grado ===
<math>ax^2 + bx + c = 0</math>

<nowiki><math>ax^2 + bx + c = 0</math></nowiki>

=== Polinomio di secondo grado (forzato in PNG)===
<math>ax^2 + bx + c = 0\,</math>

<nowiki><math>ax^2 + bx + c = 0\,</math></nowiki>

=== Soluzioni di un'equazione di secondo grado ===
<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

<nowiki><math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></nowiki>

=== Parentesi e frazioni ===
<math>2 = \left( \frac{\left(3-x\right) \times 2}{3-x} \right)</math>

<nowiki><math>2 = \left( \frac{\left(3-x\right) \times 2}{3-x} \right)</math></nowiki>

=== Integrali ===
<math>\int_a^x \int_a^s f(y)\,dy\,ds = \int_a^x f(y)(x-y)\,dy</math>

<nowiki><math>\int_a^x \int_a^s f(y)\,dy\,ds = \int_a^x f(y)(x-y)\,dy</math></nowiki>

=== Sommatorie ===
<math>\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{m^2\,n}{3^m\left(m\,3^n+n\,3^m\right)}</math>

<nowiki><math>\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{m^2\,n}</nowiki>
<nowiki>{3^m\left(m\,3^n+n\,3^m\right)}</math></nowiki>

=== Equazioni differenziali ===
<math>u'' + p(x)u' + q(x)u=f(x),\quad x>a</math>

<nowiki><math>u'' + p(x)u' + q(x)u=f(x),\quad x>a</math></nowiki>

=== Numeri complessi ===
<math>|\bar{z}| = |z|, |(\bar{z})^n| = |z|^n, \arg(z^n) = n \arg(z)\,</math>

<nowiki><math>|\bar{z}| = |z|, |(\bar{z})^n| = |z|^n, \arg(z^n) = n \arg(z)\,</math></nowiki>

=== Limiti ===
<math>\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=f(z_0)\,</math>

<nowiki><math>\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=f(z_0)\,</math></nowiki>

=== Equazioni integrali ===
<math>\phi_n(\kappa) = \frac{1}{4\pi^2\kappa^2} \int_0^\infty \frac{\sin(\kappa R)}{\kappa R} \frac{\partial}{\partial R}\left[R^2\frac{\partial D_n(R)}{\partial R}\right]\,dR</math>

<nowiki><math>\phi_n(\kappa) = \frac{1}{4\pi^2\kappa^2} \int_0^\infty</nowiki>
<nowiki>\frac{\sin(\kappa R)}{\kappa R} \frac{\partial}{\partial R}\left[R^2\frac{\partial</nowiki>
<nowiki>D_n(R)}{\partial R}\right]\,dR</math></nowiki>

=== Esempio generico ===
<math>\phi_n(\kappa) = 0.033C_n^2\kappa^{-11/3},\quad \frac{1}{L_0}\ll\kappa\ll\frac{1}{l_0}\,</math>

<nowiki><math>\phi_n(\kappa) = </nowiki>
<nowiki>0.033C_n^2\kappa^{-11/3},\quad \frac{1}{L_0}\ll\kappa\ll\frac{1}{l_0}\,</math></nowiki>

=== Funzioni definite a ''pezzi'' ===
<math>f(x) = \begin{cases}1 & -1 \le x < 0\\
\frac{1}{2} & x = 0\\x&0<x\le 1\end{cases}</math>

<nowiki>f(x) = \begin{cases}1 & -1 \le x < 0\\</nowiki>
<nowiki>\frac{1}{2} & x = 0\\x&0<x\le 1\end{cases}</nowiki>

=== Pedice prescritta ===
<math>{}_pF_q(a_1,...,a_p;c_1,...,c_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdot\cdot\cdot(a_p)_n}{(c_1)_n\cdot\cdot\cdot(c_q)_n}\frac{z^n}{n!}\,</math>

<nowiki> <math>{}_pF_q(a_1,...,a_p;c_1,...,c_q;z) = \sum_{n=0}^\infty</nowiki>
<nowiki>\frac{(a_1)_n\cdot\cdot\cdot(a_p)_n}{(c_1)_n\cdot\cdot\cdot(c_q)_n}\frac{z^n}{n!}\,</math></nowiki>

</center>

== Voci correlate ==
* Proposta [http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:GNU_LilyPond_support en.wiki:GNU LilyPond support]
* [[:it:Aiuto:Prontuario TeX|Prontuario TeX]] su Wikipedia.
* [[Aiuto:Prontuario TeX|Prontuario TeX]] su WikiDsy.

== Collegamenti esterni ==

* Un tutorial di [[:it:LaTeX|LaTeX]]: http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/LaTeXPrimer/
* Un documento [[:it:Portable Document Format|PDF]] di introduzione a TeX -- cfr. pagina 39 e seguenti per una buona introduzione al lato matematico del contenuto: http://www.ctan.org/tex-archive/info/gentle/gentle.pdf
* Un documento [[:it:Portable Document Format|PDF]] di introduzione a TeX -- cfr. pagina 59 per la sezione di matematica. Cfr. pagina 72 per una lista completa di simboli inclusi in LaTeX e AMS-LaTeX. http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/english/lshort.pdf
* Varie estensioni di LaTeX: http://www.ams.org/tex/amslatex.html
* Un insieme di simboli matematici in formato bitmap di pubblico dominio: http://us.metamath.org/symbols/symbols.html
* TeX Wizard: http://de.geocities.com/richyfourtythree/texwizard.html
* [[:it:MathML|MathML]] - Un prodotto del gruppo di lavoro di matematica della [[:it:W3C|W3C]], sono specifiche a basso livello per descrivere enti matematici nella comunicazione tra elaboratori. http://www.w3.org/Math/

[[Categoria:Aiuto|Formule matematiche TeX]]
[[en:TeX]]
[[it:Aiuto:Formule matematiche TeX]]

Aiuto:Prontuario TeX

2012-10-02T18:56:18Z

Walter:

In questa pagina presentiamo i segni e i costrutti facenti parte del sottolinguaggio TeX/LaTeX che consente l'inserimento di formule matematiche nelle pagine di Wikipedia. Le possibilità sono presentate in ordine alfabetico al fine di facilitare il ritrovamento da parte di chi possegga già qualche conoscenza di TeX, di LaTeX o delle formule per le pagine di Wikipedia.

In questa pagina si intendono anche fornire esempi tendenzialmente significativi, anche al fine di stimolare la omogeneità delle notazioni.

__NOTOC__
<center>[[#A|A]] - [[#B|B]]- [[#C|C]] - [[#D|D]] - [[#E|E]] - [[#F|F]] - [[#G|G]] - [[#I|I]] - [[#L|L]] - [[#M|M]] - [[#N|N]] - [[#O|O]] - [[#P|P]] - [[#Q|Q]] - [[#R|R]] - [[#S|S]] - [[#T|T]] - [[#V|V]]- [[#VARIE|VARIE]] </center>

== B ==

'''binomiali, coefficienti'''

<math> {n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!} </math>     <nowiki>{n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}</nowiki>

<math> {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} </math>       {n \choose k} = (n-1 \choose k-1} + (n-1 \choose k}

== C ==

'''calligrafica / fonte''' : v. fonti speciali

'''complessi / espressioni per numeri'''

<math>z = x+iy = \rho e^{i\theta} = |z| e^{i \arg z} </math>   z = x+iy = \rho e^{i\theta} = |z| e^{i \arg z}       <math>\Re(x+iy) = x</math>   \Re(x+iy) = x       <math>\Im(x+iy) = y</math>   \Im(x+iy) = y      

== D ==

'''derivate'''

<math>{d\over dx} f(x)</math>   {d\over dx} f(x)       <math>\nabla \; \partial x \; dx \; \dot x \; \ddot y \psi(x)</math>   \nabla \; \partial x \; dx \; \dot x \; \ddot y \psi(x)       <math>{\partial \over \partial y} F(x,y)</math>   {\partial \over \partial y} F(x,y)

'''determinanti'''

<math>\det\left[\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j} \,|\, 1\leq i,j\leq n\right]</math>
: \det\left[ \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j} \,|\, 1\leq i,j\leq n \right]

<math>\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{vmatrix} = 1 </math>
: \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{vmatrix} = 1

'''disponibili / segni'''

{| width="100%"
|<math>\heartsuit</math>   \heartsuit ||<math>\spadesuit</math>   \spadesuit ||<math>\clubsuit</math>   \clubsuit ||<math>\diamondsuit</math>   \diamondsuit
|-
|<math>\imath</math>   \imath ||<math>\ell</math>   \ell
||<math>\wp</math>   \wp ||<math>\mho</math>   \mho
|-
|<math>\flat</math>   \flat ||<math>\natural</math>   \natural ||<math>\sharp</math>   \sharp ||<math>\mathcal{x}</math>   \mathcal{x}
|-
|<math>\top</math>   \top ||<math>\bot</math>   \bot ||<math>\Box</math>   \Box ||<math>\Diamond</math>   \Diamond
|}

== E ==

'''ebraiche / lettere '''      
\aleph   <math>\aleph</math>       \beth <math>\beth</math>       \gimel <math>\gimel</math>       \daleth<math>\daleth</math>

'''entità particolari'''
{| width="100%"
|<math>\empty</math>   \empty ||<math>\infty</math>   \infty ||<math>\hbar</math>   \hbar
|-
|<math>\N</math>   \N ||<math>\R</math>   \R
|}

'''esponenziali'''

10^{a+b}   <math>10^{a+b}</math>       \,10^{a+b}\,   <math>\,10^{a+b}\,</math>       e^{-x^2}   <math>e^{-x^2}</math>       <math>{{4^4}^4}^4</math>   {{4^4}^4}^4       <math>{{{5^5}^5}^5}^5</math>   {{{5^5}^5}^5}^5

== F ==

'''fonti / confronto'''

<math>\mathcal{CALLIGRAFICA}</math>   \mathcal{CALLIGRAFICA}

<math>Corsivo\ \mathit{(Italic)}</math>   Corsivo\ \mathrm{(Italic)

<math>\mathfrak{fraktur\ minuscolo}</math>   \mathfrak{fraktur\ minuscolo

<math>\mathfrak{FRAKTUR\ MAIUSCOLO}</math>   \mathfrak{FRAKTUR\ MAIUSCOLO}

<math>\mathbf{Grassetto (boldface)}</math>   \mathbf{Grassetto (boldface)}

<math>\mathrm{Normale\ (Roman)}</math>   \mathrm{Normale\ (Roman)



<math>\mathsf{Sans\ Serif}</math>   \mathbb{Sans\ Serif}

<math>\mathbb{STILE\ LAVAGNA}</math>   \mathbb{STILE\ LAVAGNA}

'''fraktur / fonte'''

<math>\mathfrak{abcdefghijklm} \mathfrak{nopqrstuvwxyz} </math>  
\mathfrak{abcdefghijklm} \mathfrak{nopqrstuvwxyz}

<math>\mathfrak{ABCDEFGHIJKLM} \mathfrak{NOPQRSTUVWXYZ} </math>  
\mathfrak{ABCDEFGHIJKLM} \mathfrak{NOPQRSTUVWXYZ}

'''frazioni'''

{a\over b}   <math>{a\over b}</math>       \frac{x+a}{x^2-2x+5}   <math>\frac{x+a}{x^2-2x+5}</math>

'''frecce'''

{| width="100%"
|\leftarrow   <math>\leftarrow</math>||\rightarrow   <math>\rightarrow</math>||\uparrow   <math>\uparrow</math>
|-
|\longleftarrow   <math>\longleftarrow</math>||\longrightarrow   <math>\longrightarrow</math>||\downarrow   <math>\downarrow</math>
|-
|\Leftarrow   <math>\Leftarrow</math>||\Rightarrow   <math>\Rightarrow</math>||\Uparrow   <math>\Uparrow</math>
|-
|\Longleftarrow   <math>\Longleftarrow</math>||\Longrightarrow   <math>\Longrightarrow</math>||\Downarrow   <math>\Downarrow</math>
|-
|\leftrightarrow   <math>\leftrightarrow</math>||\updownarrow   <math>\updownarrow</math>
|-
|\Leftrightarrow   <math>\Leftrightarrow</math>||\Longleftrightarrow   <math>\Longleftrightarrow</math>||\Updownarrow   <math>\Updownarrow</math>
|-
|\to   <math>\to</math>||\mapsto   <math>\mapsto</math>||\longmapsto   <math>\longmapsto</math>
|-
|\hookleftarrow   <math>\hookleftarrow</math>||\hookrightarrow   <math>\hookrightarrow</math>||\nearrow   <math>\nearrow</math>
|-
|\searrow   <math>\searrow</math>||\swarrow   <math>\swarrow</math>||\nwarrow   <math>\nwarrow</math>
|}

'''funzioni standard / simboli per le'''

{| width="80%"
|\arccos||\cos||\csc||\exp||\ker||\limsup||\min||\sinh
|-
|\arcsin||\cosh||\deg||\gcd||\lg||\ln||\Pr||\sup
|-
|\arctan||\cot||\det||\hom||\lim||\log||\sec||\tan
|-
|\arg||\coth||\dim||\inf||\liminf||\max||\sin||\tanh
|}

== G ==

'''geometria / simboli per la'''

<math>\triangle</math>   \triangle             <math>\angle</math>   \angle      

'''grassetto / caratteri in'''

{| width="100%"
|lettere normali||\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{Z}||<math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{Z}</math>
|-
|lettere greche||\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}||<math>\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}</math>
|}

'''greche / lettere'''

{| width="100%"
|\alpha , <math>\alpha</math>||\vartheta , <math>\vartheta</math>||\varpi , <math>\varpi</math>||\chi , <math>\chi</math>||\Eta , <math>\Eta</math>||\Pi , <math>\Pi</math>
|-
|\beta , <math>\beta</math>||\iota , <math>\iota</math>||\rho , <math>\rho</math>||\psi , <math>\psi</math>||\Theta , <math>\Theta</math>||\Rho , <math>\Rho</math>
|-
|\gamma , <math>\gamma</math>||\kappa , <math>\kappa</math>||\varrho , <math>\varrho</math>||\omega , <math>\omega</math>||\Iota , <math>\Iota</math>||\Sigma , <math>\Sigma</math>
|-
|\delta , <math>\delta</math>||\lambda , <math>\lambda</math>||\sigma , <math>\sigma</math>||\Alpha , <math>\Alpha</math>||\Kappa , <math>\Kappa</math>||\Tau , <math>\Tau</math>
|-
|\epsilon , <math>\epsilon</math>||\mu , <math>\mu</math>||\varsigma , <math>\varsigma</math>||\Beta , <math>\Beta</math>||\Lambda , <math>\Lambda</math>||\Upsilon , <math>\Upsilon</math>
|-
|\varepsilon , <math>\varepsilon</math>||\nu , <math>\nu</math>||\tau , <math>\tau</math>||\Gamma , <math>\Gamma</math>||\Mu , <math>\Mu</math>||\Phi , <math>\Phi</math>
|-
|\zeta , <math>\zeta</math>||\xi , <math>\xi</math>||\upsilon , <math>\upsilon</math>||\Delta , <math>\Delta</math>||\Nu , <math>\Nu</math>||\Chi , <math>\Chi</math>
|-
|\eta , <math>\eta</math>||o (gewoon o) , <math>o</math>||\phi , <math>\phi</math>||\Epsilon , <math>\Epsilon</math>||\Xi , <math>\Xi</math>||\Psi , <math>\Psi</math>
|-
|\theta , <math>\theta</math>||\pi , <math>\pi</math>||\varphi , <math>\varphi</math>||\Zeta , <math>\Zeta</math>||O (gewoon O), <math>O</math>||\Omega , <math>\Omega</math>
|}

== I ==

'''insiemi / espressioni concernenti'''

<math>f\left(\bigcap_{i=1}^n S_i\right) \subseteq \bigcap_{i=1}^n f\left(S_i\right)</math>   f\left(\bigcap_{i=1}^n S_i\right) \subseteq \bigcap_{i=1}^n f\left(S_i\right)

'''integrali'''

<math>\int</math>   \int       <math>\iint</math>   \iint       <math>\iiint</math>   \iiint       <math>\oint</math>   \oint

<math> \int_{-2\pi}^{2\pi} f(x) dx </math>     \int_{-2\pi}^{2\pi} f(x) dx      

<math> \int_{-\infty}^\infty dx\;e^{-(x-m)^2\over 2\sigma^2} g(x) </math>     \int_{-\infty}^\infty dx\;e^{-(x-m)^2\over 2\sigma^2} g(x)

== L ==

'''limiti'''

<math>\lim_{n \to \infty}x_n</math>   \lim_{n \to \infty}x_n

'''logica'''

<math>p \land \wedge \; \bigwedge \; \bar{q} \to p\ </math>   p \land \wedge \; \bigwedge \; \bar{q} \to p\

<math>lor \vee \; \bigvee \; \lnot \; \neg q \; \setminus \; \smallsetminus</math>   lor \vee \; \bigvee \; \lnot \; \neg q \; \setminus \; \smallsetminus

== M ==

'''matrici'''

<math>\begin{matrix} x & y \\ v & w \end{matrix}</math>     \begin{matrix} x & y \\ v & w \end{matrix}

<math>\begin{pmatrix} A+B & {B-C\over 2} \\ {C-B\over 2} & D \end{pmatrix}</math>     \begin{pmatrix} A+B & {B+C\over 2} \\ {B+c\over 2} & D \end{pmatrix}

<math>\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 \end{vmatrix}</math>     \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 \end{vmatrix}

<math>\begin{Vmatrix} x & y \\ v & w \end{Vmatrix}</math>     \begin{Vmatrix} x & y \\ v & w \end{Vmatrix}

<math>\begin{bmatrix} M_{1,1}&M_{1,2}&M_{1,3}\\M_{2,1}&M_{2,2}&M_{2,3} \end{bmatrix}</math>     \begin{bmatrix} M_{1,1}&M_{1,2}&M_{1,3}\\M_{2,1}&M_{2,2}&M_{2,3} \end{bmatrix}

<math>\begin{Bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{Bmatrix}</math>     \begin{Bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{Bmatrix}

<math>\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ v & w \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} & [1] \end{vmatrix}</math>     \begin{vmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ v & w \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} & [1] \end{vmatrix}

<math>\begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n} \\ x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ x_{m1}&x_{m2}&\cdots& x_{mn} \end{bmatrix}</math>    
\begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n} \\ x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ x_{m1}&x_{m2}&\cdots& x_{mn} \end{bmatrix}

''' moduli '''

<math>s_k \equiv 0 \pmod{m}</math> s_k \equiv 0 \pmod{m}

<math>a \bmod b</math> a \bmod b

== N ==

'''negazione di relazioni''' si ottiene premettendo la macro \not

\not\leq   <math>\not\leq</math>)       \not\sim <math>\not\sim</math>       \not\models   <math>\not\models</math>       \not=   <math>\not=</math>       \not<   <math>\not<</math> . . . .

'''neretto / caratteri in''' v. ''grassetto / caratteri in''

== O ==

'''operatori binari'''
{| width="100%"
|<math>\pm</math>   \pm ||<math>\triangleright</math>   \triangleright ||<math>\setminus</math>   \setminus ||<math>\circ</math>   \circ
|-
|<math>\mp</math>   \mp ||<math>\times</math>   \times ||<math>\bullet</math>   \bullet||<math>\star</math>   \star
|-
|<math>\vee</math>   \vee ||<math>\wr</math>   \wr ||<math>\ddagger</math>   \ddagger ||<math>\cap</math>   \cap
|-
|<math>\dagger</math>   \dagger ||<math>\oplus</math>   \oplus ||<math>\smallsetminus</math>   \smallsetminus ||<math>\cdot</math>   \cdot
|-
|<math>\wedge</math>   \wedge ||<math>\otimes</math>   \otimes ||<math>\cup</math>   \cup ||<math>\triangleleft</math>   \triangleleft
|-
|<math>\mathcal{t}</math>   \mathcal{t} ||<math>\mathcal{u}</math>   \mathcal{u}
|}

'''operatori n-ari''' (v.a. ''produttoria'', ''sommatoria'')

{| width="80%"
|<math>\sum</math>   \sum||<math>\prod</math>   \prod||<math>\coprod</math>   \coprod
|-
|<math>\bigcap</math>   \bigcap||<math>\bigcup</math>   \bigcup||<math>\biguplus</math>   \biguplus
|-
|<math>\bigodot</math>   \bigodot||<math>\bigoplus</math>   \bigoplus||<math>\bigotimes</math>   \bigotimes
|-
|<math>\bigsqcup</math>   \bigsqcup||<math>\bigvee</math>   \bigvee||<math>\bigwedge</math>   \bigwedge
|}

'''operatori unari'''

<math>\nabla</math>   \nabla       <math>\partial</math>   \partial       <math>\neg</math>   \neg
      <math>\sim</math>   \sim

== P ==

'''parentesi'''

{| width="75%"
|<math>(...)</math>   (...) ||<math>[...]</math>   [...] ||<math>\{...\}</math>   \{...\}
|-
|<math>|...|</math>   <nowiki>|...|</nowiki>||<math>\|...\|</math>   <nowiki>\|...\|</nowiki>
||<math>\langle</math>   \langle||<math>\rangle</math>   \rangle
|-
|<math>\lfloor</math>   \lfloor||<math>\rfloor</math>   \rfloor
||<math>\lceil</math>   \lceil||<math>\rceil</math>   \rceil
|}

'''parentesi adattabili'''

<math>\left(x^2+2bx+c\right)</math>   \left(x^2+2bx+c\right)

<math>\cos\left(\int_0^\pi dx\;e^{-x} P_{2k}(x)\right)</math>   \cos\left(\int_0^\pi dx\;e^{-x} P_{2k}(x)\right)

'''produttoria'''

<math>\prod_{k=1}^3 K_{k+4} = K_5\cdot K_6\cdot K_7</math>   \prod_{k=1}^3 K_{k+4} = K_5\cdot K_6\cdot K_7

'''puntini'''       \ldots   <math>\ldots</math>       \cdots   <math>\cdots</math>       \vdots   <math>\vdots</math>       \ddots   <math>\ddots</math> (v.a. ''matrici'')

== Q ==

'''quantificatori'''       <math>\forall</math>   \forall       <math>\exists</math>   \exists

<math>\forall_{i \in \N, j \in \N \setminus \{0\}} (i/j \in \mathbb{Q})</math>     \forall_{i \in \N, j \in \N \setminus \{0\}} (i/j \in \mathbb{Q})

<math>\exists \mathbf{x} \in \mathbb{K}^n ~\mbox{tale che}~ \mathcal{M} \mathbf{x} = \mathbf{v}</math>
:: \mathbf{x} \in \mathbb{K}^n \ \mbox{tale che}\ \mathcal{M} \mathbf{x} = \mathbf{v}

== R ==

'''radici'''

<math> \sqrt 7 </math>       <nowiki> \sqrt 7 </nowiki>             <math> \sqrt{2\pi\rho} </math>       <nowiki> \sqrt{2\pi\rho} </nowiki>

<math>\sqrt{A^2+B^2+C^2}</math>   \sqrt{A^2+B^2+C^2}

<math>x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a}</math>  
x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^-4ac}}{2a}

<math> \sqrt[3]3 </math>       <nowiki> \sqrt[3]3 </nowiki>             <math> \sqrt[h+k]{a\pm\sin(2k\pi)} </math>             <nowiki> \sqrt[h+k]{ a\pm\sin(2k\pi)} } </nowiki>

'''raggruppamenti di simboli'''

{| width="100%"
|<math>\overline{f\circ g\circ h}</math>   \overline{f\circ g\circ h}||<math>\underline{\mbox{esatto}}</math>   \underline{\mbox{esatto}}
|-
|<math>\overleftarrow{HK}</math>   \overleftarrow{HK}||<math>\overrightarrow{PQ}</math>   \overrightarrow{PQ}
|-
|<math>\overbrace{x_1x_2\cdots x_n}</math>   \overbrace{x_1x_2\cdots x_n}||<math>\underbrace{\alpha\beta\gamma\delta}</math>   \underbrace{\alpha\beta\gamma\delta}
|-
|<math>\sqrt{A^2+B^2}</math>   \sqrt{A^2+B^2}||<math>\sqrt[3]{p^3-{qr\over3}}</math>   \sqrt[n]{p^3-{qr\over3}}
|-
|<math>\widehat{ABC}</math>   \widehat{ABC}
|}

<math>\overbrace{\overline{F\circ G}}</math>   \overbrace{\overline{F\circ G}}

<math>\widehat{\overline{\overline{F\circ G}}}</math>   \widehat{\overline{\overline{F\circ G}}}

'''relazioni'''

{| width="100%"
|<math>\,<\,</math>   \,<\, ||<math>\leq</math>   \leq || <math>\,>\,</math>   \,>\, ||<math>\geq</math>   \geq
|-
|<math>\subset</math>   \subset ||<math>\subseteq</math>   \subseteq ||<math>\supset</math>   \supset ||<math>\supseteq</math>   \supseteq
|-
|<math>\in</math>   \in || <math>\ni</math>   \ni ||<math>\vdash</math>   \vdash ||<math>\mathcal{a}</math>   \mathcal{a}
|-
|<math>\cong</math>   \cong ||<math>\simeq</math>   \simeq ||<math>\approx</math>   \approx ||<math>\sim</math>   \sim
|-
|<math>\perp</math>   \perp ||<math>\|</math>   <nowiki>\|</nowiki> ||<math>\mid</math>   \mid ||<math>\equiv</math>   \equiv
|-
|<math>\frown</math>   \frown ||<math>\smile</math>   \smile ||<math>\triangleleft</math>   \triangleleft ||<math>\triangleright</math>   \triangleright
|-
|<math>\mathcal{v}</math>   \mathcal{v} ||<math>\mathcal{w}</math>   \mathcal{w} ||<math>\models</math>   \models
|}

== S ==

'''sans serif / fonte'''

<math>\mathsf{abcdefghijklm} \mathsf{nopqrstuvwxyz}</math>   \mathsf{abcdefghijklm} \mathsf{nopqrstuvwxyz}

<math>\mathsf{ABCDEFGHIJKLM} \mathsf{NOPQRSTUVWXYZ}</math>   \mathsf{ABCDEFGHIJKLM} \mathsf{NOPQRSTUVWXYZ}

'''sistemi di equazioni'''

<math>\left\{\begin{matrix}ax+by=h \\ cx+dy=k\end{matrix}\right.</math>     \left{\begin{matrix}ax+by=h \\ cx+dy=k\end{matrix}\right.

'''sommatoria'''

<math>\sum_{k=1}^n k^2 </math>       \sum_{k=1}^n k^2

== T ==

'''tensori e simili'''

<math>g_i^{\ j}</math>   g_i^{\ j}      
<math>S_{r_1r_2}^{\ \ \ \ r_3r_4}</math>   S_{r_1r_2}^{\ \ \ \ r_3r_4}       <math>T_{\ j\ k}^{i\ h}</math>   T_{\ j\ k}^{i\ h}

<math>{}_1^2\!X_3^4</math>   {}_1^2\!X_3^4

== V ==

'''vettori'''

<math>\mathbf{r}=\langle x_1,x_2,x_3\rangle</math>       \mathbf{r}=\langle x_1,x_2,x_3\rangle

<math>\mathbf{e}_i := \langle j=1,...,n :| \delta_{i,j} \rangle</math>   \mathbf{e}_i :\!= \langle j=1,...,n :| \delta_{i,j} \rangle

== VARIE ==

<math>100\,^{\circ}\mathrm{C}</math>   100\,^{\circ}\mathrm{C}

<math>\left. {A \over B} \right\} \to X</math>   \left. {A \over B} \right\} \to X

== Voci correlate ==
* [[Aiuto:Formule matematiche TeX]]
* [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Formula#Functions.2C_symbols.2C_special_characters sito ufficiale Wikimedia per le Tex]

[[Categoria:Aiuto|Prontuario TeX]][[Categoria:Aiuto|TeX, Prontuario]]

Template:Corsi/C

2012-10-02T13:15:12Z

Walter: /* lettera C */

=== lettera C ===
*[[Calcolo probabilità e statistica matematica]] (anche ''Calcolo delle probabilità e statistica matematica'')
*[[Calcolo numerico]]
*[[Codifica dell'informazione multimediale]]
*[[Complementi di analisi]]
*[[Complementi di matematica]]
*[[Complementi di ricerca operativa]]
*[[Comunicazione e promozione editoriale on line]]
*[[Comunicazione visiva]]
*[[Comunità virtuali]]
*[[Crittografia]]

Template:Turni2

2011-02-03T13:22:28Z

Walter:

<includeonly>* '''[[{{FULLPAGENAME}} T1/2009-2010|Turno 1 {{{1|}}}]]
* '''[[{{FULLPAGENAME}} T2/2010-2011|Turno 2 {{{2|}}}]]</includeonly>
<noinclude>
''Template da utilizzare per i corsi con '''2 turni''' differenti.

''Si possono specificare i nomi dei prof. dei turni come variabili, in questo modo:

'''<nowiki>{{Turni2|(prof primo turno)|(prof secondo turno)}}</nowiki>

''che produce questo risultato:

{{Turni2|(prof primo turno)|(prof secondo turno)}}

''oppure un solo turno:

'''<nowiki>{{Turni2||(prof secondo turno)}}</nowiki>

''che produce questo risultato:

{{Turni2||(prof secondo turno)}}

''oppure nulla:

'''<nowiki>{{Turni2)}}</nowiki>

''che produce questo risultato:

{{Turni2}}

[[Categoria:Template di servizio]]
</noinclude>

Template:Turno

2011-02-03T13:21:40Z

Walter:

<includeonly>
* '''[[{{FULLPAGENAME}}/2010-2011|{{FULLPAGENAME}} {{{1|}}}]]</includeonly><noinclude>
''Utilizzo:

'''<nowiki>{{Turno}}</nowiki>

''che produce questo risultato:

{{Turno}}

''E' possibile specificare il nome del docente:

'''<nowiki>{{Turno|(nome del docente)}}</nowiki>

''che produce questo risultato:

{{Turno|(nome del docente)}}

[[Categoria:Template di servizio]]
</noinclude>

Ambienti virtuali immersivi e interattivi

2011-02-03T13:20:43Z

Walter:

{{introduzione}}
== Turni ==
{{Turno}}

== A.A. passati ==
== Informazioni ==

=== Giudizio sul corso ===
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse}}
{{Giudizio/Difficoltà}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti}}
{{Giudizio/Ore}}

Template:Corsi/A

2011-02-03T13:20:22Z

Walter: /* lettera A */

=== lettera A ===
*[[Acustica musicale]]
*[[Algebra computazionale]]
*[[Algoritmi e strutture dati]] (anche ''Algoritmi e strutture dati e laboratorio'')
*[[Algoritmi e strutture dati II]]
*[[Algoritmica per il web]]
*[[Ambienti virtuali immersivi e interattivi]]
*[[Architettura degli elaboratori]] (anche ''Architettura degli elaboratori e delle reti'')
*[[Architetture digitali]]

Giovanni Pighizzini

2011-01-16T17:43:55Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da Yoruno

'''Giovanni Pighizzini'''
=== Email ===
*pighizzi@dico.unimi.it
=== Telefono/Fax ===
*Telefono 02503.16303
*Fax 02503.16304
=== Ricevimento ===
*Stanza P118
*Martedì 11,00 - 13,00
=== Pagina personale ===
*[http://pighizzini.dico.unimi.it http://pighizzini.dico.unimi.it]
*[http://www.dsi.unimi.it/persona.php?z=0;id=22 http://www.dsi.unimi.it/persona.php?z=0;id=22]
===Corsi===
*[[Programmazione Turno 3|Programmazione]]
*[[Linguaggi e traduttori II]]
[[Categoria:Docenti|Pighizzini, Giovanni]]

WikiDsy:Aiuto

2011-01-16T17:43:36Z

Walter:

WikiDsy:Aiuto

2011-01-16T17:42:47Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 170.185.124.48

8itt1O <a href="http://hqhaytnocyjt.com/">hqhaytnocyjt</a>, [url=http://tpffncmwekjj.com/]tpffncmwekjj[/url], [link=http://akjllnxqnwbe.com/]akjllnxqnwbe[/link], http://mcjvmjpuizpg.com/

Gestione dell'informazione

2011-01-16T17:42:05Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da Yoruno

{{introduzione}}
== Turni ==
{{Turno|(Perlasca)}}

== A.A. passati ==
{{annipassati|2006-2007|(Perlasca)}}

== Informazioni generali ==
Corso fondamentale del secondo anno di [[Comunicazione digitale]].

Il corso è suddiviso in lezioni teoriche e di laboratorio.

Il corso si pone l'obiettivo di fornire gli strumenti necessari per recuperare e manipolare informazioni (memorizzate in una base di dati e non solo) da utilizzare nelle proprie applicazioni. Durante il corso, da considerarsi a complemento, integrazione e supporto del corso di "Gestione dell'Informazione e Basi di Dati", verranno analizzati ed utilizzati alcuni pacchetti software correntemente adoperati per la gestione di una base di dati. Durante le lezioni, teoriche e principalmente di laboratorio, verranno proposti ed analizzati alcuni scenari caratterizzati dalla necessita' di gestire una grande quantità di dati ed alcuni strumenti per la distribuzione di contenuti multimediali via Web.

===Crediti Formativi===
Il superamento di quest'esame da diritto a 12 [[CFU]].

== Giudizio sul corso ==
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|}}
{{Giudizio/Difficoltà|}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|}}
{{Giudizio/Ore|}}

[[Categoria:Corsi Secondo Semestre]][[Categoria:Corsi ComDig]]

Fondamenti di architettura e programmazione

2011-01-16T17:41:28Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da Walter

{{introduzione}}

== Informazioni ==

Corso Fondamentale del primo anno di Comunicazione Digitale.

===Crediti Formativi===

Il superamento di quest'esame da diritto a 18 CFU

===Programma del corso===

* I PARTE: Architettura degli elaboratori
* II PARTE: Programmazione in Java
- [http://homes.dsi.unimi.it/~mereghet/fap/cont/programma.html programma dettagliato ]

===Metodi didattici===

* Lezioni teoriche e di laboratorio in aula
* Esercitazioni settimanali in laboratorio seguiti da tutor (facoltative)

===Modalità d'esame===

* Scritto di teoria (sostituibile con i compitini in itinere)
* Progetto con relativa discussione

== Giudizio sul corso ==
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|5}}
{{Giudizio/Difficoltà|3}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|}}
{{Giudizio/Ore|3}}

[[Categoria:Corsi ComDig]][[Categoria:Corsi Primo Semestre]]

Sicurezza

2011-01-15T19:35:15Z

Walter:

{{introduzione}}
== Turni ==
{{turno}}

== A.A. passati ==
{{annipassati|2006-2007|(Danilo Bruschi)}}
{{annipassati|2005-2006|(Danilo Bruschi)}}

== Informazioni ==

Sicurezza è un corso '''complementare''' per i tre corsi di laurea.

Si raccomandano come prerequisiti l'aver frequentato il corso di Reti di calcolatori e Sistemi Operativi, ma l'aver verbalizzato il voto o l'averli seguiti non è vincolante in alcun modo per seguire e sostenere il corso e l'esame. Si raccomanda inoltre di poter lavorare su Linux, in quanto la pratica verterà su questo sistema operativo.

=== Modalità d'esame ===

* SCRITTO: domande a risposta aperta;
* PRATICA: implementazioni varie su Linux;

=== Giudizio sul corso ===
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|5|5}}
{{Giudizio/Difficoltà|2|4}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|5}}
{{Giudizio/Ore|3|4}}

[[Categoria:Corsi Primo Semestre]]

Sicurezza

2011-01-15T19:29:41Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 93.180.215.237

{{introduzione}}
== Turni ==
{{turno}}

jFcw4v <a href="http://cwhgmriwhimm.com/">cwhgmriwhimm</a>, [url=http://lthvtsdtlkiq.com/]lthvtsdtlkiq[/url], [link=http://cgepdxethsri.com/]cgepdxethsri[/link], http://omcibyodihvm.com/

== Informazioni ==

Sicurezza è un corso '''complementare''' per i tre corsi di laurea.

Si raccomandano come prerequisiti l'aver frequentato il corso di Reti di calcolatori e Sistemi Operativi, ma l'aver verbalizzato il voto o l'averli seguiti non è vincolante in alcun modo per seguire e sostenere il corso e l'esame. Si raccomanda inoltre di poter lavorare su Linux, in quanto la pratica verterà su questo sistema operativo.

kvjHGV <a href="http://uroqurdydikr.com/">uroqurdydikr</a>, [url=http://xitaddsdpsyq.com/]xitaddsdpsyq[/url], [link=http://pcmqxoigwosw.com/]pcmqxoigwosw[/link], http://wzitclbquudt.com/

=== Giudizio sul corso ===
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|5|5}}
{{Giudizio/Difficoltà|2|4}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|5}}
{{Giudizio/Ore|3|4}}

[[Categoria:Corsi Primo Semestre]]

Basi di dati T2/2006-2007

2011-01-15T17:44:18Z

Walter:

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]
=== Orari delle lezioni ===

* '''Martedì''', 17:45-19:15, aula Beta
* '''Mercoledì''', 17:45-19:15, aula Beta
* '''Giovedì''', 17:45-19:15, aula Beta

===Scaglione alfabetico ===

Il turno 2 comprende gli studenti nello scaglione H-Z

===Professore===
[[Alfio Ferrara]]

===Sito del corso===

[http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/ Sito web del corso]

===Materiale didattico===

====Corso====
Testo di riferimento:
* [[Sistemi di basi di dati - Elmasri_Navathe|Sistemi di basi di dati - Fondamenti (4 ed.)]]
*(''Parte di sicurezza''): fotocopie in copisteria di "Database security"

Altri testi utili:
* [[Database Security - Castano Fugini Martella Samarati|Database Security]]

* P.Atzeni, S. Ceri, S. Paraboschi, R. Torlone 'Basi di dati, II Edizione', McGraw-Hill, 1999.

====Corrispondenze programma/testi====
(''Prima parte del corso'')

[http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Programma prima prova in itinere]

(''Seconda parte'')
* Capitoli x , y , z di [[Sistemi di basi di dati - Elmasri_Navathe|Sistemi di basi di dati - Fondamenti (4 ed.)]] - ''da finire''
* Capitoli x y e z di [[Database Security - Castano Fugini Martella Samarati|Database Security]] (presumibilmente = fotocopie in copisteria) - ''da finire''

====Laboratorio====

Testi consigliati:

* L. Welling, L. Thomson 'MySQL Tutorial', Pearson-Addison Wesley, 2004.
* David Sklar 'PHP 5 - Elementi di programmazione', McGraw-Hill, 2005.
* A. Gutmans, S. Bakken, D. Rethans 'PHP 5 Guida Completa', Apogeo, 2005.

====Materiale scaricabile====
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/ProgrammaCorso.pdf Programma del corso]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Appelli d'esame]
* [http://www.jeckle.de/vorlesung/datenbanken/uebungen/1/demo-db.sql Database di esempio presente sul libro]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Lucidi su algebra relazionale]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Esercitazione di algebra relazionale]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Alcuni lucidi di laboratorio]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Lucidi dell'esercitazione SQL]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Esempi SQL visti a lezione]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Lucidi su normalizzazione e progettazione fisica]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Testi appelli d'esame(06/2005,07/2005,01/2006,04/2006)]

===Modalità d'esame===
L'esame consiste in una prova scritta, una (eventuale) discussione orale e nello svolgimento di un progetto di laboratorio.

'''Prova scritta'''
Consiste di una parte A con domande di teoria e di una parte B con esercizi.

'''Discussione orale'''
Per risultati fino a 24/30, SI CONFERMA DIRETTAMENTE il risultato della prova scritta. Per votazioni superiori a 24/30 OCCORRE SOSTENERE la prova orale per la conferma del voto; in caso contrario si intende confermata la votazione di 24/30.

'''Svolgimento di un progetto:''' vedere la sezione Progetto

'''Svolgimento dell'esame:''' che cosa bisogna fare
Lo studente deve iscriversi OBBLIGATORIAMENTE VIA SIFA all'appello d'esame che intende sostenere.
Lo studente che si iscrive ad un appello d'esame per sostenere lo scritto DEVE consegnare anche il progetto il giorno stesso dell'esame.
Gli studenti che sostengono l'esame mediante le prove in itinere potranno consegnare il progetto entro e non oltre l'appello di Aprile.

''IMPORTANTE.'' Qualora uno studente non superasse lo scritto, il progetto consegnato verrà corretto. I progetti sufficienti avranno validità un anno a decorrere dall'appello di consegna.

====Progetto====
'''Progetti di laboratorio'''

I progetti per l'Anno Accademico 2006-2007 verranno comunicati durante il corso.

'''Svolgimento dei progetti'''

Il progetto può essere svolto in gruppi di non più di 3 studenti.
Può essere sviluppato su propri PC o presso i laboratori didattici, ma l'applicazione dovrà essere visionabile su un calcolatore portatile o on-line in sede d'esame. Per la valutazione dell’elaborato avrà luogo un apposito colloquio a cui tutti i membri del gruppo sono tenuti a partecipare.
In casi giudicati eccezionali, e' anche possibile proporre un progetto alternativo. In questo caso dovrà essere inviata una email ai docenti allegando una descrizione della proposta di circa 2 pagine. La proposta sarà valutata dai docenti per l'eventuale accettazione.

'''Consegna dei progetti'''

Il progetto deve essere consegnato entro la data dell'appello d'esame scritto che lo studente intende sostenere.
Il materiale deve essere consegnato entro la scadenza al prof. Ferrara durante il suo orario di ricevimento. In alternativa, il materiale può essere lasciato entro la scadenza nella casella postale del prof. Ferrara accanto alla portineria del dipartimento in via Comelico, 39.
I progetti consegnati saranno corretti secondo un calendario di correzione che verrà pubblicato per ogni appello d'esame su questo sito.
I progetti sufficienti avranno validità UN ANNO a decorrere dall'appello di consegna.

==Diario del corso==

===Lezioni fino all'11/10/2006===
* introduzione al DBMS (è un sistema software che serve per manipolare condividere etc.... basi di dati)
* obbiettivi del DBMS (efficienza, gestione della concorrenza, funzionalità di salvataggio e ripristino dei dati, gestione delle interrogazioni in modo efficiente, garantire protezione dei dati)

* DBMS gestisce dati e metadati

'''Perchè usare una BD (base di dati)'''

Varie figure di utenza con accesso al database DBA (database administrator, utenti occasionali, utenti registrati etc...)

* Modello dei dati
* Differenza tra associazione e relazione di dati

===Lezione del 12/10/2006===
'''Schema e istanza'''
* definizione di intensionale estensionale
* insieme delle istanze
* stato della base di dati

'''Livelli'''
* livello esterno (sono le viste)
* livello logico (sono le tabelle)
* livello interno (sono i file)

note: quindi DBMS lavora su 3 livelli

'''Indipendenza'''
* indipendenza dei dati
* indipendenza logica

'''I linguaggi'''
* DDL (scrive il catalogo "metadati" )
* DML (scrive i dati ed interroga la BD) è un linguaggio di query
* UDL viste esterne

note: SQL li incorpora entrambi (DDL e DML)

'''Classificazione dei DBMS'''

*In base al modello dei dati:
** relazionali,
** object-oriented,
** reticolari,
** gerarchici,
** object relational

*In base al n° di utenti:
** mono utente (es: access)
** multi utente

*In base al n° di siti in cui la BD è distribuita:
** BD centralizzata (tutto su un solo server)
** BD distribuita (BD su molteplici server) ogni transizione coinvolge più server, c'è da risolvere il problema della concorrenza

===Lezione del 17/10/2006===
* Il fondamento del modello relazionale è una ''relazione matematica fra domini + un insieme di domini''
* Definizione di schema, attributo, schema di relazione, schema di basi di dati, istanza di relazione, istanza di basi di dati.
* Problema dei dati incompleti: l'operatore ''NULL''

===Lezione del 18/10/2006===
'''Vincoli'''
* Intrarelazionali
** su valori
** di ennupla
** di dominio
* Interrelazionali

'''Chiave'''
* Definizione
*Superchiave
*Chiave primaria

'''Integrità referenziale''' (definizione)

'''Tipi di attributo'''
* semplice (atomico)
* multivalore
* strutturato

'''Prima forma normale''' (definizione)

===Lezione del 19/10/2006===
non ero presente, mi riferiscono

'''Le operazioni sul database''' (Theta join, join naturale, selezione, proiezione..)

===Lezione del 24/10/2006===
*Outer Join
*Regole di trasformazione
** Atomizzazione delle selezioni
** Commutatività della selezione
** Idempotenza delle proiezioni
** Anticipazione della selezione rispetto al Join
** Anticipazione della proiezione rispetto al Join
** Conversione di 1 sequenza
* Esempi (presidenti americani)

===Lezione del 25/10/2006===
* Esempi (sempre sui presidenti americani)
* Accenno di SQL
**Domini
**CREATE SCHEMA (sintassi)
**CREATE TABLE (sintassi)
**Elementi dello schema

===Lezione del 26/10/2006===
'''ESERCITAZIONE'''
===Lezione del 31/10/2006===
*SQL
**Vincoli intrarelazionali
***NOT NULL
***UNIQUE
***PRIMARY KEY
**Vincoli interrelazionali
***Integrità referenziale
****FOREIGN KEY
****REFERENCES
*** Politiche di risposta alla violazione del vincolo di integrità referenziale
**** CASCADE
**** SET NULL
**** SET DEFAULT
**** NO ACTION
**** ... ON DELETE
**** ... ON UPDATE
**CHECK
**CREATE DOMAIN

===Lezione del 01/11/2006===
'''VACANZA'''

===Lezione del 02/11/2006===
*DROP
*ALTER TABLE
**ALTER COLUMN
**ADD CONSTRAINT
**DROP CONSTRAINT
**ADD COLUMN
**DROP COLUMN
*Interrogazione: SELECT
**operatori della clausola WHERE
***<
***>
***<>
***=
***AND
***NOT
***OR
***BETWEEN X AND Y
***IN (LISTAVALORI)
***IS NULL
***LIKE
***EXISTS
**ridenominazione attributi: AS
**Alias: AS (nella condizione "FROM")

===Lezione del 07/11/2006===

*Interrogazione
**ordinamento risultato: ORDER BY
*JOIN interni ed esterni
**(INNER) JOIN
**NATURAL JOIN
**OUTER JOIN (LEFT,RIGHT,FULL)
*operatori aggregati
**COUNT
**SUM
**MAX
**MIN
**AVG
*sintassi
**GROUP BY
**HAVING

===Lezione del 08/11/2006===
*Interrogazioni di tipo insiemistico
**UNION (Default/ALL)
**INTERSECT (Default/ALL)
**EXCEPT (Default/ALL)
*Interrogazioni nidificate
**ALL
**ANY
*Interrogazioni correlate
**EXISTS
**NOT EXISTS

===Lezione del 09/11/2006===
Ripasso lezione precedente

===Lezione del 14/11/2006===
*TRIGGERS
''Ero assente, sorry.''

===Lezione del 15/11/2006===
*Triggers
*SQL: manipolazione dati
**INSERT
**UPDATE
**DELETE
*Viste
**CREATE VIEW
**Problemi aggiornamento viste

===Lezione del 16/11/2006===
'''ESERCITAZIONE'''

===Lezione del 21/11/2006===
'''ESERCITAZIONE'''

===Lezione del 22/11/2006===
'''PREPARAZIONE ALLA PROVA IN ITINERE'''

===Lezione del 23/11/2006===
'''PROVA IN ITINERE'''

===Lezione del 28/11/2006===
*Progettazione
*Modelli
**concettuali
**logici
*Astrazione
**per classificazione (is-member-of)
**per aggregazione (is-part-of)
**per generalizzazione (is-a)
*Modello E-R
**Concetti Base
***Entità
***Relazione (o associazione)
****Cardinalità della relazione
***Attributo

===Lezione del 29/11/2006===
*Relazoni 1:1 1:n n:n
*Identificatore
**Interno
**Esterno
*Gerarchie di entità
**Specializzazione
**Generalizazione
*Proprietà delle gerarchie
**Totalità
**Disgiunzione
*Attributi composti

===Lezione del 30/11/2006===
''Lezione di laboratorio n.1''
*Comandi di PostgreSQL

===Lezione del 5/12/2006===
*Fasi della progettazione
**Raccolta dei requisiti
**Analisi dei requisiti
***Scegliere liv. astrazione
***Standardizzaz. struttura frasi
***Evitare frasi contorte
***Identificare sinonimi ed omonimi e disambiguare
****unificare sinonimi
****diversificare omonimi
***Costruire un glossario
**Progettaziuone concettuale
**Generazione schema E-R
***top-down
***bottom-up
***inside-out
***mista
**Qualità di 1 schema
***Leggibilità
****nomi comprensibili
****minimizzazione intersezioni
***Minimalità: eliminare la ridondanza
***Correttezza
****semantica
****sintattica
**Progettazione di transazioni

===Lezione del 6/12/2006===

*Gestione di sequenze
**CREATE SEQUENCE
**Nextval
**Curval
**Setval
*Catalogo composto da 3 schemi:
#Pg_catalog (''database di sistema'')
#Information_schema (''metadati'')
#Public (''schema di default nuovi DB'')
*Controllo dell'accesso: ''pg_hba.conf''

===Lezione del 7/12/2006===
'''VACANZA (S.AMBROGIO)'''

===Lezione del 12/12/2006===
'''Trasformazione da schema concettuale a schema logico'''

3 fasi:
#Ristrutturazione schema concettuale
#Traduzione in schema logico
#Verifica di normalizzazione schema logico risultante

----

----

'''Fase 1 (Ristrutturazione schema concettuale)'''

3 tipi di modifiche possibili:
#Analisi di dati derivati (ridondanza)
Possibili casi di ridondanza:
* informazioni derivanti da numero di occorrenze
* informazioni derivanti da cicli
* attributi rid. di 1 entità
* attributi derivanti da attributi di 1 altra entità legata alla prima da una associazione
#Eliminazione delle gerarchie di generalizzazione
Possibili tipi di eliminazione:
* Mantenimento della sola superclasse (''+ valori NULL, + possibili inconsistenze da verificare'')
* Mantenimento della sola sottoclasse (''applicabile SOLO a gerarchie di tipo TE)''
* Mantenimento di entrambe e ricostruzione della gerarchia attraverso un'associazione.
**''Il problema è che le sottoclassi (ora entità) diventano entità deboli.''
**''Inoltre se la generalizzazione è totale, bisogna controllare che ogni elemento dell'entità generale ci sia in almeno una delle entità specifiche''
#Scelta degli identificatori primari
Criteri di scelta:
''***non sono riuscito a prenderli tutti, completate perfavore***''
*Eliminazione di attributi composti

===Lezione del 13/12/2006===
* Traduzione da ER a relazionale
* Associazioni N:M, 1:N, 1:1
* Associazioni ricorsive
* Normalizzazione di schemi relazionali (prima forma normale)
* Anomalie
* Ridondanze

(''se guardate le videolezioni, per la lezione del 13/12/2006 guardate alla slide n° 29 balla 45 della videolezione del 29/11/2005'')

===Lezione del 14/12/2006===
* Normalizzazione di schemi relazionali (seconda e terza forma normale)
* Forma normale di Boyce-Codd

(''se guardate le videolezioni, per la lezione del 13/12/2006 guardate la videolezione del 30/11/2005''

===Lezione del 19/12/2006===
*Forma normale di Boyce-Codd
*Decomposizione senza perdita
*Conservazione delle dipendenze funzionali
*PLSQL
*PLpgSQL

===Lezione del 21/12/2006===
*Archietettura del web
*La comunicazione HTTP
*HTTP Request
*HTTP Response
*GET/POST
*URL
*Browser
*HTML

===Lezione del 09/01/2007===
''a breve il resoconto''

===Lezione del 10/01/2007===
* Esempi di GRANT
* Tabelle sysauth e syscolauth: composizione
* Revoca dei privilegi (REVOKE)
**sintassi
**politica di gestione delle revoche di diritti ottenuti lungo una catena di GRANT
* Viste e diritti sulle viste

===Lezione del 11/01/2007===
*PHP5 - esempi
*una serie di informazioni su php (peraltro saltando parti dato che poi le schede vengono pubblicate e quindi consigliando di leggersele a parte)
*Le tre caratteristiche di php
*#Interpretato
*#Loose Type
*#Object Oriented
*Comandi vari
**ini_set (var, val)
**gettype (var)
**is_type(*non so*)
*Variabili super-globali
**$SERVER[PHP_SELF] (pagina corrente)
**$_GET (array di parametri passati col metodo GET)
**$_POST (array di parametri passati col metodo POST)
*PHP ed interazione con DBMS
**pg_connect
**pg_pconnect
**pg_query
**pg_close
**pg_fetch_array
**pg_free_result
===Lezione del 16/01/2007===
*Transazioni
**Definizione
**Proprietà ACIDe
***'''A'''tomicità
***'''C'''onsistenza
***'''I'''solamento
***'''D'''urability (Persistenza)
**Strutture per garantire le proprietà ACIDe
***'''A+D''': recovery manager ''o'' controllore dell'affidabilità
***'''C''': compilatore DDL
***'''I''': controllore della concorrenza

===Lezione del 17/01/2007===
''Ero assente, metto il programma desunto da quello che ho sentito''
*Interazione PHP con DB
**Insert
**Update
**(...)

===Lezione del 18/01/2007===
''ultima lezione ufficiale''
*PHP e Cookie
**Settare un cookie: setcookie ('nome', 'valore', scadenza)
***''setcookie'' deve essere eseguito '''prima''' di emettere outpout
**Leggere un cookie: variabile super-globale $_COOKIE
**Eliminare un cookie: ''setcookie ('nome', '');''
*PHP e Sessioni
**Iniziare una sessione
**Leggere le info di una sessione: variabile super-globale $_SESSION
**Aggiungere info alla sessione: aggiungere valori all'array $_SESSION
**Cancellare una sessione
*PHP e XML
**Regole di buona formazione
**DTD
**SAX/DOM

Basi di dati T2/2006-2007

2011-01-15T17:42:35Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 121.253.57.226

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]
=== Orari delle lezioni ===

* '''Martedì''', 17:45-19:15, aula Beta
* '''Mercoledì''', 17:45-19:15, aula Beta
* '''Giovedì''', 17:45-19:15, aula Beta

===Scaglione alfabetico ===

Il turno 2 comprende gli studenti nello scaglione H-Z

===Professore===
[[Alfio Ferrara]]

===Sito del corso===

[http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/ Sito web del corso]

===Materiale didattico===

====Corso====
Testo di riferimento:
* [[Sistemi di basi di dati - Elmasri_Navathe|Sistemi di basi di dati - Fondamenti (4 ed.)]]
*(''Parte di sicurezza''): fotocopie in copisteria di "Database security"

Altri testi utili:
* [[Database Security - Castano Fugini Martella Samarati|Database Security]]

* P.Atzeni, S. Ceri, S. Paraboschi, R. Torlone 'Basi di dati, II Edizione', McGraw-Hill, 1999.

====Corrispondenze programma/testi====
(''Prima parte del corso'')

[http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Programma prima prova in itinere]

(''Seconda parte'')
* Capitoli x , y , z di [[Sistemi di basi di dati - Elmasri_Navathe|Sistemi di basi di dati - Fondamenti (4 ed.)]] - ''da finire''
* Capitoli x y e z di [[Database Security - Castano Fugini Martella Samarati|Database Security]] (presumibilmente = fotocopie in copisteria) - ''da finire''

====Laboratorio====

Testi consigliati:

* L. Welling, L. Thomson 'MySQL Tutorial', Pearson-Addison Wesley, 2004.
* David Sklar 'PHP 5 - Elementi di programmazione', McGraw-Hill, 2005.
* A. Gutmans, S. Bakken, D. Rethans 'PHP 5 Guida Completa', Apogeo, 2005.

====Materiale scaricabile====
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/ProgrammaCorso.pdf Programma del corso]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Appelli d'esame]
* [http://www.jeckle.de/vorlesung/datenbanken/uebungen/1/demo-db.sql Database di esempio presente sul libro]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Lucidi su algebra relazionale]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Esercitazione di algebra relazionale]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Alcuni lucidi di laboratorio]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Lucidi dell'esercitazione SQL]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Esempi SQL visti a lezione]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Lucidi su normalizzazione e progettazione fisica]
* [http://islab.dico.unimi.it/bdlab2/matdid.php Testi appelli d'esame(06/2005,07/2005,01/2006,04/2006)]

QFf9C3 <a href="http://ucbqpsoztqww.com/">ucbqpsoztqww</a>, [url=http://nzslxbrtbrpa.com/]nzslxbrtbrpa[/url], [link=http://zgwxkloxcthf.com/]zgwxkloxcthf[/link], http://oekcccgwjbcr.com/

==Diario del corso==

===Lezioni fino all'11/10/2006===
* introduzione al DBMS (è un sistema software che serve per manipolare condividere etc.... basi di dati)
* obbiettivi del DBMS (efficienza, gestione della concorrenza, funzionalità di salvataggio e ripristino dei dati, gestione delle interrogazioni in modo efficiente, garantire protezione dei dati)

* DBMS gestisce dati e metadati

'''Perchè usare una BD (base di dati)'''

Varie figure di utenza con accesso al database DBA (database administrator, utenti occasionali, utenti registrati etc...)

* Modello dei dati
* Differenza tra associazione e relazione di dati

===Lezione del 12/10/2006===
'''Schema e istanza'''
* definizione di intensionale estensionale
* insieme delle istanze
* stato della base di dati

'''Livelli'''
* livello esterno (sono le viste)
* livello logico (sono le tabelle)
* livello interno (sono i file)

note: quindi DBMS lavora su 3 livelli

'''Indipendenza'''
* indipendenza dei dati
* indipendenza logica

'''I linguaggi'''
* DDL (scrive il catalogo "metadati" )
* DML (scrive i dati ed interroga la BD) è un linguaggio di query
* UDL viste esterne

note: SQL li incorpora entrambi (DDL e DML)

'''Classificazione dei DBMS'''

*In base al modello dei dati:
** relazionali,
** object-oriented,
** reticolari,
** gerarchici,
** object relational

*In base al n° di utenti:
** mono utente (es: access)
** multi utente

*In base al n° di siti in cui la BD è distribuita:
** BD centralizzata (tutto su un solo server)
** BD distribuita (BD su molteplici server) ogni transizione coinvolge più server, c'è da risolvere il problema della concorrenza

===Lezione del 17/10/2006===
* Il fondamento del modello relazionale è una ''relazione matematica fra domini + un insieme di domini''
* Definizione di schema, attributo, schema di relazione, schema di basi di dati, istanza di relazione, istanza di basi di dati.
* Problema dei dati incompleti: l'operatore ''NULL''

===Lezione del 18/10/2006===
'''Vincoli'''
* Intrarelazionali
** su valori
** di ennupla
** di dominio
* Interrelazionali

'''Chiave'''
* Definizione
*Superchiave
*Chiave primaria

'''Integrità referenziale''' (definizione)

'''Tipi di attributo'''
* semplice (atomico)
* multivalore
* strutturato

'''Prima forma normale''' (definizione)

===Lezione del 19/10/2006===
non ero presente, mi riferiscono

'''Le operazioni sul database''' (Theta join, join naturale, selezione, proiezione..)

===Lezione del 24/10/2006===
*Outer Join
*Regole di trasformazione
** Atomizzazione delle selezioni
** Commutatività della selezione
** Idempotenza delle proiezioni
** Anticipazione della selezione rispetto al Join
** Anticipazione della proiezione rispetto al Join
** Conversione di 1 sequenza
* Esempi (presidenti americani)

===Lezione del 25/10/2006===
* Esempi (sempre sui presidenti americani)
* Accenno di SQL
**Domini
**CREATE SCHEMA (sintassi)
**CREATE TABLE (sintassi)
**Elementi dello schema

===Lezione del 26/10/2006===
'''ESERCITAZIONE'''
===Lezione del 31/10/2006===
*SQL
**Vincoli intrarelazionali
***NOT NULL
***UNIQUE
***PRIMARY KEY
**Vincoli interrelazionali
***Integrità referenziale
****FOREIGN KEY
****REFERENCES
*** Politiche di risposta alla violazione del vincolo di integrità referenziale
**** CASCADE
**** SET NULL
**** SET DEFAULT
**** NO ACTION
**** ... ON DELETE
**** ... ON UPDATE
**CHECK
**CREATE DOMAIN

===Lezione del 01/11/2006===
'''VACANZA'''

===Lezione del 02/11/2006===
*DROP
*ALTER TABLE
**ALTER COLUMN
**ADD CONSTRAINT
**DROP CONSTRAINT
**ADD COLUMN
**DROP COLUMN
*Interrogazione: SELECT
**operatori della clausola WHERE
***<
***>
***<>
***=
***AND
***NOT
***OR
***BETWEEN X AND Y
***IN (LISTAVALORI)
***IS NULL
***LIKE
***EXISTS
**ridenominazione attributi: AS
**Alias: AS (nella condizione "FROM")

===Lezione del 07/11/2006===

*Interrogazione
**ordinamento risultato: ORDER BY
*JOIN interni ed esterni
**(INNER) JOIN
**NATURAL JOIN
**OUTER JOIN (LEFT,RIGHT,FULL)
*operatori aggregati
**COUNT
**SUM
**MAX
**MIN
**AVG
*sintassi
**GROUP BY
**HAVING

===Lezione del 08/11/2006===
*Interrogazioni di tipo insiemistico
**UNION (Default/ALL)
**INTERSECT (Default/ALL)
**EXCEPT (Default/ALL)
*Interrogazioni nidificate
**ALL
**ANY
*Interrogazioni correlate
**EXISTS
**NOT EXISTS

===Lezione del 09/11/2006===
Ripasso lezione precedente

===Lezione del 14/11/2006===
*TRIGGERS
''Ero assente, sorry.''

===Lezione del 15/11/2006===
*Triggers
*SQL: manipolazione dati
**INSERT
**UPDATE
**DELETE
*Viste
**CREATE VIEW
**Problemi aggiornamento viste

===Lezione del 16/11/2006===
'''ESERCITAZIONE'''

===Lezione del 21/11/2006===
'''ESERCITAZIONE'''

===Lezione del 22/11/2006===
'''PREPARAZIONE ALLA PROVA IN ITINERE'''

===Lezione del 23/11/2006===
'''PROVA IN ITINERE'''

===Lezione del 28/11/2006===
*Progettazione
*Modelli
**concettuali
**logici
*Astrazione
**per classificazione (is-member-of)
**per aggregazione (is-part-of)
**per generalizzazione (is-a)
*Modello E-R
**Concetti Base
***Entità
***Relazione (o associazione)
****Cardinalità della relazione
***Attributo

===Lezione del 29/11/2006===
*Relazoni 1:1 1:n n:n
*Identificatore
**Interno
**Esterno
*Gerarchie di entità
**Specializzazione
**Generalizazione
*Proprietà delle gerarchie
**Totalità
**Disgiunzione
*Attributi composti

===Lezione del 30/11/2006===
''Lezione di laboratorio n.1''
*Comandi di PostgreSQL

===Lezione del 5/12/2006===
*Fasi della progettazione
**Raccolta dei requisiti
**Analisi dei requisiti
***Scegliere liv. astrazione
***Standardizzaz. struttura frasi
***Evitare frasi contorte
***Identificare sinonimi ed omonimi e disambiguare
****unificare sinonimi
****diversificare omonimi
***Costruire un glossario
**Progettaziuone concettuale
**Generazione schema E-R
***top-down
***bottom-up
***inside-out
***mista
**Qualità di 1 schema
***Leggibilità
****nomi comprensibili
****minimizzazione intersezioni
***Minimalità: eliminare la ridondanza
***Correttezza
****semantica
****sintattica
**Progettazione di transazioni

===Lezione del 6/12/2006===

*Gestione di sequenze
**CREATE SEQUENCE
**Nextval
**Curval
**Setval
*Catalogo composto da 3 schemi:
#Pg_catalog (''database di sistema'')
#Information_schema (''metadati'')
#Public (''schema di default nuovi DB'')
*Controllo dell'accesso: ''pg_hba.conf''

===Lezione del 7/12/2006===
'''VACANZA (S.AMBROGIO)'''

===Lezione del 12/12/2006===
'''Trasformazione da schema concettuale a schema logico'''

3 fasi:
#Ristrutturazione schema concettuale
#Traduzione in schema logico
#Verifica di normalizzazione schema logico risultante

----

----

'''Fase 1 (Ristrutturazione schema concettuale)'''

3 tipi di modifiche possibili:
#Analisi di dati derivati (ridondanza)
Possibili casi di ridondanza:
* informazioni derivanti da numero di occorrenze
* informazioni derivanti da cicli
* attributi rid. di 1 entità
* attributi derivanti da attributi di 1 altra entità legata alla prima da una associazione
#Eliminazione delle gerarchie di generalizzazione
Possibili tipi di eliminazione:
* Mantenimento della sola superclasse (''+ valori NULL, + possibili inconsistenze da verificare'')
* Mantenimento della sola sottoclasse (''applicabile SOLO a gerarchie di tipo TE)''
* Mantenimento di entrambe e ricostruzione della gerarchia attraverso un'associazione.
**''Il problema è che le sottoclassi (ora entità) diventano entità deboli.''
**''Inoltre se la generalizzazione è totale, bisogna controllare che ogni elemento dell'entità generale ci sia in almeno una delle entità specifiche''
#Scelta degli identificatori primari
Criteri di scelta:
''***non sono riuscito a prenderli tutti, completate perfavore***''
*Eliminazione di attributi composti

===Lezione del 13/12/2006===
* Traduzione da ER a relazionale
* Associazioni N:M, 1:N, 1:1
* Associazioni ricorsive
* Normalizzazione di schemi relazionali (prima forma normale)
* Anomalie
* Ridondanze

(''se guardate le videolezioni, per la lezione del 13/12/2006 guardate alla slide n° 29 balla 45 della videolezione del 29/11/2005'')

===Lezione del 14/12/2006===
* Normalizzazione di schemi relazionali (seconda e terza forma normale)
* Forma normale di Boyce-Codd

(''se guardate le videolezioni, per la lezione del 13/12/2006 guardate la videolezione del 30/11/2005''

===Lezione del 19/12/2006===
*Forma normale di Boyce-Codd
*Decomposizione senza perdita
*Conservazione delle dipendenze funzionali
*PLSQL
*PLpgSQL

===Lezione del 21/12/2006===
*Archietettura del web
*La comunicazione HTTP
*HTTP Request
*HTTP Response
*GET/POST
*URL
*Browser
*HTML

===Lezione del 09/01/2007===
''a breve il resoconto''

===Lezione del 10/01/2007===
* Esempi di GRANT
* Tabelle sysauth e syscolauth: composizione
* Revoca dei privilegi (REVOKE)
**sintassi
**politica di gestione delle revoche di diritti ottenuti lungo una catena di GRANT
* Viste e diritti sulle viste

===Lezione del 11/01/2007===
*PHP5 - esempi
*una serie di informazioni su php (peraltro saltando parti dato che poi le schede vengono pubblicate e quindi consigliando di leggersele a parte)
*Le tre caratteristiche di php
*#Interpretato
*#Loose Type
*#Object Oriented
*Comandi vari
**ini_set (var, val)
**gettype (var)
**is_type(*non so*)
*Variabili super-globali
**$SERVER[PHP_SELF] (pagina corrente)
**$_GET (array di parametri passati col metodo GET)
**$_POST (array di parametri passati col metodo POST)
*PHP ed interazione con DBMS
**pg_connect
**pg_pconnect
**pg_query
**pg_close
**pg_fetch_array
**pg_free_result
===Lezione del 16/01/2007===
*Transazioni
**Definizione
**Proprietà ACIDe
***'''A'''tomicità
***'''C'''onsistenza
***'''I'''solamento
***'''D'''urability (Persistenza)
**Strutture per garantire le proprietà ACIDe
***'''A+D''': recovery manager ''o'' controllore dell'affidabilità
***'''C''': compilatore DDL
***'''I''': controllore della concorrenza

wZgHGl <a href="http://hkvimxropcut.com/">hkvimxropcut</a>, [url=http://elpldhzfhytf.com/]elpldhzfhytf[/url], [link=http://vytiylnweckd.com/]vytiylnweckd[/link], http://hrsezrpcmvde.com/

===Lezione del 18/01/2007===
''ultima lezione ufficiale''
*PHP e Cookie
**Settare un cookie: setcookie ('nome', 'valore', scadenza)
***''setcookie'' deve essere eseguito '''prima''' di emettere outpout
**Leggere un cookie: variabile super-globale $_COOKIE
**Eliminare un cookie: ''setcookie ('nome', '');''
*PHP e Sessioni
**Iniziare una sessione
**Leggere le info di una sessione: variabile super-globale $_SESSION
**Aggiungere info alla sessione: aggiungere valori all'array $_SESSION
**Cancellare una sessione
*PHP e XML
**Regole di buona formazione
**DTD
**SAX/DOM

Comunicazione e promozione editoriale on line

2011-01-15T17:06:07Z

Walter:

{{introduzione}}
== Turni ==
{{Turno}}

== A.A. passati ==
{{Annipassati|2006-2007|(Morellini)}}
{{Annipassati|2005-2006|(Morellini)}}

== Informazioni generali ==

Il corso di '''Comunicazione e promozione editoriale on line''' è un complementare del secondo semestre.

Il corso intende innanzitutto fornire una panoramica sullo stato dell’arte del mondo dell’editoria, non dimenticando una rapida panoramica storica per quanto attiene a processi e modalità che in qualche modo condizionano tuttora le scelte del settore.
Verranno quindi prese in esame le caratteristiche più peculiari del settore, con particolare attenzione al tradizionale mondo librario (produzione, distribuzione, processo dell’ordine, marketing e promozione).
Si passerà quindi all’analisi degli effetti dell’introduzione degli strumenti digitali negli stessi ambiti, con un breve seminario sul nuovo formato descrittivo ONIX (http://www.editeur.org/onix.html), e della codifica per i documenti digitali DOI (http://www.doi.org) , entrambi strumenti diffusissimi nel mondo anglosassone e di recente introduzione in Italia.
La parte finale dell’esame sarà interamente dedicata agli strumenti online di comunicazione e marketing, con l’illustrazione di alcuni business cases.

===Crediti Formativi===

Il superamento di quest'esame da diritto a 6 CFU

===Programma del corso===

* Introduzione alla struttura e alle finalità del corso
* Editoria tradizionale ed editoria online: caratteristiche del mercato e dei principali attori
* La filiera produttiva e distributiva tradizionale e le opportunità offerte dalla digital revolution
* La distribuzione online dei contenuti: dallo strumento di marketing alle nuove frontiere di Google Print
* La gestione organizzata dei contenuti: ONIX, DOI e altri strumenti professionali – seminario condotto da Enrico Guida
* Marketing online: strumenti di promozione, di verifica e di valutazione
* L’uso delle comunità: blog, newsgroup, communities: incontro con Apogeo
* L’utilizzo dei contenuti finalizzato alla vendita: 3 diversi casi di librerie online
* I siti degli editori: analisi di una serie di siti di editori di diverse caratteristiche, dimensioni, tipologie
* Esercitazione: costruzione e promozione di una casa editrice
* Conclusioni

===Metodi didattici===
Lezione frontale in aula, presentazione Power Point di supporto alla didattica, dispense, seminario, esercitazioni e testimonianze di aziende del settore.

===Testi consigliati===
G. Carracci, P. Carbone, P. Ferri, A. Solidoro 
Editoria multimediale – Scenari, metodologie, contenuti 
Guerini e Associati, 2004 

=== Modalità d'esame===

* '''Frequentanti''': Esercitazioni in itinere ed orale finale sugli argomenti del corso.
* '''Non frequentanti''': orale finale sul libro di testo consigliato.

== Giudizio sul corso ==
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|4|}}
{{Giudizio/Difficoltà|}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|}}
{{Giudizio/Ore|}}

[[Categoria:Corsi ComDig]][[Categoria:Corsi Secondo Semestre]]

Comunicazione e promozione editoriale on line

2011-01-15T17:05:01Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 168.99.199.24

dQaKYR <a href="http://qthsjrkbohnb.com/">qthsjrkbohnb</a>, [url=http://tsouinnjbqdz.com/]tsouinnjbqdz[/url], [link=http://cpagwcexsiki.com/]cpagwcexsiki[/link], http://xkumqhoaszbq.com/

Algoritmi e strutture dati

2011-01-15T14:49:04Z

Walter:

{{introduzione}}
== Turni ==
{{Turni2|(Goldwurm, Lonati)|(Torelli, Aguzzoli)}}

== A.A. passati ==
{{Annipassati|2008-2009|(Torelli, Aguzzoli)| T2}}
{{Annipassati|2007-2008|| T1}}
{{Annipassati|2006-2007|(Torelli, Aguzzoli)| T2}}
{{Annipassati|2005-2006|(Torelli, Fiorentini)| Turno 2}}

== Informazioni ==

Corso del primo semestre, il superamento di quest'esame da diritto a 12 CFU.

* Docente: Massimiliano Goldwurm
* Url del corso [http://homes.dsi.unimi.it/~goldwurm/algo/]

=== Obiettivi del corso ===

Presentare le strutture dati e gli algoritmi di base a diversi livelli di astrazione; consentire l'acquisizione delle principali metodologie di progettazione e analisi degli algoritmi.

=== Prerequisiti===

* Gli argomenti presentati nei corsi del primo anno

=== Programma del corso ===

* Nozione intuitiva di problema e algoritmo
* Nozioni matematiche
* Strutture dati principali
* Algoritmi di ordinamento
* Strutture di dati astratte e implementazione efficiente
* Algoritmi “divide et impera”
* Classificazione di problemi

=== Modalità d'esame ===
* una prova scritta
* realizzazione di un progetto
* una prova orale.

=== Giudizio sul corso ===
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|4|4|}}
{{Giudizio/Difficoltà|4|5}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|5|5|}}
{{Giudizio/Ore|4|5|}}

[[Categoria:Corsi Informatica]][[Categoria:Corsi Primo Semestre]]

Algoritmi e strutture dati

2011-01-15T14:47:42Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 41.190.16.17

{{introduzione}}
708nEm <a href="http://odkbmewzcpiu.com/">odkbmewzcpiu</a>, [url=http://gldgauslbcgu.com/]gldgauslbcgu[/url], [link=http://wiszustjofot.com/]wiszustjofot[/link], http://fbptdavnrjzp.com/

== A.A. passati ==
{{Annipassati|2008-2009|(Torelli, Aguzzoli)| T2}}
{{Annipassati|2007-2008|| T1}}
{{Annipassati|2006-2007|(Torelli, Aguzzoli)| T2}}
{{Annipassati|2005-2006|(Torelli, Fiorentini)| Turno 2}}

== Informazioni ==

Corso del primo semestre, il superamento di quest'esame da diritto a 12 CFU.

* Docente: Massimiliano Goldwurm
* Url del corso [http://homes.dsi.unimi.it/~goldwurm/algo/]

=== Obiettivi del corso ===

Presentare le strutture dati e gli algoritmi di base a diversi livelli di astrazione; consentire l'acquisizione delle principali metodologie di progettazione e analisi degli algoritmi.

=== Prerequisiti===

* Gli argomenti presentati nei corsi del primo anno

=== Programma del corso ===

* Nozione intuitiva di problema e algoritmo
* Nozioni matematiche
* Strutture dati principali
* Algoritmi di ordinamento
* Strutture di dati astratte e implementazione efficiente
* Algoritmi “divide et impera”
* Classificazione di problemi

=== Modalità d'esame ===
* una prova scritta
* realizzazione di un progetto
* una prova orale.

=== Giudizio sul corso ===
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|4|4|}}
{{Giudizio/Difficoltà|4|5}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|5|5|}}
{{Giudizio/Ore|4|5|}}

[[Categoria:Corsi Informatica]][[Categoria:Corsi Primo Semestre]]

Comunicazione e promozione editoriale on line

2011-01-15T11:57:26Z

Walter:

Comunicazione e promozione editoriale on line

2011-01-15T11:55:24Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 203.89.172.244

C3b8hD <a href="http://gtsieohywiua.com/">gtsieohywiua</a>, [url=http://nccyjhxpcztj.com/]nccyjhxpcztj[/url], [link=http://kmjsvpjvbhzb.com/]kmjsvpjvbhzb[/link], http://mcumhoyvkjhg.com/

Laboratorio di multimedia II M3/2006-2007

2011-01-12T17:25:32Z

Walter:

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

=== Lezioni cancellate/spostate ===
-
=== Appelli ===

Compitino tenutosi 10/05/2007

Domande e commenti inseribili qui.
Il compitino ha avuto una struttura aperta, consisteva in 15 domande di cui una parte sulla comprensione di codice Processing e Puredata, una parte su conoscenze teoriche relative alla percezione visiva.
Dettagli sui voti: da aggiornare.
Per chi avesse perso o non superato il compitino, i Tutor hanno affermato che un costante ed assiduo impegno nella realizzazione della Installazione teatrale avrà come immediato riscontro l'incremento della propria valutazione.

== Informazioni generali ==

=== Docenti ===

Professor Stefano Roveda email: <stf [at] studioazzurro [dot] com>

=== Corsi di laurea ===

[[Comunicazione Digitale]]

=== Modalità d'esame ===

Progetto e relazione sugli argomenti trattati nel corso (non-frequentanti)

Realizzazione progetto hardware-software realizzato durante lo svolgimento del corso

=== Prerequisiti al corso ===

*[[Laboratorio di multimedia I]]
*[[Informatica grafica]], [[Realtà virtuali]] (consigliati)

=== Orari e luogo delle lezioni ===

*Giovedì dalle 8:30 alle 12:30 Aula 309 Settore Didattico via Celoria (città studi, metro piola) ''[http://www.dico.unimi.it/aule.php?z=309 info sulle aule]''

La frequenza non è obbligatoria ma molto consigliata (è un laboratorio!)

=== Orario di ricevimento studenti ===

Per il momento non confermati, per comunicazioni urgenti negli orari di lezione.

== Informazioni specifiche ==

=== Siti del corso ===

* [http://www.ccdi.unimi.it/it/corsiDiStudio/F47/curriculum/F47-40/F47-40.07.1/index.html Sito del Coordinamento Didattico di Scienze e Tecnologie Informatiche] (ex-portale d.i.c.o. e d.s.i.)
* Forum: http://dsy.it/forum/forumdisplay.php?s=&daysprune=1000&forumid=426
=== Materiale didattico ===
Ma che cavolo avete combinato!!!

=== Programma del corso ===
=== Testi ===
=== Glossario ===
*Threshold
Filtro per la binarizzazione di un'immagine. Si tratta di una soglia che riduce la profondità colore (tipicamente a 24 o 32 bit) a 1 bit solo. Se il pixel ha un valore superiore alla soglia (threshold) vale 1 altrimenti 0. Un'immagine trattata in questo modo permette calcoli come computo, localizzazione e vettorializzazione delle sagome.
*Ambiente sensibile
Spazio fisico che tramite l'utilizzo di videoproiettori, sistemi multimediali e sensori reagisce alle sollecitazioni pubblico. Oggetti comuni acquisiscono la capacità di raccontare e reagire instaurando una sorta di dialogo con il gruppo di visitatori.
*Interattività
Interazione mediata dall'uso di tecnologie informatiche che simulano una relazione fra esseri e fra esseri e oggetti.
*Normalizzazione
Un valore variabile fra un minimo e un massimo arbitrario viene scalato per essere compreso fra 0.0 e 1.0. Ad es. 0 < X < 1024 diventa 0.0 < X < 1.0. Valori relativi a range diversi fra loro (ad es le coordinate del mouse (-640 < 640) rispetto la luminosità di un'immagine (0 < Luma < 255)) dopo essere stati normalizzati diventano omogenei fra loro. Se tutti i sensori disponibili in un sistema vengono normalizzati sarà possibile sostituire l'utilizzo di un sensore con un altro di diversa natura senza correggere i parametri (fattore di moltiplica e offset)

== Diario del corso ==
=== Lezione del 08/03/2007 ===
*Inizio lezioni.
(teoria)
*Introduzione ai concetti di
Ambiente Sensibile, Interfaccia Naturale, Videoserver in cluster.
*Primi esempi di problematiche riguardanti i fruitori dell'informatica dell'entertainment.
*Visione in classe di video esemplificativi delle installazioni interattive Tavoli e Cori di Studio Azzurro ( http://www.studioazzurro.com/)
(laboratorio)
*Concetti di base come potenziometro
*Data Glove, guanti e fibre ottiche
*Motion Capture - implementazioni ottiche e meccaniche (telecamere ad infrarossi ed esoscheletro)
*Spunti di riflessione sulle possibili interpretazioni dei dati nel processo di digitalizzazione movimento reale

=== Lezione del 15/03/2007 ===
*Sviluppo del concetto di framework di gestione per installazioni interattive (server come macchina collo-di-bottiglia che raccoglie i dati di tutti i sensori, problematiche di lag da ridurre al minimo fino a scontrarsi coi limiti dati dal sistema operativo, problemi derivati dalla compressione dei vari formati multimediali - che non sempre conviene)
*Mappatura dei keyframe, accenni sulla gestione dei "salti" operando su derivate e gestione di offset
*Metodi sicuri e univochi per gestione di dati senzaperdita di coerenza

*In classe sono stati visti i seguenti programmi:
Sensori:
:EyesWeb ( http://www.infomus.dist.unige.it/eywindex.html - analisi dei segnali video e riconoscimento del movimento - piattaforma windows - freeware)
:R etina
Signal Processing:
:Processing ( http://processing.org/ - linguaggio di programmazione java-oriented ottimizato per la gestione di dati multimediali - multipiattaforma winows linux mac osx - freeware)
:Max/MPS + jitter ( http://www.cycling74.com/ - linguaggio visuale modulare ad oggetti basato per gestione la del suono e del video - windows mac osx - private software)
:PureData ( http://puredata.info/ - versione freeware di maxmsp scritta in c, piattaforma grafica per la sintesi di suono e video - multipiattaforma windows linux mac osx - freeware )
Render:
:Ogre ( http://www.ogre3d.org/ - motore 3d scene-oriented sviluppato in c++ - multipiattaforma windows linux mac osx - freeware)
:Neoclide
:Modul8 ( http://www.garagecube.com/ - programma di vjing per la gestione realtime di video - mac osx - private software )
:Arkaos ( https://www.arkaos.net/ - programma di vjing per la gestione realtime interattiva di video - windows mac osx - provate software )
Suono:
:CSound ( http://csounds.com/ - programma per la sintesi sonora realtime - multipiattaforma windows linux mac osx - freeware )
Protocolli:
:OSC ( http://www.cnmat.berkeley.edu/OpenSoundControl/ - OSC, OpenSoundControl, è un protocollo molto flessibile che serve per trasmettere dati tra software differenti, hardware->software, software->hardware )
:DMX ( http://it.wikipedia.org/wiki/Digital_MultipleX - Digital MultipleX, sviluppato nel 1986 su commissione della USITT (Istituto Americano delle Tecnologie Teatrali) per creare uno standard efficiente per la comunicazione tra console e dimmer, è un protocollo di trasmissione dati che si avvale dello standard internazionale EIA RS485 )

ed è stato espressamente consigliato un approfondimento da parte di ogni singolo studente

=== Lezione del 22/03/2007 ===

esperimenti in classe con neoclide e eyesweb

considerazioni sulla comunicazione fruitore-sensore-macchina-feedback come linguaggio post-simbolico (usare simboli che non hanno significati ovvi, codificati ma non simbolici per un ipotetico fruitore qualunque, processo di feedback come processo non deliberato, senza motivo strategico; es. l'attore munito di guanti dataglove che muovendo un dito controlla elementi scenografici, lo spostamento volontario delle dita è un'atto di comunicazione con il pubblico codificato ma privo di significato simbolico fuori dal palco)

interfaccia naturale come interaccia non arbitraria (situata "prima" di sovrastrutture preconcette culturali e tecnlogiche; es. movimento paritetico come la semplice deambulazione in uno spazio)

=== Lezione del 29/03/2007 ===

Lezione base su Processing, struttura generale, setup() e draw(), prime funzioni geometriche line() rect() e variabili di interazione mouseX,mouseY

Si ricordano le seguenti buone attitudini di programmazione:

se non capisci perchè non disperare, il manuale di riferimento ha sempre ragione.

indentare può salvare la vita

==Link==
http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_3/lsys.html#OVR
http://pages.cpsc.ucalgary.ca/~pwp/bmv/vlab-for-linux/html-docs/environment.html#NEW

particle show:
super nova (robert hodgin)
grass (barbarian group)

multimonitor:
run, mpe (shiffman)
kaleido (suzung kim)

image processing:
shadow monster (philip worthington)
manual input session, messa di voce (levin / lieberman)

hardware:
piexel roller (rAndom International)
suddenMotion (Shiffman student)

=== Lezione del 05/04/2007 ===

=== Lezione del 12/04/2007 ===

Protocolli di trasmissione

Porta seriale:
uno per volta, uno dietro l'altro. se si parla di trasmissione dati seriale allora l'informazione viene inviata in forma di impulsi elettromagnetici in fila indiana. ciascun impulso puo' rappresentare uno o piu' bit. il computer per comunicare con gli altri computer dispone delle porte di comunicazione. la piu' diffusa porta seriale nei PC e' quella che corrisponde alle specifiche di uno standard internazionale denominato RS232-c, comunemente abbreviato con RS232. In altri termini e' uno standard del livello fisico. tale interfaccia prevede 25 fili e quindi 25 pin (piedini) che realizzano specifiche mansioni ove ognuna di queste e' numerata da 1 a 25.
RTS: segnale Request To Send. Es: il DTE del provider chiede al modem se può trasmettere.
CTS: Clear To Send, segnale che il ricevente invia al mittente per avvertirlo che può iniziare l'invio dei bit.

Midi v.s. Seriale
MIDI: Musical Instruments Digital Interface: standard per lo scambio dati di strumenti musicali elettronici. I file midi sono costituiti da una serie di comandi "Seleziona strumento 4", "Nota A on", "Nota A off" ecc. Il suono viene prodotto dal generatore (sintetizzatore) sonoro, in altri termini dalla scheda audio installata nel PC. Sara' proprio la scheda audio a determinarne la qualita'. I file midi sono disponibili anche in Internet ed hanno dimensioni ridottissime proprio per il fatto che contengono solo comandi e non musica (cfr. mp3).
http://it.wikipedia.org/wiki/Musical_Instrument_Digital_Interface

Nozioni di DSP
pitch bander, controller, control changer, frame rate

pic: circuito integrato a semiconduttore con funzioni di microcontrollore. si rimanda a http://it.wikipedia.org/wiki/PIC_(microcontrollore)

arduino: http://www.arduino.cc/ piattaforma hardware opensurce per controllare i/o fra diversi switch o sensori

controllo ttl: cicruito integrato a transistor (http://www.decision-computer.de/)

interruttori e relè
sensori audio differenziali
analisi di zero-crossing
pc-com

formati video, compressione temporale, mpeg2. gop e predicted frame, forte compressione ma difficoltà nello slowmotion e nel reverse
standard mpeg programmabile
codifica a constant bit-rate v.s. variable bit rate
stanrd dvd, blueray
decadimento della qualità nella compressione: artefatti di compressione
compressione distruttiva e non.

interfacce aptiche:
etimologia: deriva dal greco "apto", che significa tocco: con questo attributo si intende quindi qualcosa che ha a che fare con il tatto.
sistemi robotici che permettono una comunicazione di stimoli attraverso il senso del tatto, possono essere usati per la navigazione di ambienti virtuali (joystick per spostarsi dentro un videogioco). viene a crearsi quindi un canale di comunicazione bidirezionale - cioè gli stimoli generati sono intimamente indipendenti dalle azioni del corpo umano.

introduzione a puredata

*** per cortesia sarebbe possibile avere un riassunto (anche brevissimo, a punti) di ciò che è stato visto con puredata?
Sono stati visti Object, Message, Number, Symbol, Comment?
Sono stati provati esempi in classe?
***

=== Aggiornamento del 7/05/2007 ===

[http://www.interfaccenaturali.it www.interfaccenaturali.it]
 
Questo sito tiene traccia di quanto prodotto con il Professor Roveda e con i Tutor Pasteris e Pecoraro. 
La mappa del sito si compone di: 
- File Sharing : applicativi provati e file di esempio 
- Compitino : riassunto del materiale per la preparazione 
- Interactive Video Installations : pagina da costruire successivamente 
- Wiki : un iFrame contenente la wiki che stai leggendo 
 
l'hosting del sito è a cura di Doc. La costruzione è a cura di Dany. 
Per qualsiasi commento lasciare qui scritta una indicazione. Se necessario si può abilitare una pagina interattiva sul sito. 

=== Prima discussione per l'Installazione 10/05/2007 ===

- aggiornato il sito www.interfaccenaturali.it con il materiale da testare/studiare/preparare

- creato il [[:it:rete sociale|Social Network]] dal nome [http://interfaccenaturali.ning.com interfaccenaturali.ning.com]
FONDAMENTALE è che tutto il gruppo utilizzi questo strumento. In questo modo sarà possibile raccogliere tutte le informazioni in modo semplice e veloce. Sono stati creati appositi thread al forum principale con le relative descrizioni per tutte le categorie previste per il progetto.
Le si riassume qui:
- Programmatore
- Sistemista HW/SW
- Organizzatore
- Esperto Audio
- Esperto 3D Neoclide

Laboratorio di multimedia II M3/2006-2007

2011-01-12T17:24:24Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 195.201.131.5

[[Categoria:Corsi 2006-2007]]
<a href=" http://xpornhub.multiply.com ">Pornhub
</a> %((

=== Lezioni cancellate/spostate ===
-
=== Appelli ===

Compitino tenutosi 10/05/2007

Domande e commenti inseribili qui.
Il compitino ha avuto una struttura aperta, consisteva in 15 domande di cui una parte sulla comprensione di codice Processing e Puredata, una parte su conoscenze teoriche relative alla percezione visiva.
Dettagli sui voti: da aggiornare.
Per chi avesse perso o non superato il compitino, i Tutor hanno affermato che un costante ed assiduo impegno nella realizzazione della Installazione teatrale avrà come immediato riscontro l'incremento della propria valutazione.

== Informazioni generali ==

=== Docenti ===

Professor Stefano Roveda email: <stf [at] studioazzurro [dot] com>

=== Corsi di laurea ===

[[Comunicazione Digitale]]

=== Modalità d'esame ===

Progetto e relazione sugli argomenti trattati nel corso (non-frequentanti)

Realizzazione progetto hardware-software realizzato durante lo svolgimento del corso

=== Prerequisiti al corso ===

*[[Laboratorio di multimedia I]]
*[[Informatica grafica]], [[Realtà virtuali]] (consigliati)

=== Orari e luogo delle lezioni ===

*Giovedì dalle 8:30 alle 12:30 Aula 309 Settore Didattico via Celoria (città studi, metro piola) ''[http://www.dico.unimi.it/aule.php?z=309 info sulle aule]''

La frequenza non è obbligatoria ma molto consigliata (è un laboratorio!)

=== Orario di ricevimento studenti ===

Per il momento non confermati, per comunicazioni urgenti negli orari di lezione.

== Informazioni specifiche ==

=== Siti del corso ===

* [http://www.ccdi.unimi.it/it/corsiDiStudio/F47/curriculum/F47-40/F47-40.07.1/index.html Sito del Coordinamento Didattico di Scienze e Tecnologie Informatiche] (ex-portale d.i.c.o. e d.s.i.)
* Forum: http://dsy.it/forum/forumdisplay.php?s=&daysprune=1000&forumid=426
=== Materiale didattico ===
Ma che cavolo avete combinato!!!

=== Programma del corso ===
=== Testi ===
=== Glossario ===
*Threshold
Filtro per la binarizzazione di un'immagine. Si tratta di una soglia che riduce la profondità colore (tipicamente a 24 o 32 bit) a 1 bit solo. Se il pixel ha un valore superiore alla soglia (threshold) vale 1 altrimenti 0. Un'immagine trattata in questo modo permette calcoli come computo, localizzazione e vettorializzazione delle sagome.
*Ambiente sensibile
Spazio fisico che tramite l'utilizzo di videoproiettori, sistemi multimediali e sensori reagisce alle sollecitazioni pubblico. Oggetti comuni acquisiscono la capacità di raccontare e reagire instaurando una sorta di dialogo con il gruppo di visitatori.
*Interattività
Interazione mediata dall'uso di tecnologie informatiche che simulano una relazione fra esseri e fra esseri e oggetti.
*Normalizzazione
Un valore variabile fra un minimo e un massimo arbitrario viene scalato per essere compreso fra 0.0 e 1.0. Ad es. 0 < X < 1024 diventa 0.0 < X < 1.0. Valori relativi a range diversi fra loro (ad es le coordinate del mouse (-640 < 640) rispetto la luminosità di un'immagine (0 < Luma < 255)) dopo essere stati normalizzati diventano omogenei fra loro. Se tutti i sensori disponibili in un sistema vengono normalizzati sarà possibile sostituire l'utilizzo di un sensore con un altro di diversa natura senza correggere i parametri (fattore di moltiplica e offset)

== Diario del corso ==
=== Lezione del 08/03/2007 ===
*Inizio lezioni.
(teoria)
*Introduzione ai concetti di
Ambiente Sensibile, Interfaccia Naturale, Videoserver in cluster.
*Primi esempi di problematiche riguardanti i fruitori dell'informatica dell'entertainment.
*Visione in classe di video esemplificativi delle installazioni interattive Tavoli e Cori di Studio Azzurro ( http://www.studioazzurro.com/)
(laboratorio)
*Concetti di base come potenziometro
*Data Glove, guanti e fibre ottiche
*Motion Capture - implementazioni ottiche e meccaniche (telecamere ad infrarossi ed esoscheletro)
*Spunti di riflessione sulle possibili interpretazioni dei dati nel processo di digitalizzazione movimento reale

=== Lezione del 15/03/2007 ===
*Sviluppo del concetto di framework di gestione per installazioni interattive (server come macchina collo-di-bottiglia che raccoglie i dati di tutti i sensori, problematiche di lag da ridurre al minimo fino a scontrarsi coi limiti dati dal sistema operativo, problemi derivati dalla compressione dei vari formati multimediali - che non sempre conviene)
*Mappatura dei keyframe, accenni sulla gestione dei "salti" operando su derivate e gestione di offset
*Metodi sicuri e univochi per gestione di dati senzaperdita di coerenza

*In classe sono stati visti i seguenti programmi:
Sensori:
:EyesWeb ( http://www.infomus.dist.unige.it/eywindex.html - analisi dei segnali video e riconoscimento del movimento - piattaforma windows - freeware)
:R etina
Signal Processing:
:Processing ( http://processing.org/ - linguaggio di programmazione java-oriented ottimizato per la gestione di dati multimediali - multipiattaforma winows linux mac osx - freeware)
:Max/MPS + jitter ( http://www.cycling74.com/ - linguaggio visuale modulare ad oggetti basato per gestione la del suono e del video - windows mac osx - private software)
:PureData ( http://puredata.info/ - versione freeware di maxmsp scritta in c, piattaforma grafica per la sintesi di suono e video - multipiattaforma windows linux mac osx - freeware )
Render:
:Ogre ( http://www.ogre3d.org/ - motore 3d scene-oriented sviluppato in c++ - multipiattaforma windows linux mac osx - freeware)
:Neoclide
:Modul8 ( http://www.garagecube.com/ - programma di vjing per la gestione realtime di video - mac osx - private software )
:Arkaos ( https://www.arkaos.net/ - programma di vjing per la gestione realtime interattiva di video - windows mac osx - provate software )
Suono:
:CSound ( http://csounds.com/ - programma per la sintesi sonora realtime - multipiattaforma windows linux mac osx - freeware )
Protocolli:
:OSC ( http://www.cnmat.berkeley.edu/OpenSoundControl/ - OSC, OpenSoundControl, è un protocollo molto flessibile che serve per trasmettere dati tra software differenti, hardware->software, software->hardware )
:DMX ( http://it.wikipedia.org/wiki/Digital_MultipleX - Digital MultipleX, sviluppato nel 1986 su commissione della USITT (Istituto Americano delle Tecnologie Teatrali) per creare uno standard efficiente per la comunicazione tra console e dimmer, è un protocollo di trasmissione dati che si avvale dello standard internazionale EIA RS485 )

ed è stato espressamente consigliato un approfondimento da parte di ogni singolo studente

=== Lezione del 22/03/2007 ===

esperimenti in classe con neoclide e eyesweb

considerazioni sulla comunicazione fruitore-sensore-macchina-feedback come linguaggio post-simbolico (usare simboli che non hanno significati ovvi, codificati ma non simbolici per un ipotetico fruitore qualunque, processo di feedback come processo non deliberato, senza motivo strategico; es. l'attore munito di guanti dataglove che muovendo un dito controlla elementi scenografici, lo spostamento volontario delle dita è un'atto di comunicazione con il pubblico codificato ma privo di significato simbolico fuori dal palco)

interfaccia naturale come interaccia non arbitraria (situata "prima" di sovrastrutture preconcette culturali e tecnlogiche; es. movimento paritetico come la semplice deambulazione in uno spazio)

=== Lezione del 29/03/2007 ===

Lezione base su Processing, struttura generale, setup() e draw(), prime funzioni geometriche line() rect() e variabili di interazione mouseX,mouseY

Si ricordano le seguenti buone attitudini di programmazione:

se non capisci perchè non disperare, il manuale di riferimento ha sempre ragione.

indentare può salvare la vita

==Link==
http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_3/lsys.html#OVR
http://pages.cpsc.ucalgary.ca/~pwp/bmv/vlab-for-linux/html-docs/environment.html#NEW

particle show:
super nova (robert hodgin)
grass (barbarian group)

multimonitor:
run, mpe (shiffman)
kaleido (suzung kim)

image processing:
shadow monster (philip worthington)
manual input session, messa di voce (levin / lieberman)

hardware:
piexel roller (rAndom International)
suddenMotion (Shiffman student)

=== Lezione del 05/04/2007 ===

=== Lezione del 12/04/2007 ===

Protocolli di trasmissione

Porta seriale:
uno per volta, uno dietro l'altro. se si parla di trasmissione dati seriale allora l'informazione viene inviata in forma di impulsi elettromagnetici in fila indiana. ciascun impulso puo' rappresentare uno o piu' bit. il computer per comunicare con gli altri computer dispone delle porte di comunicazione. la piu' diffusa porta seriale nei PC e' quella che corrisponde alle specifiche di uno standard internazionale denominato RS232-c, comunemente abbreviato con RS232. In altri termini e' uno standard del livello fisico. tale interfaccia prevede 25 fili e quindi 25 pin (piedini) che realizzano specifiche mansioni ove ognuna di queste e' numerata da 1 a 25.
RTS: segnale Request To Send. Es: il DTE del provider chiede al modem se può trasmettere.
CTS: Clear To Send, segnale che il ricevente invia al mittente per avvertirlo che può iniziare l'invio dei bit.

Midi v.s. Seriale
MIDI: Musical Instruments Digital Interface: standard per lo scambio dati di strumenti musicali elettronici. I file midi sono costituiti da una serie di comandi "Seleziona strumento 4", "Nota A on", "Nota A off" ecc. Il suono viene prodotto dal generatore (sintetizzatore) sonoro, in altri termini dalla scheda audio installata nel PC. Sara' proprio la scheda audio a determinarne la qualita'. I file midi sono disponibili anche in Internet ed hanno dimensioni ridottissime proprio per il fatto che contengono solo comandi e non musica (cfr. mp3).
http://it.wikipedia.org/wiki/Musical_Instrument_Digital_Interface

Nozioni di DSP
pitch bander, controller, control changer, frame rate

pic: circuito integrato a semiconduttore con funzioni di microcontrollore. si rimanda a http://it.wikipedia.org/wiki/PIC_(microcontrollore)

arduino: http://www.arduino.cc/ piattaforma hardware opensurce per controllare i/o fra diversi switch o sensori

controllo ttl: cicruito integrato a transistor (http://www.decision-computer.de/)

interruttori e relè
sensori audio differenziali
analisi di zero-crossing
pc-com

formati video, compressione temporale, mpeg2. gop e predicted frame, forte compressione ma difficoltà nello slowmotion e nel reverse
standard mpeg programmabile
codifica a constant bit-rate v.s. variable bit rate
stanrd dvd, blueray
decadimento della qualità nella compressione: artefatti di compressione
compressione distruttiva e non.

interfacce aptiche:
etimologia: deriva dal greco "apto", che significa tocco: con questo attributo si intende quindi qualcosa che ha a che fare con il tatto.
sistemi robotici che permettono una comunicazione di stimoli attraverso il senso del tatto, possono essere usati per la navigazione di ambienti virtuali (joystick per spostarsi dentro un videogioco). viene a crearsi quindi un canale di comunicazione bidirezionale - cioè gli stimoli generati sono intimamente indipendenti dalle azioni del corpo umano.

introduzione a puredata

*** per cortesia sarebbe possibile avere un riassunto (anche brevissimo, a punti) di ciò che è stato visto con puredata?
Sono stati visti Object, Message, Number, Symbol, Comment?
Sono stati provati esempi in classe?
***

=== Aggiornamento del 7/05/2007 ===

[http://www.interfaccenaturali.it www.interfaccenaturali.it]
 
Questo sito tiene traccia di quanto prodotto con il Professor Roveda e con i Tutor Pasteris e Pecoraro. 
La mappa del sito si compone di: 
- File Sharing : applicativi provati e file di esempio 
- Compitino : riassunto del materiale per la preparazione 
- Interactive Video Installations : pagina da costruire successivamente 
- Wiki : un iFrame contenente la wiki che stai leggendo 
 
l'hosting del sito è a cura di Doc. La costruzione è a cura di Dany. 
Per qualsiasi commento lasciare qui scritta una indicazione. Se necessario si può abilitare una pagina interattiva sul sito. 

=== Prima discussione per l'Installazione 10/05/2007 ===

- aggiornato il sito www.interfaccenaturali.it con il materiale da testare/studiare/preparare

- creato il [[:it:rete sociale|Social Network]] dal nome [http://interfaccenaturali.ning.com interfaccenaturali.ning.com]
FONDAMENTALE è che tutto il gruppo utilizzi questo strumento. In questo modo sarà possibile raccogliere tutte le informazioni in modo semplice e veloce. Sono stati creati appositi thread al forum principale con le relative descrizioni per tutte le categorie previste per il progetto.
Le si riassume qui:
- Programmatore
- Sistemista HW/SW
- Organizzatore
- Esperto Audio
- Esperto 3D Neoclide

Fondamenti di architettura e programmazione

2011-01-11T08:15:29Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da Walter

Fondamenti di architettura e programmazione

2011-01-08T14:40:45Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da Walter

Fondamenti di architettura e programmazione

2011-01-05T00:26:25Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da Walter

Fondamenti di architettura e programmazione

2010-12-25T08:34:00Z

Walter:

Fondamenti di architettura e programmazione

2010-12-25T08:32:45Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 78.46.36.42

{{introduzione}}

http://www.adventuregamingstl.org/tramadol.aspx tramadol 8)) http://www.reclaiminglife.com/ buy tramadol us pharmacies xqn http://www.pcc2000.com/meridia.php meridia ozoid

== Informazioni ==

Corso Fondamentale del primo anno di Comunicazione Digitale.

===Crediti Formativi===

Il superamento di quest'esame da diritto a 18 CFU

===Programma del corso===

* I PARTE: Architettura degli elaboratori
* II PARTE: Programmazione in Java
- [http://homes.dsi.unimi.it/~mereghet/fap/cont/programma.html programma dettagliato ]

===Metodi didattici===

* Lezioni teoriche e di laboratorio in aula
* Esercitazioni settimanali in laboratorio seguiti da tutor (facoltative)

===Modalità d'esame===

* Scritto di teoria (sostituibile con i compitini in itinere)
* Progetto con relativa discussione

== Giudizio sul corso ==
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|5}}
{{Giudizio/Difficoltà|3}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|}}
{{Giudizio/Ore|3}}

[[Categoria:Corsi ComDig]][[Categoria:Corsi Primo Semestre]]

Fondamenti di architettura e programmazione

2010-12-03T07:51:50Z

Walter:

{{introduzione}}

== A.A. passati ==
{{annipassati|2006-2007|(Boldi, Cazzola)| T1}}
{{annipassati|2006-2007|(Mereghetti, Malchiodi)| T2}}
{{annipassati|2005-2006|(Mereghetti, Malchiodi)| T1}}

== Informazioni ==

Corso Fondamentale del primo anno di Comunicazione Digitale.

===Crediti Formativi===

Il superamento di quest'esame da diritto a 18 CFU

===Programma del corso===

* I PARTE: Architettura degli elaboratori
* II PARTE: Programmazione in Java
- [http://homes.dsi.unimi.it/~mereghet/fap/cont/programma.html programma dettagliato ]

===Metodi didattici===

* Lezioni teoriche e di laboratorio in aula
* Esercitazioni settimanali in laboratorio seguiti da tutor (facoltative)

===Modalità d'esame===

* Scritto di teoria (sostituibile con i compitini in itinere)
* Progetto con relativa discussione

== Giudizio sul corso ==
{{Giudizio}}
{{Giudizio/Interesse|5}}
{{Giudizio/Difficoltà|3}}
{{Giudizio/Nonfrequentanti|}}
{{Giudizio/Ore|3}}

[[Categoria:Corsi ComDig]][[Categoria:Corsi Primo Semestre]]

Fondamenti di architettura e programmazione

2010-12-03T07:50:53Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 93.92.136.69

{{introduzione}}
EnLFJm <a href="http://vyzbhogddfmy.com/">vyzbhogddfmy</a>, [url=http://uoxzmkfltklt.com/]uoxzmkfltklt[/url], [link=http://pcpftjmjystw.com/]pcpftjmjystw[/link], http://bxhjazlkmskq.com/

== A.A. passati ==
{{annipassati|2006-2007|(Boldi, Cazzola)| T1}}
{{annipassati|2006-2007|(Mereghetti, Malchiodi)| T2}}
{{annipassati|2005-2006|(Mereghetti, Malchiodi)| T1}}

== Informazioni ==

Corso Fondamentale del primo anno di Comunicazione Digitale.

===Crediti Formativi===

Il superamento di quest'esame da diritto a 18 CFU

===Programma del corso===

* I PARTE: Architettura degli elaboratori
* II PARTE: Programmazione in Java
- [http://homes.dsi.unimi.it/~mereghet/fap/cont/programma.html programma dettagliato ]

===Metodi didattici===

* Lezioni teoriche e di laboratorio in aula
* Esercitazioni settimanali in laboratorio seguiti da tutor (facoltative)

===Modalità d'esame===

* Scritto di teoria (sostituibile con i compitini in itinere)
* Progetto con relativa discussione

== Giudizio sul corso ==
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Economia dei beni musicali/Appunti/2007-2008

2010-11-25T15:51:06Z

Walter:

== Storia ==
=== Editoria ===
'''Metà 400''': tipografi inizio sistemi stampa musica, notazione musicale non attuale, tecniche si stampa molto incerte poiché non si sapeva come si sarebbe sviluppato il tutto.
In questi secoli(anche 500) comincia notazione musicale. Petrucci grande tipografo e inventore di certa forma di notazione e sistemi di stampa musicale (a caratteri mobili delle intavolature, strumenti a tastiera tipo liuti o chitarre...grafici delle tastiere e si vedono posizioni dita.) .
Suceessivi diversi sistemi (...).
Settecento: notazione incisa su lastre di rame, sistema rimasto in uso per moltissimo tempo, fino a una ventina- trentina di anni fa. Cambiati molto nei primi anni Settanta quando disponibili notazioni musicali paragonabili a Letraset (fogli con caratteri di plastica, schiacciavi e apparivano sul foglio). Prima fino agli anni Ottanta anche, si basava su lastre di rame. Grandi editori di musica ci hanno messo tantissimo a introdurre scrittura basata su computer, perchè venivano fuori pagine graficamente bruttine.
Quindi qsto sistema di incisioni nasce con l'invenzione della LITOGRAFIA, stampa con matrice pietrosa porosa finissima molto rara tramite cui ...(persa).
Si trasferiva incisione lastra su pietra e poi trasferite su fogli. Permetteva di fare tirature consistenti di musica ad alta qualità. Non a caso epoca del primo sviluppo editoria tedesca e italiana e vita di Beethoven.
Altra novità fondamentale: nascita del DIRITTO D'AUTORE.
Prima rapporti economici liberi, contratti a volte nemmeno scritti tra autori ed editori, compensi economici agli autori per pubblicare l'opera. Se editori di altre regioni stampavano la stessa muscia non c'erano leggi che potessero impedirlo.
1 legge importante sul diritto d'autore: 1791 circa, rivoluzione francese. Invece la prima costituzione di uno stato moderno che contenga un punto riferito al diritto d'autore si trova nella costituzione americana.
1875 in Italia e poi riformulata 1882 (nascita SIAE, ma non ancora riconosciuta dalla legge, promossa da Verdi e altri autori ed editori. Riconosciuta dalla legge nel 1941.).
Beethoven si colloca in un'epoca in cui ruolo musicista si stacca da musicista di corte e diventa professionista indipendente, e negozia da sé i lavori vari. Fine ottocento comunque ancora rapporti con l'aristocrazia, quindi i musicisti molto spesso rapporti con aristocrazia, Haiden ad esempio in servizio di una famiglia, Mozart a servizio del cardinale...con Beethoven (opere più famose più avanti nell'ottocento) diverso: lui era un imprenditore. Scriveva molto e lo faceva per attirare il pubblico, lo convocava per concerti sterminati, e Beethoven incassava dai biglietti. Però non era ubicuo, non poteva essere sempre in giro, altrimenti non avrebbe più potuto comporre. Quando la novità era passata e non poteva più guadagnare dai concerti, concedeva la pubblicazione ad un editore, e guadagnava pure lì! Astuto, però!!! Ma non c'era ancora nulla di simile comparabile ai diritti di esecuzione...quindi Beethoven non percepiva un soldo per l'ascolto delle sue sinfonie suonate da altri. Queste leggi arrivano molto più tardi.
In questa fase i rapporti sono fra autori ed editori, i quali sono dei tipografi che acquistano il diritto per stampare.
Altra forma di sfruttamento economico: noleggio delle parti: ancora oggi esiste. Per il tempo di rappresentazione o esecuzione si noleggia il brano- sinfonia direttamente dall'autore (o chi per lui).
Ciò riguarda la musica colta, ma anche la musica da camera, destinata agli esecutori “dilettanti”, che cioè eseguono la musica nelle proprie case. Questa nasce molto prima, settecento, nelle case della nobiltà, dove i nobili suonavano e cantavano per farsi fighi. A volte eseguite PER la nobiltà, altre volte DALLA nobiltà stessa. In Italia si chiamava, dal latino, “musica reservata”, il significato è intrinseco. Questa pratica va avanti negli anni, alla fine settecento e primo ottocento esistono già dei generi, in primis il quartetto d'archi, o pianoforte solo, pianoforte e violino, pianoforte e flauto...
Sia nell'aristocrazia ma soprattutto nella borghesia era consuetudine che ci fosse almeno qualche elemento della famiglia in grado di suonare uno strumento, specialmente le ragazze in età da marito...in ogni salotto borghese si trovava un pianoforte (verticale), era un must, per ascoltare musica in casa propria. Non c'era altro, non c'era il fonografo (fine ottocento), tanto meno altri mezzi di riproduzione meccanica del suono. Unico il pianoforte meccanico, a rulli (tecnica usata anche dai carillon). L'editoria, furbamente, sfruttava anche questo mercato.
Nello tesso periodo cominciava a sfruttare anche un'atra pratica antica, che, grazie alla tipografia, diventava sfruttabile commercialmente: la stampa dei testi delle canzoni e relativa linea melodica.
Tecnica usata e diffusa in tutta Europa, dall'Italia meridionale fino alla GB, venduti per una monetina attraverso distribuzione capillare passante per fiere di paese o venditori ambulanti. Sono solitamente adattamenti di vecchie melodie già note su testi nuovi. Gli editori invece vendevano canzoni scrtte da autori anche noti, e pagati per farlo. Una delle prime figure di questa storia di commercializzazione della musica è Steven Foster. Americano USA, inizia attività dopo aver studiato musica con un maestro europeo, comincia a scrivere canzoni per forma di spettacolo che negli anni 30- 40 dell'ottocento, Minstrel Show, molto curioso, ha segnato la storia dello spettacolo americano, alle origini di molte forme di spettacolo attuali: un miscuglio di varietà e commedia dell'arte all'italiana. Personaggi fissi parodizzati e situazioni varie. Personaggi: Mr. Interlocutor, funzione del presentatore- conduttore; discuteva con gli altri due personaggi: Mr. Bones (aveva delle nacchere fatte di ossa di pollo) & Mr. Tambo (da tambourine perchè suonava il tamburello). Erano travestiti da neri. Parodie degli afroamericani: spettacoli spesso ferocemente razzisti, i bianchi si trasferivano da neri per prenderli in giro, imitandone gli stereotipi: lo schiavo un po' stupido in stile zì badrone, e quello furbo che se la cava sempre, che rubacchia. Cantavano canzoni che, in teoria, erano simili alle musiche dei neri (ma scritte da bianchi). Spettacolo razzista, ma alla fine i bianchi creando questi personaggi a volte ne facevano apprezzare più le virtù. Tieni conto che tutta la tematica del razzismo fino agli anni venti nel novecento, era in termini molto diversi da oggi, una svolta decisiva fu data dalla shoa. Fino ad allora il riferimento alla razza e la relativa indicazione pregiudiziale era sostanzialmente normale. C'è una lettera di Gramsci che dice che una delle cose peggiori era l'invasione della musica dei neri in Italia. Molti illuminati facevano differenze di musica tra le razze...era normale, quindi figurarsi negli spettacoli, magari provinciali.
In questo contesto Foster introduce canzoni con carattere afroamericano, ma in cui i personaggi mettono in rilievo i sentimenti buoni dei neri, l'ingiustizia della schiavitù, perchè Foster era un'abolizionista (Abramo Lincon il leader politico, poi scoppiò la guerra di secessione...remember?). Canzoni che si chiamavano Etipian Songs, ed ebbero moltissimo successo. Da allora sono ancora famosissime come canzoni storiche, tutti gli americani le conoscono...anche noi: Oh Susanna (1848), Old folks at home (1851) [questa c'è nei film western].Struttura canzoni moderne: 2 chorus, 1 bridge, 1 chorus... Questo non era uno schema standard prima, è qualcosa che nasce proprio nell'ottocento.
Foster viveva anche di trascrizioni e adattamenti: in America non c'erano solo saloon, c'era anche una borghesia, quindi era un po' come in Europa: formazione comprendente anche studio della musica. Foster adattava musiche per questa borghesia. Scrisse molti brani per pianoforte e voce, in realtà molti presi da Donizzetti e Schubert.[Seguono ascolti di:
1) Schumann: a metà periodo tra Beethoven e Brahms. Fondatore di una delle prime riviste di critica musicale (ha lanciato Brahms, infatti). Strutture formali delle sue canzoni molto simili a quelle di Foster.
2) Beatles: Yesterday: stessa struttura melodica.]
Foster ottiene grande successo e si rivela anche un grande uomo d'affari. Si batte per ottenere di farsi pagare per canzoni che NON AVEVA ANCORA SCRITTO! E ci riesce! Caspita. Stila un contratto sostanzialmente ponendo le basi di tutta la contrattualistica, non più di cessione di un pezzo, ma di esclusiva: un autore promette di dare le sue canzoni solo al tal editore, e questi lo paga.
Foster è poi morto povero. La vittoria del Nord della secessione e dunque la liberazione degli schiavi provocarono un rovesciamento in tutta la situazione americana: i problemi cambiano, le posizioni di Foster non avevano più fascino, erano superate...Fu una situazione molto grave tra gli anni 60 e 70, perchè gli schiavi liberati prima vivevano dell'assistenza dei loro padroni, ma dopo la secessione si trovarono per la strada, arrivarono nelle città del Nord e formarono i Ghetti, prima inesistenti, gruppi enormi di gente povera senza lavoro e senza attitudini al lavoro.
Quindi c'è una fase di stallo nell'industria musicale americana, e dura fino agli anni 80 dell'ottocento, poi negli anni 90 c'è un boom allucinante anche lì.
In Italia c'era un'industria editoriale promettente in vari campi: Ricordi a Milano (prima metà ottocento), e molti a Napoli, regno delle due sicilie, sotto i Borboni. Questi editori stampavano musica per il teatro d'opera, per i dilettanti (camera) e fogli con le canzoni, specialmente a Napoli, e si chiamavano Copielle. Cominciano a circolare in grandi quantità alla fine degli anni 30, quando istituito per la prima volta un concorso musicale della canzone più bella alla festa di Pie di Grotta (7 settembre), incoraggiata in quegli anni perchè faceva parte della politica demagogica dei Borboni. La canzone vincente ebbe un immenso successo, tutti a Napoli cantavano questa canzone, criticata dalla Chiesa, perchè le pene dell'innamorato erano troppo sensualmente esplicite. Vendute un sacco di Copielle. Era “Te vojo bene assaje”! Caspita è così vecchia! In questa canzone c'è un altro modello formale (contende il predominio nelle canzoni occidentali al modello di Foster, in cui il titolo della canzone, Chorus, viene prima): prima antefatto e poi ritornello: parte più cantabile e memorabile e più “forte”. Se c'è una ripetizione spesso c'è un altro ritornello in seguito.
Anche a Napoli, quasi in parallelo agli USA, c'è un inizio di industria musicale della canzone, e poi una fase grigia, come negli USA il confine è l'impresa dei Mille e l'unificazione d'Italia: quando arrivano i Savoia a Napoli la festa di Pie di Grotta viene abolita, in parte anche per ragioni di ordine pubblico, non si voleva che i napoletani fedeli ai Borboni potessero trovarsi e confabulare contro i Savoia.
La canzone napoletana riprende nel 1880 con un grande successo internazionale, Funiculì Funiculà. Nasce una specie di jingle pubblicitario: era stata costruita una funicolare che saliva sul Vesuvio, e i napoletani non si fidavano e non ci volevano andare. Un architetto pensò che un modo per convincerli era diffondere una canzone. Ne scrisse il testo e la fece musicare a (perso)...il successo fu travolgente, la gente andava in funicolare, e si vendette più di un milione di Copielle. Primo grande successo commerciale!
Questo spinge altri autori ed editori a scrivere canzoni. Interessante evoluzione che avviene nel giro di pochi anni...spesso giornalisti, musicisti, insegnanti. I primi compositori di canzoni napoletane sono di diplomati al conservatorio e per guadagnare di più scrivono canzoni.
Però nascono anche i Parolieri! E appaiono dei musicisti che non hanno studiato composizione e non sanno leggere la musica, ma che cominciano scrivere perchè gli editori glielo impongono. L'epoca della maggior fioritura della canzone napoletana è la fine degli anni 90, e diventano un successone internazionale. La canzone napoletana ha un ruolo chiave per la nascita della discografia, poiché i primi a incidere sono autori di canzoni napoletane, specialmente Caruso.
Gli anni del ritorno al successo dell'industria musicale americana sono fine anni ottanta, ma specialmente anni novanta.
PRIMA FASE: molto legata a modelli ottocenteschi, canzoni modellate sulle ballate vittoriane inglesi, storie d'amore strappalacrime e stereotipate (ma bleah!). Una famosa è “After the ball” di Charles k. Harris, un'altra canzone che è un must per gli americani. Si vendono circa 5 milioni di copie testuali con melodia. Anziano signore che riceve visita di nipotina, che gli chiede perchè è solo, e risponde che aveva una fidanzata, ma lui le ha spezzato il cuore dopo il ballo. Segue descrizione del ballo. Parla della gioventù del signore, epoca del successo del walzer (infatti canzone in ¾). Testo davvero pesantissimo. Lui dopo il ballo la vede con un altro. Quando lei muore gli arriva una lettera: il tizio era suo fratello! Minchia che sfiga.
Questa canzone inaugura una stagione di grandi successi. In particolare a New York, che già allora era uno dei centri principali dello show business (anzi era l'unico perchè hollywood non esisteva), ed una delle città più grandi. A Broadway c'erano già molti teatri, e quindi molti editori: stavano sempre vicino ai teatri, quegli affaristi! Perchè era essenziale che le nuove canzoni avessero successo in teatro, perchè non esistevano altre forme di spettacolo. Quindi gli editori si concentrano nel quartiere dei teatri. Ciò si determina in tutte le capitali dello spettacolo del mondo. Tutt'ora a Londra c'è una zona di teatri per musical, e lì c'è una vietta, Danmark Street, dove ci sono tutti gli editori musicali. A Milano nella Galleria del Corso ci sono un sacco di editori musicali, perchè nell'ottocento quella era la zona dei Cafè Chantant. A New York questa zona riceve un nome, molto importante, Tin Pan Alley (= vicolo della padella di stagno, a basso prezzo, coniata da un autore di canzoni che era anche critico e che l'aveva usata in un articolo di giornale). Il nome del quartiere è poi diventato il nome dell'industria musicale di quell'epoca. Così come in Italia si parlava di Galleria del Corso. Questi termini delineando il quartiere, l'industria e un certo tipo di canzoni, le canzoni classiche americane dei primi anni dell'ottocento, dei primi musical.( NB: industria EDITORIALE, non discografica!!!)

19/10/07
Per un lungo periodo di tempo l'industria editoriale aveva il monopolio dell'industria musicale perchè se qualcuno voleva ascoltarsi della musica o se la cantava, o se la suonava, non c'era altra disponibilità di musica nella propria casa, fino alla fine dell'Ottocento.
Esistevano, come già detto, le attività musicali domestiche, specialmente il pianoforte in salotto.
Fine Ottocento: sistemi di riproduzione meccanica del suono, anche per ascoltare musica per strada: organetti a manovella detti “di Barberia”. Specie di grossi carillon, rulo metallico con denti che provocano il suono di piastre, corde e via dicendo. Oppure pianoforti a rullo di carta forata, arrivato in questa forma sperimentale fino ad anni molto recenti. Rulli realizzati:
 a mano;
 meccanicamente, un musicista suonava, e mentra veniva registrato veniva anche creato il rullo.
Molto usato nel Ragtime: Scott joplin, George Gershwin (suono sincopato).
1920: Jelly Roil Morton considerato il primo pianista jazz. Ma agli esordi, in realtà, il Jazz era sostanzialmente Ragtime. Nei primi anni il grammofono doveva confrontarsi con il pianoforte a rullo, che, qualitativamente, aveva un suono migliore, più pulito e preciso. All'inizio, anche per questo, lo sviluppo della discografia fu difficile.

Fonografo: 1878, by Edison. Apparecchiatura che incideva con una puntina un solco su una sottile lamina di stagno. Se il suono era più forte era maggiore l'escursione della puntina. Edison fu un inventore multiforme, creò anche prima lampadina e la prima miglioria del telefono: la corrente era quella generata dal piccolo trasduttore interna alla cornetta del telefono: non arrivava a grandi distanze. Esisteva un problema di trasmissione delle notizie: queste, macando l'amplificazione, venivano perse o tradotte male. Edison pensò ad un modo per registrare queste notizie. Il fonografo. Utilizzato, tuttavia, più come strumento di battitura. In realtà pensò ad altro, lui, a raccogliere le ultime volontà, giochi per bambini...Esiste un catalogo con tutti gli intenti.
Pensò, comunque, anche alla musica. Però, il suo fonografo poteva registrare una stretta banda, si perdevano i bassi e gli acuti...E la durata della registrazione era limitata dalla dimensione del cilindro. Poteva quindi essere funzionale per la battitura, ma meno per la musica.
A partire dagli anni '80 Edison e altri tecnici lo svilupparono: la lamina di stagno venne sostituita da un rullo di cera, e la qualità sonora delle registrazioni migliorò un po'.
Iniziarono quindi registrazioni di strumenti adatti ad essere riprodotti dal fonografo.
Ciò è molto importante perchè determina lo sviluppo successivo del mercato musicale:
 Dimensione cilindri limitata. La durata standard di una musica da ballo, però, non era dimensionata in base al supporto, ma alla resistenza dei ballerini. Duravano intorno ai 9 minuti. Dunque lunghezze stratosferiche per i fonografi. Tuttavia le arie delle opere liriche erano più brevi, in base alla resistenza dei cantanti. Per di più la musica vocale, specie nell'estensione maschile del tenore, andava bene per la risposta in frequenza del fonografo: le prime registrazioni di successo commerciale siano state di arie cantate da tenori (primo artista fu Enrico Caruso, per cui scrisse persino D'Annunzio!).
L'unico strumento di registrazione e riproduzione era quindi un imbuto collegato al fonografo, un trasduttore meccanico al termine di cui una membrana messa in vibrazione dalle onde sonore, l quale poi faceva vibrare la puntina.
L'equilibrio tra una voce e gli strumenti era dato dalla posizione degli strumentisti, e gli strumenti erano scelti secondo le migliori / peggiori caratteristiche sonore e frequenziali rispetto alla riproduzione. Fu così riscoperto il clarinetto, mentre altri furono quasi aboliti, poiché le loro frequenze uscivano dal range del fonografo (es. ottavino e contrabbasso).
Nella musica Kletzer (musica degli ebrei)il tipico strumento solista era il violino, e qui venne sostituito sempre più dal clarinetto, sempre per gli stessi motivi. Un esempio tipico è quello di Iorke Atlee, un fischiatore. Era un impiegato del governo, e il fischio era perfettamente allineato con le frequenze del fonografo, e le registrazioni del fischiatore ebbero molta diffusione. Fischiava i migliori successi.
Il Ragtime, anche, era molto di moda, e la Musica per Banda. Epoca di alcune importanti bande militari USA, principale la Marines Band di Johan Philip Sousa: i dischi e i cilindri della stessa ebbero molto successo, poiché il suono della banda suonava abbastanza bene. Egli fu importante anche perchè fu a capo della lobby che ha costretto il governo americano a firmare il Copyright Act del 1909, prima legge che prende in considerazione le forme di distribuzione della musica e ne stabilisce le regole.
Andavano molto di moda anche le canzoni che facevano ridere, era più una specie di gioco, stupiva.
Es. Burt Shepard , “Laughing Song”, intrattenimento comico di moda nei teatri di cabaret americani.
Ultimo aspetto limitativo del fonografo: a che fare con processo industriale: non sempre nella storia della tecnologia applcata alla musica la soluzone tecnicamente migliore vince sul mercato. Es. mp3 contro i wave. Problema del cilindro: le registrazioni su silindro non si potevano duplicare! Di conseguenza, per espandere il mercato, era necessario fare rieseguire lo stesso pezzo più volte. I musicisti per incidere erano pagati a seduta, a performance, a ore. Il cantante cantava venti, trenta volte la stessa canzone che poi veniva distribuita. Ogni volta la registrazione veniva fatta su più fonografi, 20, in batteria, che registravano contemporaneamente. Ad un certo punto fu inventato un sistema con dei pantografi che distibuivano la vibrazione della membrana su più puntine (quindi un solo imbuto).
Questo era un limite molto grave, quindi destinato ad essere sopraffatto da un altro prodotto duplicabile: il Grammofono, inventato dieci anni dopo da un ingegnere tedesco stabilitosi negli USA, Emile Berliner, che inventò il DISCO: un supporto piatto, dove l'incisione viene fatta a spirale (all'inizio iniziava dal centr come nei cd, poi il contrario), con un solco inciso da una puntina che oscillava in modo trasversale invece che longitudinale. Novità: incisione fatta su una lacca, che veniva tuffata in un bagno dove si depositava sulla lacca uno strato sottile di metallo, che la rendeva una matrice una volta asciugato. E sopra questa rimaneva un incisione, su cui sarà poi applicato ancora lo strato metallico etc. La gomma lacca era quindi fonamentale per questo sistema. Aveva delle proprietà meccaniche non eccezionali, poiché rigida e fragile come un vetro di bassa qualità, però conservava abbastanza bene il suono. Berliner concepisce sin dall'inizio il suo strumento come finalizzato ad una produzione musicale di massa, che il modo più razionale per pagare i musicisti sarebbe pagarli a seconda delle colpie vendute. Era avanti!
All'inizio Edisone e Berliner sono feroci avversari, ma Edison poi si rende conto che non può competere, si fondono le società e si mettono d'accordo sul nome del prodotto. Quello di Berliner era il Grammofono, quello di Edison Fonografo: decisero per quest'ultimo (anche se in Europa è rimasto Grammofono!). Il nome dell'industria di Berliner era però Grammofon, nome entrato nella storia della discografia internazionale e diffuse molte sedi in tutto il mondo. In Germania La Deutsche Grammofon, ancora esistente.
Ad un certo punto si cominciò a fare contratti con artisti, il primo fu Tamagno (tenore), primo contratto basato sulle royalties, e, subito dopo, Caruso.
Altro aspetto importante: non essendo la discografia riconoscuta come una possibilità dalla legge sul diritto d'autore, fino a che le leggi non furono adeguate i discografici non pagavano nulla. Quindi fino al 1909! Dopo nacque anche il diritto connesso, riferito al trattamento del diritto di un'opera riprodotta (supporto fisico). Poiché, prima, l'opera era protetta in quanto stampata, e il diritto riguardante la registrazione era considerato secondario e connesso.
L'industria discografica comincia ad aver un mercato significativo all'inizio del Novecento, sia in Europa sia negli USA sia in altri paesi, non solo in quelli più sviluppati tecnicamente ed economicamente. Es. Indonesia: fine anni '10 si vendeva un milione di copie di dischi. Questo perchè la tecnologia di fabbricazione non era troppo complicata, e esistevano fabbriche di dischi anche in paesi dove altre fabbriche non esistevano. Utilizzavano operai non specializzati, dovevano solo inserire un panetto in una pressa e usciva il disco. I dischi resistevano anche a temperature alte e basse.
In seguito non è stato più così dagli anni '40 per il vinile: in Africa si sfaldavano, si piegavano. E ancora negli anni '70- '80 si stampavano dischi a 78 giri non in vinile, e fu poi sostituito dalle cassette. Allo stesso modo si potrebbe parlare dei cd: fabbriche molto costose, personale altamente specializzato, protezione rispetto a polvere e agenti inquinanti. Quindi la diffusione nacque solo dopo l'invenzione del masterizzatore. Ancora oggi masterizzano i cd, persino nei negozi di dischi.
Evoluzione tecnica principale: dopo fine 1^Guerra Mondiale, che porta allo sviluppo by Leader Forrester della valvola termoionica (diodo o triodo). Permette di amplificare una corrente: quindi anche quelle portanti segnai audio: utilizzando un trasduttore che trasforma l'energia in elettricità: la membrana solidale con una bobina immersa in un campo magnetico. Per l'induzione se si varia una corrente in un circuito si provoca una variazione nello stesso: muovendo la membrana nella bobina si crea una corrente. Quindi si poteva amplificare il suono, ed incidere la lacca con un segnale più forte.
Anni '10 mercato ampio: decine di milioni di copie in diversi paesi del mondo, anche se diffuso negli strati sociali più alti: non mercato di massa, raggiunge famiglie di piccola e media borghesia, non meno, perchè il giradischi e i dischi costavano.
Questo comporta che gli editori siano interessati a che le loro musiche vengano incise il più possibile, poiché possiedono il copyright, avendo un contratto con un autore, e grazie al mercato discografico l'editore può guadagnare anche solo coi diritti, senza nemmeno vendere gli spartiti.
All'inizio di quest'industria era difficile capirlo, e se ne sono resi conto quanto, nel 1917, c'è stato uno sciopero dei tipografi, eppure hanno visto che dai diritti d'autore avevano comunque guadagnato ciò che anni prima avrebbero guadagnato vendendo tantissime stampe.
Oggi questo è il meccanismo dominante, quasi nessuno compra spartiti, nonostante ciò gli editori sono quelli che guadagnano di più sulla musica.
Fenomeno tipico della discografia: interpretazioni multiple (cover).

[Cantautori nascono fine anni '50 perchè in quegli anni cambiano i rapporti di forza tra editoria e discografia]

=== Spettacoli: Cabaret, Cafè Chatant, Musical ===
Ci ha fatto vedere dei filmati di due dei maggiori esponenti della canzone francesce degli anni 50- 60. Hanno avuto un'influenza allucinante sulla musica italiana. Molti hanno fatto cover, ma altri li hanno proprio copiati, rasentando il plagio. A Parigi c'erano due locali molto importanti. L'ultimo era una specie di teatro erede del cabaret. Invenzione risalente agli anni seguenti la fine della rivoluzione francese. Le canzoni interpretate nel cabaret erano spesso canzoni contro il potere. Quindi il cabaret viene identificato da ironia, parodia e attacco contro il potere, pubblico borghese e intellettuale ma non solo. Nasce ai margini della buona società, punto dove si incontrano classi diverse. E' un po' così in tutto l'ottocento in tutta europa e non solo. Sono fra i primi locali in cui si costruisce una nuova forma di economia musicale, con un pubblico pagante, e paghe ai musicisti, e sono diversi rispetto ai luoghi deputati alla musica nei secoli precedenti, quali le piazze, le chiese o le case patrizie e i luoghi della nobiltà. La novità del cabaret ha quindi a che fare col cambiamento delle classi sociali, prende il sopravvendo la borghesia e prende “potere” anche nella musica e nelle altre arti. L'attività concertistica si sposta dalle case patrizie e le corti alle sale da concerto, teatri, locali creati apposta per la musica. Il possesso dei teatri era di ci possedeva i palchetti. L'intrattenimento diventa, quindi, una parte del processo di scambio economico.
Il cabaret è quindi francese, ma in altre parti d'europa esistono cose simili. In alcuni casi questi locali erano in realtà dei bordelli, poiché erano istituzioni importanti per la vita sociale. Esempio: il fado, tradizione afro- brasiliana importata in portogallo: le protagoniste erano sia prostitute che cantanti. Anche nei primi anni del novecento rimane il legame tra la nascita dell'industria musicale moderna e i margini più sociali.
Quando nascono locali che diventano i luoghi principali dove si fa spettacolo, si chiamano i CAFè CHANTANT, intorno agli 80- 90 dell'ottocento. Esempio: il Moulin Rouge. Cantanti, ballerine, prestigiatori, comici, orchestrine...base per tutto il novecento e anche tuttora dello spettacolo di varità. A Parigi convivono il Cabaret e il Cafè Chantant. Il secondo è più lustrini, più tette...Il primo è più intellettuale e politico. Convivono perchè gli stessi artisti giravano dall'uno all'altro e viceversa.
Tra gli anni 50 e 60 del novecento il Cabaret diventa il fulcro della musica.
Il Cafè Chantant diventa il simbolo del lusso della belle epoque e si diffonde in tutta europa. I primi aprono a napoli, Il Salone Margherita, dove poi riapre il Festival di Pie di Grotta. In Italia le cantanti si sceglievano nomi d'arte francesi e cantavano con la r moscia.
Nascita in Spagna dei Cafè Cantantes, dove si sviluppa il flamenco.
In Egitto, in Turchia persino. Negli USA si chiama il Music Hall, dove avvegono forme di intrattenimento diverse: il primo è il Minstrel Show (quello razzista, vedi lez I); ilm secondo il Varietà, in cui si alternavano dei cantanti che cantavano canzoni di successo, più comici, ballerine.
Che rapporti tra queste forme di spettacolo e l'industria musicale?
Ritorno a Broadway, la zona degli editori di musica: non c'era la radio, e il disco era ancora poco preciso, dunque non esisevano forme di promozione delle canzoni: avveniva solo attraverso gli spettacoli, organizzati però dagli impresari dello spettacolo, non dagli editori. Era quindi fondamentale per questi far in modo che le canzoni andassero in teatro, perciò gli editori dovevano stare a stretto contatto coi teatri. A New York la zona dei teatri era Broadway, quindi gli editori si misero nelle stradine ad esso perpendicolari, per far sì che chi organizzava gli spettacoli potesse trovare subito gli editori.
Le proposte avvenivano attraverso agenti di vendita: i Song Plugger (che sapevano suonare il pianoforte), stavano negli uffici degli editori. Arrivava un impresario o un cantante, e chiedeva di far sentire le nuove canzoni. Se piacevano poi compravano lo spartito, e se poi finiva dentro uno spettacolo la promozione era fatta, perchè poi il pubblico sarebbe adata a chiedere lo spartito per risuonarsele a casa.
Per potenziare il successo della canzone si poteva poteziare; i Song Plugger, dopo il lavoro, giravano per i teatri e applaudivano alle loro canzoni (la cosiddetta clack). Questi musicisti che si riducevano a far i Song Plugger, dovevano suonare su pianoforti anche stonati. Passare per quelle strade sembrava di sentir uno sferragliare...infatti uno scrittore disse che sembrava una Tin Pan Alley, ovvero la strada delle pentole di ferro. Nome che restò sia per la zona, sia per l'industria musicale, sia per le canzoni di quel periodo.
Poi la zona si è spostata, ma il nome è rimasto. Lindustria ha cambiato nome, le canzoni rimangono tuttora, ad esempio molti standard jazz.
Negli anni 10 ci fu un'evoluzione: gli impresari cominciano a pensare che per attirare il pubblico lo spettacolo non deve aver solo piume, tette etc...ma deve avere un'organico, e pensano a qualcosa di simile all'operetta. Allo stesso tempo gli autori di canzoni cominciano a pensare che, dal loro punto di vista professionale, sia più gratificante scrivere tutte le canzoni di uno spettacolo, piuttosto che canzoni sparse. Si comincia quindi a pensare a scrivere canzoni legate tra loro, e che l'autore scriva sia testi che musica. E' la nascita della Music Comedy, sviluppatosi poi in Musical. Diventa una forma di spettacolo di grandissima attrattiva negli anni 20. I protagonisti furono George Gershwin, che arrivò a fare questo mestiere dal mestiere di Song Plugger. Inoltre Grone Curne, Call Porter, Rogers, George Caune...
“I get a kick out of you” ha lo stampo delle canzoni tipiche di Tin Pan Alley: parte introduttiva delle canzoni, stessa funzione che nell'opera ha il Recitativo. L'introduzione era il Verse, poi Chorus x 2, poi Bridge. Questa è la struttura base, poi ci possono essere variazioni.
Bisogna parlare anche dei testi! Ci sono riferimenti ad un certo tipo di vita, ad una divisione in classi: parlavano della vita della buna società newyorkese, dei milionari dell'epoca. Era una Society Verse (traduzione di Verse de Societè): poesia basata su un linguaggio sofisticato, che descrive la vita dei privilegiati, eran le pagine dei pettegolezzi che apparivano sui giornali. Però erano davvero raffinati, e succedeva che, come in Italia oggi certe persone di classi sociali svantaggiate comprano i giornali di pettegolezzi, allora negli USA le massaie della sterminata provincia compravano i quotidiani di New York e attraverso queste poesie scoprivano cosa succedeva ai ricchi.
Queste poesie sono le ispirazioni degli autori di Tin Pan Alley dagli anni 10 in poi. Quindi si mette il sentimento in secondo piano, e ci si dedica più alla società.
[Leggiamo “I cant get started” di I. Gershwin e V. Duke. 1936. Tratto dal Musical Zigfeld Follies. Zigfeld era l'impresario più famoso. Il testo è tra due personaggi: Peter, un milionario che ha fatto nella vita centinaia di cose con estremo successo. Christine è una giovane signorina che Peter sta cercando di conquistare...invano eheh! A quel tempo in Italia c'era “mamma perchè non mi compri mai i balocchi e compri sempre i profumi per te”, eravamo molto più legati alla famiglia dell'ottocento. Beh questo Peter se la tira una cifra e alla fine si rivela uno stronzo.]
Cabarett tedesco: scena musicale e drammaturgica che ha prodotto conseguenze inaspettate. Nasce alla fine dell'ottocento er mano di poeti tedeschi, che si mettono a scrivere poesie in canzoni. I testi di queste vengono musicati da diversi musicisti, di estrazione sociale diversa, da Strauss a Brams a Schoenberg, fino ai musicisti molto meno colti. Il cabarett tedesco amplifica le caratteristiche intellettuali e politiche di quello francese. E' quindi frequentato dagli intellettuali più in vista, come Thomas Mann, Kurt Vaine...I più raffinati. Questo fa sì che il cabarett tedesco venga spazzato via dal nazzismo, e gran parte dei protagonisti siano emigrati ad esempio negli USA, ma anche altrove.
Pezzi di teatro di Brecht e Vaine che contengono molte canzoni famose e “contro”: gli spettacoli erano pensati come forme di teatro popolare, non come alta cultura d'elitè. Avevano il modello del jazz e del Musical americano. Questo fu, in effetti, il risultato, poiché gli spettacoli erano sì sofisticati, ma in linguaggio popolare. Quests forma di spettacolo sarà molto influente dopo la guerra, quando verrà ripresa in Francia, Italia, Stati Uniti. Bob Dylan stesso scrisse che ciò che gli ha cambiato la vita e ha costituito il suo modello furono le canzoni di Brecht e Vaine.
[Ascoltiamo un pezzo dell'Opera da Tre Soldi, “Kanonenzong”Canzone sui soldati che, sostanzialmente, crepano inutilmente.]

=== Musica da film ===
Musica diegetica: musica ascoltata dai personaggi del film.
Musica egetica: musica che è estranea allo svolgimento del film, tuttavia a volte necessaria. Spesso è composta apposta per il film.
Per entrambe si può usare qualsiasi tipo di musica, sia già esistente, sia realizzata apposta.
Una parte importante della industria musicale è presa dalla musica da film, che promuove altri tipi di mercato rispetto a quello cinematografico, ad esempio quello discografico.
Da molte colonne sonore di film sono stati tratti cd e compilation che rivangano vecchi successi. Diventa quindi un'operazione commerciale.
Negli annni 50 e parte dei 60 il mercato discografico era molto alimentato dalla musica da film, poiché le canzoni dei film venivano vendute come singoli di 45 giri, e i compositori insistevano che ci fosse almeno un pezzo, il title theme, venisse commercializzato e potesse avere un suo successo discografico. Introdussero quindi una diffusione anche di pezzi strumentali. Il pubblico si era talmente abituato ad ascoltare questi, che la musica strumentale ebbe per anni molto successo nelle classifiche pop.
Exodus, film del 1961, colonna sonora da Ernst Gold che vinse l'Oscar. Da questa musica furono tratte diverse versioni anche in forma di canzone, che ebbero un notevolissimo successo nelle classifiche.

[Fenomeno Cover: Può essere anche la prima versione, è in italiano che si intende solo altra interpretazione o addirittura traduzione. In realtà il significato è solo registrazione di una canzone. Allora gli editori cercavano di sfruttare il mercato, poiché possedevano i diritti delle canzoni, perciò il loro obiettivo era di far incidere le canzoni da più interpreti possibili. L'interesse dei discografici non era identico: cercavano di vendere il maggior numero possibile dei LORO dischi, perciò avere più artisti in diverse case discografiche con la stessa canzone non era conveniente. ]

Nella musica da film si partiva da un tema, e rapidamente i discografici organizzavano più versioni dello stesso, e le mettevano sul mercato.
La versione più di successo di Exodus fu quella di Ferrante & Teicher.
Ne fece una anche Nico Fidenco, nel 1961, uno dei primi cantautori italiani, incideva per la RCA, il cui arrangiatore era niente popo' di meno che Ennio Morricone.

Flussi economici:
 Commissione per la colonna sonora: contratto a compenso con l'autore per la composizione e l'orchestrazione. Questo coinvolgeva molte figure, poiché l'autroe aveva tempo solo di scrivere i temi al pianoforte.
 Diritti d'autore: i cui fondi provengono dagli incassi dei film
 La colonna sonora viene messa in commercio da una casa discografica. Esistevano dei rapporti societari diretti tra case cinematografiche e case discografiche. Es MGM aveva la sua. Anche la United Artists. In altri casi i proprietari dell'opera cedevano i diritti ad una casa discografica, e può valere anche l'opposto , in cui la casa discografica chiede i diritti di sincronizzazione.
 Una parte degli incassi va agli autori ed editori della musica. Viene distribuita non quando il disco viene venduto, ma quando viene stampato.
 Ci sono altri diritti generati da un brano, quando il disco contenente la colonna sonora viene trasmesso in radio o televisione.
 Altro flusso finanziario importante: gli interpreti ed esecutori. Compensi diretti oppure compensi dalla casa discografica. E ci sono le Royalties derivanti dalle vendite dei dischi, cifra compresa tra il 5 e l'8% sulle vendite.

=== Musica Afroamericana ===
Dai conservatori bollata come lasciva, dai boghesi invece bella e da sperimentale.
Cake walk: camminata della torta. Consuetudine degli afroamericani ai tempi della schiavitù di scimmiottare i loro padroni bianchi. Si travestivano e facevano passeggiate. Il premio per chi imitava meglio le camminate dei ricchi era una torta, da cui il titolo del tipo di ballo.
Gli stessi bianchi conoscevano questa camminata della torta, e a loro volta scimmiottavano i neri nel Minstrel Show.
Il ritmo era un movimento sincopato, che determina nel ballo una novità, e dà successo anche alle orchestre nere. Il ritmo sincopato è lo stesso del rag time, una forma strumentale usata come forma d'intrattenimento, la versione raffinata dei cake walk.
Negli anni dieci il cake walk si tramuterà poi nel jazz.
La diffusione e la denominazione degli stili derivano dai gruppi che hanno avuto successo.
Jazz era un termine che si usava in modo spregiativo per rappresentare la musica che si suonava nei locali malfamati. La ragione per cui gli “Original Dixieland Jazz Band” utilizzarono questo nome deriva da quando andarono a Chicago a fare un concerto, ma il sindacato dei musicisti di chicago non li voleva, e li costrinse a chiamarli così pur di farli suonare.
Ragtime:
Un suonatore russo: Urvin Berlin. Il successo di “alexander's rag time band” fece sì che berlin gfosse considerato il padre del rag time, mentre in realtà è Scott Joplin. Ma questo è uno standard degli usa: i bianchi fanno successo con la musica dei neri.
Il successo del Jazz costituisce una novità anche nell'assetto dell'industria, poiché nasce dall'improvvisazione, e quindi non ha molto senso che circolino spartiti in forma stampata. Il successo del pezzo deriva dallo stile dei musicisti e dei cantanti, dal suono. Cominciano ad esserci d'altro canto pezzi che hanno molto successo in quanto a dischi, ma non in quanto a edizioni stampate di spartiti.
Il Blues:
Comincia a circolare all'inizio del Novecento, canzoni che hanno la parola “blues” nel titolo. Ad esempio “St. Louis Blues”. Che però non ha la struttura tipica del blues: quello vero è basato su una ripetizione costante di 12 battute. Questa invece è costruita come le canzoni di Tin Pan Alley, le canzoni dei bianchi, dei Beatles: strofa fatta come un Blues, ritornello come un Pop. Questo è l'inizio di un'evoluzione dello stile, è più commerciale, è stato scritto apposta per essere venduto.
Le musiche Blues vere erano molto meno definite strutturalmente, sono nate nel delta del Missisipi.
Molti musicisti imparano poi a suonare il Blues dai dischi, perciò si sviluppa nel senso più commerciale della cosa.
I dischi degli afroamericani erano inizialmente per gli afroamericani. Era un epoca in cui la nozione di razza era considerata un concetto legittimo per descrivere la diversità, ed era accettato anche dagli intellettuali progressisti, Gramsci stesso parla della musica dei negri come una musica pericolosamente lasciva e sensuale e corrompente. Bela Bartock ancora negli anni venti parlava di razza...Non era quindi un termine bollato, come poi lo sarebbe stato dopo il fascismo e il nazismo.
Allora era un temine che circolava molto. Questo spiega perchè i dischi che venivano fatti dagli afroamericani venivano chiamati “Race Records”, cioè dischi di valore. Il produttore era Ralf Peer, un personaggio importantissimo nella storia della musica: inventore dal punto di vista commerciale del Blues e del Country, e fondatore della Southern Music. Si scoprì poi che questi dischi venivano comprati anche dai bianchi, e attraverso questa produzione diventarono famosi dei cantanti afroamericani del City Blues, il blues urbano. Ad esempio Bessie Smith, Billie Holiday, Louis Armstrong.
Il Blues ha origini rurali, legato agli afroamericani che facevano i lavori più umili, che costruivano gli argini del Missisipi, o nei campi, o nelle ferrovie...ma arriva nelle città e diventa anche un genere consumato dai bianchi, all'inizio degli anni venti.
Billie Holiday ha una carriera di Blues ma anche Jazz, il Jazz degli standard, del circuito dei locali da ballo, utilizzando materiali musicali di Tin Pan Alley e dei Musical di Broadway, e improvvisandoci.
Delta Blues- Country Blues (espressione molto sviante, ma significa blues rurale, che nasce nel sud degli USA):
i bluesman erano uomini che lavoravano duramente. Le loro esibizioni avvenivano in contesto molto informale, erano dei poveracci che nelle loro feste cantavano le loro canzoni e facevano ballare la gente. Spesso usavano la chitarra o strumenti autocostruiti, a somiglianza con certi strumenti della tradizione africana, con una corda sola che poteva essere pizzicata o sollecitata con colli di bottiglia o fiale del tabacco da fiuto. E' poi la tecnica della Slide Guitar.
Si ricordano alcuni di questi musicisti che, quando i primi etnomusicologi gli chiedevano di suonare, si facevano prestare da loro la chitarra, poiché non avevano i soldi per comprarla.
Esistevano due tipi di dischi: produzione locale fatta da discografici senza scrupoli, che non pagavano royalties e pagavano pochi soldi per l'incisione. Erano il riflesso dei Race Records. Da un certo momento in poi, a partire dalla Librarial Congress cominciano dei viaggi di studiosi di folklore, con giradischi registratori. Invitavano i musicisti a suonare incidendo, e alcuni di questi cantanti diventarono anche famosi, e sono il collegamento tra il Delta Blues e il Rithm And Blues.
Robert Johnson è un bluesman leggendario, poiché quando i ricercatori, saputo della sua fama, lo cercarono e riuscirono arrivare alla casa dove aveva abitato era ormai morto, quindi esistono solo copie dei dischi fatti dai discografici senza scrupoli.
Drammaturgia del testo: canta il suo primo verso, ma può aggiungere e togliere battute a suo piacimento, dato che suonava da solo.
Più avanti il Blues diventerà canonico con le 12 battute e il cambio di accordo dopo le prime 4, poiché sarà suonato da gruppi e non da singoli.
Un altro scoperto da Allan Lomax e che diventò poi una star è Muddy Waters.
Un altro è Leadbelly, il primo ad avere un successo discografico in tutti gli USA.
Alcuni iniziano a usare la chitarra elettrica e ad avere una band di accompagnamento, e si avvicinano di più ai gruppi che suonavano nei saloni da ballo. E poi sfocia nel Rock & Roll.
Durante i primi anni venti Ralph Peer comincia a cercare altre musiche nascoste, e scrittura musicisti di altre provenienze, tra cui un gruppo di bianchi che vengono dalla regione degli Apalachi, che utilizzano strumenti della tradizione musicale europea e musiche della tradizione afroamericana, e quando si volle dare un nome al cd, il leader disse che erano solo montanari, Hill Billy = Zotico Montanaro. E quindi si chiamarono The Hill Billies, e da qui nacque proprio il genere di Hill Billy. E' un termine offensivo, quindi nel 49 la rivista Bill Board decide di cambiare il nome, in musica Country & Western.
Jimmie Rodgers è stato uno dei fondatori. Rapporti col Blues e anche con la musica Tirolese!
E anche i Carter Family, erano proprio una famiglia: marito, moglie e sorella della moglie.
E' in questo periodo che si afferma la tecnica del Finger Picking...mitico!
Il termine Western che venne aggiunto a “Country” non deriva dalla collocazione geografica, ma perchè al'interno della categoria di mercato rientravano i cantanti e gli attori dei film wester, che fu un'invenzione cinematografica pura e semplice, ma ebbe molto successo. Usavano la musica degli appalachi e questa venne poi inclusa nella musica country western.
Al confine tra questi generi, sempre nello stesso periodo, si colloca Woody Guthrie, una specie di cantastorie un po' blues e un po' folk. E' bianco e assume un ruolo di cronista degli anni successivi alla grande crisi, raccontando le migrazioni dei contadini impoveriti etc.
Una buona parte della sua attività si svolgeva alla radio. Seguiva i poveracci illusi di trovare casa e lavoro in California, e accompagnava i loro viaggi cantando le loro storie, poi venne scoperto dagli intellettuali di New York, ed ebbe molto successo. Fu l'ispiratore di Bob Dylan e Bruce Springsteen.
Dust Boul Ballads: raccolta di canzoni di Woody. Collegata alla crisi del ventinove e in aggiunta la siccità: la maggior parte dei contadini vende le terre e parte cercando di arrivare in California. Do Re Mi è una canzone scritta per queste migrazioni (doremi sono i soldi).
Quese sono le musiche marginali dell'america degli anni trenta che ad un certo punto vengono portati in evidenza al grande pubblico attraverso la radio.
La legge del 1929 stabiliva che nel caso si fosse trovato un metono di diffusione della musica bisognava pagare i diritti agli autori, ma solo se a scopo di lucro.
Le radio non trasmettevano su abbonamento, ma speravano che gli ascoltatori comprassero le radio. Questo non era sufficiente, e si misero a trasmettere la pubblicità. L'ascap capisce che, però, questa diffusione di pubblicità deriva dalla diffusione di musica. Perciò emette un decreto per cui le radio con pubblicità devono pagare il copyright. Questo principio viene adattato un po' ovunque.
All'inizio riscuotono cifre modeste, ma di anno in anno aumenta.
Ad un certo punto avviene uno sciopero dei tipografi, e gli editori si accorgono che i loro introiti provenienti dalle radio compensano la mancanza di vendite di musica stampata.
Ogni anno l'ascap aumenta il costo della licenza, in base alla quantità di pubblicità trasmetta.
Nel 49 gli aumenti sono troppi, le radio non ce la fanno: dura vertenza tra l'associazione delle radio e l'ascap.
L'ascap assume un comportamento molto rigido, contando su tutti i maggiori musicisti ed editori americani.
Le radio decidono di organizzarsi contro l'ascap e promuovono la nascita di un'altra società di autori, offrendo di entrare in questa a una miriade di piccoli editori, tipicamente editori di musica afroamericana, latinoamericana, country...tutti i generi marginali. Questa società si chiama Broadcasting Music Incorporate, e fa tariffe molto più basse.
Per un anno le radio trasmettono solo musiche di BMI, snobbando quelle dell'Ascap.
Per un anno il pubblico ascolta solo musiche di BMI!!questo causa una diffusione e una maggiore conoscenza dei generi marginali.
[NB: le radio trasmettono solo musica dal vivo]
Questo fenomeno influisce in modo decisivo sul gusto del pubblico americano, che si dimentica addirittura di Tin Pan Alley, e quando poi, nel 1940, l'Ascap negozia delle cifre più basse, ormai si è creato un fenomeno irreversibile, e non ci sarà più possibilità per l'Ascap di recuperare. Poi gli USA entrano in guerra, non si va più a ballare, la gente si sposta per andare a lavorare, scende una grande saracinesca sull'industria culturale americana. Dopo la guerra ricomincia con i generi nuovi, blues, country, folk, latinoamericano...

=== Rock & Roll ===
Perchè rock&roll negli anni 50- 60?
1. una quota maggiore nella fascia 15- 25
2. maggior reddito medio disponibile
3. spese scarse o nulle per la fascia 15- 25 (poco o nulla per spese necessarie come abitazione, cibo etc); i teen agers avevano dischi, radio, giradischi, auto pochi, chitarra i maschi, profumo le femmine
4. maggiore importanza del sud e dell'ovest (espansione industrie del petrolio e della difesa): LA, Atlanta, Dallas, Phonix, Seattle, San Francisco; i mercati della musica (race records, hillbilly) temporaneamente integrati durante la guerra (American Force Network); 1954: la corte suprema stabilisce che la segregazione razziale nelle scuole pubbliche è una violazione della costituzione (Littel rock, AK)
5. Cambiamenti dell'industria musicale USA: il conflitto ascap- bmi; il sindacato dei musicisti sospende le registrazioni di dischi; si diffonde di più la musica non scritta (wsn nashvlle)
6. Cambiamenti nell'industria dei media e della pubblicità: ricerca motivazionale: il gusto musicale come indicatore affidabile dell'omogeneità del target; proliferazione della format radio; 1954: edward bernays dirige le pR per il rovesciamento (USA) del governo eletto in Guatemala (100000 morti)- sanzione definitiva della propaganda consumista

=== Italia fine anni 50 (Sanremo & C.) ===
Mentre in USA e GB c’era il Rock & Roll in Italia eravamo indietro… strano!
Fine anni 50 nasce Ricordi che ha avuto poi una storia lunga e importante, nomi come gino paoli, gaber, gianna nannini, de andrè… la Ricordi una decina di anni fa è stata comprata dal gruppo Bertlersmann(?).
La nascita di questa casa discografica, però, è avvenuta almeno 10- 15 anni dopo rispetto al resto del mondo. Perché?
Partire dalla 1^ G.M.:momento chiave per lo sviluppo storia 900. Il XX secolo è stato definito il secolo breve, tant’è che gli anni 70 sono stati il decennio lungo del secolo breve. Lo storico che lo sostiene dice anche che i primi 20 anni del secolo XX in realtà appartengono al XIX secolo, e la fine del XX coincide con la caduta del muro di Berlino.
1^ G. M. è stata un massacro allucinante per varie ragioni: sviluppo armi, avanzato ma incompleto. Inventata la mitragliatrice ma non il carro armato, quindi guerra di trincee protette da artiglieria pesante e mitragliatrice, senza che esistesse un mezzo per superare lo stallo delle trincee.
Decine di migliaia di uomini in trincee strettissime a 10 metri di distanza.
(Va beh rifatti un ripasso di storia)
Fine guerra 2 situations:
1. Reduci: si sentono traditi e abbandonati
2. Nascita URRS
Conseguenze diverse in molti paesi:
1. Reduci sfruttati dagli industriali e latifondisti che finanziano le organizzazioni dei reduci, base del movimento fascista, anti rivoluzionario e ovviamente anti comunista.
2. operai cercano di seguire il modello russo, vorrebbero esportare la rivoluzione (l’Internazionale)
Durante 4 anni c’è tensione crescente, si arriva negli anni 20- 21 all’occupazione delle principalei fabbriche. Per reazione i fascisti si contrappongono e combattono fino ad avere milizie in grado di battere gli operai e si arriva nel 22 alla Marcia su Roma.
Questo segna la storia europea. Mussolini nasce come socialista e poi diventa interventista alla vigilia della 2^ G. M. e poi si rivela ciò che è stato. Ciò desta molta curiosità e ammirazione in tutt’Europa: Hitler stesso era un ammiratore di Mussolini, che fonda il Nazi Fascismo nel 33.
Il Fascismo italiano è più occupato a fare un passo ulteriore: alcune parti della Nazione Italiana entrano a far parte solo dopo la 1^ G. M., ma prima nasceva l’idea dell’espansione coloniale e dell’impero. Anche se alcune erano già state fatte da Giolitti. Mussolini riprende questo percorso.
Molti intellettuali sono fascisti, i futuristi, molti scrittori … Dopo il fascismo si trasforma in un “impero”, vedi le architetture fasciste orripilanti.
L’Italia era tra i vincitori nella 1^ G. M., mentre la Germania era il più perdente di tutti … quindi la situation era diversa. In Germania c’era una povertà allucinante, perché gli altri stati avevano voluto stravincere, e avevano imposto alla Germania un pagamento di risarcimenti di guerra, impedirono di fare corazzate e armi … questo fu sentito come umiliante e ogni classe sociale si sentì inferiore agli altri stati. Il Nazismo era quindi furiosamente alla ricerca di una rivincita, mentre l’Italia no, quindi il Fascismo poi è stato di gran lunga superato.
Ciò motiva anche aspetti dello sviluppo dei media. In Europa si sviluppano le radio di stato, per via degli stati totalitari, e negli altri pure perché c’era una aura di perdere il controllo. In USA invece le radio erano autonome.
Questo provoca anche uno sviluppo diverso in campo dell’industria musicale e cinematografica.
In Germania molti film, importantissimo modello culturale per tutta l’Europa, nel periodo della Repubblica di Waimar, in Germania lavorano molti drammaturghi, registi, intellettuali, musicisti … Schoenberg, Bern, Brecht, Kafka, Mann … e anche nella Popular Music: epoca del Cabaret. Con l’arrivo di Hitler cadrà tutto e molti emigreranno.
Specialmente Brecht e Kurt Veine: musica influenzatissima dal jazz e linguaggio della musica Pop. (Anni 27 28 29).
Addirittura Bob Dylan dice che uno dei momenti maggiormente formanti della sua carriera è stato quando sentì le canzoni di Veine e i testi di Brecht e ne venne folgorato. Per altro è stato scoperto pochi anni fa. Poi Dylan si mise a leggere tutti i testi di Brecht e a studiarli e rielaborarli etc etc etc.
In Italia però c’era già da anni Mussolini, che promuoveva una visione della vita legata alla Patria, ai buoni sentimenti, alla famiglia, alla chiesa (Berlusconi!!!!!!!). Perbenismo, mediocrità che costituiscono la base della produzione di massa degli anni 30 e 40 in Italia. Quindi metre negli USA nasvono canzoni provocanti e cmq molto avanti, in Italia nascono figurine, ritrattini oleografici, immagini del popolo italiano nella quale il popolo si rispecchia. Il nome musica leggera nasce proprio per la radio italiana, contrapposizione tra la musica delle sale da concerto, nelle opere … la musica leggera dev’essere proprio leggera letteralmente.
Infatti ricorda De Angelis che invece era diverso e venne bannato.
Se confronti le canzoni di quegli anni in Italia con quelle degli USA ti spaventi … E’ che in Italia non si poteva parlare, il massimo fu 1000 lire al mese, che era quasi contro il Governo …
Nonostante ci fosse un sistema centrale, esistevano anche altre tendenze, che guardavano alla musica americana , almeno per ciò che riguarda la musica. Quasi di nascosto, ad esempio l’orchestra della RAI, si allenavano col jazz, che era bandita n quanto musica dei neri, razza inferiore. C’era questo filone più swing rappresentato dall’orchestra di Pippo Barzizza e Alberto Rabagliati e più tardi Natalino Otto. All’epoca gli artisti che hanno successo sono artisti della radio, per accedervi bisogna fare degli esami, gli esaminatori sono capeggiati dai principalei direttori d’orchestra, quindi la vita della musica leggera italiana è nelle mani di Cinico Angelini e dei funzionali dell’EIER e di Pippo Barzizza. Ciò che succede fuori è condizionato dalla radio.
Questa struttura tutto sommato ancora oggi in piedi, vedi Festival di Sanremo. Che fu infatti tramite. Quando finisce la guerra in Italia ci sono alcuni anni di ristrutturazione dei poteri. Alla fine degli anni 40 prende ruolo dominante la DC perché nel frattempo è nata la Guerra Fredda e l’Italia è diventata punto nevralgico del Mediterraneo. Questo nonostante sia alla firma della Costituzione sia proprio nel Governo ci fosse anche la sinistra, la DC nel 48 prende tutto il potere per ordine di Washington, e di fatto i centri nevralgici del potere sono nuovamente in mano al Governo. Nel 51 nasce il Festival di Sanremo, che diventa il punto di controllo di questa politica musicale statale, con gli stessi identici meccanismi in vigore 10 anni prima. Direttore del Festival è Cinico Angelini, che porta a Sanremo gli stessi musici che aveva portato al successo negli anni 30 40. Terribile! Sono persino gli stessi autori degli anni 40!!! Quindi le canzoni avevano la stessa funzione di tranquillità, perbenismo … etc … cazzo che schifo. C’erano poi addirittura canzoni nostalgiche!!! Es. Vecchio Scarpone. Scarpone da soldato che il protagonista trova e ricorda. Sti cazzi. C’è una frase finale che dice “volesse il cielo forse potresti tornare a camminare”… uau. Della serie si stava meglio quando si stava peggio.
Poi c’è anche il filone “stupidello” (?) … tipo la Casetta in Canadà. Per molti è la goccia che fa traboccare il vaso.
La regola del Festival di Sanremo era che ci fossero solo Interpreti di professione con canzoni scritte da Autori di professione. Questa cosa poi cambia verso la fine degli anni 50.
Ma caspita Mi son strappato i peli del culo in realtà è copiata (la musica) da Mi sono innamorato di te di Luigi Tenco!!!! Che storia!!!
C’è però una parte insoddisfatta dei musicisti e degli amatori. Ascoltavano soprattutto la musica francese. Es. “La mer” di Charles Trenet e “La vie en rose” di Edith Piaf e “Le deserteur” di Boris Vien, uno dei cantautori maggiori. E’ una canzone anti militarista. E’ stata rifatta da Fossati ne “Il Disertore”. E “Marinette” di George Brassens. Cantautore politicamente impegnato e anarchico, ma le sue canzoni sono caricaturali.$ Marinette è la storia di uno sfigato innamorato di una signorina bella e gradevole che lo anticipa sempre sui regali, lui alla fine vuole ammazarla ma lei è già morta, allora vuole andare al funerale ma è già resuscitata. Allucinante!! E altri cantautori. E si ascolta anche il Boogie Oogie. Questo tipo di canzone francese si sviluppa per via del 33 giri.

=== Shadows e altro (anni 60) ===
Ernest Gold, origine austriaca, passato a Hollywood, un classico compositore di musica da film: “Exodus”. Protagonista Paul Newman. Colonna sonora molto efficace. A causa dei rapporti diversi che l’autore della musica aveva con l’industria discografica, mentre il film era distribuito dalla United Artists, la colonna sonora originale esce per la RCA. Ma la versione famosa è in realtà di due pianisti, Ferrante e Teicher, che incidevano per la United Artists, e vengono fatte infinite covers su tutti i mercati internazionali. In Italia fu fatta anche da Nico Fidenco con l’orchestrazione di niente po’ di meno che Ennio Morricone.
1961 Apache: The Shadows (UK). Grandissimo successo discografico in Europa. Negli Usa circola, però, una cover!! Il discografico degli Shadows manda una demo in america, ma un discografico americano la fa risuonare ad un chitarrista danese di passaggio,Jorgen Ingmann, la incide, e funziona moltissimo, e quella degli Shadows non arriva mai negli Usa. Gli Shadows ispirarono molti gruppi, tra cui anche i Beatles. Il chitarristi sta degli Shadows era oltretutto molto bravo, e ispirò chitarristi del calibro di Eric Clapton. Incidevano per la EMI, negli studi di Abbey Road, e i tecnici dovettero inventare metodi per incidere chitarra elettrica, basso elettrico etc…e sono gli stessi tecnici che poi lavoreranno coi Beatles.
Differenza tra Beatles e Shadows: i pezzi di maggior successo dei secondi erano o covers, o comunque scritti da altri. L’originalità degli Shadows stava nell’arrangiamento, nel suono, nella presenza scenica. Mentre i Beatles suonavano canzoni proprie, ed erano proprio cantautori.
ITALIA
La Casetta in Canadà segna un crollo: gli intellettuali non ne potevano più.
Il cinema e la stessa commedia italiana producevano film intelligenti, mentre nella canzone italiana la scena era dominata dall’obbrobrioso Festival di Sanremo, e gli intellettuali guardavano altrove, al Rock & Roll, alla canzone francese, e quindi comincia a circolare l’idea che anche in Italia si possa fare una canzone di qualità, e per farlo è necessario scostarsi dai professionisti della canzone.
Nascono diversi filoni, poco intrecciati tra di loro. Il minoritario, rimasto nella storia ma che al’epoca non ha avuto un gran successo, quello di intellettuali attivisti torinesi, che proprio nel 1957 dopo La Casetta in Canadà decidono di organizzare un’alternativa alle “canzonette”, uno di loro è Fausto Amodei, lo slogan era “Evaghiamo dall’evasione”. Modelli: Brassens e canzone francese, cabaret tedesco, drammaturgia di Brecht. SI fanno chiamare “Cantacronache”, evoluzione del Cantastorie, che narra storie urbane. Molti autori, alcuni anche interpreti, e collaborazioni con letterati. Vedi Brassens e francesi: nella Parigi negli anni 50 l’animatore dei cabaret e teatri era addirittura Paul Satre. Uno di questi è Calvino, il mito, che si presta a scrivere canzoni per questo gruppo di intellettuali. Fausto Amodei ha anche vinto il Premio Tenco. “Il ratto della chitarra” è una specie di manifesto dei canta cronache. Il concetto era che non bisognava per forza cantare canzoni serie e boriose, ma non per forza nemmeno cretine. Criticava la RAI, la tv, la Chiesa, Sanremo. Molto influenzata da Brassens. Arrangiamento povero, ma lessico articolato e molto più ricco di quello di Sanremo. Giravano per i circoli Arci etc…
Anche i discografici soffrivano per la situazione orripilante italiana, quindi alcuni cantautori trovarono chi li faceva incidere. Nasce quindi la Dischi Ricordi che pubblica canzoni di cantautori.
Il primo ricordo che si ha di cantautori è Modugno con Nel blu dipinto di blu, ma in realtà lui è in una fase intermedia. Il vero primo successo cantautorale è Arrivederci di Bindi che però ebbe successo cantata da Barreto. I sentimenti stessi sono differenti rispetto a Sanremo…Tipo non addio, ma arrivederci. Novità molto grande. Bindi aveva una voce particolare, intonata ma non troppo, l’immagine è molto diversa da quella degli altri cantanti italiani, era anche gay per cui fu censurato dalla RAI. Con Bindi si identifica l’autore con le sue canzoni e viceversa, e sulle copertine dei dischi compaiono le foto dei musicisti, e quindi ciò va a favore anche dei discografici: se l’interprete è anche l’autore della canzone, ci si tutela dal fenomeno cover.
A quell’epoca esisteva una sola casa discografica multinazionale in Italia, la RCA, con sede a Roma e parte di proprietà del Vaticano. Migliori tecnici, migliori studi. Negli anni 70 investe su un cantante in particolare, e nella campagna pubblicitaria nasce il nome di Cantautore, che nasce in modo scherzoso da Maria Monti (fidanzata di Gaber) che parlando a Gino Paoli lo chiama cantautore, che pronunciato sembrava cantatore.
Maria Monti esce a cena con due funzionari della RCA e pronuncia la parola. I due tizi uomini di marketing poco tempo dopo per lanciare uno dei dischi che pensano sarà uno dei tormentoni estivi, di Gianni Meccia, usano appunto la stessa parola. Meccia l’utilizza anche per la sua tournee, e poi ci sarà persino una trasmissione RAI chiamata “Cantautori” . Il primo successo fu “Il barattolo” con arrangiamento di Ennio Morricone, fantastico, suonano proprio i barattoli!! Questa canzone è mitica.
Quindi il fenomeno dei cantautori nasce staccato dalla politica e dai canta cronache, hanno grandissime differenze tra di loro, ma comunque non per forza avevano testi impegnati e seriosi, spesso parlavano d’amore, solo che un po’ meglio di Sanremo. Nella stessa estate, Gino Paoli, che aveva avuto già successo con “La Gatta”, scrive una canzone che si chiama “Il cielo in una stanza”. La caratteristica principale è che non ha un ritornello, non c’è una strofa, non c’è una ripetizione. E’ un’idea molto innovativa, ma l’arrangiatore è perplesso e allora l’arrangia con un ritornello strumentale. Fa una cover Mina, che fino ad allora era una cantante Rock, tipo Tintarella di Luna, cover italianizzate di canzoni americane, ed è questa la sua prima canzone seria in cui dimostra le sue abilità vocali. E così il cielo in una stanza di Mina diventa un successone, rimane in classifica per 27 settimane successive, e determina il successo di Mina e anche di Gino Paoli. Tant’è vero che dopo pochi anni dalla Ricordi passa alla RCA.
I cantanti di Sanremo si sentono molto staccati dai cantautori, e i discografici spingono su questi, poiché si sentono svincolati dall’editoria, diritti etc.
Sergio Endrigo: l’inverso, era un cantante di nightclub, suonava il contrabbasso, il solista non era solo il cantante, doveva suonare qualcosa anche se non ne era capace. E’ un po’ quello che era successo negli anni 40 in America ai tempi di Neil Crosby.
Io che amo solo te- Endrigo. Arrangiamento Backalov (si scriverà così???)
Un altro importante di questo periodo era Luigi Tenco, che poi diventerà uno dei rappresentanti della cnazone d’autore. In Mi sono innamorato di te rappresenta la canzone d’amore in contrapposizione a quelle d’amore di Sanremo. Tant’è vero che le prime canzoni di Tenco non furono passate in RAI.
De andrè capì che avere un discografico che facesse uscire i suoi dischi senza censura era conveniente dal suo punto di vista, poiché venivano sì censurati dalla RAI e dalle radio, ma il pubblico a cui lui voleva arrivare non ascoltava la radio né guardava la tv, salvo qualche eccezione. Infatti le sue canzoni ebbero numeroso successo, per passaparola.
Poi divenne presidente della RAI Grassi, uno dei fondatori del Piccolo di Milano e membro del partito socialista, e tolse immediatamente la commissione di censura. Avevano censurato persino Satisfaction dei Rolling Stones!!!

=== Sviluppo tecnologie musicali e industria connessa ===
Sviluppo tecnologie musicali e industria connessa
Anni 70: tecnologie si sviluppano anche in conseguenza dei meccanismi di tensione internazionale. I primi palmari sono ricadute dell’industria per dotare le capsule spaziali di piccoli computer efficienti.
Fino agli inizi degli anni 80 la spinta per lo spazio diminuisce, e prima o poi inizierà il progamma dello spase shuttle. Ma nel frattempo le tecnologie si orientano verso le “star wars”, cioè piani missilistici e anti missilistici per satellite per difendersi, e inizia la progettazione delle bombe intelligenti.
Per creare sistemi di guida efficienti per le armi devono essere creati dei sistemi di trattamento di segnale digitale, che poi sono anche usati per il segnale audio.
Gli anni 70 sono gli anni della transizione della prima industria tecnologica, sintetizzatori etc, poi tendenze di tecnologie meno sofisticate e meno costose. Es Robert Fripp, chitarrista dei King Crimson, comincia a sostenere che l’epoca dei grandi gruppi dotati di tecnologie pesanti è finita, e il nuovo modo appartiene alle piccole e leggere tecnologie indipendenti. Queste unità èpiccole mobili e intelligenti sono tipo un artista auto produce canzoni da solo in casa. Lo stesso Fripp inventa Fripppertronics: improvvisazione di musiche una sopra l‘altra (tipo Biko). Non l’ha inventato lui, era in uso già negli anni 60, es Terry Reily, La Monte Young, sperimentatori. In mezzo a questi anche un compositore di musica elettronica, Robert Tudor, che diffonde in Inghilterra queste musiche fatte su nastro magnetico, e che vengono poi utilizzate diversi musicisti, Robert Fripp, appunto, e Brian Eno.
Si utilizzavano due registratori revox, appoggiati con le due bobine in basso: a sx il registratore che fornisce il nastro, a dx quello che avvolge il nastro. Quello di sx ha il motore in folle in modo che il nastro venga trascinato dall’altro registratore, che è in “play”: suona il segnale. Cosa succede: un segnale proviene da uno strumento, finisce in un mixer, e da lì esce e va nell’ingresso del registratore di sx, e viene registrato. Il nastro continua ad avanzare e dopo un tot arriva sul reg di dx, e il segnale viene rimandato al mixer, e viene quindi poi ri registrato. Se lo strumento viene registrato ad alto volume si creerà feedback perciò alla fine viene distorto. A seconda del segnale le cose cambiano. Un segnale ad impulso ok. Se invece il segnae è tenuto, il suono quando comincia il loop sta continuando ancora, quindi crea una stratificazione dello stesso segnale, e si formano tappeti di note che formano una specie di tessuto orchestrale. Questa è una tecnica usata molto negli ani 70 per formare dei pad a partire da singole note. Peter gabriel ha usato molto questa tecnica.
Del segnale registrato rimane sul nastro, e poteva essere utilizzato per ri suonarci sopra. Fripp prima registrava una serie di loop, i nastri duravano più o meno 30 minuti, una volta registrati il nastro veniva riavvolto e utilizzato come base.
Anche se questo sistema dal punt di vista tecnico è diventato obsoleto perché dagli anni 80 sono stati disponibili i digital delay, lavori di questo tipo realizzati con questa tecnica non sono possibili con il digital delay.
La tecnica di Fripp genera segnali stereo, ed è possibile incrociare le entrate e le uscite, spostando il pan dello strumento in input. In genere invece quelli dei digital delay sono mono.
“here comes the flood”(peter gabriel) da fare!!!!!!
“intruder” ; “no self control” (idem)in questo pezzo molto tipico degli anni 80 e del rock degli anni 70, mancano I piatti della batteria, caratteristica del terzo e quarto album di peter Gabriel. Questa mancanza è il frutto di un’evoluzione della tecnologia di quei tempi: quando peter registra l’album nello studio era appena stato installato un mixer speciale, per cui in ogni canale c’era un noise gate, ovvero un’espansione di dinamica: un algoritmo che misura il segnale in input. Se è al di sotto del gate, il processore lo elimina, viceversa lo fa passare. È un filtro…! Il tecnico del suono Cue Pacher(?) applica il noise gate al riverbero della batteria. Nel momento in cui il suono si assottiglia viene chiuso: quindi si ottengono suoni di batteria che sembrano registrati in uno spazio molto grande perché riverberati, ma non sono troppo invasivi perché decadono forzatamente.le persone presenti nello studio sono lui, il produttore Steve Livingwights (???), peter e phil collins (batterista di peter). La tecnica piace e decidono di usarla.
Però, alcune parti della batteria prolungano la vibrazione per moltissimo tempo, e tengono aperto il noise gate, e questi sono i piatti, perciò si decide di eliminare i piatti. E li sostituiscono con altri tom. La prima volta che questa tecnica viene usata infatti è in un singolo di phil collins, “in the air tonight”.le ripetizioni della voce non sono al clock … ma erano agli inizi, non c’era modo di regolare perfettamente in riverbero.
Caso scandaloso: 1975 album di Lou Reed, ante- punk. Era già una star internazionale, casa discografica rca, ma non aveva l’ispirazione, e fa una provocazione alla rca che si aspettava un doppio album, mentre lui si presenta con quattro nastri di 16 minuti, registrati con la sua chitarra mandata in feedback … un album un po’ assurdo … la rca li pubblica comunque, con un cd di musica contemporanea, vendute tipo 1000 copie in tutto il mondo … beh insomma … che schifo …
Album “my life in the bush of ghosts”, brian eno e david byrne: prendono material folklorico e lo integrano in produzioni elettroniche. Più che altro prendono registrazioni di vario tipo, e ne costruiscono le basi..registrazioni varie, radio, televisioni, fiere … due con musica libanese, in una collana promossa dall’unesco, a partire da voci africane costruiscono una base rock, sincronizzandola per approssimazione, cercando di trovare un tempo ricorrente dall’originale. Cambiamento molto significativo, non a caso negli anni 80. Prima di allora le musiche etniche circolavano poco, poiché spesso si trattava di registrazioni approssimative fatte sul campo e con mezzi anche scarsi. I dischi di materiale etnico provenivano essenzialmente dalle ricerche musicologhe, quindi registratori a nastro etc … e comunque il pubblico era prevenuto, non sembravano altro che musiche di ricerca. erano usate come fonti per trovare ispirazioni, per copiare idee .. ma non succedeva mai che l’originale venisse integrato.
Dave Brucket: primo album in cui si traducono pezzi libanesi e turchi (i musicisti suonavano in 5/4, in ottavi etc). un altro è Don Ellis. Si innamora della musica bulgara e realizza anche ischi con musicisti bulgari (1969). Lo stesso don ellis viene adottato dai musicisti progressive. Anche gli Area prendono pezzi di musica etnica e li rielaborano. Anche Simon & Garfunkel in “Bridge over trouble water” prende più pezzi etnici.
Con gli anni 80 parte tramite brian eno e david byrne una nuova idea. Questo aiutato anche dalla diffusione dei campionatori. Però il loro album viene fatto solo con un registratore a 24 piste.
1984 Dissidenten, parte di gruppo psichedelico progressive, che facevano viaggi nel mondo, e vanno anche in Marocco, e decidono di registrare un album con musicisti marocchini. Album “Sahara Elektrik”. Ha un successo clamoroso, e stabilisce l’inizio della world music.
Nei primiu anni 80 ci sono avvenimenti internazionali che mettono in collegamento questo nuovo interesse con i problemi reali e drammaici del terzo mondo. In quegli anni c’è una carestia del nord sahara che porta morte, fame etc. alcuni musicisti soprattutto inglesi si commuovono molto e nascono le prime produzioni benefiche nella storia della pop music, preceduti solo dal concerto di gerorge harris per il bangladesh poco tempo prima. Così ad esempio a natale … we are the world ... fino al live aid (1985), uno allo stadio di Wembley a Londra e uno a New York ancora per raccogliere fondi per l’Africa, in mondo visione: grazie anche alla nascita di MTV inizia la collaborazione tra industria musicale e televisiva. All’interno del live aid non c’era nessun musicista africano, poiché era ancora un misto tra atteggiamento paternalista e debitore. È comunque un periodo in cui si parla molto dell’africa. 1986: uno dei dischi di maggior successo è “Grace Land” di Paul Simon, tra cui una canzone cantata con un gruppo del Sudafrica in cui c’era ancora l’apartheid. Il pezzo si chiama “homeless”. Si diffonde la moda della musica africana, Salif Keitha, molti musicisti africani che iniziano ad avere successo, incidendo i loro dischi in Europa, in Inghilterra e Francia. C’è proprio un successo di massa, nascono anche riviste inerenti. Per i discografici si pone il problema di dove far trovare questa musica nei negozi, perché questi non hanno uno spazio per questa nuova Folk Music. Non può stare col folk americano, né col rock. Nel 1987 organizzano una riunione alcune major, e si mettono d’accordo sul fare una campagna promozionale nei negozi di dischi per fare creare zone apposite chiamate Word Music. L’uso di questo termine deriva da lì. Ciò implica anche altri tipi di lavori. Vengono raccolte produzioni diverse: musica pop del terzo mondo; musica in cui ci sono elementi di musiche esotiche contaminati con elementi di musica occidentale.
Film: “Il Maa Barata” tratto da romanzo epico indiano. Colonna sonora incisa per l’etichetta di peter gabriel da musicisti provenienti da tutto il mondo, che rispecchiano la stessa composizione della compagnia di Peter Brook (il regista del film) che era una compagnia di cinema internazionale.
Altro caso simile per tipo di operazione ma diverso per altri aspetti: artisti con origini straniere che riscoprono le loro origini e cantano e suonano World Music. Es Natacha Atlas. È difficile trovare oltretutto le differenze tra questa musica e la vera musica pop dei paesi del terzo mondo. Inoltre, com’è ovvio che sia, anche nella musica pop dei paesi del terzo mondo vengono inseriti elementi e contaminazioni europee e americane.

=== British Invasion ===
British Invasion  potenziamento del mercato discografico nei paesi anglofoni, ma anche in europa e in alcuni paesi asiatici come il giappone. Solo cinque anni prima, negli anni 60, c’era una separazione molto forte tra mercato americano e mercato europeo. Dopo i Beatles invece no, anche se loro stessi venivano venduti in usa solo tramite contratti, inizialmente.
E’ importante perché ad un certo punto i musicisti inglesi si trovano buttati in una realtà più vasta, e guadagnano molto di più, e le case discografiche così cominciano a dare fiducia soprattutto ai gruppi. Da un momento all’altro, la musica rock (fino a poco tempo prima beat) si diffonde a dismisura.
Si sposano due processi:
• Senso di sfida che questi gruppi avevano gli uni con gli altri, per dimostrare di essere più bravi e più avanti; utilizzo di nuove tecnologie, nuovi strumenti, stereo, registrazione e più piste..
• Mercato: i discografici si fidavano di questi gruppi: più la proposta era nuova e bizzarra, più era un grande successo commerciale. Quindi permettevano anche di uscire dai canoni.
Caratteristiche:
1. Canzoni più lunghe: canzoni di 6, 7 minuti, mai sentite prima;
2. Elementi esotici, strumenti stranieri, sonorità elettroniche, strumenti registrati alla rovescia;
3. Uso di tecniche compositive della musica classica, uso di strumenti classici e elementi, brani della musica classica;
4. Provocazione costante del pubblico, come sollecitazione, risposta;

=== Passaggio da mercato dei singoli a mercato degli album ===
1967: mercato dei singoli ancora superiore del mercato degli album. “A water shade of pale” dei Procol Harum vende milioni di copie. All’epoca era una canzone molto nuova per via dell’organo hammond. Poi c’è il giro di basso tipico che segue gli accordi. La presenza di due tastiere era una cosa molto nuova, primo gruppo inglese di successo con sia organo che pianoforte. Prima i gruppi erano gruppi di chitarra, questa era una novità. La chitarra si poteva imparare da autodidatta, l’organo e il pianoforte no. Per fare questa canzone ha ascoltato una delle suite francesi di Bach, Air BWV1068.2, che per altro è quella di piero angela!!! L’andamento del basso che fa salti di ottava è lo stesso andamento a gradini discendenti che Gary Brucker utilizza in a water shade of pale. In realtà l’ispirazione viene da ancora un’altra sinfonia di Bach: Choral Prelude BWV 645. Dal punto di vista del copyright non c’è nulla di male, ma la cosa interessante è che per molti anni i credits per questa canzone sono andati a Gary Brucker, che risultava l’unico autore della musica, mentre non a Matthew Fisher, che aveva scritto la parte d’organo. La causa è finita pochi mesi fa a Londra: sono stati riconosciuti a Matthew Fisher i diritti, ma soltanto a partire dal momento della sentenza. Il batterista dei Protocol Harum si prese l’influenza proprio prima di incidere il pezzo, così fu scritturato un altro ad hoc. Questo ha fatto causa al gruppo sostenendo che il suo arrangiamento era particolare e innovativo, ma ha perso la causa perché per il copyright l’arrangiamento non è contemplato. Costituisce la nascita di una nuova casa discografica, la Decca, che, per altro, aveva rifiutato i Beatles. Decide di fare un’etichetta nuova, Deram, che lancia i Procol Harum e anche i Moody Blues, di cui il singolo più famoso è Night in White Satin. Utilizzavano un nuovo strumento, il mellotron. A un certo punto un paio di membri dei Moody Blues comprano la fabbrica del mellotron, e lo venderanno a tutti i gruppi prog di quegli anni. Non era un campionatore, era intonato. Con l’album “In search of the last chord” diventano sempre più concettuali e le canzoni collegate tra loro. I Moody Blues inducono nel’uso del mellotron, della voce recitante … loro sono decisamente prog, ma il termine verrà utilizzato almeno un anno dopo. In questi anni la stereofonia era nuova, quindi gli strumenti o erano a destra o a sinistra, a volte si inserivano anche effetti di fase. E poi i banchi di missaggio non avevano puppot. Bisognava donare a mano gli strumenti, e si avevano anche pochi canali, quindi si lasciavano su due canali solo gli strumenti che dovevano sentirsi per forza sia a sx che a dx. Il prog nasce come un’etichetta di genere che però mette insieme gruppi che hanno genesi diverse. I Jethro Tull partono dal jazz/ soul e dal folk, i King Crimson invece derivano dal jazz radicale tipo miles davis. Nel 1968 si concentrano tutte queste cose. I Jethro Tull arrivano al successo poiché mettono un pezzo ispirato a Bach, in cui c’è in primo piano il flauto. Una caratteristica del prog è che si utilizzano strumenti che prima erano bistrattati dal pop. Il momento in cui tutto ciò viene sintetizzato in un genere è la fine del 1969 e l’occasione è l’uscita del primo album dei King Crimson. Esistevano già, e nel maggio del 1969 avevano fatto da spalla ai Rolling Stones a Hide Park, concerto più grosso di Woodstock, 16000 persone. Il pubblico era rimasto stranito e supito di questa nuova musica. Così i King Crimson vengono considerati i nuovi Beatles, sia per successo di pubblico, sia di critica favorevole. Anche i Gentle Giant ebbero un notevole successo a partire dal 71, ma più all’esterno che in UK. Dalla nascita del prog in avanti c’è una spaccatura nel mondo del rock e della popular music in generale, cominciano a nascere moltissimi generi e sottogeneri, intorno al 1974- 75 con la comparsa del Raggae e del Punk.

=== Nascita CD e altri supporti ===
COMPACT DISC Compare 1983, ma digitalizzazione suono già prima. Settori: • Registrazione: case discografiche cominciano a produrre dischi con digital recording. Sono lp di vinile, ma master fatti con tecnica digitale. Soprattutto per la musica colta. Ragione commerciale: è ovvio che la musica colta sinfonica, da camera, opera, potesse trarre dei vantaggi notevoli per la maggior dinamica, minor rumore di fondo, ma un supporto per la registrazione digitale non era ancora disponibile. Nel frattempo le case discografiche si ponevano questo problema: il pubblico avrebbe comprato i supporti per registrazione digitale, ma non c’erano. E contemporaneamente c’erano alcuni direttori d’orchestra che ormai erano in età avanzata, e c’era il rischio che morissero prima dell’arrivo dei cd, perciò le registrazioni master erano comunque digitalizzate, ma si vendevano i vinili. In questo modo potevano essere memorizzare. Queste sono buone registrazioni, e quindi le case discografiche pensano di sfruttarle anche prima dell’uscita del cd. A quell’epoca si disse che le registrazioni analogiche erano migliori di quelle digitali, poiché le tecniche non erano affinate. Questo procedimento non ha riguardato la pop music. Molti artisti hanno continuato a registrare in analogico e hanno iniziato a digitalizzare negli anni 80 avanzati, quando già giravano i cd. • Processori di segnale: digital delay. Tra gli anni 70 e 80 cominciano ad esserci processori più sofisticati. Uno degli ultimi sintetizzatori progettati ad hoc fu 4x progettata da Giuseppe di giugno, era una meraviglia del mondo, sofisticatissimo e versatile. Negli anni 80 alcuni di questi scompaiono, e altri come a Parigi iniziano ad usare strumenti di tipo commerciale, per gli studi di registrazione tradizionali. Un esponente era Laurie Anderson. In questo periodo ci sono molte sperimentazioni, un po’ come il progressive negli anni 70. Faceva molta impressione (1982- 1984/85- 84 anno in cui viene lanciato il mac, e nell’83 il commodo 64 etc … ) perché proiettava anche video strani. Problemi: 1. Il cd aveva dei costi enormi, e l’industria discografica non poteva investire molto. Di solito se investe lo fa per le produzioni, certo non per le fabbriche di cd. Le fabbriche di vinile erano molto più semplici, bastava un capannone con un po’ di presse. Erano fabbriche sporche, non diverse da quelle di plastica etc. il cd era molto più sofisticato, richiede una green room in cui non ci sia polvere e in cui gli operai debbono avere tute, guanti, mascherine etc. prima le case discografiche avevano una propria fabbrica di vinili, non era possibile coi cd, poiché costavano molto di più. 2. Il successo di certe musiche anni 70 tipo jazz e progressive in stereofonia, aveva fatto pensare ai produttori che il pubblico necessitasse di sensazioni nuove, e avevano pensato a una quadrifonia, con 4 altoparlanti: questo fu un disastro, e il pubblico non era per nulla interessato … enorme spreco di soldi. Perciò con l’avvento del cd molti discografici erano terrorizzati all’idea di costruire fabbriche di cd spendendo tanti soldi per poi rimanere con un pugno di mosche di nuovo. 3. Il pubblico avrebbe dovuto comprare nuovi lettori: all’inizio degli anni 80 costavano all’incirca 800 lire, quindi ora almeno 800 €. Perciò questo avviene molto lentamente. Ancora verso la fine degli anni 80 non c’era stato un cambio di mercato: si erano esauriti i vinili, ma era ancora proficuo il mercato delle mc. 4. Preoccupazioni dei discografici per la copia: negli anni 70 quando si introduce il registratore a cassette stereo. Era nato nel 64, ma monofonico e di bassa qualità. Ad ampia fedeltà e stereo si diffonde negli anni 70 grazie anche al dolby. Con la disponibilità di buoni registratori il pubblico comincia a farsi le copie … questo fenomeno comincia a preoccupare le case discografiche, e all’inizio degli anni 80 già la copia privata era considerata un danno, e vennero iniziate alcune ricerche di mercato per capire quanto la copia privata fosse influita sul mercato discografico. Inoltre: la copia su cd era di alt qualità, poiché le cassette erano prodotte industrialmente ad alta velocità, e il risultato fonico era non proprio eccelso. Mentre se uno a casa propria si faceva una copia di un cd a velocità normale otteneva una qualità decisamente maggiore. In più questa possibilità incentivò il mercato dei registratori. All’epoca il problema della copia privata non era contemplata dalla legge, poiché non era controllata dalla criminalità. Il pericolo della copia bit- a- bit era comunque imminente, poiché è indistinguibile dall’originale. Dal punto di vista del pubblico non c’era molta differenza, poiché le copie su cassetta erano comunque molto simile all’originale, ma per i fonografici sì, poiché era come mettere a disposizione l’originale. È la stessa ragione per cui l’industria discografica tratta in modo diverso il downloading e lo streaming. Già negli anni 80 nasce il problema della copia digitale, si crea una contrapposizione tra l’industria produttrice di hardware (sony) e una delle maggiori industrie discografiche (Cbs). questa vince, per cui trova il modo , copy code(??), per fa sì che durante il dat ci fosse nel segnale di una registrazione digitale un buco di 1 Hz. Se un registratore dat riceveva un segnale in cui mancava quel pezzo (tra 800 e 801), dopo 30 sec il dat smetteva di registrare.  serie di polemiche furiose da parte degli studi di registrazione: investivano milioni di dollari per fornire un prodotto perfetto, e voi poi ci mettete un buco che magari può interferire con la percezione del suono … la sony li appoggiava. Finì perché la sony ha comprato la Cbs. Le acque sono rimaste tranquille fino alla fine degli anni 90: industria informatica: la Yamaha produce il primo masterizzatore per cd, inizialmente per dati, ma era ovvio che potesse anche salvare dati audio. I primi costavano 2 milioni di lire, per un certo periodo non venne comprato, ma poi scesero i prezzi, e nacquero le leggi, perché la masterizzazione è una vera copia bit –a – bit. Cambiamenti importanti: i. Il cd era un supporto diverso dall’lp. In questa diversità ci sono alcuni aspetti di carattere industriale, l’oggetto in sé come supporto musicale. Un cd contiene più musica di un lp. C’è l’aneddoto per cui il Paperoni della sony decise egli stesso che su un cd doveva starci la nona di Beethoven per intero. In questo modo offriva più musica. ii. Il cd ha una facciata sola. Il pubblico degli lp si era abituato nel giro di 20 anni ad avere dei prodotti audio con due facciate, quindi ad un ascolto continuato di massimo 25 minuti, e con una sintassi particolare: nessuno comprava lp senza ascoltarlo, ma potevano ascoltare solo le prime canzoni, quindi i produttori erano abituati a creare una scaletta per cui i brani più importanti erano la 1 e la 2 della 1 facciata, e la 1 della 2 facciata. Il cd non offriva questa gerarchia, è vero che ha un primo e secondo pezzo, ma la velocità con cui si può cambiare traccia è enorme, perciò si può arrivare tranquillamente all’ultima. iii. Dato che sul cd ci sta più di un’ora di musica, e dato che il pubblico abbastanza rapidamente lo capisce, si pone il problema di allungare la musica, anche perché i cd costano di più. Le produzioni si orientano verso un aumento della durata di musica pop (problema non si pone per la musica colta). Ma per produrre più musica ci vogliono più soldi per registrazioni, missaggi, session man, artisti che devono scrivere le canzoni e provarle e arrangiarle. Mentre fino agli anni 70 un gruppo di grande successo poteva realizzare un album all’anno, con il cd questo non è più possibile. Si allungano i tempi fra un uscita e l’altra. Anche questo ha un costo, perché il pubblico si dimentica dell’artista. Per questo si crea una sinergia tra il mercato discografico e Mtv, attraverso i video e i singoli. Questo viene fatto per Madonna, Michael Jackson etc … Rivista Wired: articolo scritto da David Byrne, musicista. Nel 91 il cd aveva ancora poco più del 50% del mercato, l’altra era la mc e una scheggina minuscola erano i vinili. Nel 94 il cd conquista più mercato, ma ancora molte cassette, e cmq il mercato globale di musica su supporto cresce. 97 mercato scende ma aumentano i cd. 2000 ultime tracce delle cassette, e mercato cresce. 2003 inizio discesa del mercato: solo cd, con piccolissima fettina legale di file digitali. 2006: trend in discesa, sotto i livelli del 91, ma componente non più trascurabile di mercato legale di file digitali. Previsione di Byrne: 2012 ancor più file, poco meno della metà, e ancora discesa di mercato. Equity Deal: forma nuova adattata da alcune superstar: accordi con grosse imprese, all’inteno cui gli artisti hanno ceduto la propria attività riservando una quota sull’attività. Cosa comporta: Madonna ad esempio ha fatto un accordo con una società che possiede radio, organizza concerti … Madonna non si interessa dell’andamento delle sue produzioni, fa dischi, fa concerti, fa vestiti … e riceve quote su tutte queste attività. Standard Deal: artista riceve un anticipo per realizzare un album e poi, con le royalties, ripaga questo anticipo, e, coperte le spese, poi guadagna. License Deal: artista proprietario dei diritti del fonogramma e concede alla casa discografica le royalties sulla distribuzione. L’artista riceve più soldi, ma copre e spese di produzione. Profit Sharing: etichette di proprietà dell’artista, e partecipa agli utili M & D Deal: Managemente and distribution: conserva la titolarità dell’opera riprodotta. Self- Distribution: artista direttamente produttore e distributore.

CD: 1% unione musicisti 5% packaging 5% publishing royalties 5% retail profit 6% distribution 10 % artist’s royalties = 1, 60 $ 11% label profit 15% marketing 18% label overhead 24% retail overhead

FILE su iTunes: 14% artist = 1.40 $ 30% iTunes = 3 $ 56 % label = 5.59 $

INDUSTRIA STRUMENTI MUSICALI Impatto sempre più forte che le tecnologie musicali hanno avuto sull’industria degli strumneti musicali ad alta tecnologia specialmente dagli anni 70 – 80. Italia: nelle Marche c’era una zona di fitta produzione di strumenti musicali, derivante dalle produzioni di fisarmoniche, specialmente attorno a Caste Fidardo, in particolare produzione di organi. Molti organi Farfisa, elettrici, innovativi, utilizzati nella produzione pop degli anni 60. Fine anni 60 comparsa sintetizzatori: anche fabbriche italiane cominciano a produrli. Per un po’ i sintetizzatori sono basati su model board basati su transistor e condensatori, non si usano ancora a circuiti integrati, e l’industria italiana rimane competitiva. Momento di crisi: quando ci si basa su circuiti integrati, come processori o microprocessori, che in Italia non c’erano. Molto rapidamente si crea un gap tra le potenzialità tecnologiche dell’industria degli strumenti musicali italiani, all’inizio degli anni 80. Queste piccole industrie inventano anche strumenti competitivi, ma per realizzarli servono ncircuiti integrati americani, perciò i produttori americani preferiscono fare accordi con società amercicane piuttosto che con quelle italiane, perciò a queste costa di più. In più entra sul mercato la concorrenza giapponese, Yamaha, e si producono circuiti integrati in proprio, e i loro prodotti diventano molto più competitivi ed eliminano la produzione italiana. Il caso di Yamaha è particolare, perché la tecnologia che utilizza è in origine americana, dell’università di Stanford: tecnica di modulazione di frequenza tramite poi i circuiti integrati.

DIFFUSIONE DI TECNOLOGIE DI REGISTRAZIONE SU HARD DISK Stessa industria degli studi di registrazione viene messa in crisi per la possibilità dell’home recording. Caso emblematico: Fabrizio De Andrè, con Anime Salve, registrato a casa del produttore, appartamento di 70 mq. Negli studi solo il missaggio. Questo fa sì che la qualità della produzione si sia diffusa in tutto il mondo in modo inaspettato. Ciò rappresenta la grande innovazione della globalizzazione tecnologica, è molto positiva, ne scaturisce la diffusione di musiche molto diverse e provenienti da paesi differenti e lontani.

== Economia ==
=== Auditel e Audiradio ===
RILEVAZIONE ASCOLTI RADIOFONICI E TELEVISIVI

Strumenti importanti per: _valutazione successo trasmissioni o momenti diversi della stessa trasmissione (si sa che una certa presenza sullo schermo influisce poi sugli ascolti): luogo comune: la musica non produce buoni risultati (musica suonata, e parlarne); _valutazione comparativa tra le diverse emittenti (share di 23% :una data rete televisiva ha il 23% rispetto a tutti gli ascolti: uno share più piccolo in un orario con più alta frequenza di ascolto ha più valore);

Gli ascolti in fasce orarie interessano specialmente gli spot pubblicitari, che, sostanzialmente, mantengono economicamente le emittenti televisive e radiofoniche. E' vero, tuttavia, che alcune emittenti politiche si mantengono anche se non sfruttano la pubblicità (es. molte radio indipendenti). La forza degli spot non è tanto la sua bellezza ed efficacia, quanto più l'emittente su cui viene trasmesso. Quindi chi investe in pubblicità esige conoscere gli ascolti e gli orari di ascolto massimo delle emittenti (infatti i più costosi sono quelli delle fasce orarie più frequentate). La pubblicità esiste da prima di radio e televisione: si basava sulla stampa...ma i concetti erano pressapoco identici.

Target (obiettivo): pubblico specifico che può essere adatto per un certo tipo di pubblicità. Enti che promuovono le ricerche sugli ascolti: società miste: emittenti e aziende con le loro agenzie pubblicitarie e una società di rilevazione demoscopiche.

RILEVAZIONI RADIOFONICHE Italia: Audiradio (www. audiradio. it). UPA= Unione Pubblicitari Associati. MANZONI= società di raccolta pubblicitaria (Sipra x RAI, Publitalia x MEDIASET, Manzoni x maggiori radio): hanno in gestione spazi pubblicitari delle emittenti e li rivendono agli utenti pubblicitari. Sono società di vendita, con l'obiettivo di raccogliere più fatturato pubblicitario possibile.

Guarda sul sito le note su come viene creato il campione per l'indagine, come scelto il periodo, le modalità con cui sono emessi i dati. IMPORTANTE: Audiradio si basa su rilevamento statistico. Questo l'accomuna a Auditel. Il campione rappresentativo è un sottoinsieme della popolazione nazionale, che al suo interno è suddiviso per sesso, fasce di età, tipo di insediamento in cui vivono, reddito, formazione scolastica, equivalenti, in proporzione, al totale della popolazione. Quindi tutto ciò rende il lavoro statistico molto complesso, anche perché i dati spesso provengono da fonti differenti, non sempre è possibile verificare il reddito (spesso ci si basa sulle liste elettorali, poiché sono pubbliche, accessibili a tutti, e su queste sono riportate le date di nascita, e per ciò che riguarda il reddito ci si basa sull' insediamento). La rilevazione si basa su interviste telefoniche. Proposto un elenco di emittenti che collaborano all'inchiesta, e ogni volta l'ordine è casuale. Le emittenti devono essere ascoltate il giorno prima o nella settimana precedente (i due dati sono poi tenuti separati), e dev'esser specificata la durata dell'ascolto. Difetti: si basa sulla memoria dell'intervistato. Molti grandi supermercati e stock market hanno delle radio in house, ovvero radio fatte apposta per il tal esercizio economico, da parte di radio esistenti (es. radio melablu). Questo crea confusione nelle interviste. Altre polemiche in seguito alle risposte alle critiche che dava Audiradio. Se durante un anno cambia il campione, succedono casini. In generale Audiradio è in grado di fornire una stima appropriata annuale per le grandi emittenti...quelle trimestrali o semestrali sono poco attendibili. Importante: la radio è più diffusa in Italia rispetto alla televisione. Molti critici sostengono che in Italia ai vertici ci sia una sottovalutazione della radio. E' un medium molto musicale, perciò ha un influenza notevole sul mercato musicale. Importante il fatto che si ascolta musica gratis...negli USA è più forte del downloading. Sistema svizzero by Marcus Steinmann (inventore dell'apparecchio Miter dell'Auditel) per rilevazione ascolti radiofonici: Radiocontrol (www. radiocontrol. ch). Campione statistico a cui viene fornito un oggetto con l'aspetto di un orologio (registratore digitale con micro- microfono e rilevatore di impulsi), che i campioni devono portarsi in giro ovunque per una settimana. Ad intervalli regolari l'orologio registra un piccolo click, dopo una settimana vengono raccolti e portati al centro di radio control ed elaborati con una work station sun, dove le registrazioni vengono confrontate con le registrazioni di tutte le trasmissioni di tutte le radio. Essendoci un corrispondenza tra il click dell'orologio e il clock della work station si possono confrontare i due dati. In effetti funziona! Come è stata fatta la verifica definitiva di questo sistema? Confrontando sperimentalmente con la televisione (l'audio delle trasmissioni) ;in questo caso non c'erano orologi ma dispositivi attaccati al telecomando...quindi era anche più preciso. Quindi hanno dato ai campioni dell'Auditel svizzero i telecomandi e, confrontandoli, hanno realizzato che gli ascolti corrispondevano. Alla fine dell'estate 2007 anche l'Auditel italiana ha detto che adotterà un sistema simile.

Auditel: campione segretissimo selezionato all'interno di un altro campione. Tra 30 e 40.000 famiglie con interviste dirette, per verificare che siano adatte al campione, introdotte ad esempio alla tecnologia. All'interno di questo pool di famiglie ne vengono selezionate circa 3000. Queste hanno un telecomando speciale che permette di: selezionare il canale desiderato , e indicare quali componenti della famiglia stanno guardando in quel momento la televisione. Questo implica in parte scocciature e in parte handicap, perché magari hanno in mano il telecomando bambini piccoli o nonni decrepiti. Nuovo sistema: rilevatore audio su ognuno dei televisori, e per tutte le emittenti televisive. Finchè c'era solo la tv analogica il metodo del telecomando andava bene, ma con l'avvento della tv satellitare e poi digitale, molto spesso in una stessa famiglia vengono utilizzati comandi diversi. Perciò per Auditel era un casino...allora ha scorporato il telecomando che serve solo a indicare le presenze, e, attraverso il rilevatore, fa il resto.

=== Ordinanza Ripartizione Musica SIAE ===
ORDINANZA DI RIPARTIZIONE DELLA SEZIONE MUSICA DELLA SIAE

I diritti d'autore costituiscono una parte molto importante dei diritti, soprattutto dal punto di vista economico. Si tratta di cifre molto consistenti, non solo dal punto di vista del mercato musicale, ma anche per ciò che riguarda ciò che finisce nelle tasche degli operatori nel campo. Non confondere diritti d'autore con quelli degli esecutori e/ o con quelli dei produttori di fonogrammi. I diritti d'autore non vanno alle case discografiche, queste, semmai, li pagano. La siae protegge anche i diritti d'autore per l'utilizzo musica dal vivo e/o riprodotta (bar, discoteche), musica al cinema, radio e televisione, nei teatri, e i diritti sui dischi, e i supporti liquidi (internet). Quote per la siae divise in 24esimi, di cui solitamente la metà sono attribuiti a un editore, e i rimanenti 12, 8 vadano all'autore della musica e 4 a quello del testo. Nulla impedisce di ripartire in modo diverso, ci sono limiti e massimi molto flessibili. Una volta stabiliti i limiti si possono anche cambiare. E' possibile dichiarare alla siae che agli autori dichiarati per un certo brano si è aggiunto anche un ulteriore, che ha in parte scritto il brano. Tuttavia non si può fare il contrario: non si può togliere. Fino a poco tempo fa per essere iscritti alla siae bisognava passare un esame! Fino agli anni 60:esame di compositore: saper scrivere una parte per pianoforte di ciascuna delle canzoni della prova d'esame, parte completa di melodia più accompagnamento. C'era poi l'esame di melodista che doveva scrivere solo la melodia, e poi c'era il melodista non trascrittore. I primi cantautori italiani erano dilettanti, perciò facevano registrare in siae la canzone da qualcun altro. La divisione in 24esimi non vale per la vendita su supporti e liquida, ma ne vale una percentuale. In molti paesi i diritti fonomeccanici fino agli anni 60 non erano gestiti dalla siae, benzì da altre società con regole diverse. Questi diritti a quanto ammontano? Dipende dal successo e diffusione del brano. Poche centinaia dalle esecuzioni live, per utilizzo su i- tunes, fino a cifre molto consistenti per il passaggio ad esempio al festival di sanremo, e i festival musicali trasmessi in tv in generale. Ma da chi arrivano i soldi della siae? Le emittenti pagano un fisso, perciò i soldi arrivati all'autore della sigla di Onda Verde vennero sottratti agli altri autori della rai. La siae è spesso e a ragione criticata. E' amministrata, al suo interno, da componenti elette che rappresentano componenti del mercato musicale, ed esistono anche dei settori tra cui la commissione musica eletti dagli associati, e rappresentano degli interessi, autori, editori, produttori...storicamente è avvenuto che taluni cercassero di piegare a loro vantaggio le regole della siae. Il lavoro di monitoraggio è difficilissimo. Da un lato rischia di violare la privacy, dall'altro dovrebbe far rispettare i diritti degli autori. Putroppo, o per fortuna, è difficile, in alcuni casi è possibile identificare gli impieghi principali della musica. La siae, quindi, sin da principio, ha scelto una corrente di pensiero: alcuni diritti possono essere controllati tassativamente (grandi concerti, festival...); su questi è possibile identificare dei sistemi che permettono di attribuire con certezza gli incassi a chi di dovere. Ma supponiamo che un gruppo faccia un pezzo di musica dance che va molto in una certa regione di discoteche, solo in certi gg della settimana, e non è detto che la siae riesca a controllare direttamente cosa accade lì, né che i dj compilino correttamente il borederaux, molto probabilmente l'autore non vedrà nemmeno un soldo, anche se ha tstimoni. Per evitare questo si ricorre ad uno strumento: ripartizione supplementare: fondo in cui finiscono gli incassi delle utilizzazioni musicali di cui non si riesce ad attribuire l'origine. Ha una caratteristica molto chiara: gli incassi vengono ripartiti tra gli autori / editori in proporzione agli incassi che gli stessi hanno avuto dalle altre utilizzazioni. Se uno ha guadagnato tanto si becca anche una grossa fetta di queste ripartizioni supplementari. CLASSI DI RIPARTIZIONE DELLA SIAE: 1. a) balli e trattenimenti con ballo (balere e discoteche) b) concertini (locali non di spettacolo, cioè teatri,) quindi pub, bar... 2. a) lungometraggi e cortometraggi di cui la società incassa il compenso separato, detratto dal prezzo del biglietto. b) film pubblicitari aventi una colonna sonora propria 3. a) emissioni radiofoniche, televisive e filodiffusioni b) comunicazione pubblica per mezzo di apparecchi riceventi radiofonici, televisivi e di filodiffusione, di opere radiodiffuse, telediffuse e filodiffuse 4. a) concerti sinfonici e sinfonico- corali, concerti da camera, concerti di esecutori solisti, anche se vocali, concerti di danza (momix) b) bande musicali e società corali c) concerti di musica leggera, spettacoli di canzoni, canzoni sceneggiate, recital, trattenimenti di musica jazz d) riviste e commedie musicali con musica non tutta “originale” e) musiche eseguite a commento o in accompagnamento di opere drammatiche ed analoghe f) circhi g) arte varia h) sfilate di moda i) corsi carnevaleschi l) esecuzioni musicali di musicisti ambulanti m) esecuzioni musicali di strumenti meccanici 5. a) riproduzioni fonomeccaniche b) riproduzioni videofonomeccaniche su DVD c) registrazioni ai fini delle diffusioni radiofoniche, televisive o per filo effettuate dalle imprese di radiodiffusione e di televisione (tipo zecchino d'oro, viene trasmessa la registrazione. La registrazione in sé la fa soggiacere anche a questi diritti, oltre che a quelli della classe 3) 6. a) prelevamento di opere musicali in formato digitale a mezzo rete telematica (downloading) b) caricamento (uploading) e comunincazione al pubblico di opere musicali in formato digitale a mezzo rete telematica e/ o di telecomunicazione (streaming, webcasting)

ANALISI DELLA CLASSE 1 Incasso dei balli è redistribuito attribuendo due punti a ciascuna composizione edita e uno alle inedite, attraverso il programma musicale (il borederaux non c'entra, riguarda il teatro). I pezzi del programma musicale sono retribuiti. Nelle discoteche gli incassi relativi alle esecuzioni musicali mediante strumento meccanico (pc...) sono redistribuiti: 50% sulla base di un campione distribuito costituito da rilevazioni dirette per almeno 4800 ore a semestre di esecuzioni musicali in balli e trattenimenti con ballo, le cui modalità sono regolate con apposita delibera del Direttore Generale. 50% sulla base di un campione costituito da un quinto dei programmi consegnati agli organizzatori ed individuati con criteri di selezione statistica (si estraggono a caso tra i programmi musicali dei dj).

ANALISI DELLA CLASSE 2 Incassi per ogni spettacolo sono attribuiti alle singole composizione elencate nel programma musicale del film depostato alla società, escluse quelle che costituiscano sigle o etichette del produttore o del concessionario o del distributore, in base alla durata in minuti secondi. Nel caso in cui vengano eseguiti cortometraggi, il compenso separato viene attribuito proporzionalmente a seconda delle diverse possibilità di proiezione:  film spettacolari 87% cortometraggi o documentari 12% cinegiornali 1%  film spettacolari 88% cortometraggi o documentari 12%  film spettacolari 99% cinegiornali 1% L'importo suddetto viene moltiplicato prima delle operazioni di cui sopra per un coefficiente pari al rapporto tra la durata della musica compresa nella colonna sonora del film e la durata del film stesso. Il coefficiente è maggiorato del numero fisso 0.25, ma non può essere < 0.40 o >1. Il residuo, la parte che non è pagata direttamente ad autori ed editori finisce nella ripartizione supplementare di classe 2^. Gli incassi effettuati per i diritti di esecuzione di musiche registrate in film pubblicitari aventi colonna sonora propria sono attribuiti alle composizioni comprese nel film al quale gli incassi si riferiscono, in proporzione alla loro durata in minuti secondi.

ANALISI DI CLASSE 3 Ogni composizione nusicale elencata nei programmi delle emissioni radiofoniche e televisive consegnati alla Siocietà dall'emittente partecipa alla ripartizione in proporzione alla drata di utilizzazione in minuti secondi, e in base ai criteri sopra citati. Non sono considerati ai fini di tale ripartizione: 1. i programmi delle trasmissioni speciali di propaganda culturale e artistica, destinate allesterno, effettuate entro l'ente concessionario nazionale ai sensi dell'art. 60 LA; 2. i programmi della filodiffusione; 3. composizioni utilizzate in film pubblicitari o eseguite in connessione con specifici annunci pubblicitari; 4. le singole utilizzazioni di durata inferiore a dieci minuti secondi. Tuttavia vengono prese in considerazione ai fini della ripartizione, sempre che ne sia possibile l'identificazione, le utilizzazioni della medesima opera – singolarmente inferiori a 10” - quando, nell'ambito della stessa trasmissione, siano reiterate in modo da raggiungere complessivamente una durata superiore ai 10”; (scelgono i funzionari di servizio, alla RAI esiste l'aiuto regista o l'assistente musicale che siede accanto al tecnico, che annota le canzoni, durate etc...) 5. le utilizzazioni musicali trasmesse ma non riconoscibili all'ascolto. Ai fini della ripartizione, la durata di ciascuna utilizzazione è moltiplicata per un numero di unti fissato come segue, a seconda dell'area geografica di diffusione e della fascia oraria dei programmi radiofonici o televisivi nei quali essa risulta compresa:

PROGRAMMI TELEVISIVI DIURNI Nazionali 10 Regionali 2 Locali 1 PROGRAMMI TELEVISIVI NOTTURNI PROGRAMMI RADIOFONICI DIURNI PROGRAMMI RADIOFONICI NOTTURNI 1. Emissioni radiofoniche MUSICA PROTAGONISTA: usata in primo piano. MUSICA DI COMMENTO: utilizzata per sottolineare commentare eventi o situazioni drammaturgiche, e sia necessaria. MUSICA DI SOTTOFONDO E COMPLEMENTARE: in concomitanza al parlato. MUSICA IDENTIFICATIVA: sigle iniziali, pausali e finali dei programmi. Coefficienti: PROTAGONISTA: concerti da camera, sinfonici, operistici: 8 tutti gli altri tipi: 6 COMMENTO: opere drammatiche e letterarie: 6 SOTTOFONDO: ricorrenza multipla giornaliera: 1 tutti gli altri tipi: 3 IDENTIFICATIVA: sigle, stacchi: 2 segnali di inizio o termine delle diffusioni, sigle o stacchi di rubriche fisse: 1 Per ogni semestre si ottiene il totali dei singoli addendi che, per ciascuna composizione musicale, costituiscono il risultato delle operazioni di cui sopra. Il quoziente fra la metà dell'importo...boh Moltiplichi la durata in minuti secondi per i punti della fascia oraria, poi per la funzione. Prendi la metà dell'importo attribuito alla siae dalla rai e lo dividi per il prodotto che hai appena fatto. Dividi poi il risultato per i punti. Quali boh, mi son persa!

=== Mercato discografico anni 20- 30 (manca prima parte) ===
Mercato discografico anni 20 e 30(manca un pezzo perchè sei arrivata un'ora in ritardo)

Fino anni 30 e inizio anni 40 raddio trasmetteva solo musica dal vivo, e creava economia della musica tramite le esibizioni. L'industria discografica però si rende conto della concorrenza della radio e abbassa costi dei dischi. Quindi riduzione del fatturato e dei margini dell'industria discografica. Quando un'industria ha il monopolio tende a massimizzare, quando c'è concorrenza tende invece a ridurre i suoi margini. Ciò non è sempre vero, poiché si creano dei cartelli di distributori, cioè si coordinano per non farsi concorrenza (mal comune mezzo gaudio). Esempio tipico è quello della telefonia mobile. Una volta una centrale telefonica era grandissima e quindi il costo dei telefoni era proprorzionale al costo delle strutture. Con l'automazione del lavoro (digitalizzazione dell'elettro- meccanica) per cui le stesse funzioni di elaborazione e trasmissione dei dati sono state eseguite da molti meno dipendenti, i costi sono crollati, ma in realtà le aziende telefoniche dovrebbero far pagare molto meno di quanto paghiamo (cioè lo paghiamo come una volta!!!). Gli operatori della telfonia mobile tengono i margini alti poiché sanno che ormai hanno in mano un bisogno indotto necessario. Il caso della discografica in confronto con la radio è un caso un po' diverso, cioè: l'industria discografica è stata costretta dal mercato ad abbassare i prezzi. Dopo il 40 i valori sono un po' cresciuti ma neanche molto. Nel 41 gli USA entrano anche in guerra (IIGM), perciò c'è un calo, mentre dopo il 46 c'è un aumento, che si stabilizza. Con il 55- 56 entrano in scena nuovi consumatori che fanno la differenza: i giovani, per via della nascita del Rock & Roll. E' come se la popolazione fosse aumentata. Quindi nella storia dell'industria discografica americana c'è sostanzialmente un buco, dopo il 29, da cui si risale in parte nel 46 e poi in modo più deccisivo tra il 55 e il 56. Fino alla fine degli anni 70 continua a crescere. Si stabilizza poi negli anni 80. L'industria discografica pensa anchee al disco registrato meccanicamente: si usano dei microfoni e la puntina viene pilotata da un elettromagnete. In questo modo si ottiene un'innovazione allucinante che avvicina i supporti alla qualità di quelli attuali.Tuttavia questa fu unua distribuzione di nicchia: i discografici si rendono conto che sono in grado di produrre dischi migliori, ma i giradischi in possesso del pubblico non sono in grado di riprodurli alla giusta qualità. In tutte le occasioni di innovazione l'industria discografica ha sempre puntato sul pubblico più abbiente, e questo pubblico normalmente ha dei gusti musicali particolari. Per cui si capisce come mai i primi supporti particolari furono per la musica colta. [Nel 58 venne introdotta la stereofonia, ma quasi nessun dsco di Rock & Roll fu registrato in stereo. I Beatles non registrarono in stereo, nemmeno quando erano molto famosi. Non dipendeva dalla fama, ma dal tipo di pubblico a cui erano indirizzati.] Il Festival di Sanremo nasce con una funzione conservatrice, è affidato a musicisti che erano stati attivi nel periodo precedente, e rappresenta una continuità con l'epoca fascista. Ci sono anche dei motivi politici, ovviamente, ma ciò che ci interessa di più sono le ragioni culturali: in un momento in cui negli USA c'è il Rock&Roll, in Francia sono avanti coi cantautori, in Italia c'è un gusto retrò...questo distacco era nato ancora prima. E' proprio il lessico di queste canzoni che è indietro, ancora Gershwin negli anni 20 cantava di pubblcità, di superman...in Italia si parla di balocchi, peccati...Nel fascismo si parlava di modernità, mentre dopo il fascismo si torna indietro perchè sale la democrazia cristiana. Maledetta DC che sta pure rinascendo adesso!!! Non c'erano solo canzoni tristi, quelle allegre erano molto sceme tipo maramao perchè sei morto. Alcune cercavano di imitare i modelli americani ma venivan censurati...De Angelis ad esempio. Era un cabarrettista. Il centro della musica popolare era la radio, ancora, questi artisti erano artisti della radio. Per andarci si facevano degli esami. C'era un controllo molto stretto, molto centralizzato, e censurato. Era estremamente importante anche il ruolo dei direttori d'orchestra. Negli anni 40 i principali erano due: Cilico Angelini e Pippo Barzizza. Il primo era tradizionale, il secondo affascinato dal jazz e dalla musica americana. Non a caso quando nasce il festival d Sanremo viene affidato al primo. Esisteva però in Italia un gusto per l'estero, il cui esponente diventerà famoso dopo, Natalino Otto, un protetto di Barzizza. Quello del sassolino nella scarpa!!!

=== Tecnologie varie del disco (se trovate un titolo migliore...prego...) ===
[c'è un riassunto dei dati degli usa nella parte del sito con la password]

il formato dei dischi a 45 giri è stato introdotto nel primo dopo guerra, 48- 49, legato a due tecnologie: 1) Tecnologia del micro solco. Il fatto di poter fare dei solchi più piccoli e più ravvicinati permetteva di mettere più canzoni nel disco, più di 20 minuti. L'idea dell'album come la conosciamo oggi, si afferma più tardi, e il mercato degli album supera quello dei singoli solo nel 68. Da lì cambiano molte cose, l'impostazione del mercato discografico, per cui il mercato investiva sui gruppi. Importante dal punto di vista economico ma anche estetico. I Pink Floyd, ad esempio, sono riconoscibili dagli album, non dalle singole canzoni. 2) Tecnologia del?

SIAE (dal punto di vista dei diritti fonomeccanici, 5^ classe) Il motivo per cui la classe dei diritti fonomeccanici è l'ultima ha ragioni storiche: il diritto d'autore è nato prima, e per un certo periodo significativo i diritti fonomeccanici in Italia erano gestiti dalla SEDRIM, e non dalla SIAE. Perciò al passaggio questi diritti sono finiti in coda. Come avviene la tutela: i discografici pagano i diritti fonomeccanici alla SIAE. Li pagano in base alla destinazione del fonogramma e alle dimensioni del business dell'impresa discografica. Licenza singola: contratto più semplice. Chiunque voglia produrre un cd si rivolge alla SIAE, compila un modulo e paga una quota sulla base della tiratura che effettuerà. Nei cd si acquista il famoso bollino. Funzion a dal singolo cittadino sino alle case discografiche. Normalmente utilizzato dalle etichette indipendenti. Lo svantaggio è che bisogna pagare subito, e se poi non si vende...sono cazzi. Quindi: rischio dello stock(tiratura, stampa) e onere finanziario. Contratto Generale: principale e maggioritario. Con la SIAE, ma copre tutti i fonogrammi che contengono materiale tutelato che il fonografico realizza. Il discografico paga a seconda dei rendiconti trimestrali delle vendite. Quindi: non paga lo stock, l'invenduto non viene pagato. Non c'è rischio finanziario, perchè non paga nessuna delle copie, pagherà solo dopo i rendiconti e sul venduto. Contratto Edicola: fonogrammi venduti nelle edicole. In genere si paga meno SIAE. In genere gli utenti non sono discografici ma editori. Le edicole sono moltissime in Italia, perciò per andare nel mercato delle edicole bisogna stampare delle tirature molto alte, e chi pubblica nelle edicole, quindi, ha un rischio molto più alto. Il prezzo dei cd è basso, quindi non c'è molto guadagno (in genere sono riedizioni e ristampe). L'IVA stessa è diversa...E' quasi se fosse un prodotto diverso dal cd. Caso tipico di auto pirateria. Contratti Premium: contratti che riguardano le produzioni destinate agli omaggi commerciali.

FIMI

Una volta esisteva l'AFI, associazione fonografici italiani. Esiste ancora, ma c'è stata una scissione, per cui le major hanno fondato la FIMI, che fa parte di CONFINDUSTRIA. Enzo Mazza presidente. (ifpi international federation of phonogram industry) Alternative ai dischi: downloading illegale E: le risorse economiche della gente non sono infinite, e negli ultimi anni c'è stata una crescita concorrenziale allucinante. Interessi molteplici. Oltre alla musica c'è di tutto! Cellulare, playstation, macchina foto, telecamera, pc, internet, software...la qualtità di cose che uno deve comprare è decuplicata, ma il reddito no.

IVA

(sito agenzia delle entrate) Aliquota ordinaria: nell'UE può variare secondo le leggi tra il 15 e il 25 %. 15%= Cipro, 25% = Danimarca. E' uno degli aspetti più complessi dell'unione economica, poiché prima ognuno faceva per sé. Oltre a questa, uno stato può stabilire che esistano aliquote speciali. La legislazione europea ne premette due: 1) Aliquota ridotta: in Italia: 10% 2) Aliquota super ridotta: in Italia: 4% (es il pane e i libri) Le leggi fiscali di ogni paese stabiliscono quali utenze hanno queste aliquote speciali. Molte volte è stato detto che per andare incontro alla crisi dellindustria discografica basterebbe abbassare l'aliquota dei cd, cioè quella ordinaria. Ma chi dice ciò pensa che noi siamo ancora autonomi rispetto all'Europa rispetto alla gestione finanziaria, ma non è così. In effetti fino agli anni novanta ognuno era libero di gestirsi, c'è stato anche un periodo recente in cui in Italia l'aliquota ordinaria era del 10%. Inoltre, siccome non era possibile distinguere cd audio dai cd dati, anche chi importava software pagava 2 aliquote: una sul cd, e una sulla licenza. Da quando ci sono gli accordi di Maastrict ciò non è più possibile: un paese è libero di variare l'aliquota ordinaria, purchè tra il 15 e il 25 %. Quindi se uno vuole diminuire l'aliquota deve diminuirla tutta, cioè su tutti i prodotti, non solo i cd. L'unica altra possibilità è spostare i cd ad un'aliquota ridotta. Il problema è che ci sono stati dell'UE in cui non ci sono problemi di vendite dei cd, tipo in GB. La decisione dev'essere a maggioranza assoluta, quindi non passerà mai...

=== Usa- case discografiche e affini ===
USA- CASE DISCOGRAFICHE  Majors (Universal, Sony- BMG, Warner, EMI)  Mini- Majors  Major- Distributed Independents  True Independents

C'è stata forte polemica in merito alla fusione tra Sony e BMG per le leggi sulla concorrenza. Molte majors sono di origine cinematografica. Le mini majors sono grosse case discografiche che però hanno alcune strutture artistiche indipendenti. Le majors distributed independent sono case discografiche indipendenti che però vengono distribuite dalle majors. Quindi ogni casa ha un proprio settore di distribuzione, i loro artisti se li scelgono, ma si appoggiano alle majors. In Italia le etichette indipendenti sono piccole imprese con budget limitati, in america hanno comunque decine, centinaia di dipendenti e vendono un milione di dischi. Le true indipendents si servono di grossisti o distributori regionali, quindi sono slegate in toto dalle majors. Sia le majors che le mini majors hanno una struttura distributiva aggregata, e le majors sfruttano le minimajors.

CONTRATTI DISCOGRAFICI Royalties: percentuali calcolate su prezzi convenzionali. (USA) SRLP: Suggested Retail List Price, col passare del tempo è diventato finzione, non ha a che fare né col prezzo al pubblico, né con quello ai rivenditori. Anche se è convenzionale, è comunque più alto del PPD, quindi nei contratti le royalties sono diverse. (UK) PPD: Published Price for Dealers, riferimento più prossimo a vero: un prezzo ragionevolmente realistico che corrisponde al prezzo pagato dai rivenditori per i dischi.

USA: Royalties artista nuovo con Independent: 9- 13% con Majors o Mini Majors: 12- 14%

artista di livello medio: 16- 18%
superstar: 19- 20%
aumento dello 0, 5- 1% alla soglia delle 500000 copie.

Anticipi (1998):

artista nuovo con Independent: $ 5000- 125000 artista nuovo con Majors o Mini- majors: $ 175000- 350000 artista di livello medio: $ 250000- 500000 superstar: da $750000 in su Sono fondi amministrati dall'artista: ciò che avanza dai costi di registrazione viene trattenuto dall'artista. In UK l'anticipo per l'artista può essere separato dai costi di registrazione, che sono comunque considerati anticipi. Però sono sempre anticipi che vengono dati a scalare sulle royalties: finchè gli anticipi non sono restituiti, l'artista non incassa le royalties. Gli anticipi per produzioni eccessive si accumulano: se il secondo album è in attivo ma il primo è in perdita, l'artista non riceve royalties finchè non sono stati coperti gli anticipi.

CROSS COLLATERALIZATION Sistema che le majors mettono in campo per recuperare gli anticipi. Funziona solo coi cantautori. Propongono all'artista di recuperare i soldi degli anticipi non solo dalle royalties, ma anche dai diritti d'autore. E' molto sconveniente per gli autori, poiché il copyright è l'unica fonte di guadagno per loro.

COMPULSORY LICENSE USA: finchè non è stata pubblicata la prima registrazione, il copyright può essere amministrato solo dagli aventi diritto, che hanno facoltà di concedere la licenza al prezzo che vogliono. E' quindi diverso dall'Italia, in cui, una volta registrato il brano alla SIAE, è la SIAE stessa ad amministrare il copyright. Una volta che è stato pubblicato per la prima volta il brano, chiuinque ha diritto di ottenere una licenza ad un prezzo stabilito a livello federale: STATUTORY RATE: 9, 19 cent per brani fino a 5' o 1,75 cent al minuto o frazione (per ogni copia prodotta). Viene gestita da una società apposita, non dall'Ascap o chi per lei.

CONTROLLED COMPOSITIONS Riduzione alla statutory rate nel caso di brani scritti o pubblicati dallo stesso artista o anche dal suo produttore. La riduzione tipica è 75%.

DIFF TRA COPYRIGHT USA E DIRITTO EUROPEO Il copyright non considera i diritti morali. Una causa di plagio può essere sostenuta se è dimostrabile che il possibile plagiario abbia avuto contatto con l'opera plagiata. Vengono respinti demo non sollecitati.

PLAGIO Molto più frequente di quanto non appaia. Cause: 1) succede spesso che autori di musiche che non hanno avuto successo trovino somiglianze anche rilevanti tra musiche che hanno avuto successo e quelle scritte da loro. Succede soprattutto ad autori di provincia. 2)è vero che all'interno dell'industria ci sono comportamenti scorretti. Uno dei casi tipici è che artisti di un certo nome ricevano materiale da aspiranti autori e si appropriano di questo materiale. Il plagio però non ha confini, non è solo musicale. Non è detto che ci sia un numero di battute standard. Esistono musicologi esperti che valutano la somiglianza dei brani globalmente.

=== Relazione FUS ===

Relazione FUS(Fondo unico dello spettacolo) destinazione di tutti i fondi 2003- 2004. dati che riguardano tutte le istituzio ni italiane che ricevono soldi per le attività musicali. Settori: 1) fondazioni liriche (poco meno del 50%): 14 enti distribuiti sulla nazione, istituiti con la Legge 800 del 1977 che è la legge che tuttore discipilina le attività musicali, allora si chiamavano "enti autonomi". Ad esempio la Scala, la Fenice etc ... sono enti preposti alla produzione di lirica e concerti e hanno un certo numero di dipendenti fissi, strumentisti, costumisti, palchisti etc ... (la Scala ne ha più di 1000). nacquero come enti autonomi, e poi il Ministro della Cultura Veltroni volle renderli Pubblici. 2) attività musicali (poco meno del 50%): una gran varietà di istituzioni. Associazioni con orchestre, teatri di tradizione (dove si fanno anche opere ma non fanno parte dei Teatri Lirici), festival di ogni tipo (dal Festival dei Due Mondi all'Umbria Jazz), le bande musicali filarmoniche dei paesi. 3) attività di danza (1, 74%): pochissimo rispetto all'Europa! Questo va anche a discapito della musica, poichè molto spesso per un giovane compositore non è facile entrare nei festival di musica, ma in quelli di danza sì. 4) attività teatrali di prosa (): praticamente tutto il teatro italiano. Non c'è quindi distinguo tra manifestazioni "leggere" e "classiche". 5) attività circensi 6) attività cinematografiche. Non tutto il cinema, ma alcune produzioni finanziate per meriti culturali. Ad es. nuovi registi... FUNZIONAMENTO DEL FUS 7) osservatorio dello spettacolo 8) fondo particolare del Ministro 9) spese funzionamento comitati e commissioni

IMPARATI A MEMORIA LE FONDAZIONI TEATRALI DEL PUNTO 1!!!!!!!!!

Festival musica angelica: ha riportato la musica di Stockahusen in Italia. Ci sono stati un mucchio di musicisti di diversi generi che hanno poi costituito la base dell'innovazione musicale degli ultimi anni.

Opera: teatro musicale. Le composizioni che partono dal 1600, in cui viene messa in scena una rappresentazione con accompagnamento di musica e cantanti. Dall'opera barocca al melodramma italiano dell'ottocdento passando da Mozart poi a Verdi, Wagner, Puccini... L'attività di un direttore artistico coincide spesso con quella di amministratore, poichè bisogna scegliere le sinfonie in base al numero di strumenti. Spesso i bilanci dei grandi teatri vanno quasi in rosso perchè si tende a seguire le mode dei cantanti famosi, i direttori d'orchestra più "bravi"... L'attività sinfonica comprende anche quindi l'attività concertistica (strumento e orchestra). Nelle leggi italiane c'è pochissimo spazio per la Musica d'Epoca, cioè pre- classica. All'estero invece è molto diffusa. Musica da Camera: svariate forme, piccoli organici (trio, quartetto, quintetto, piccole orchestre). Altro settore molto trascurato in Italia, perchè non hanno un peso politico...i piccoli gruppi difficilmente sono radicati nei comuni etc. Liederistica (sottoinsieme della musica da camera): all'esterno sono normali, in Italia è una stranezza. Musica Contemporanea: tutta la musica a partire dall'inizio del XX° secolo. Stravinsky, Schoenberg...che, invece, ormai si etichettano come MUsica del Novecento, pienamente giustificato, anche se le motivazioni musicali sono più difficili da interpretare. Da quando Bartok ha scritto i suoi primi quartetti erano passati pochi anni dalle utlime composizioni di Brahms, ma musicalmente è più vicina a noi. invece si parla di più di Musica Contemporanea per quano riguardano compositori ancora viventi o comunque formati dopo gli anni 50.Sperimentazione liguistica. Prometeo= tragedia dell'ascolto, dramaturgia basata sull'ascolto. Quindi non poteva esseree rappresentato in un teatro d'opera tradizionale, poichè era in antitesi con la prospettiva del teatro stesso. Quindi si decise di COSTRUIRLO. Fu commissionata a Piano un contenitore di legno, un'arca, che riempiva interamente una chiesa di Venezia con partei di legno riflettenti controllate da tecnici di studio di Friburgo e dall'Università di Padova, con un grande buco in mezzo, luci colorate con effetti psichedelici, il pubblico sedeva in mezzo, e lungo gli spalti disposti sulle partei erano i cantanti e gli strumentisti. Furono fatte solo due rappresentazioni. Avrebbe dovuto essere rappresentata alla Scala, ma mentre le attrezzature erano conservate in un magazzino, questo fu distrutto da un temporale...miliardi in fumo.

ricordare: fus- fus finanzia attività musicali, danza, prosa, cinema, attività circensi- fondazioni sinfoniche- capire articolazione delle istituzioni musicali che hanno a che fare con la sopravvivenza degli organanismi musicali.

=== La musica che si consuma ===
LA MUSICA CHE SI CONSUMA Ricerca unica in Italia, che tentava di ricostruire gli schemi del consumo musicale, non solo aspetti quantitativi ma anche qualitativi, in un periodo del 1983. Istantanea fotografia dei consumi musicali. Per ragioni pratiche fu fatta in due città del nord, Milano e Reggio Emilia. Sarebbe stato più utile prendere anche città meridionali, ma non fu possibile dal punto di vista organizzativo. Era una ricerca che si basava sulla disponibilità di operatori, e le disponibilità erano in queste due città e non in altre. Reggio Emilia nasce come centro della ricerca poiché era un luogo importante dal punto di vista musicale in quel periodo e poco dopo sarebbe stata sede della II conferenza internazionale sulla Popular Music. Fu finanziata principalmente dall’allora Partito Comunista Italiano, in quanto all’epoca uno dei principali attori della musica italiana per via dei Festival dell’Unità, erano tra i principali circuiti musicali. Ricerca voluta da Walter Veltroni e Fabio Mussi … sti cazzi. La ricerca finanziata anche dalla AFI Associazione Fonografici Italiani, che era uno dei bracci più forti di ConfIndustria. In seguito l’AFI ha avuto una scissione, le major si sono staccate e hanno formato la … La ricerca fu diretta dal prof, Nemesio Ala, Umberto Fiori, Emilio Ghezzi, e supervisionata da Alberto Mannainer. Come fu fatta: attraverso diversi canali. Il più importante era un questionario con tantissime domande attraverso interviste individuali con durata di circa un’ora. Allora era possibile, oggi difficile. Gli intervistati non erano segnalate come persone interessate alla musica. Questa ricerca fu diretta a chiunque, tra i 14 e gli 80 anni. In seguito sono state fatte indagini molto più specialistiche, ad esempio svolte nei negozi di dischi. Qui serviva un campione rappresentativo della popolazione in generale. E’ rappresentativo se è stratificato, cioè rispetta i valori dei parametri della popolazione. Ad esempio il parametro di “amante della musica”, “strato sociale” , “sesso” … Come si ottiene un campione? Ottenuto fidandosi delle leggi di statistica, sparando nel mucchio e vedendo se corrisponde alla realtà rappresentata. Mannainer insegnò una tecnica che non è più usata oggi perché sono state introdotte tecniche più sofisticate. Tecnica:utilizzare i dati dell’ufficio elettorale, perché i dati anagrafici dei comuni spesso sono più aggiornati rispetto a quelli dell’anagrafe stessa. Ciò significa che il campione poteva essere solo tra persone al di sopra dei 18 anni, quindi venne fatta una selezione diversa e casuale per i giovani tra i 14 e i 17 anni. Per gli altri: scegliere con processioni computazionali casuali per pescare nei registri elettorali. L’elenco risultante era sovrabbondante in cui potevano esserci delle disparità, e si potevano quindi eliminare dal campione quelli che erano in sovrappiù. Per quanto riguarda le zone abitative e le fasce di reddito si faceva una proporzione. Analisi: ciò che si voleva capire era quanto la musica fosse importante rispetto al resto della “cultura”. 5 punti al moltissimo, 4 a molto, 3 ad abbastanza, 2 a poco, 1 a pochissimo. La musica costituiva il maggior interesse per gli intervistati a Milano, ed il secondo a Reggio Emilia, dove il primo era il lavoro. Fotografia dell’ideologia degli anni 70 (intervista 83, clima ancora del decennio precedente). Politica in fondo a entrambe le classifiche, poiché epoca del Reflusso, edonismo Reganiano. Perché ascolta musica? Per il piacere dell’ascolto riscuote il massimo dei consensi, ma al secondo c’è per compagnia, sottofondo: cioè non ascoltare la musica! E al terzo perché mi comunica qualcosa. Risultati quasi identici nelle due città.

=== Management Concerti ===
Management concerti Tre figure si occupano del settore: 1. Personal management, persona che tratta tutti gli affari dell’artista, sia sponsorizzazione che sincronizzazione, l’interfaccia per organizzare i concerti; 2. Booking, chi organizza davvero i concerti, più in generale i tour; 3. Local promoters, trattano coi managements per concerti in loco. 1. Inizialmente organizzavano le fortune degli artisti, anche nei rapporti con l’industria discografica e i media. Può essere un singolo o un’agenzia. Rapporto legato ad una percentuale su tutti gli introiti dell’artista. Per quanto riguarda i gruppi spesso accade che il manager guadagni più dei singoli elementi del gruppo stesso. Sono, in fondo, quelli che fanno succedere tutto. Sono responsabili di tutto ciòà che accade intorno all’attività di un artista: pianificatori che si relazionano con tutte le persone che hanno a che fare con la carriera di un artista, coordinandone le attività e stimolandole affinchè operino con entusiasmo ed efficienza: case discografiche, produttori, editori, agenti, promoter, pubblicitari, emittenti televisive, merchandising … all’inizio il merchandising era marginale, poi però ha assunto un ruolo importante per far sì che, soprattutto le tournee, non fossero in passivo. Era però un periodo in cui i concerti si facevano per vendere dischi … mentre oggi sono le vere forme di profitto. Il personal manager è colui che assiste l’artista nel pianificare l’attività quotidiana, coordinando gli aspetti organizzativi della logistica e di gestione dei rapporti con l’esterno. Deve essere per forza amico dell’artista stesso, e viaggiare con lui. Il communication manager è colui che gestisce i rapporti con i media, sia direttamente che indirettamente. Chiamato anche Press Agent. Amministratore: contabilità, fatturazione, royalties, pratiche previdenziali, verifica budget di produzione. 2. Agenzie che agiscono in particolare su territorio nazionale per le tournee. Negoziano i diritti er l’esclusiva nazionale di un certo artista. A Milano esiste Barley Arts. Un aspetto molto importante è che questo è un settore imprenditoriale in cui i capitali non sono tutto, anzi, contano di più le conoscenze, la fiducia che l’agenzia guadagna. Solitamente l’agenzia deve pagare un anticipo all’artista a cui chiede l’esclusiva. Ovviamente un’agenzia di distribuzione non ha questi soldi in banca, quindi ci sono due alternative: i fido o contare sul fatto che l’agenzia di management sia tollerante e possa aspettare la prevendita. Ruoli: • Agente di spettacolo: gestisce un po’ tutto, responsabile di tutti i settori, compresi aspetti come la progettazione di un concerto, o la ricerca di nuovi artisti; • Booking Manager: gestisce la vendita delle date e organizza il calendario dei tour; • Production Manager: aspetti che riguardano la produzione, quindi per le nazionali anche l’organizzazione delle prove, il reclutamento del personale tecnico; • Locational manager; • Merchandizer; • Ufficio stampa: anche spedizione materiale promozionale, degli accrediti, deve organizzare tutti gli spetti promozionali attraverso i media; • Sponsor Manager: due fasi: prima raccolta di sponsor, giro degli interlocutori che conosce • Local promoter: agenzie di spettacolo che sul territorio organizzano e gestiscono spettacoli dal vivo. Contattano gli artisti di volta in volta. Raccolgono anche i finanziamenti e li pubblicizzano; possono anche esserci i Project Specialists, che, a livello locale, possono concepire la progettazione di eventi; 3. Personale tecnico: • Stage Director: specie di vigile del concerto, stabilisce orari e ordine; • Rigger: monta palco; • Dimmer Engineer: elettricista; • Lightining Engineer: luci; • Stage Hand: facchino; • Security; • Truck Driver: autista; • Loading Specialist: carico/ scarico, cioè dirige i facchini e si occupa dell’ordine del carico; • Runner: muovere cose e persone, risolve tutti i problemi; • Catering Manager; • Sound Designer: caratterista dell’impianto audio. Crea tutto quanto di sonoro vi è nello spettacolo, dai singoli effetti all’ambiente, alla colonna sonora, all’estetica del suono; • Lighting Designer: impiant luci; • Backliner: gestisce funzionamento di microfoni, amplificatori, strumenti; • Monitor Engineer: gestisce le spie; • FOH(front of house) Engineer: risultato finale sonoro; • Lighting Operator: spettacolo luci; • Lighting Technician: gestisce il followspot (seguipersona); • Stage Manager: strutture di supporto, amministratore.

[[Categoria:Appunti]]

Economia dei Beni Musicali/Appunti/2007-2008/Storia dell Economia Musicale&sa=U&ei=AObZTM7POoSivgOwvsWlCg&ved=0CBAQFjABODw&usg=AFQjCNEOVcDaM2qGBEgw5Ky fl0AeraRMw

2010-11-18T08:22:51Z

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Discussione:Logica fuzzy/2007-2008

2010-11-07T10:32:19Z

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Modelli dei dati e DBMS di nuova generazione

2010-10-31T18:28:01Z

Walter:

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Modelli dei dati e DBMS di nuova generazione

2010-10-31T18:26:18Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 123.125.156.210

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[[Categoria:Corsi Primo Semestre]]

Economia dei beni musicali/Appunti/2007-2008

2010-10-01T09:48:11Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 148.222.11.20

Economia dei beni musicali/Appunti/2007-2008

2010-10-01T09:45:34Z

Walter: Riportata alla revisione precedente da 85.254.213.163

Algoritmi e strutture dati/Appunti/2003-2004

2010-09-22T21:49:14Z

Walter:

[[Categoria:Appunti]]
Tratto dal [http://www.dsy.it Dsy]

== Appunti Videolezioni Prof.Mauro Torelli (#42 lezioni) ==

Le indicazioni dei paragrafi sono dal testo: Cormen [http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/mod_esame03.html#biblio]
Altre indicazioni disponibili alla pagine:
* [http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/note.html] e [http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/algoritmi.html] (integra Cormen)
* oppure alle dispense di Bertoni/Goldwurm alla pagina [http://homes.dsi.unimi.it/~goldwurm/algo/].

=== LEZIONE 01di42 del 30/Settembre/2003 ===

Introduzione al corso, modalita’ esame, iscrizione SIFA.
DADS: Dictionary of Algorithms and Data Structures (on-line) http://www.nist.gov/dads/
Herb Wilf: book on line http://www.cis.upenn.edu/~wilf/
Esempi introduttivi (potenze di 2, logaritmi e “somma di Gauss” sono indispensabili nella valutazione della complessità degli algoritmi).
La compressione di testi e l'algoritmo di Huffman (§17.3). La legge di Zipf (http://linkage.rockefeller.edu/wli/zipf/)
Codici e in particolare codici prefissi (appunti: "Codici e linguaggi"). http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/Codici e linguaggi.pdf

Primi 40:00 Min: Introduzione al corso, modalita’ esame, iscrizione SIFA.

Esiste un algoritmo per vincere al lotto? Ovvio che si. Basta giocare tutte le combinazioni possibili (combinazioni sono finite) visto che nessuno ce lo vieta ma è necessario che il costo non sia elevato.
Infatti di un algoritmo si deve guardare efficienza e costo (per portare a termine algoritmo) e quindi è inutile giocare tutte le possibili combinazioni poiché avrei una perdita rilevante. Questa cosa è valida non solo per l’algoritmo per vincere al lotto ma si applica a tutti gli algoritmi.
Un’altra caratteristica di un algoritmo e quella di risolvere tutti i problemi di una determinata classe (anche ampia) e tipicamente di terminare con output. Ad esempio un algoritmo di ordinamento che ordina numeri (chiavi, record) deve funzionare per tutti i numeri di un determinato intervallo (esempio con numeri interi o reali).
Per esempio: riesco a piegare un foglio di carta A4 10 volte? No perché dopo 210 piegamenti ho 1024 strati. Se il foglio avesse una superficie di 1024 cm2 alla fine dei dieci piegamenti avrei un foglio di un cm (lo riduco di 1024 volte).

Ho un problema di dimensione n (foglio di carta di dimensione n o 1024 cm). Dopo quanti passi lo riduco alla dimensione 1 (cioè un cm2)? Dopo log2(n).

Esempio (i.e.contare le pecore): ho un problema di dimensione n e ammettiamo che per ridurlo di una dimensione (quindi per portarlo alla dimensione n-1) devo fare n operazioni. Se poi voglio ridurlo ancora di una dimensione farò n-1 operazioni e lo porto a dimensione n-2. Per portarlo alla dimensione 1 farò circa n*n=n2 operazioni. Quando è a dimensione 1 si risolve da sé visto che non c'è nulla da ridurre.

Se n>1 farò più o meno operazioni di n*n? Ne faccio circa n*n e ciò si dimostra con la “somma di Gauss”. "Somma di Gauss" (nome dato da prof.) Somma dei numeri da 1 a n (Somma di Progressione aritmetica di ragione 1). Vedi esempio dei 100 numeri sommati su due righe. La somma fa sempre 100 ed è stata scritta 101 volte. Quindi (101 x 100) / 2 . L'ordine di grandezza è Θ(n2). (§3.1 e 3.2). Che corrisponde al coefficiente binomiale = [n+1/2]. (§6.1 c’e’ anche Fattoriale).
Dimostrazione grafica: costruisco un rettangolo di dimensione n(n+1) cominciando a disegnare il primo quadretto e sopra gli altri e infine ci aggiungo di fianco una figura uguale rovesciata di modo tale da ottenere un rettangolo di dimensione n(n+1). La somma dei primi n numeri è uguale alla metà di questo rettangolo ovvero n(n+1) / 2 .

Per risolvere i problemi posso quindi avere algoritmi banali (anche costosi), algoritmi (anche) efficienti ed anche non ci sono soluzioni algoritmiche (vedi Indecidibilita’, problema “Collatz” 3x+1, macchina di Turing?)

Codici e Linguaggi. Introduzione al Codice&Algoritmo di Huffman (§17.3)

Allegato: 1_Codici e linguaggi.pdf

Abbiamo un file da 2.0 MB e vogliamo trasferirlo su un dischetto che contiene al massimo 1.44 MB: cosa facciamo? Usiamo un programma di compressione dei dati e vogliamo sapere come funziona questo programma, le idee su cui è basato l’algoritmo di compressione ed i costi, tempi associati.
Innanzitutto dobbiamo sapere cos’è un codice. Ad esempio tutti conosciamo il codice ASCII con cui rappresento 28=256 caratteri oppure il codice UNICODE con cui rappresento 216=1024*26=65536 caratteri. \
Entrambi i codici hanno lunghezza fissa. Uno 8 l'altro 16. Ad esempio con la codifica a lunghezza fissa se devo rappresentare 6 caratteri quanti bit uso? 22= 4 < 6 quindi 2 non va bene. 23 = 8 > 6 va bene.
Normalmente in un testo italiano ci sono molte più A che Z e quindi il trucco è usare codifiche brevi per caratteri frequenti e codifiche più lunghe per caratteri poco frequenti.

Ecco dunque che l'algoritmo di Huffman realizza uno tra i codici ottimi per la compressione. Attenzione a codificare i caratteri: se ad esempio dovessi codificarli in questo modo a=0, b=00, c=01, d=1, e=10, f=11 la cosa non funzionerebbe. Infatti per una stringa come 0001 la decodifica non sarebbe unica quindi ci sarebbero ambiguità e di conseguenza il codice non andrebbe bene!

In generale se possiamo scrivere per un insieme che una parola ad=c allora non abbiamo un codice. Al contrario si può chiamare codice un qualunque insieme di parole per il quale non valga alcuna equazione. Tranne ovviamente identità banali come ad=ad che sono ammesse.

Cominciamo con il dire che il codice dell'algoritmo di Huffman è un codice prefisso. Ma cos'è un prefisso? Informalmente il prefisso di una parola è l'inizio della parola ovvero una parola è prefisso di un'altra se l'altra parola comincia con la parola più corta. Esempio: La parola X è un prefisso della parola Y se Y si può scrivere come X seguito da Z cioe’ Y=X+Z.

Un codice prefisso è un codice libero da prefissi cioè un codice in cui nessuna parola è prefisso di un'altra. Questa condizione assicura che l'insieme è un codice.

Dimostrazione per assurdo. Se prendo due parole dello stesso insieme xy...z=uv...w l'uguaglianza vale se x=u e y=v e z=w. Ma questo è il caso banale in cui le due parole sono uguali. Se invece fosse x più corta di u allora x è prefisso di u per verificare l'uguaglianza, ovvero non è un codice perché una parola è prefisso dell'altra!

La condizione di codice libero da prefissi è sufficiente ma non necessaria per garantire di avere un codice. E' sufficiente ma non necessaria infatti se ho suffissi basta che non abbia prefissi. Posso prendere codici liberi da suffissi e che hanno prefissi. Ad esempio {0, 01, 11}. Se un codice è libero da suffissi allora è un codice.

Codice che ha sia suffissi che prefissi. C = {00, 001, 011, 01, 11} da "Algebraic Combinatorics on Words".

=== LEZIONE 02di42 del 02/Ottobre/2003 ===

Alberi binari e codici di Huffman (§5.5.3 e 17.3).
Il programma per il codice di Huffman (§17.3).Introduzione Algoritmi Greedy.
Code con priorità (§7.5).

Primi 7:00 MINUTI - Generalità sul corso e raccolta informazioni.

I codici di Huffman costituiscono una tecnica diffusa ed efficiente per la compressione dei dati. Nei casi in cui ha senso usare i codici di Huffman le riduzioni saranno da circa il 20% al 90%. Ci sono casi in cui i codici di Huffman non riducono niente? Certo, quando tutti i caratteri hanno la stessa frequenza! Quindi li dobbiamo usare quanto le differenze fra i caratteri sono effettivamente rilevanti.
Il codice ottimo è quello che ci garantisce la massima compressione possibile e che ci permette di rappresentare il testo con il minor numero possibile di bit. A questo punto si esamina la figura a pagina 321 del libro e si fanno alcune osservazioni: una di queste è che gli alberi con codifica ottima hanno nodi con 2 figli o con 0 figli, infatti è vero che se un nodo avesse solo una foglia allora potremmo spostare in su la foglia risparmiando 1 bit. Ottimo significa che ottengo la MAX compressione possibile, ovvero minimo utilizzo di bit <> da “abbastanza buono”

Gli alberi che si chiamano binari hanno al più due figli per ogni nodo ( ‘0’ oppure ‘1’ oppure ‘2’).(Vedi Albero Genealogico). I codici di Huffman vengo creati a partire da questi alberi binari.
Un albero che ha un solo figlio in corrispondenza di un nodo non può essere ottimo. Basta infatti spostare in su di un nodo i figli per ottenere una codifica più breve. Se è OTTIMO deve avere due figli per ogni nodo. Gli alberi con codifica ottima hanno sempre DUE figli per ogni nodo.

Albero pieno (alberi completi): un albero che ha tutte le foglie su un determinato livello.
Albero full-binary (pienamente binario): è un albero che ha due figli per ogni nodo oppure 0 ovvero sono foglie.
I codici di Huffman servono solo quando le differenze di frequenza (distribuzione) tra caratteri sono rilevanti. Nella pratica quando succede? Ad esempio in un testo le differenze di caratteri saranno rilevanti? Se prendiamo in considerazione un’immagine, come sorgente, ci saranno differenze significative per esempio di raggruppamenti di 8 bit? Pensiamo a chiaro vs. scuro, non sono distribuiti uniformemente.

Nei linguaggi naturali la distribuzione di parole e caratteri come e’? Se pensiamo alla Legge di Zipf: riguarda la distribuzione delle parole nei linguaggi naturali: se la prima parola + frequente ha frequenza pari a F allora la seconda parola + frequente ha frequenza F/2, la terza parola + frequente ha frequenza F/3 e la parola n-esima + frequente ha frequenza F/n. Qui intesa come Frequenza Assoluta ovvero numero di occorrenza, numero di volte che la parola occorre. Anche se non e’ chiarito il perche’. (Citazione del Libro di Knuth)
Quindi con differenze di frequenze molto alte e’ giustifcato l’utilizzo di algoritmi di compressione come Huffman.

L’algoritmo di Huffman è un algoritmo Greedy. Cos’è Greedy(Ingordo/Miope)? E’ un algoritmo che cerca di risolvere i problemi in cui si cerca una soluzione ottima, soluzioni di ottimizzazione che non sono generalmente uniche. Come chiameremo la classe dei problemi in cui si cerca la soluzione ottima? Ovvero, per quale classe di problemi su usano gli algoritmi Greedy? Non per ordinamento e ricerca, ma per i problemi dove a senso parlare di soluzioni ottime e quindi problemi di ottimizzazione. Es: Codifica di un testo. Nei problemi di ordinamento la soluzione è unica cioè quella ‘ordinata’ mentre nei problemi in cui si cerca la soluzione migliore ci possono essere più soluzioni ‘ottime’. Vedi esempio sul libro ed esempio ‘studente frettoloso’ sugli allegati
I codici prefissi (ovvero dovremmo dire codici liberi da prefissi) sono dei codici che semplificano la codifica e la decodifica. Si può dimostrare (ma noi non lo faremo) che la compressione ottima ottenibile con un codice per i caratteri può essere sempre ottenuta con un codice prefisso.
Il libro cita la decodifica ‘furba’ ovvero quella che percorre l’albero a sx=bit 0 e dx=bit1 percorrendo al max n=profondita’ albero per decodificare carattere vs. uso di una tabella che nel caso peggiore i.e.unicode a 16bit e’ 64k!

Alberi binari di ricerca: alberi in cui le ‘chiavi’ piccole si mettono a sinistra di ogni nodo(sottoalbero) rispetto a tutti i nodi e le ‘chiavi’ grandi a destra di ogni sottoalbero rispetto a tutti i nodi. Le chiavi sono i valori che noi cerchiamo.

Gli alberi della figura 17.4 del codice di Huffman non sono alberi binari di ricerca in quanto confrontano sempre 0 vs.1. Sono dei particolari alberi binari di ricerca si chiamano TRIES (alberi digitali di ricerca) (che non sono proprio di ricerca nel senso vero e proprio poiché gli elementi sono solo due e quindi con 0 va sempre a sinistra e con 1 a destra ed è ovvio che tutti gli elementi a sinistra di un nodo considerato non sono mai tutti minori di esso). La foglia e’ riconosciuta quando non ci sono figli, implementata con puntatori NIL, ovvero non ci sono puntatori.

Continuiamo a vedere la costruzione del codice di Huffman tramite alberi pienamente-binari (ogni nodo ha 0 or 2 figli). Un codice ottimo è sempre rappresentato con un albero pienamente-binario (Condizione necessaria ma non sufficiente). Infatti il primo albero della figura 17.4 pur essendo pienamente binario non rappresenta un codice ottimo. Basta spostare il nodo figlio al nodo padre per ottenere un codice migliore di quello precedente in cui si risparmia un bit, dimostrando così che non era ottimo.

Poiche’ restringiamo l’attenzione agli alberi pienamenti binari quindi alberi per codice prefisso ottimo, se C è l'insieme delle nostre parole ci saranno C foglie e C-1 nodi interni.(Cap.5 Insiemi).
Se X sono le foglie perché ci sono X-1 nodi interni? Dimostrare x esercizio.
Corrispondenza tra un albero e un codice prefisso ovvero l‘albero che costruisco da un codice prefisso. Si dimostra ‘visivamente’ che il codice è prefisso guardando l’albero e visto che le parole si associano alle foglie e non c’è nessuna parola che si ferma ai nodi interni allora il codice è libero da prefissi. Il fatto di associare le parole alle foglie di un albero garantisce che il codice sia prefisso.

Perché il codice di Huffman è un codice prefisso? Basta guardare l’albero dato che le parole finiscono con le foglie e non c’è nessuna parola associata ai nodi interni e quindi per forza è prefisso. Poiche’ usiamo un codice binario, ma potremmo usare un codice ternario oppure n-ario.

Come si fa a calcolare il numero di bit richiesti alla fine per codificare il file? pag. 321 (§17.3) E’ una sommatoria in cui vengono sommati i bit che codificano una parola (quindi la profondità dell’albero, distanza della foglia dalla radice) moltiplicati per la loro occorrenza/frequenza: ScÎC (frequenza di c)*(distanza di c da radice) = # bit.

Finito il paragrafo vediamo finalmente come costruire un Codice di Huffman; ci sono almeno 2 due approcci: 1.leggersi il codice/programma sul testo oppure 2.guardarsi la fig.17.5 con i passaggi seguenti:
2.0 Idea associare codici lunghi a caratteri ‘-‘ frequenti, e codici corti a caratteri ‘+’ frequenti
2.1 Partiamo da albero con due caratteri con frequenza minore e proseguiamo con approccio bottom-up
2.2 Per creare un albero pienamente binario ottimo ordiniamo i caratteri in ordine di frequenza crescente.
2.3 Abbiniamo i caratteri con frequenza minore. E sommiamo frequenze.
2.4 Riordiniamo in ordine crescente e raggruppiamo i due con frequenza più bassa.
2.5 Così via fino a quando non finiamo di costruire l'albero.

Prima di partire con l'algoritmo di Huffman è ovvio che dobbiamo avere caratteri di input, la rappresentazione caratteri e loro frequenza. Dopo di che dobbiamo usare struttura adeguata con minimo tempo per eseguire le funzioni di cui sopra. Procedura Huffman, lavora su struttura dati dei caratteri C inseriti in una ‘coda’ (che contiene le frequenze dei caratteri) da cui sia facile estrarre l’elemento con il valore minimo di frequenza.
L'algoritmo è ‘Greedy/ingordo/avido’ di frequenze basse cioe’ va sempre a prendere i due elementi con le frequenze più basse, procede ‘localmente’ poiche’ ‘miope’ poi itera.
Esecuzione codice di Huffman: partiamo dai caratteri poco frequenti che sono più lontani dalla radice visto che quelli poco frequenti li voglio rappresentare con una codifica più lunga. Estraggo le due frequenze minime e le metto come figlie. Il nodo padre è la somma delle due frequenze e lo inserisco nella coda. Iteriamo questo procedimento n-1 volte e restituiamo un puntatore a tutta la struttura (ultima istruzione return nel codice dell’algoritmo che restituisce un puntatore alla radice).
Non c’è il bisogno di tenere ordinata la coda rispetto alle frequenze dei caratteri visto che vado a prendere sempre le frequenze più basse, ovvero devo solo prendere i due valori minimi senza tenerla continuamente ordinata.
Qual è il costo dell'algoritmo di Huffman se tengo ordinata la coda? Rispondere per esercizio
L'alternativa è come facciamo a mettere in piedi una struttura di dati che ogni volta fornisce il minimo con poca spesa e costa meno che tenere ordinata una coda? RISPOSTA: E’ UN ALBERO BINARIO DI RICERCA? Come sopra?

=== LEZIONE 03di42 del 3/Ottobre/2003 ===

Formalizzazione: Complessità e correttezza dell’algoritmo di Huffman (§17.3).
Introduzione teoria dei linguaggi, linguaggi formali e operazioni su linguaggi (appunti: "Codici e linguaggi" §1.3).

Riassunto lezioni precedenti:
- Codice Huffman come esempio di Algoritmo Greedy
- Porta a compressioni e risparmi del 20-90% dipendendo dalla frequenza dei caratteri
- Eseguo algoritmo ‘unendo’ char con freq+bassa, salendo nell’albero costruito con approccio bottom-up
- Il codice costruito e’ codice-prefisso perche’ associato alle foglie dell’albero
- Algoritmo di Huffman risale al 1952 [Teoria dei Codici e’ molto antica (i.e. codice di Cesare)]

Introduciamo Teoria dei Linguaggi per utilizzarla di seguito:
- S e’ l’insieme dei simboli ovvero alfabeto
- Operazione e’ Il prodotto di concatenazione (o giustapposizione), indicato con ‘·’, è un’operazione che concatena due o più simboli dell’alfabeto S a formare quella che chiameremo parola sull’alfabeto S. Operazione associativa ma NON commutativa.

Indichiamo con |P| la lunghezza della parola cioe’ il numero di simboli che la compongono (simbolo di cardinalita’ degli insiemi), dove i simboli sono ripetuti e l’ordine e’ importante. Lg(P) = lunghezza parola. Nei testi anglosassoni, attenzione a non confonderla con il logaritmo.

L’analogia dice che log[a*b]=loga + logb, inoltre il log e’ la lunghezza del numero vedi log binario e log decimale. La rappresentazione binaria di un numero intero ovvero la sua lunghezza è uguale a (base) ëlog2(n)û+1 oppure (tetto) élog2(n+1)ù .

Un linguaggio e’ un insieme di parole e posso estendere l’operazione di concatenzione dalle parole ai linguaggi. Il prodotto di due linguaggi è l'insieme delle parole del primo linguaggio moltiplicate per le parole del secondo linguaggio. Infatti se prendo L1={0,01} e L2={0,10} il linguaggio che ottengo con il prodotto dei due è: L1·L2={00,010,0110}. Ovvero concatenazione delle stringhe di parole con eliminazione delle ridondanze ed in ordine. Non vale commutativa. Non e’ prodotto cartesiano.

Dove ε (epsilon) e’ il simbolo della parola vuota che non appartiene all’alfabeto S altrimenti sarebbe un simbolo con cardinalita’ |1|.

Formalizzando la definizione di codice prefisso (cioe’ libero da prefissi): e’ un linguaggio ovvero un insieme C (codice) tale che se X e Y appartengono al linguaggio allora X ≠ YZ in cui Z ≠ ε (niente).

Cos’è S2(Alfabeto per alfabeto)? S · S è l'insieme delle parole ottenute concatenando un simbolo Î S con un simbolo Î S quindi è l’insieme delle parole di 2 simboli di lunghezza due.
Sn=insieme parole lunghezza n; dove S0 = ε e l’insieme di tutte le parole e’ S* = S+ U S0 è la chiusura di Kleene, chiusura dell’Alfabeto. S* e S+ sono linguaggi infiniti appunto perché non poniamo limiti sulla lunghezza delle parole. Mentre Sn=insieme parole lunghezza n e’ finito se l’alfabeto dei simboli e’ finito.

Ai teorici piace chiamare S* il Monoide libero generato da S. Il monoide è una struttura algebrica in cui vi è un insieme di elementi, un'operazione associativa e una identità. L'operazione è il prodotto di concatenazione e l'identità è il prodotto con la parola vuota. (S*,·,ε) è il monoide non commutativo. E' anche libero perché non ci sono vincoli (i vincoli sono le equazioni che non vogliamo che ci siano), quindi consideriamo tutte le parole senza ‘uguaglianze’ tra parole ‘diverse’.

Con un algoritmo (Greedy) quanto costa vedere in un linguaggio di ‘n’ parole se una parola è prefisso di un'altra? Devo confrontare coppie di parole (in tempo costante) e quindi occorre un numero di confronti dell’ordine di n2. Posso risparmiare guardando se una parola è più corta/lunga dell'altra e vedere se quella corta e’ prefisso e quindi controllo solo quelle, anche se il lavoro che faccio di comporta sempre come ½ n2.

Dal minuto 52 al 55 – Pausa nella lezione

Dimostrazione di Correttezza dell'algoritmo di Huffman (Huffman e’ Codice Ottimo) (pag. 323)
(Poco convincente x Torelli). La dimostrazione della correttezza dell’algoritmo di Huffman NON viene chiesta quindi chi vuole può saltare a 1:19:00.

La dimostrazione si articola in due lemmi.
Lemma/Passo 1
Huffman comincia con l’abbinare i caratteri con le frequenze più piccole e queste due foglie poi saranno figlie di un unico nodo padre. Esiste sempre una soluzione ottima di un problema di codifica in cui due caratteri con le frequenze minori sono figlie dello stesso padre in un albero; prima assunzione.
Passo 1 - Devo spostare le parole con le frequenze più basse alla profondità massima e farle diventare figlie dello stesso padre. Con questo procedimento ottengo un albero di costo minore poiché gli altri caratteri hanno una codifica con meno bit e hanno una frequenza più alta.

Lemma/Passo 2
Passo 2 – Prendo un albero che rappresenta codice prefisso ottimo. Se io tolgo le due foglie e metto un supercarattere (tolgo due caratteri es: A+B=C all'albero togliendo A e B). Quindi i nodi diventano n - 1 e ho un nuovo carattere; l'albero risultante rimane ottimo continuando a iterare il procedimento dell'albero di Huffman.

Finale (specie di dimostrazione per induzione a rovescio, poco soddisfacente x Torelli)
Siccome vale la prima proprietà e siccome iterando il procedimento l'albero rimane ottimo allora alla fine ho l'albero ottimo. Per induzione le proprietà valgono sempre e quindi se parto da un albero ottimo otterrò sempre un albero ottimo.
Dimostrazione ‘grafica’: Costo del codice (anche dell’albero) di Huffman e’ quindi uguale alla somma dei nodi interni; che in un albero di Huffman rappresenta il numero di bit che servono per la codifica. Vedi fig.17.4 perche’ il 100K nella root e’ il numero di primi bit che ci sono nella nostra codifica, a cui aggiungere 45K secondi bit+55K secondi bit+25K terzi bit etc etc

Ora, cosa vuol dire complessità di un algoritmo? Vuol dire quante risorse richiede l'algoritmo sia in tempo o in spazio ed eventualmente in altre caratteristiche (per esempio risorse hw).

Quanto costa costruire albero di Huffman?
1. Prima dobbiamo ordinare l’input per frequenza. Ordino gli elementi che uso per costruire l'albero di Huffman in tempo nlog2(n) (Per esempio usando QuickSort).
2. Poi unisco due elementi e mi trovo un nuovo elemento da inserire. Il costo di inserimento nel caso peggiore=n visto che dovrò fare n confronti per inserire l'elemento (nel caso fosse in fondo) e nel caso medio comunque ne faccio la metà n/2.
3. Osservando bene il nostro array (posso posizionarmi nel punto desiderato) (o lista che devo scorrere) ogni volta che fondo insieme due elementi si accorcia di uno quindi a parte il passo iniziale che dovrò ordinare n elementi al passo successivo me ne rimangono n-1, a quello dopo n-2 e così via. Questa cosa ci riporta alla somma di Gauss, tuttavia la complessità rimane nell'ordine di n2 per quanto riguarda i confronti.
4. Quindi complessita’ e’ quadratica se facessi cosi.

Possiamo vedere anche il caso in cui non si tengono ordinati gli elementi. Dobbiamo avere una struttura dati che ci fornisce in tempo minore i due elementi con la frequenza minima (approccio tipicamente Greedy che non si cura degli altri elementi).
Vedremo che si fa con una struttura heap. Con l'heap si tira fuori l'elemento minimo e rimetto le cose ‘ok’ (ovvero ripristino le condizione di heap) per l’elemento successivo in tempo log2(n).

Se con Huffman faccio ‘n’ operazioni avrò un costo di nlog2(n). che e’ assolutamente migliore di n2.

Vedremo algoritmi che non tengono conto dell'ordinamento degli elementi (Heap).

=== LEZIONE 04di42 del 7/Ottobre/2003 ===

Nuova dimostrazione della correttezza dell’algoritmo di Huffman, introduzione heapsort.
Grafi e alberi come linguaggi: http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/2grafi.zip.
Un albero libero è un grafo connesso aciclico (appunti: "Grafi e alberi.pdf" §2.1).

Dimostrazione alternativa dell'algoritmo di Huffman. Interessante x introdurre nuovi concetti.

Dunque, data una lista L di interi positivi (lista perche’ posso avere possibili ripetizioni) chiameremo catena di addizioni generata da L una lista o sequenza, per esempio non decrescente, di interi positivi comprendente la lista L e tale che ogni elemento non in L sia la somma di due elementi precedenti nella sequenza. Con la condizione non decrescente mi garantisce quanto sopra. Gli esempi dell’insieme generatore L gli elementi sottolineati.Ad esempio: {5, 9, 12, 13, 16, 45}. [Frequenze degli esempi di Huffman precedente]

Proseguendo dall’insieme iniziale poi ottengo: {5, 9, 12, 13, 14, 16, 45} dove 14 è ottenuto da 9+5. Ogni numero delle ‘foglie’ viene sommato una volta sola con un altro. Alla fine ottengo la sequenza di numeri più piccoli visto che ho sempre sommato i due numeri con valore minore tra tutti; posizionati nei nodi interni dell’albero.

Non vi è solo una ‘liana’ (catene dei valori) minima! Sebbene siano tutte ottime non ve ne è solo una. Quella di Huffman è indubbiamente una ottima. Gli alberi pienamente-binari corrispondono a delle catene di concatenazione particolari in cui ogni elemento (tranne radice) viene usato in una e una sola somma. Se vedessi il processo come una sorta di eleminazione dopo quanti passi mi rimane un solo elemento? Dopo n-1 visto che ogni volta tolgo un elemento [cioe’ elimino 2 e aggiungo 1]. Il che dimostra che con ‘n’ foglie ho ‘n-1’ nodi interni. [vale anche per alberi binari non necessariamente pienamente binari].

Gli alberi pienamente binari che hanno gli elementi di L nelle foglie e le somme dei nodi figli in ciascun nodo interno corrispondono a particolari catene tali che ogni elemento della catena (tranne l’ultimo) viene usato come addendo in una e una sola somma. In altre parole, possiamo pensare di eliminare due elementi di L sostituendoli con la loro somma, poi sostituire altri due elementi (inclusi i nuovi) con la loro somma, e così via.

Dopo quanti passi resta un solo elemento (di valore pari, ovviamente, alla somma degli elementi di L)? Si tratta in sostanza di un torneo a eliminazione un po’ insolito, poiché il numero di partite necessarie per vincere può variare da giocatore a giocatore: ogni partita elimina un giocatore e se i giocatori sono n, il vincitore si avrà dopo n – 1 partite. Sappiamo dunque quanto sono lunghe queste catene e anche quanti sono i nodi interni in un albero pienamente binario: se vi sono n foglie, vi sono n – 1 nodi interni!

La ‘liana’ di Huffman (somma delle due frequenze piu’ piccole, iterativamente applicato) è quella in cui la somma dei primi k elementi è minima, per ogni k. Dove, se ci sono n foglie in un albero pienamente binario ci sono n-1 nodi interni visto che elimino due elementi ogni volta facendole corrispondere al padre. Non e’ pero’ detto che sia l’unica ‘liana minima’, potrebbero essercene altre anche se non ‘migliori’ della liana di Huffman, che e’ certamente minima e ‘percorre’ gli elementi + piccoli in ordine.

Completiamo le premesse, comprendenti definizione di albero binario e sue proprieta’, ma anche vediamo come si possono generare i codici di Huffman; operazioni interessanti sono estrazione minino ed inserimento nuovo valore dato dalla somma dei minimi. Ora dipende dal livello di astrazione da cui partiamo, potremmo solo usare una procedura ‘black box’ che ci ritorna i valori desiderati; se invece vogliamo sapere come fare allora possiamo definire una struttura di dati astratta che ci permette di estrarre il minimo che definiamo come coda con priorita’ (§7.5).

Coda che viene implementata con l’algoritmo heapSort, heapsort (ottime prestazioni, anche se nella pratica ci mette il doppio di quicksort) e’ l’unico algoritmo che con mergeSort ordina n elementi in tempo di nlog(n) anche nei casi peggiori. Quindi complessita’ e’ (nlogn). Migliore è quickSort che nella pratica impiega (nlogn) ma nel caso peggiore richiede un tempo nell'ordine di n2.

Una coda con priorità è una struttura di dati per gestire un insieme di S elementi a cui è associato un valore chiamato chiave/indice (campo priorità). Nell'algoritmo di Huffman le priorità sono le frequenze basse. Se fossero processi con priorita’, allora sarebbe ‘privilegiato’ il processo con priorita’ massima.
Ha senso parlare di coda con priorità per dati di cui abbia senso parlare di criterio di priorità e su cui siano definite le operazioni.
Quindi una struttura di dati astratta e’ definita dai dati e dalle operazioni che possiamo fare su questi dati. Astraendo, le operazioni si definiscono dicendo cosa devono fare e non come lo devono fare. (diciamo la semantica ma non la sintassi).

Esempio di coda con priorita’ allora le operazioni definite saranno:
- Insert(S, x) inserisce l’elemento x nell’insieme S.
- Maximum(S) restituisce l’elemento con chiave più grande.
- Extract-Max(S) rimuove e restituisce l’elemento di S con chiave più grande.
Heap definiamo le operazioni: Extract-Min, Extract-Max, Minimum, Maximum.

Grafi & Alberi (§5.x).

Prima di vedere queste operazioni occupiamoci (colmiamo alcune lacune) di strutture di dati come grafi ed alberi, poi torneremo ad occuparci di heap. [Torelli utilizza teoria dei linguaggi per spiegare i Grafi, sul libro cap.5 e cap.23].
Cominciamo con il definire alcune nozioni aggiuntive, 3 nuovi concetti:
1. La parola x è un fattore (prefisso/suffisso/sottoparola) di y se la parola y è scritta come y=uxv. Un fattore di y è quindi una sottoparola contigua (di y).
2. Un’altra nozione è quella di trasposizione (o rovesciamento di una parola). Si può usare la ricorsione per definire la trasposizione. Dare una definizione ricorsiva significa usare il concetto stesso da definire per definire il concetto. Precisamente la parola vuota: εT=ε invece (xa)T=axT dove x e’ la parola ed a e’ simbolo.
3. La terza nozione è quella di parola semplice: se non contiene ripetizioni quindi tutti i suoi simboli sono distinti/unici.

Concetti utili per definire un grafo orientato: è una coppia (V,E) dove V è un insieme di vertici (S alfabeto usato fin’ora) ed E (archi) è una parola di lunghezza 2 su V. Ovvero E e’ contenuto in V2.
Un arco orientato è semplice se non contiene cappi/loop: infatti una parola in quel caso avrebbe simboli uguali e non sarebbe semplice.
Cos'è un cammino (quanti passi) di lunghezza K in un grafo orientato? E' una parola di lunghezza K+1 in cui ogni fattore di lunghezza 2 è un arco. Un cammino di lunghezza 0 viene detto cammino improprio mentre un cammino è semplice se la parola corrispondente è semplice [Un cammino proprio/’vero’ è un cammino di lunghezza almeno 1].
Un ciclo in un grafo orientato è un cammino proprio chiuso ossia un cammino di lunghezza positiva che inizia e termina con lo stesso vertice che chiameremo vertice di chiusura: il ciclo è semplice se tolto il primo vertice o l'ultimo il cammino restante è semplice (i.e cammino 454, se tolgo inizio o fine, oppure 22).

Lemma dell'eliminazione dei cicli (inventato da Torelli): se esiste un cammino tra due vertici a e b ne esiste anche uno semplice. Basta eliminare i cicli presenti nel cammino lasciando soltanto il vertice di chiusura del ciclo rimosso. L’osservazione che se a è un vertice e xa e ay sono cammini, allora anche xay è un cammino (mentre in generale xy o xaay non lo sono!) ci garantisce che la rimozione dei cicli fornisce ancora un cammino.

Nei grafi NON orientati se c'e' un arco ci deve essere anche il suo trasposto (nessun senso unico). In un grafo non orientato fare attenzione alla definizione di ciclo. Dobbiamo coinvolgere almeno 3 vertici/nodi/lati per avere un ciclo (senza "avanti e indietro"). In un grafo non orientato axa è un ciclo sse xa è un cammino semplice di lunghezza almeno 2. Per esempio, 1251 è un ciclo (a = 1, x = 25).
Il grado per grafi NON orientati di un vertice A è il numero di lati incidenti su A (sia uscenti sia entranti). Se il grado è 0 (non compare nell’elenco dei lati) il vertice è isolato.
Se in un grafo tutti i vertici hanno grado 2 allora è necessariamente un ciclo. Un sottografo è un grafo che come vertici ha un sottoinsieme di V e un sottoinsieme di E. Se per ogni coppia di vertici a e b esiste un cammino allora il grafo è connesso.
Un albero libero (senza radice ovvero non orientato) è un grafo non orientato aciclico e connesso e quindi non vi è nemmeno l’ordinamento dei rami. Quando scegliamo una radice (albero radicato) il grado è dato dal numero dei figli.
Teorema: In un albero c'è sempre uno e un solo cammino semplice tra due nodi distinti qualsiasi. Si dimostra per assurdo supponendo che ci siano due cammini distinti tra due nodi. (La dimostrazione è a pag. 86 del libro oppure sulla documentazione di Torelli).

=== LEZIONE 05di42 del 09/Ottobre/2003 ===

Alberi radicati e linguaggi ereditari (appunti: “Grafi e alberi” §2.2).
Alberi binari, k-ari e ordinati (appunti: "Grafi e alberi" §2.3).Grado e profondita’.

Primi 24:00 minuti. Riassunto lezione precedente (per poi collegare grafi&alberi ad heap):
- Nozione di fattore (prefisso/suffisso) y=uxv tramite prodotto di concatenazione
- Nozione di trasposizione/rovesciamente, εT=ε e (xa)T = axT
- Nozione di parola semplice ovvero senza ripetizioni (vedi inoltre nozione parola vuota)
- Quanto sopra per definire un Grafo Orientato come coppia (V,E), cappio, grafi semplici
- Cammini di lunghezza k=parola di lunghezza k+1 composto da successione di archi di lunghezza 2
- Un ciclo e’ un cammino proprio chiuso (cammino contiene almeno un arco)
- Lemma eliminazione dei cicli (da Torelli)
- Grafo non orientato, grado, grafo connesso se si puo’ andare da ogni punto a ogni punto
- Albero libero, albero radicato

Dimostrazione teorema 5.2 del testo: in un albero c’è sempre uno e un solo cammino semplice tra due nodi distinti qualsiasi (naturalmente ignorando il cammino trasposto). (tratto da “Grafi e alberi come linguaggi”, dimostrare che prima o poi viene fuori un ciclo).
“In un albero, poiché è un grafo connesso, esiste un cammino tra ogni coppia di nodi. Tuttavia, a priori potrebbero esistere più cammini semplici tra due nodi. Il teorema 5.2 del testo, invece, ci dice che di fatto in un albero c’è sempre uno e un solo cammino semplice tra due nodi distinti qualsiasi (naturalmente ignorando il cammino trasposto). Dimostriamo questo teorema “a modo nostro” (ossia senza figure), ma la dimostrazione è simile a quella del libro a pagina 86, solo che ci siamo attenuti alla nostra convenzione su come indicare parole e simboli singoli.
Supponiamo, per assurdo, che tra due nodi a e b ci siano due cammini semplici distinti: axb e ayb. Ma allora anche (ayb)T=byTa è un cammino e quindi axbyTa è un cammino chiuso su a. Se xbyTa è semplice, allora ha anche lunghezza almeno 2, perché x e y non possono essere entrambi vuoti (devono essere distinti!) e quindi il cammino chiuso è un ciclo, contro l’ipotesi che il grafo sia un albero, e dunque aciclico. Se, viceversa, x e y hanno vertici in comune, possiamo usare il lemma dell’eliminazione dei cicli, e l’unico caso in cui restiamo con un cammino semplice di lunghezza 1 (che non va bene!) è quello in cui x e y iniziano con lo stesso nodo c: se x=cu e y=cv, allora xbyTa = cubvTca e l’eliminazione del ciclo cubvTc dà ca. Ma in questo caso possiamo considerare i cammini da c a b, escludendo a, ed è chiaro che questo caso non può ripresentarsi all’infinito, dato che i cammini si accorciano: alla fine, o otteniamo un ciclo o due cammini coincidenti, cioè, in entrambi i casi, una contraddizione. ”

Usiamo i concetti sovraesposti per passare agli alberi radicati. Basta scegliere un nodo come radice (in un grafo non orientato aciclico e connesso). Avendo scelto la radice adesso possiamo considerare tutti e soli i cammini che partono dalla radice e non considerare gli altri cammini. Possiamo determinare i nodi secondo una gerarchia ad esempio la distanza/profondita’ dalla radice. Gli alberi radicati vengono chiamati anche orientati poiché implicitamente vi è un ordinamento dei nodi dalla radici alle foglie o viceversa. (Le foglie in un albero libero sarebbero i vertici di grado 1 cioè quelle che hanno solo un lato incidente, anche se a quel punto anche una radice e’ foglia e viceversa).

Poiche’ vi e’ un solo cammino semplice da radice a nodo (per definizione), per identificare un nodo lo si può chiamare con il cammino che raggiunge il nodo partendo dalla radice. Quindi possiamo definire un albero radicato come il linguaggio dei cammini semplici partenti dalla radice. La radice di un albero è l'unico cammino con lunghezza zero. I cammini di lunghezza 1 sono i figli della radice. Piu’ in generale diremo figlio di x ogni nodo b cui corrisponda una parola xb. Simmetricamente chiameremo padre di b ogni nodo x se a b è associata la parola xb.

Il numero di figli di un nodo è il grado del nodo (e quindi il grado di un nodo di un albero radicato è sempre inferiore di uno rispetto al grado di un vertice in un grafo, tranne per la radice visto che ha due figli e grado due oppure un figlio e grado uno). Un nodo senza figli e’ esterno (vs. interno).

Che caratteristiche deve avere un linguaggio per rappresentare un albero radicato? Ogni prefisso deve appartenere al linguaggio perché rappresenta un nodo e ogni simbolo finale deve essere diverso da ogni altro simbolo finale.

Basta questo per avere un linguaggio che rappresenta un albero? No, ad esempio {1,2} anche se soddisfa entrambe le caratteristiche non è un albero radicato poiché non sappiamo di chi è figlio 2. I simboli sono tutti diversi e per i prefissi manca la parola vuota. La parola vuota è prefisso di ogni parola ma non appartiene al linguaggio che abbiamo preso ad esempio. Ma allora dobbiamo identificare la radice di un albero non con un nodo qualsiasi ma con la parola vuota e quindi non dobbiamo preoccuparci che ci siano due radici come in questo caso.

Un linguaggio L in cui se xy appartiene ad L allora anche x appartiene ad L si chiama linguaggio ereditario. La ragione di questa denominazione è evidente: l’appartenenza al linguaggio è ereditata da ogni prefisso. Notiamo che, se L è un linguaggio ereditario, o L= ∅, oppure εÎL, parola vuota e’ quindi prefisso di tutte le parole in tutti i linguaggi.

Un albero radicato è un linguaggio ereditario L in cui se xa e xb sono due parole distinte appartenenti a L allora a ≠ b. Ad esempio {ε,1,2,12} è un linguaggio ereditario ma non è un albero visto che 2 e 12 terminano con lo stesso simbolo.

Due alberi sono isomorfi se hanno la iso=stessa morf=forma anche se le etichette dei vertici sono differenti.
Completiamo la terminologia osservando che un nodo con cammino x è un antenato di un nodo y sse x è un prefisso di y: in questo caso y è un discendente di x.
La profondità di un nodo x è la lunghezza della parola x e l'altezza dell'albero è la lunghezza della parola più lunga. La radice ha profondità 0. L’altezza dell’albero è la lunghezza della parola più lunga.Dove l’altezza dell’albero e’ la massima profondita’.

I lati in un albero sono uno in meno dei nodi e ogni lato richiede 2 simboli e ogni vertice un simbolo. Perché anche se l'albero è libero posso pensarlo come radicato e parlo di padri e figli. Ogni nodo dell'albero ha un padre tranne la radice quindi tutti i figli sono collegati al padre da un lato tranne la radice. In pratica, possiamo talvolta usare un unico array che in posizione i riporta il padre di i (come ci si può muovere, in questo caso, nell’albero? Come si distingue la radice?). Si veda anche il § 11.4 nel testo, ora prematuro.

Un albero binario è un linguaggio ereditario sull'alfabeto binario {0,1}. La radice è la parola vuota ε e denotiamo il figlio sinistro della parola x con la parola x0 e il figlio destro della parola x con x1. Ovvero a sinistra ci metto gli 0 e a destra 1. Il linguaggio associato all'albero è la codifica del linguaggio.

Alberi lessicografici o TRIES. Sono strutture dati utilizzati per la ricerca di informazioni in quanto l'etichetta del nodo può essere la chiave di ricerca e il percorso nell'albero è determinato dalla chiave stessa.

=== LEZIONE 06di42 del 10/Ottobre/2003 ===

Code a priorità (§7.5) e loro realizzazione con heap (§7.1).
Alberi binari completi a sinistra e heap ("Gli heap Ita.pdf" §3.1 testo §7.1)http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/3heap.zip
Rappresentazione con array: dove sono padri e figli?
La procedura Heapify (testo §7.2).

Primi 26:00 minuti. Riassunto lezione precedente:
- Albero e’ grafo connesso senza cicli quindi se e’ un albero esiste uno ed un solo cammino tra due lati
- Percorrere albero da radice a figli vs. da figli a radice
- Albero radicato, grado, figli e padri, genealogia, nodo esterno vs. nodo interno
- Linguaggi ereditari
- Isomorfismo, esiste algoritmo per capire se due alberi sono isomorfi? Si perche’ sono strutture finite anche se non ci sono algoritmi con complessita’ polinomiale (sono ‘ancora’ nn oppure n!).
- Alberi binari, alberi tries (retreival) di cui una versione sofisticata sono gli alberi Patricia

Che cosa succede se l’alfabeto è composto non da 2 ma da k > 2 simboli? Ogni nodo potrà avere fino a k figli, e il linguaggio ereditario rappresenterà allora un albero k-ario. Anche se ci saranno 3 alberi ternari con 2 nodi: {ε,0}radice+zero, {ε,1}radice+uno e {ε,2}radice+due, quindi la posizione fa differenza.

Albero ordinato ristretto a due figli cioè un albero in cui ogni nodo ha al più due figli e vi è la distinzione tra il primo e il secondo figlio. Se c'è un solo figlio non è ne destro ne sinistro. Gli alberi della figura 5.6 non sono isomorfi.

Alberi ordinati generici senza limitazione nel # di figli: il numero di figli di ciascun nodo non è noto a priori. Per far si che un albero di questo tipo sia ordinato dobbiamo avere un alfabeto infinito ad esempio l’insieme dei numeri naturali N.

Cos’è un albero binario completo? Un albero binario in cui tutti i nodi hanno due figli e tutte le foglie sono alla stessa profondità e ha 2h-1 nodi interni se ci sono h livelli. Quindi non posso avere un albero completo con 10 nodi. Perché? Perché o ne ha 7 o 15 e quindi per averne 10 tolgo gli ultimi 5. Questo albero si chiama albero binario completo a sinistra: abcs.
Per passare dalla rappresentazione decimale in binaria nell’esempio dell’albero {1,2,3,4,5,6,10}, metto un 1 davanti alla rappresentazione binaria che abbiamo. Aggiungere uno 0 in fondo invece equivale a raddoppiare la cifra binaria.

Gli Heap:

Usiamo l’approccio ai linguaggi per definire heap. L' Heap binario è una struttura di dati in cui un albero binario completo viene rappresentato in un'array. Attenzione alla relazione tra Heap e Alberi. L'Heap puo’ essere rappresentato con un array che è una struttura unidimensionale oppure con l'albero che e’ bidimensionale.

L'albero ha padri e figli e quindi devo sapere dove metto padri e figli nell'array. Quando sposto da albero ad arrary se ho un nodo ‘padre’ in posizione ‘i’ dove stanno i suoi figli? Nell'array in posizione ‘2i’ il figlio sx e ‘2i+1’ il figlio dx. Il padre sta in posizione (parte intera di posizione figlio/2) = ëfiglio/2û .Inoltre L'albero binario deve essere completo a sinistra.

In un heap ordinato in ordine decrescente il valore del nodo è al più il valore del padre (valore figlio £ valore padre). Chiavi uguali non creano nessun problema. Sse ci interessa avere l'elemento massimo nella radice -> abbiamo implementato l'heap per poter estrarre il massimo (oppure minimo) da una coda con priorità. Con Huffman realizziamo l'heap al contrario (ovvero nella radice c’e’ il valore minimo, infatti estraiamo gli elementi con le frequenze minime). In questo caso il valore di un nodo deve essere almeno il valore del genitore.

Quanto mi costa estrarre l'elemento minimo dall'array (ove il primo elemento è quello minimo)? Tempo costante perché lo trovo nella prima posizione dell'array. Costante se lo devo solo leggere, perche’ se lo estraggo devo ripristinare le condizioni di heap. In questo caso non faccio scorrere l’array (perderei le proprieta’ di heap) ma ‘riempio’ il buco con il campo di valore piu’ piccolo, che nel caso di array ordinato decrescentemente, e’ l’ultimo campo dell’array.

Procedura per estrarre il massimo: toglie il massimo e ripristina le proprietà dell'heap. Quando ho tolto il primo elemento che è il massimo al suo posto ci inserisco l'ultimo elemento dell'heap e poi diminuisco di 1 la lunghezza dell'heap e richiamo heapify.

Quali sono le precondizioni che consentono di utilizzare la procedura heapify? Figlio destro e sinistro di (i) devono essere radici di sottoalberi che rappresentano heap e quindi mantengono le proprieta’, l'unico elemento fuori posto può essere l'elemento (i) a cui si applica heapify.
Si scambia ovviamente con il valore più grande tra i figli visto che se dopo tiro su il più piccolo dovrò rifare la procedura.

=== LEZIONE 07di42 del 14/Ottobre/2003 ===

Proprieta’ heap e costruzione heap.
Alberi binari completi a sx.

Primi 13:00 minuti. Riassunto lezione precedente:
- Alberi binari=numerati dalla radice con 1 e poi procedendo a sx=0 e dx=1
- Albero binario completo ‘almeno’ da/a sx (con ‘buchi’ a dx)
- Insieme interi positivi rappresenta albero binario se: Possiamo ottenere una nuova definizione di albero binario, in termini di interi positivi: un albero binario è un insieme B di numeri interi positivi tali che, se yÎB e y > 1, allora anche ëy/2û ÎB.
- Heap: proprieta’ ordinamento parziale

Quanti alberi diversi con ‘n’ nodi? Quanti ‘abcs’ (alberi binari completi sinistra) con ‘n’ nodi ci sono? Ovviamente uno, ovvero c’e’ un solo modo di rapprensentare ‘n’ nodi in un albero completo da 1 a ‘n’. Inoltre gli ‘abcs’ stanno in un’array senza creare ‘buchi’, ritrovando padri e figli.

Quindi, un heap è un abcs il cui contenuto deve soddisfare la proprietà di ordinamento parziale: la chiave contenuta in un nodo non deve superare quella del padre (si veda a pagina 134 del testo). In altre parole, in un heap le chiavi sono ordinate (in ordine debolmente decrescente: ci possono essere chiavi uguali) lungo ciascun ramo, andando dalla radice alle foglie. L'ordine è solo parziale: non vale, in generale, alcuna relazione d'ordine tra chiavi in rami diversi.

In un heap le chiavi sono ordinate lungo ogni percorso quindi avremo un ordine debolmente decrescente andando dalla radice alla foglia. Il minimo in un heap è in una foglia ma non si sa in quale. Le foglie sono almeno metà del totale dei nodi. In un heap sta nella seconda metà dell'array in un punto qualsiasi.

Quante sono le foglie in un albero binario completo a sinistra con n nodi? O in un heap con n nodi? Le foglie sono almeno metà del totale dei nodi.

Quando si chiede di costruire i codici di Huffman si usano gli heap facendo una coda con priorità in cui la priorità sono le frequenza più basse. Il massimo numero di passi che deve fare Heapify è log(n).

Quanto è alto un (heap) abcs (albero binario completo sx) con n nodi? L’altezza è data dalla lunghezza della parola più lunga, che rappresenta la parola ‘n’. Ovvero quanti bit occorrono per rappresentare la parola ‘n’ in binario, in generale richiede base di ëlog nû+1. Quindi l’altezza e’ base di ëlog nû. Vedi esercizio 7.1.2.

Quante foglie ha un abcs con n nodi? In un abcs, un nodo è una foglia se non ha figlio sinistro (e quindi neanche destro, dato che dev'essere completo a sinistra). Perciò, se un nodo corrisponde al numero y mentre 2y (che dovrebbe corrispondere al figlio sinistro) è maggiore di n, allora y è una foglia; ma 2y>n implica y>n/2, perciò i nodi numerati da 1 fino a ën/2û hanno figli quindi sono interni, i restanti én/2ù nodi sono invece foglie, quindi foglie sono ≥ numero di nodi interni (uguali oppure 1 in +)

Altezza di un nodo: L’altezza di un nodo in un albero [nozione complementare a quella di profondità (distanza da radice) già vista al §2.3] è definita a pagina 134 del testo: l’altezza a(x) di un nodo x è semplicemente la lunghezza del più lungo cammino fino a un suo discendente: a(x):=max{|y|:xyÎaL}.
Negli abcs, se x ha altezza h, x0h deve appartenere a L ed essere una foglia, perché altrimenti l’altezza di x sarebbe maggiore di h. La parola x0h rappresenta, in binario, un multiplo di 2h, qualunque sia x, ma naturalmente, cambiando x, cambia anche il multiplo. Ora, quanti multipli di 2h ci possono essere, al più, tra le én/2ù foglie dell’abcs considerato? Al più é(n/2)/2hù, ossia én/2h+1ù, come specificato nell’esercizio 7.3-3.

L’heap si costruisce in tempo lineare. Ma come si costruisce un Heap: la heapify ci consente di ripristinare la proprietà degli heap (il padre deve essere maggiore o uguale ai figli, facendo scendere elemento + piccolo; i sottoalberi devono gia’ essere heap).

Per inserire (aggiungere) un elemento uso la procedura heapinsert che inserisce la chiave n+1 nell’heap di n elementi (heap contenuto in un array). Devo incrementare la lunghezza dell'heap e assegnare al nuovo elemento la posizione ultima dell'heap, posizione ‘nuova’. Poi controllo via via coi padri e se sono minori scambio la chiave con il suo padre (padre deve essere + grande). Facendo salire la chiave (heapfy fa scendere partendo da root poi sottoroot,etc), al massimo mi arriva alla radice.

E' più facile far salire o far scendere la chiave? Salire visto che faccio un solo confronto ogni volta con il padre, per scendere devo decidere se scendere sx o dx.

Il modo più ovvio per costruire un heap sarebbe quello di posizionare l'elemento inserito nell'ultima posizione. Funziona ma quanto costa? Al massimo percorre tutta altezza albero e quindi log(n) operazioni per ogni elemento; se inseriamo n elementi quindi il costo è nlog(n). Non e’ sempre cosi perche’ all’inizio l’heap non contiene n elementi, quindi posso non considerare ‘n’ costante ma cresce durante gli inserimenti. Posso riconsiderare la somma di Gauss in cui il risultato non è effettivamente nxn ma è di quello stesso ordine di grandezza.
Se considerassimo solo gli inserimenti da n/2 in poi (le cose ‘piccole’ non sarebbero considerate), anche in questo caso la crescita sarebbe nlog(n). Quindi costruire heap in modalita’ inserimento incrementale costa sempre nlog(n).

Heapfy puo’ essere usata per costruire heap da array (convertendolo) con approccio bottom-up, l’idea e’ che da n/2 in poi siano foglie (ovvero heap di 1 solo elemento) presupponendo che da n/2 a sx siano ‘nodi’ ed applicando heapfy (ipotizzo che da n/2 in poi – a dx - siano gia’ heap di 1 solo elemento).

(BUILDHEAP) In questo modo Possiamo quindi costruire un heap (da array non ordinato) in tempo lineare (minore di nlog(n)) ovvero proporzionale a n. Costruire un heap con buildheap costa O(n) che e’ minore di heapinset con nlog(n).

Dimostrazione non semplice, vedi note. Per costruire un heap con n chiavi bastano in ogni caso meno di n spostamenti di chiavi e precisamente al più n meno il numero di 1 che compaiono nella rappresentazione binaria.

La massima potenza di 2 che divide n! è n meno il numero di 1 che compaiono nella rappresentazione binaria di n (da Adrien-Marie Legendre). i.e. 10! e’ divisibile per 28 ma non per 29. Vedi §3.3 negli allegati di Torelli.
La conclusione generale è dunque che la costruzione di un heap può avvenire in tempo lineare.

=== LEZIONE 08di42 del 16/Ottobre/2003 ===

Riepilogo sugli heap. Introduzione Heapsort (§ 7.4). Algoritmo di Fibonacci.
Origine termine “algoritmo” (nel testo la prefazione italiana ed eventualmente il riferimento Knuth [121]) e caratteristiche fondamentali degli algoritmi (testo §1.1, dispense Goldwurm §1.1).
Il problema della terminazione. Esempio: frazioni egizie http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/ e problema di Collatz (3x + 1) http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/.

Primi 15:00 minuti. Riassunto lezione precedente:
- Cap.7 libro. Heapsort. Struttura di dati Heap per gestire code con priorita’ e riferimento a Huffman.
- Heap binari. ABCS. Figlio sx in 2i, figlio dx in 2i+1
- Altezza di un nodo. Altezza albero/heap e’ base(parte intera) di log(n)

Operazioni fondamentali su heap:
- Heapify procedura che mantiene la proprietà degli heap e impiega tempo di O(logn).
- Build Heap è la procedura che serve per costruire l’heap da un’array non ordinato e impiega O(n).
- Heap sort è la procedura che ordina l’array in loco e ci impiega O(nlogn).
- Extract-max/min, insert sono le procedure che permettono all’heap di essere usato come una coda a priorità
Ordinare in loco vuol dire che c’è bisogno di una quantità di memoria definita e costante per spostare gli elementi e non di una memoria che cresce al crescere degli elementi. In questa memoria pensiamo di trasferire parte dei dati. In loco non trasferisce più di una quantità costante di dati di input.
Ma l’algoritmo potrebbe trasferire una quantità non costante di dati che gli servono non di input. In quel caso ordina il loco? Il libro dice Si ma il prof. non sembra molto d’accordo! Poiche’ per implementare devo sapere a priori se allocare una memoria ‘costante’ oppure ‘dinamica e crescente’ al crescere di ‘n’.
Anche per quicksort prof. dice che non ordina in loco sebbene il libro dica il contrario, xche’ ha bisogno di uno stack dinamico per esecuzione.
Se inseriamo un elemento alla volta nell’heap non ci vuole tempo lineare ma nlog(n). Serve tempo lineare se facciamo un inserimento bottom-up. Il tempo di esecuzione di heapfy e’ Θ(1) (vuol dire tempo costante ovvero proporzionale ad 1)+ tempo di esecuzione nel sottoalbero. Un sottoalbero di un abcs contiene al più (2/3)n nodi (ovviamente se sx ha (2/3)n l'altro sottoalbero dx ha (1/3)n nodi).
BuildHeap: Per ordinare un heap usando heapify utilizzo una procedura che parte da n/2 che è la posizione del primo nodo che ha almeno un figlio e quindi la prima posizione in cui ci può essere una chiave fuori posto. Tempo di esecuzione di heapfy su un nodo su altezza h e’ O(h) e l’altezza massima e’ log(n) e quindi complessita’ e’ O(logn).
Dopo heap vediamo ora heapsort: A heap-size(A) viene assegnato length(A), la prima operazione da fare è build-heap. Quando abbiamo costruito l’heap l’elemento più grande è immagazzinato nella radice cioè nella posizione 1 dell’array A (quello di partenza) e noi lo mettiamo nella posizione n dell’array finale.
Se un algoritmo riesce a ordinare anche nel caso peggiore in nlog2(n) è asintoticamente ottimo perché fa il meglio possibile sugli algoritmi basati sui confronti. (nota: Quicksort non è facile da implementare!)
Mostrare che il tempo di esecuzione di HeapSort è nlog(n). E’ sbagliato! Noi eseguiamo n volte la procedura heapify che nel caso peggiore richiede log (n). La heapify lavora in tempo costante quando trova ogni chiave a posto.
L'heapsort richiede nlog(n) perché ripetiamo n volte la procedura heapify che richiede tempo log(n).
Quando gli elementi sono uguali (ovvero le chiavi sono già ordinate o sono proprio uguali) richiede tempo n cioè costante! Terminiamo qui le code con priorita’.

Torniamo all’inizio del libro: Etimologia del termine algoritmo e frazioni egizie. Il termine algoritmo che significa procedimento di calcolo è una versione moderna del termine latino medioevale algorismus che deriva dal nome del matematico uzbeco Mohammed ibn-Musa al-Khowarismi vissuto nel IX d.C. secolo e famoso per aver scritto un trattato di algebra. Cominciamo con il dire che per un algoritmo deve esserci un input e un output (l'input può essere omesso, vedi Knuth). Per un algoritmo ci deve essere almeno un output. Un algoritmo è una procedura che produce almeno un output e deve essere finito (e terminare anche in tempo ragionevole) e come spiegato nella prima lezione deve avere costi accettabili (vedi esempio gioco lotto).
Frazioni egizie. Papiro Ahmes. Gli egizi erano soliti scrivere le frazioni come somma di frazioni in cui i numeratori erano sempre 1 e i denominatori erano tutti diversi.
Algoritmo di Fibonacci (Algoritmo Greedy) dalle/sulle frazioni egizie. Scegli il denominatore più piccolo rispetto alla frazione che devi rappresentare e vai avanti così fino a quando non rimane più nulla mettendo sempre 1 al numeratore. Ma questa cosa non si sa se termina. Sylvester nel 1880 ha dimostrato che questa è una procedura che termina sempre con n termini. Non ottimo anche se Greedy.

=== LEZIONE 09di42 del 17/Ottobre/2003 ===

Cenni correttezza algoritmi. Classe P ed NP. Test di Primalita’ (testo §33.8).
Ordinamento per inserimento, ordinamento in loco, pseudocodice (testo §1.1).
Insertion Sort (§1.x).
Random Access Machine and Random Access Store Program (§1.x).

Primi 21:00 minuti. Riassunto lezione precedente:
- Etimologia e connotazioni termine algoritmo.Non necessariamente solo problemi computazionali.
- Secondo Knuth caratteristiche di algoritmo: regole con sequenza operazioni finita (algoritmo termina) per risolvere problemi. Passi definiti con precisione, ed effettivamente eseguibili.
- Esempio 10n+1 e’ primo? (non da risposta sempre) Abbiamo necessita’ di caratteristiche di generalita’ almeno entro un certo intervallo, deve dare soluzione.

Algoritmi ordinamento sono comuni e riconosciuti come utili (i.e. ordinamento # matricole, file, numeri). Teorizziamo il problema e prendiamo una successione finita di ‘n’ numeri interi in ingresso e in uscita vogliamo una permutazione di questi numeri in ordine diverso, ad esempio in ordine crescente. Nel caso in cui ci fossero numeri uguali non dovrebbero esserci problemi per quanto riguarda l’ordinamento ma il primo tra i due numeri uguali deve rispettare la posizione ‘iniziale’ poiché se così non facesse l’algoritmo verrebbe chiamato instabile vs stabile ovvero l’ordine di chiavi uguali in input viene mantenuto in ouput.

Algoritmo di decisione: decidere se una cosa è vera o falsa quindi dà in output 1=vero oppure 0=falso.

Un'istanza (esempio) di un problema è l'input che si dà al problema da risolvere.Quando un algoritmo è corretto? Quando risolve ogni istanza che gli viene data.

Quando un algoritmo fa meno fatica (meno tempo) ad ordinare un file già ordinato si dice che ha un comportamento naturale. Tutti gli algoritmi di ordinamento basati su confronti hanno un comportamento NON-naturale, tranne l’insertion sort che ha un comportamento naturale (e’ piu’ veloce se il file e’ gia’ ordinato).

Secondo il libro, un algoritmo si dice corretto se per ogni istanza di ingresso si ferma con l'output corretto. Un algoritmo scorretto potrebbe non fermarsi per qualche istanza di input o potrebbe fermarsi con una risposta diversa da quella attesa. Classifichiamo gli algoritmi secondo complessita’ strutturale vs complessita’ ‘senza aggettivo’.

La classe p è la classe dei problemi che si risolvono con una complessita’ in tempo e/o spazio che cresce come un polinomio (tempo polinomiale) rispetto all’input ‘n’. La classe p=np(non deterministici) detti algoritmi di verifica (ovvero posso verificare in tempo polinomiale dato sia input che output)?No.

Algoritmi scorretti possono essere talvolta utili se il loro ritmo di errore può essere controllato. Per dimostrarlo prendiamo Test di Primalità (di Miller e Rabin 33.8 del libro) e lo vediamo come ‘Black Box’ (lo usiamo senza ‘guardarci’ dentro).

Supponiamo di avere una procedura BB(n, x) che applicata a un intero n e a un intero x più piccolo di n (1<x<n) restituisce 1 se n è primo e 0 se n è composto (prodotto di 2 altri numeri diversi da uno e se stesso).

Quindi se n è composto ¾ dei numeri tra 1 ed n fanno si che la procedura BB dia come risultato 0 avvertendoci che il numero è composto ma ¼ dei valori di x tra 1 ed n ingannano BB e danno come risultato 1.

Quando è primo BB non fallisce mai e invece quando è composto sbaglia una volta su 4, quindi non e’ corretta...Vediamo quando e’ comunque utile: supponiamo che BB ci abbia restituito 1 cioè BB(n, x) per 10 valori di x scelti a caso allora qual è la probabilità che n non sia primo ovvero che la procedura abbia sbagliato?

La probabilità che si ripeta per 10 volte è (¼)10 cioè una probabilità su un milione e quindi la possibilità che ci sia stato un errore è parecchio bassa! Nel capitolo 33.8 viene fatta nel caso più semplice cioè 1 volta su 2. E anche in questo caso va bene lo stesso!

Insertion sort

l libro dice che l'insertion sort è un algoritmo utile per ordinare un piccolo numero di elementi. (NON dite questa frase all'esame xche’ TUTTI gli algoritmi vanno bene con insiemi piccoli di elementi). L’insertion sort non va bene solo quando abbiamo un piccolo numero di elementi in input infatti basta che siano un po’ ordinati che insertion sort lavora in tempo lineare. E' un algoritmo particolarmente semplice e se avete problemi piccoli si potrebbe usare questo.

Gli elementi sono ordinati in loco ovvero ordino i dati di input tenendoli dentro l'array che mi viene data in input. Si tiene conto della memoria ausiliaria che mi serve per spostare gli elementi. Nell'insertion sort mi serve solo una variabile ausiliaria visto che sposto un elemento alla volta e nella variabile ausiliaria ci sta l'elemento che confronto con tutti gli altri.

Confronto l'elemento di posto J con i precedenti a cominciare da quello più vicino a sinistra. Non da sinistra a destra però! Altrimenti nel caso avessi un’array ordinato farei molti confronti in più. La parte ordinata è quindi sempre quella in testa. Caso peggiore array ordinato al contrario

Come Analizzare algoritmi

RAM Random Access Machine: (modello tecnologia/risorse implementative con costi) questa macchina ha una memoria casuale nel senso che tutte le posizioni memorizzate sono accessibili con lo stesso impiego di tempo. Rigida separazione tra memoria dei dati e memoria in cui risiede il programma: ma questo è un modello poco realistico.

Gli elementi principali sono la memoria, una locazione privilegiata che è l’accumulatore e un’altra memoria che contiene il programma e c’è una sorta di puntatore in location counter che dice a che punto siamo all’esecuzione del programma (vedere le dispense di Goldwurm e Bertoni scaricabili in rete).

La rigida separazione tra la memoria per i dati e la parte in cui risiede il programma è la caratteristica della macchina ma non assomiglia molto alle macchine reali.

RASP Random Access Store Program. E' più realistica infatti il programma stesso è immagazzinato nella memoria e non ci sono più due memorie come nella macchina RAM. Il location counter punta all’istruzione prossima del programma.

=== LEZIONE 10di42 del 21/Ottobre/2003 === (Con qualche problema audio)

I modelli di macchine RAM e RASP (testo §1.2 e dispense Goldwurm cap. 3, senza il linguaggio di programmazione).
Analisi degli algoritmi e analisi insertion sort: caso migliore, medio e peggiore (testo §1.2).

Primi 44:00 minuti. Modelli RAM e RASP.

Modelli di Calcolo

RAM: Caratterizzato da una memoria ad accesso casuale formata da celle che possono contenere un intero qualsiasi (anche se non è ragionevole assumere che possano contenere un intero qualsiasi visto che se è troppo grande non lo contengono; per questo si ricorre a un criterio di costo logaritmico). Le istruzioni sono quelle di un qualsiasi linguaggio macchina ragionevole:input, output, operazioni aritmetiche, modifiche etc.

Macchina RAM: Nastro di ingresso, nastro di uscita, un programma, un contatore (Location Counter che indica l'istruzione corrente da eseguire) e una memoria formata da un insieme infinito di registri. Il programma è fissato e non può essere modificato durante l'esecuzione della istruzione. Infatti il programma non sta nella memoria con i suoi infiniti registri ma sta in un’altra memoria. Ogni registro può contenere un numero arbitrario non negativo.

Macchina RASP: il programma è memorizzato in memoria ed è un modello più realistico. Nella RAM il programma non è nei registri mentre nella RASP si. La macchina RASP si comporta come macchina RAM a meno di una costante.
Valutazione dell’esecuzione delle istruzioni avviene secondo:
a. Criterio costo uniforme (tempo o spazio): costo ‘costante’ per singola unita’/operazione
b. Criterio costo logaritmico (tempo o spazio): che dipende dalla dimensione dell’operando, che e’ rappresentata e dipende dal logaritmo del suo valore.

Calcolabilita’ e calcolabilita’ effettiva: in generale classi funzioni ricorsive parziali esaurisce funzioni calcolabili.(vedi Touring)

Analisi InsertionSort.

Nei problemi di ordinamento la dimensione tipica dell'input è il numero di chiavi da ordinare, quindi dimensione chiavi ‘ragionevole’. Microanalisi per vedere quante volte viene eseguita una istruzione: la prima istruzione del for dell'insertion sort viene eseguita n volte e non n-1 perché l'ultima volta esegue il test per vedere se deve fare il ciclo o no; supponiamo che il costo sia costante, cioe’ C1 eseguita ‘n’ volte. Il ciclo while dipende dalla chiave e quindi non sappiamo a priori il costo del ciclo.

Nel caso migliore (array gia’ ordinato) la funzione è lineare cioè in funzione di n mentre nel caso medio e peggiore (array ordinato al contrario/inverso) è quadratica n2. Il caso peggiore ci dà la garanzia che l'algoritmo non impiegherà + tempo di quello per qualsiasi input, e’ l’estremo superiore.

Quanto ci vuole per ordinare n numeri nel caso peggiore? Sebbene dipenda dall'algoritmo posso dire che la migliore risposta ‘possibile’ è nlog(n). Infatti i migliori algoritmi lo fanno in ordine di nlog(n) e sono asintoticamente ottimi cioe’ teoricamente e’ dimostrato che nessuno impiega -di nlogn e +di nlogn, Θ (nlogn).
Non necessariamente gli algoritmi asintoticamente ottimi sono i migliori nella pratica, poiche’ nella pratica di ordinamento ci sono algoritmi con migliori performance; ovvero il caso peggiore e’ raro. Quicksort viene utilizzato più frequentemente nella pratica degli algoritmi asintoticamente ottimi perché nel caso medio e’ piu’ veloce ci mette nlog(n).

Nel caso medio bisogna ipotizzare che i numeri siano distribuiti a caso e con distribuzione uniforme, nella pratica non è ragionevole avere numeri in input con una certa distribuzione e sopratutto di solito non sono inseriti a caso o completamente a caso, spesso sono dati ‘significativi’.
Un buon algoritmo non deve incappare nel caso peggiore quando i dati sono inseriti quasi ordinati. Esempio degli assegni emessi da una persona: gli assegni sono disposti in libretti ordinati e quindi quando vengono consegnati alla banca sono già sensibilmente ordinati anche se li dovremo ordinare rispetto alla data di emissione.

=== LEZIONE 11di42 del 23/Ottobre/2003 ===

Tecniche di progettazione degli algoritmi: approccio incrementale, divide et impera (testo §1.3).
Merge sort ed analisi in spazio e tempo, versione ricorsiva e non-ricorsiva (testo §1.3).
Ricerca binaria (o dicotomica) (testo esercizio 1.3-5).

Riassunto lezione precedente:
- Insertion sort ha complessità lineare nel caso migliore e quadratico nel caso peggiore e medio. E' da tener presente per input ordinati o quasi visto che la complessità lineare nel caso migliore e’ solo di insertion sort.

Nessuno lo fa, ma supponiamo di avere un algoritmo di ordinamento che funziona in modo eccellente quando il file è disordinato e funziona male quando il file è ordinato sia in modo crescente che decrescente. ‘Paradossalmente’ possiamo benissimo prendere il file e “disordinarlo” e così utilizziamo nel modo migliore il nostro algoritmo. Questo è un modo randomizzato. L’insertion sort è semplice ed e’ da tener presente per input ‘quasi’ ordinati.

Posso usare InsertionSort combinato con QuickSort. Uso all'inizio Quicksort per ordinare un po’ il file e quando è abbastanza ordinato uso insertion sort sui restanti elementi. Questo è un modo per guadagnare tempo in un problema di ordinamento (anche il 20%).

Tecniche per Progettare Algoritmi

Nel caso di insertion sort uso Approccio Incrementale. Per risolvere un problema di dimensione n prima risolvo un problema di dimensione 1 e successivamente incremento fino a raggiungere n. E' un tipico metodo iterativo. Vale anche da n a 1, anche se poi tornare ad n potrebbe essere un problema.

Vediamo tecnica particolarmente vantaggiosa chiamata "Divide & Conquer/Divide et Impera". Ha il vantaggio che si può scrivere la relazione di ricorrenza che individua la complessità dell'algoritmo fin dall’inizio.
Gli algoritmi ricorsivi sono quelli che richiamano se stessi fino a quando si arriva a un sottoproblema di dimensione 1 che appunto è un termine naturale per la ricorrenza visto che non vi è più nulla da ordinare.

1. Quindi: Divide: spezza il problema in parecchi sottoproblemi simili all'originale.
2. Impera: Li risolve ricorsivamente (se non fosse ricorsiva allora forse sapevo risolvere il problema iniziale).
3. Combina(fondere) i sottoproblemi risolti per dare la soluzione del problema iniziale.

Spezzando circa a ‘meta’ e suddiviso circa della medesima ‘sottodimensione’, attenzione che se spezzo in due parti in cui una parte è n e l'altra è 0 il problema va avanti all'infinito. Perche’ ‘0’ non raggiunge mai la condizione di terminazione, affinché funzioni da una parte devo avere un problema di dimensione almeno 1.

Ad esempio il Merge sort è un esempio di problema risolto con "Divide et impera". Divide la sequenza dei numeri che deve essere ordinata (ad esempio in un array) in circa n/2 ciascuna (se n è dispari non cambia nulla e una delle due parti avrà un elemento in più solitamente la seconda; infatti prendiamo ën/2û e quindi la prima parte ha un elemento in meno). Si ordinano poi le due sottosequenza usando ancora merge sort. Poi Merge=Fondere le due finali sottosequenze ordinate per produrre un unica sequenza.

MERGE (A, p, q, r) con Array A e p, q, r sono degli indici.
A[p..q] e A[q+1..r] supponiamo che sottoarray siano ordinati. La procedura li fonde insieme in un singolo array ordinato. La fusione si fa trasferendo i dati da un array A ad un array B e la fusione la facciamo nell’array B. Quando abbiamo l’array B ordinato i pezzi li fondiamo nell’array A che ricicliamo. Un volta che abbiamo usato l’array A come input possiamo riciclarlo ed usarlo come target per l’output e quindi merge sort NON ordina in loco.

Esempio dei due mazzi sul tavolo con la faccia rivolta verso l'alto. Si prende la carta più piccola dei due mazzi e la si mette in un nuovo mazzo partendo da zero. Merge sort non ordina in loco e ha bisogno di un' array supplementare. Si possono ordinare elementi in numero sia pari che dispari! La ricorsione procede andando avanti fino alle foglie che rappresentano un solo elemento e quindi sono ordinate e poi porta su il lavoro fatto.

Il lavoro viene fatto quando si fa la fusione: il fatto di spezzare il file in due parti uguali non è particolarmente pesante/utile.
Vale la pena usare algoritmo ricorsivo per merge sort? Si visto che ho un programma di 4 righe.

Dato che usa già il doppio della memoria necessaria per contenere i dati avrà bisogno di altra memoria per fare la ricorsione? Si! Se facciamo le chiamate ricorsive il compilatore deve gestirsi la ricorsione e quindi deve salvare nello stack le informazioni necessarie.
Quali sono le informazioni necessarie? I punti in cui si spezza il file.
Bisogna ricordare i punti dove si è spezzato il file? Possiamo vedere dove sono i punti di divisione a priori visto che decidiamo di spezzarli sempre nella metà.

Il numero di livelli è log(n) (visto che divido sempre i numeri a metà avrò potenze di 2) e per ordinare gli elementi ci metto sempre n (su ogni livello si fanno n operazioni). Quindi ci metto nlog(n). In questo caso le prestazioni sono indipendenti dall’ordine degli elementi in input!

Come scrivere il tempo necessario alla equazione ricorrenza del "Divide et impera"? Paradigma base dei tre passi:
1. Dividi: D(n) Tempo per dividere il problema. Θ(1) esprime tempo costante se n=1.
2. Impera: se si divide il problema in ‘a’ sottoproblemi, ciascuno di dimensione n/b, il tempo per conquistare i sottoproblemi sarà di dimensione aT(n/b). Quando l'input è banale, una costante c, il tempo è Θ(1).
3. Combina: C(n) Tempo per comporre le soluzioni dei sottoproblemi.

Quindi T(n) = (Dividi)D(n)+(Impera)aT(n/b)+ (Combina)C(n) quando n ≥ c e se fosse <c allora tempo è Θ(1).

Equazione di ricorrenza per Merge sort

La fase di divisione nel caso di merge sort richiede tempo costante Θ(1) si tratta di calcolare dove cade la metà quindi il tempo di una divisione.
La fase di conquista si esplicita nel risolvere due sottoproblemi ciascuno di dimensione n/2 quindi 2T(n/2).
La fase di ricombinazione fatta dalla merge richiede tempo Θ(n) cioè nell'ordine di n.
Il tempo d’ esecuzione di merge sort è sempre Θ(nlogn)

Ricerca lineare scorre completamente array (ordinato) alla ricerca dell’elemento w, mi=c me/pe=n

Ricerca binaria/dicotomica (Ex.1.3.5), confronto numero cercato w con elemento n/2 e dimezzo la porzione rimanente a secondo che w sia ><= di n/2. Tempo di ricerca dividendo a meta’ ricorsivamente la porzione, ed il numero max di divisione e’ logn. Attenzione che l’ordinamento puo’ costare nlogn e quindi la ricerca lineare potrebbe essere migliore, ora se faccio numerose ricerche conviene ordinare, per esempio.

Osserviamo che confronto con n/2 costa 1, ma accedervi quanto costa se non e’ array ed invece e’ lista? La devo passare 1.5 volte. Piu’ ‘furbo’ se in una lista uso due puntatori in cui uno si muove a velocità doppia (salta due posizioni) allora dovrò scorrerla solo mezza volta, il primo puntatore sara’ meta’ il secondo alla fine della lista. Quindi la Ricerca binaria non funziona sulle liste.

Se è minore di log(n) ad esempio è √( logn) [risposta migliore del log(logn)].
Con log(log(n)) con N = 1.000.000.000 N circa 230 quindi il primo logaritmo è 30 e poi rimane il log30 che è circa <5, quindi mi servirebbero meno di cinque confronti. Ma interpolazione puo’ non funzionare. Inoltre non faccio solo ricerche, ma anche inserimenti/cancellazione che in questo caso sono costosi, tanto quanto spostare gli elementi dell’array che e’ in tempo lineare ed e‘ eccessivo.

Quanto costa l'inserimento in un array ordinato? Se non c'e' posto devo spostare tutti gli elementi dopo l'elemento che inserisco e in media ho n/2 spostamenti. Se parto dall'inizio infatti ne faccio n e se parto dal fondo 0. Quindi l’inserimento ha un tempo lineare.

Vedremo che con gli alberi binari di ricerca bilanciati si riuscirà a fare inserimenti e ricerche in tempo logaritmico. Necessita’ di essere bilanciati e quindi tempo e’ logn.

=== LEZIONE 12di42 del 28/Ottobre/2003 === (da 1:22:50 no audio)

Notazioni asintotiche e loro utilizzo. (testo §§1.4 e 2.1).
Le notazioni ‘O grande’ O( ), e ‘o piccolo’ o( ): le altre notazioni (’Tetha’ Θ e ‘Omega’ Ω) si possono esprimere in funzione di queste prime (testo § 2.1).
Funzioni monotòne. Base e tetto (testo §2.2).
Richiami sulle notazioni usate (testo § 2.2, si può saltare solo il logaritmo iterato lg*).

Notazioni asintotiche. Ovvero ordine di grandezza e rapidità di crescita delle funzioni. Il tempo di esecuzione dell'algoritmo dà un'idea dell'efficienza dell'algoritmo stesso.

Asintotico: fare un confronto asintotico vuol dire che stiamo usando valori di n molto grandi che tendono all’infinito, ovvero da un determinato punto ‘n0’ in poi. Le funzioni su cui lavoriamo sono asintoticamente non negative, cioe’ da n0 in poi. Svincolandoci dalle costante semplifichiamo l’analisi delle performance.

Si dice che la funzione f definita sui naturali cresce:
- O grande: al più come g cioè f ≤ g quindi f=O(g)
- Omega: almeno come g cioè f ≥ g quindi f=Ω(g)
- Tetha: circa come g cioè f@g quindi f=Θ(g) + blanda di f asintotico a g dei matematici dove limite di f/g = 1. Limita asintoticamente da sopra e da sotto.
- o piccolo: lim f(n)/g(n)->0 f cresce meno rapidamente di g
- OmegaPiccolo: più di g cioè f>g quindi f=ω(g)

Si dice che F(n)ÎO(g(n)) e non f(n)=O(g(n)) visto che O(g(n)) è un insieme di funzioni.

Semplificando possiamo anche scrivere:
- f=Ω(g) sse g=O(f)
- f=Θ(g) sse f= Ω(g) e f=O(g) a meno di un ‘c’ e ‘d’
- Θ è un estremo sia superiore che inferiore ovviamente moltiplicato per costanti diverse
- f=ω(g) sse g=o(f)
Esempi su algoritmi di ordinamento:
- Insertion Sort ha complessita’ nel caso peggiore O(n2).
- Merge Sort O(nlogn) ed il tempo e’ anche Θ(nlogn) e tempo di esecuzione o(n2).
- HeapSort nel caso migliore arriva anche a Θ(n) quindi lineare, mentre caso medio/peggiore e’ Θ(nlogn).

Tempo di esecuzione di qualsiasi algoritmo di sort è Ω(n) ovvero almeno nell'ordine di n (devo fare almeno n operazioni).

Esempi:
- (2 + Sin(n))n2 + O(nlog2(n)) = Θ(n2 ) xche’ (2+sin(n)) e’ comunque una costante limitata 2-3
- 2 + Sin(n) = Θ(1) ovvero è una costante anche se oscilla al variare di n
- Un heap si può costruire in tempo lineare.
- Proprieta’ tricotomia, sorvolare
- Ex.2.1.8

Notazioni standard

- Monotonia: non decrescente
- Strettamente crescente
- ‘Base’ e ‘tetto’: x-1<intero inferiore/base£x£intero superiore/tetto<x+1
- Polinomio: funzione p(n) della forma p(n)=ådi=0ai*ni
- Esponenziali
- Logaritmi
- Fattoriali

=== LEZIONE 13di42 del 30/Ottobre/2003 === (audio fino 1:22:00 di 1:28:26)

Ancora su funzioni asintotiche e loro uso.
Esempio del calcolo del numero delle parti in cui n rette dividono il piano (dispense Goldwurm §5.1).
Fattoriali e binomiali (testo §6.1); formula approssimata di Stirling e calcolo di lg(n!) (testo §2.2).
Osservazioni sul tempo di calcolo del fattoriale (criterio di costo logaritmico).

Ancora sulle funzioni asintotiche e come usarle esplicitamente nelle equazioni; possiamo eliminare dettagli che ‘ingombrano’ oppure non sono importanti ai fini della equazione.

Crescita polinomiale F(n)=O(nk)=nO(1). O(nk) richiede una costante k
Crescita esponenziale F(n)=Ω (an) con a>1
Crescita (poli)logaritmica F(n)=O(log(n))k = log(n)O(1)
Crescita sub-logaritmica log2(log2(n))
Crescita super-esponenziale 22^n=2^2^n

Ripasso sui logaritmi (che sono da sapere).
Notazioni: lgn=log2n cioe’ Logaritmo binario; ln=logen cioe’ Logaritmo Naturale

Formula (Approssimazione) di Stirling.

log2(n!) = log2(n) + log2(n – 1) + log2(n –2) + . . . + log2(2) + log2(1) ≥ n/2 log2(n/2)=(n/2)log2(n – 1)=Θ(nlog2(n))

Funzione Logaritmica cresce meno di Funzione Polinomiale che cresce meno di Funzione Esponenziale.

Funzione Fattoriale. Con definzione ricorsiva.

Relazioni di ricorrenza.

Numeri di Fibonacci.

Problema dei conigli: Se una coppia di conigli giovani matura in un mese e genera una nuova coppia di conigli ogni mese successivo quante coppie si avranno in un anno partendo da una coppia giovane?

tempo t0 t1 t2 t3 t4 t5
coppie 1 1 2 3

Come trovare una soluzione ricorsiva per il problema dei conigli? (vedi esempio Matrioske)

=== LEZIONE 14di42 del 31/Ottobre/2003 ===

Definizione di ricorrenza e relazioni di ricorrenza.
Teorema principale e Risoluzione di ricorrenze con il metodo di sostituzione (testo §4.1 e Cap.4.x).
Cenni alla parte II del testo: ordinamento e selezione, statistiche d’ordine (testo pagine129-131).

Riassunto: modalita’ di crescita di una funzione

Considerazioni su:

- Iterazione (i.e. 2n dove se mi fermo prima del termine ho un risultato intermedio Iterazione: pot=1 poi con i da1aN -> pot=pot*2) e
- Ricorsione (che non da risultati intermedi).

Relazioni di ricorrenza (ricorsione).

Esempio di relazione di ricorrenza che calcola le potenze di 2 in maniera generico ed efficiente:
f(n)=1 se n ≤ 0 con
f(n)=2f(n-1) altrimenti con n>0

Definizione di ricorrenza sul libro: la ricorrenza è un'equazione o una disuguaglianza che descrive una funzione in termini del suo valore su input più piccoli. Avevamo visto un esempio che non era solo su input necessariamente più piccoli ma addirittura su infiniti input?

Un’ultima osservazione: è facile scrivere le relazioni di ricorrenza che definiscono la funzione z(j), il numero di 0 finali nella rappresentazione binaria dell’intero j, (ovvero la massima potenza di 2 che divide j) e la funzione v(j), il numero di 1 nella rappresentazione binaria di j. Si provi a farlo per esercizio. Le relazioni di ricorrenza per la funzione z(j) hanno un’interessante peculiarità. Infatti, nelle relazioni di ricorrenza più comuni i casi definiti esplicitamente sono dati per valori piccoli dell’argomento, e sono in numero finito. Per z(j), al contrario, abbiamo infiniti casi espliciti: z(j)=0 se j è dispari, ossia se j=2k+1, e invece z(j) = z(j/2) + 1 se j è pari, ossia se j = 2k. La funzione z(j) è talvolta chiamata la funzione righello, perché fornisce l’altezza dei trattini di un righello, se le divisioni sono fatte seguendo le potenze di 2 invece di quelle di 10 (come si usa in America, almeno per le misure in pollici: i sedicesimi di pollice hanno un trattino piccolo, gli ottavi un po’ più grande, e così via).

Il Teorema Principale fornisce esplicitamente le ricorrenze di questa forma:

T(n) = aT(n/b) + f(n)

con a ≥1, b>1 (dim problema diminuisce) ed f(n) è la funzione data. Quindi sfrutto questo teorema per arrivare alla soluzione. Ma il teorema non copre tutti i casi possibili! Altrimenti il prob delle ricorrenze sarebbe banale.
Nella pratica quando si descrivono e risolvono le ricorrenze si trascurano certi dettagli tecnici ad esempio che le funzioni devono avere argomenti interi.

Metodo di sostituzione (per risolvere equazioni di ricorrenza)
Il metodo di sostituzione per risolvere le ricorrenze richiede di tentare uno schema di soluzione e quindi di usare l’induzione matematica per trovare le costanti e mostrare che la soluzione funziona.

Esempio: determiniamo un limite superiore per questa equazione 4.4 (simile ricorrenze mergesort, solo simile)
T(n) = 2T( ën/2û ) + n
Proviamo con T(n) = O(nlog2(n)). Il metodo consiste nel provare che T(n)≥cnlog2(n) dove c è una costante positiva scelta in modo appropriato. Quindi sostituendo nella formula si ha

T(n) ≤ 2( c ën/2û logën/2û ) + n
≤ cnlog (n/2) + n
= cnlog (n) - cnlog2(2) + n
= cnlog (n) - cn + n
≤ cnlog (n) Dove l’ultimo passo vale per c ≥ 1

Adesso dobbiamo dimostrare che la soluzione vale anche per le condizioni iniziali. In questo caso T(1) ci crea dei problemi poiché T(1) > c 1 log21 e quindi si considera n = 2 e n = 3. In questi casi succede che T(2) ≤ c 2 log22 e T(3) ≤ c 3 log23. Qualunque scelta per c ≥ 2 è sufficiente.

Non esistono regole generali per trovare la soluzione corretta per ogni ricorrenza ma vi sono alcune euristiche che aiutano a risolverle. Ad esempio quando le ricorrenze sono simili anche le soluzioni che tenteremo saranno simili.
Un altro modo per azzeccare la soluzione è quello di provare limiti vicini tra di loro delle ricorrenze: se cominciamo con un limite inferiore T(n) = Ω(n) e uno superiore T(n) = O(n2) per la ricorrenza T(n)=2T(ën/2û)+n.

Gradualmente abbasseremo il limite superiore e alzeremo quello inferiore fino a giungere alla soluzione esatta.

=== LEZIONE 15di42 del 4/Novembre/2003 === (qualche problema visualizzazione con i lucidi)

Il metodo iterativo per risolvere le ricorrenze e l’albero di ricorsione (testo §4.2).
Richiami sulla serie geometrica (testo §3.1). Il teorema Principale (testo §4.3)Dispense Goldwurm (§5.1)

Metodi per risolvere ricorsione

Partendo dall’esempio: Determinare il numero massimo di parti in cui n rette dividono il piano.(i.e 4 tagli su torta ottenendo anche 15 parti?tagli verticali(fette)+orizzontali(strati)+diagonali).
(vedi Enciclopedia sequenze di interi, link sul sito di Torelli)

Detto P(n) il numero di parti in cui n rette dividono il piano

1) Una retta divide il piano in due parti
2) Sia P(n) il numero di parti in cui n rette dividono il piano e aggiungendo una nuova retta è facile verificare che è intersecata al più in n parti dalle precedenti creando al più n+1 nuove parti.

Vale quindi P(n+1)=P(n)+n+1 (è poi la relazione di ricorrenza del quick sort nel caso peggiore !!)

Procedura ricorsiva che calcola P(n)

if n == 1
then return 2
else
x = P(n – 1)
return (x + n)

Coefficienti binomiali: se prendo un binomio (x + y)2 mi chiedo quali siano i coefficienti dei termini del binomio.

Metodo di iterazione

Il metodo di iterazione ha il vantaggio che non si deve ‘indovinare’ la risposta come nel metodo di sostituzione.

L’idea è di espandere la relazione di ricorrenza e di esprimerla in sommatoria dei termini dipendenti solo da n e dalle condizioni iniziali. Le tecniche per valutare le somme possono essere usate per limitare la soluzione o per trovare la soluzione esatta (vedi cap.3).

Per esempio consideriamo la seguente relazione di ricorrenza:
T(n) = 3T( ën/4û ) + n

Spezziamo un problema di dimensione n e ne risolviamo 3 di dimensione n/4 visto che “pensiamo” che la soluzione non si trovi nel sottoproblema che scartiamo.

Ora si itera come segue: (§4.2)

T(n) = n + 3T( ën/4û )
= n + 3( ën/4û + 3T( ën/16û ))
= n + 3( ën/4û + 3( ën/16û+3T( ën/64û )))
= n + 3( ën/4û + 9( ën/16û+ 27T( ën/64û )

Studio della serie geometrica pag. 41 del libro

Si passa dalla serie finita a quella infinita poiché è più semplice calcolarne il limite. Per fare questo moltiplico la sommatoria iniziale per (x–1) e successivamente quando passo a quella infinita devo dividerla per lo stesso termine. In definitiva trovo come risultato 1/(1–x).

Metodo di Iterazione con Albero di ricorsione

Un albero di ricorsione è un modo comodo di visualizzare ciò che accade quando si itera una ricorrenza e che può aiutare a organizzare la gestione algebrica necessaria a risolvere la ricorrenza.

Ad esempio associo l’albero di figura 4.1 del libro alla seguente relazione di ricorrenza

T(n) = 2T( n/2 ) + n2

Assumiamo per comodità che n sia una potenza esatta di 2.

Per costruire l’albero di ricorrenza in pratica parto da n2 e nei figli ci metto 2T(n/2). Successivamente risolvo 2T(n/2) e quindi aggiungo dei nuovi nodi e così via. L’altezza dell’albero sarà log2(n).
All’ultimo livello il tempo di calcolo sarà n. Infatti abbiamo livelli di costo via via decrescenti. Non dobbiamo curarci del numero dei livelli infatti i costi sono dominati dalla radice tanto è vero che possiamo mandarlo all’infinito.
La serie è convergente ed è la serie geometrica di ragione ½ elevato a k. Quindi il risultato della serie è 2 poiché 1/(1–x) con x = ½ fa appunto 2 e la soluzione della ricorsione tralasciando il 2 è Θ(n2).

Teorema principale (1980)

Questo metodo fornisce un approccio “ricettario” (ovvero se le cose stanno in un modo fai una certa operazione e se stanno diversamente il risultato sarà un altro) per risolvere le ricorrenze della forma

T(n)=aT(n/b)+f(n)

Funziona per le relazioni di ricorrenza tipiche dei metodi “Divide et Impera” in particolare con a≥1, b>1 costanti qualsiasi non necessariamente interi e f(n) è una funzione asintoticamente positiva. (esempio semplice e semplificato: ricerca dicotomica).

Qual è l’idea? Supponiamo che a sia intero, noi dobbiamo sostituire a T(n) con f(n) e tanti sottoproblemi che richiedono tempo T(n/b) e i sottoproblemi sono a e quindi figli di f(n).

I tre casi corrispondo a tre eventualità cioè:
- quello in cui prevalgono le foglie
- quello in cui i costi sono nella radice o nei primi livelli
- il terzo caso è quello in cui i costi sono distribuiti su tutti i livelli.

Per sapere in che caso siamo dobbiamo confrontare sempre il costo nelle foglie=n^(log(baseb)a) con il costo nella radice=f(n).

=== LEZIONE 16di42 del 6/Novembre/2003 ===

Cenno alla dimostrazione del teorema principale tramite l'albero di ricorsione (testo fig. 4.3).
Introduzione a quick sort (testo cap.8).Counting sort, radix sort, bucket sort. Statistiche d’ordine.

Finire di giustificare Teorema Principale e vedere qualche esempio. Ipotesi del teorema principale.

1 - La relazione di ricorrenza (ottenuta tipicamente da tecniche divide et impera) deve avere una forma del genere:
T(n) = aT(n/b)+f(n) con a ≥ 1 e b > 1, quindi richiede memorizzazione di 3 casi.
Si divide il problema di dimensione n in problemi di dimensione n/b e f(n) ci dà il costo sia della divisione in a sottoproblemi che dell'eventuale ricombinazione in un unico problema. La dimostrazione del teorema principale non viene chiesta all'esame.

Ritornado agli algoritmi di ordinamento
Solitamente si usano le chiavi per ordinare ma quello che interessa poi sono i "dati satellite" che interessano ovvero i dati in cui ci sono informazioni addizionali alle chiavi.
Insertion sort non va solo bene quando abbiamo un piccolo numero di elementi in input, infatti basta che siano un po’ ordinati che insertion sort lavora in tempo lineare.
Quick sort ordina n numeri in loco e non ha bisogno di spostare elementi di input se non in quantità costante in un memoria ausiliaria. Il prof dice che non ordina in loco perché ha bisogno di una quantità non costante di memoria ausiliaria per gestire i dati. Non mi importa se ci metta dati di input o no. Quindi forse è meglio dire che NON ordina in loco!
!QuickSort batte MergeSort ed HeapSort (inloco) perché ha un codice compatto ed efficiente e i cicli interni sono semplici e veloci e in media è più veloce. Non è più veloce in senso asintotico, la complessità è sempre nlog(n) nel caso medio solo che la costante è più bassa.
Insertionsort, mergesort, heapsort, quicksort sono algoritmi di ordinamento (per confronti) che confrontano le chiavi per metterle in ordine.
E' possibile dare un modello relativamente astratto di questo modo di procedere per vedere quali sono le limitazioni agli algoritmi di ordinamento per confronti? Si usa un albero di decisione. La decisione di spostare un elemento prima di un altro oppure no viene presa tramite un confronto. L'albero di decisione serve per dimostrare un estremo inferiore per il tempo di esecuzione di qualsiasi algoritmo di ordinamento per confronti su n input nel caso peggiore. Se non è possibile nel caso peggiore di ordinare n elementi in tempo (migliore di) nlog(n) gli algoritmi che lo fanno sono detti algoritmi asintoticamente ottimi. Dunque heapsort e mergesort sono teoricamente importanti perché sono asintoticamente ottimi anche se non li usa nessuno visto che quicksort è più veloce ma servono per dimostrare che ci sono algoritmi asintoticamente ottimi.

Counting sort assume come ipotesi che i numeri (le chiavi) siano entro un ben preciso insieme cioè da 1 fino a k. Usando l’indicizzazione dell’array come uno strumento per determinare l’ordine relativo degli elementi il counting sort può ordinare n elementi nell’ordine di O(k+n) . E’ lineare o no? Qui ci sono due parametri quindi voglio sapere se è lineare rispetto ad n.
Quando k è O(n) allora il counting sort è lineare rispetto alle dimensioni dell’input anche nel caso peggiore. Quindi esistono algoritmi di ordinamento lineare.

Un altro algoritmo di ordinamento lineare si chiama radix sort. Se ci sono n interi da ordinare e ogni intero ha d cifre e ogni cifra è nell’insieme da 1 a k il radix sort può ordinare nell’ordine di O( d (n+k)). Quando d è una costante e k è O(n) allora il radix sort ordina in tempo lineare.
BucketSort, si mettono le chiavi nei “secchi” e poi si ordinano. Bisogna sapere qual è la destinazione della chiave nel secchio. Quanti secchi ci vogliono per ordinare n chiavi? Usiamo n secchi per ordinare n chiavi. Quindi mediamente ci va una chiave per ogni secchio. Se lo ‘sparpagliamento’ viene fatto in tempo costante per ciascuna chiave, tempo costante per ordinare le chiavi nei secchi quindi faccio tutto in tempo lineare. Occhio a non far finire tutte le chiavi in un secchio altrimenti la suddivisione e’ unutile.

Statistiche d’ordine (Order Statistic): l’i-esima statistica d’ordine di un insieme di n numeri è l’i-esimo numero più piccolo in quell’insieme. Si ordina tutto il file e si va a prendere l’elemento più piccolo così si trova l’i-esima statistica d’ordine. Trovarlo così costa circa nlog(n) nel caso peggiore poiché devo ordinare tutti gli elementi. Noi vogliamo l’i-esimo elemento non tutti gli altri. Per trovare l’i-esimo elemento devo fare almeno n operazioni. (vedi argomento dell’antagonista/avversario)

=== LEZIONE 17di42 del 7/Novembre/2003 ===

Quick sort: la procedura di partizionamento (testo §8.1).
Prestazioni di quick sort: caso migliore e peggiore (testo §8.2).
Considerazioni sul caso medio Θ(nlgn) (testo §8.2).

Riprendiamo il Teorema Principale: e dimostriamo che la condizionare di regolarita’ implica condizione normale nel terzo caso dove prevale la radice (libro esercizio 4.4.2). Esempi: Quanto costa stimare il fattoriale: n!(pag.32 libro)

Quick sort.
Nel caso peggiore è Θ(n2). Ciònonostante è spesso la scelta pratica migliore per ordinare xche’ efficiente, in media il tempo di esecuzione atteso è nlog(n) come per altri algoritmi ma i fattori costanti nascosti nella notazione Θ che ci libera dalle costanti sono piccoli ed è difficile battere quicksort.
Ha il vantaggio di ordinare in loco? Non è vero. Ha bisogno di un piccolo stack che ha dimensione logaritmica (c’è in uno dei problemi/esercizi alla fine del capitolo).

Il codice di quick sort e’ semplicemente composto da sole 4 righe. La complessità del quick sort è sposata nella procedura partition. Viene diviso l’array e viene applicato ricorsivamente il quicksort su entrambi i sottoarray. La ricorsione finisce quando p è ≥ r. E' basato sulla tecnica divide et impera.

La parte che riguarda la divisione dell'array A[p..r] lavora nel seguente modo:

1.Divide l'array in due sottoarray (non vuoti! Se uno dei due fosse vuoto le dimensioni del sottoproblema con tutti gli elementi non diminuirebbero mai quindi vado avanti all’infinito) A[p..q] e A[q+1..r] in cui tutti gli elementi del primo sottoarray sono minori del secondo.
2.Impera: viene applicato l'algoritmo Quick sort ricorsivamente su entrambi i sottoarray.
I due sottoarray sono ordinati in loco e quindi il lavoro viene fatto nella fase di divisione e non di fusione.
La partizione viene fatta nel seguente modo: si prende un valore arbitrario dall'array da scegliere come perno per tutti gli elementi. La scelta più ovvia è prendere il primo elemento dell'array ma ovviamente non è la migliore.
E’ meglio cambiare gli elementi con l’elemento perno anche se sono uguali. E’ una delle sottigliezze del quick sort provare per credere…
Per fare la partizione impiego tempo dell’ordine di n visto che confronto un elemento con tutti gli altri.

Se si usa l'ultimo elemento (e se è l’elemento maggiore) come perno il Quick sort sul libro va in loop. Si può scegliere l’ultimo elemento come perno ma si deve cambiare la procedura visto che con quella segnata sul libro va in loop. E in ogni caso non è obbligatorio prendere il primo elemento come pivot.
Se invece scelgo il primo elemento come perno e l’array è ordinato in modo decrescente ho la parte fatta di un solo elemento e l’altra di n–1 elementi quindi non è una buona scelta nemmeno prendere il primo elemento.

La scelta ragionevole è quella di prendere l'elemento nel mezzo.

Il tempo di esecuzione dipende dal fatto se il quick sort è bilanciato o no. Quindi dipende da quali elementi sono usati nel partizionamento.

Il caso peggiore si ha quando c'è una regione con n-1 elementi e l'altra regione ha 1 elemento. L’equazione di ricorrenza nel caso peggiore diventa T(n)=T(n-1)+Θ(n) che è l’equazione di ricorrenza con cui n rette dividono il piano. Oppure ricorda la somma di Gauss visto che faccio prima n poi n-1 poi n-2 e così via confronti e quindi è nell’ordine di Θ(n2).

Nel caso migliore produciamo due regioni di ampiezza n/2 e cadiamo nel 2° caso del teorema principale. T(n)=2T(n/2)+Θ(n) Che si trasforma in: T(n) = Θ(nlogn)

In questo caso basta disegnare l’albero di ricorsione che ha n livelli e la somma su ogni livello è n. Anche se il partizionamento è sbilanciato sebbene l’altezza dell’albero non sia sempre uguale la somma su ogni livello è sempre n e alla fine ottengo lo stesso risultato.

=== LEZIONE 18di42 del 11/Novembre/2003 ===

Quick sort randomizzato (testo § 8.3).
Generazione di numeri e permutazioni pseudo-casuali (generatore lineare congruente: vedere Knuth, riferimento [122] nel testo, oppure, per esempio, http://www.math.utah.edu/~alfeld/Random/Random.html).

Riepilogo QuickSort: Procedura di partizionamento, poi vengono scanditi i due array confrontando l'elemento perno e gli elementi più piccoli vengono messi a sinistra e quelli più grandi a destra, se uguale viene scambiato comunque.

QuickSort non mantiene l'ordine degli elementi uguali. A priori li sposto e quindi non mi interessa del loro ordinamento, basta che siano ordinati rispetto all'elemento perno. Si dice che Quick Sort non è stabile. Non mantiene l’ordine ‘iniziale’ degli elementi uguali.
L’analisi nel caso medio del quicksort non è stata fatta (abbastanza complicata), per chi interessato è meglio guardala sul libro di Sedgewick [caso medio=1.38*(caso migliore)=38% peggioramento].
Il caso peggiore si ha quando ogni volta partition crea sottoarray con 1 solo elemento e sottoarray con n-1 elementi, in questo caso partition e’ dell’ordine Θ(n) e relazione di ricorrenza e’ quella del numero di parti di n rette sul piano che e’ nell’ordine di Θ(n2).

E' meglio tenere la ricorsione o toglierla? (vedi §.prob 8.4) La seconda chiamata ricorsiva può essere evitata usando una procedura iterativa che si chiama "Tail Recursion". Questa tecnica è fornita da buoni compilatori. Sul libro negli esercizi c’è una versione che simula la versione iterativa al posto della seconda chiamata ricorsiva (sulla seconda parte dell’array). La prima ricorsione non può essere rimossa poiché dopo di essa deve essere fatta quell’altra chiamata. Per eliminare anche questa chiamata ricorsiva dovremmo simulare la gestione dello stack. Per vedere quale delle due versioni del quicksort sia meglio basta fare qualche prova sulla macchina e vedere quale versione viene eseguita in tempo minore.

Meglio eseguire quick sort sulla partizione +piccola e lasciare in sospeso nello stack la/e parte/i +grande/i.

Dal 37:00 al 51:00 Commento alla gestione amministrativa delle videolezioni.

Versione randomizzata del quick sort. La prima idea è quella di rendere casuale l’input, pre-tratto l’input ‘sparpagliando’ gli elementi (come si fa a generare dei valori casuali? per esempio per definire posizioni casuali in cui mettere i dati). Il modo più semplice è ad esempio quello di andare a vedere il clock e campionare/prendere i millesimi di clock in quel determinato istante ed ottengo un numero che posso considerare ‘genuinamente casuale’ 0-999.

Generatori di numeri pseudo-casuali. (vs veramente casuale che e’ non deterministico e non replicabile).

Metodo Lineare Congruente. Congruente perché c'è un’operazione di modulo (resto della divisione per m), lineare perché c'è un’espressione lineare nella variabile x (che viene poi iterata)

Xn+1 = (a xn + c) mod m
Per esempio tra i piu’ studiati a=75, c=0, m=(231)-1 [per rappresentazione 32bit].
Altro esempio: a mod 1 e’ la parte frazionaria di a, verra’ usata nelle tabelle hash.
Ad esempio per generare una sequenza di input casuali posso usare questa procedura di permutazione:
For i = 1 To n Do Scambia A[i] con A[Random(i, n)]
Ogni permutazione ha quindi la stessa possibilità di essere scelta.

=== LEZIONE 19di42 del 13/Novembre/2003 ===

Generatore pseudocasuale con metodo lineare congruente.
Esercizi 8.4.4, 8.4.6, prob 8.4 ed 8.5. CountingSort (testo §9.2).

Riassunto della versione randomizzata di quicksort. Con ipotesi di input equidistribuiti per misurare le performance, l’equidistribuzione e’ garantita con ‘rimescolamento’ dell’input tramite il generatore pseudocasuale.

Tra i metodi abbiamo visto:
- Metodo lineare congruente
- Metodo centro del quandrato (non si riesce a dominare il comportamento)
- Metodo parte frazionaria di un numero

Oltre che per generare numeri, interi e frazionari puo’ essere usato per ottenere la permutazione casuale degli input. Iterando gli scambi di elementi dell’array in posizione A[i] e l’elemento in posizione casuale A[random].

Anche se nessuno in realta’ rimescola gli elementi, il generatore viene usato per identificare l’elemento perno della procedura partition, scegliendo quindi un elemento casuale nell’array. Attenzione che in questo modo l’algoritmo si comporta diversamente anche mantenendo lo stesso input. (vedi differenza tra Algoritmi Probabilistici ed Algoritmi Randomizzati, anche se spesso i termini sono usati intercambiabilmente)

Per esempio abbiamo visto il Test di primalità "Black Box" di Miller e Rabin (cap.33) e’ un algoritmo probabilistico per determinare se l’intero n e’ primo. Utile anche se non-corretto perche’ con probabilita’ ¾ che sia corretto dopo n tentativi...

Ricordiamo anche che per permutare casualmente e’ richiesto tempo ordine di n, inoltre per scegliere casualmente elemento perno dovrei anche aspettarmi tempo ordine di n.

Esercizio 8.4.4.Utilizzare insertionsort combinato/associato a quicksort quando l’array e’ al di sotto di una determinata soglia k, ovvero cessiamo la ricorsione e ci ritroviamo un numero di sottoarray di dimensione max k dove gli array sono ordinati tra loro e abbstanza ordinati internamente, quindi non ci saranno scambi tra sottoarray/sottopartizioni. Il tutto eseguito in O(n k + n log(n/k)) per un opportuno k da definire. Sedgwick dice che praticamente/empiricamente quicksort+insertionsort migliora di 15/20% con questo metodo.

Esercizio 8.4.6. Suggerisce di cambiare la procedura di partizionamento prendendo 3 elementi casuali nell’array e prendendo la mediana dei tre elementi.

Problema 8.4 Ridurre profondita stack per quicksort. Ricordando la Tecnica di ricorsione in coda (tail recursion), dobbiamo scegliere se lasciare in sospeso, nello stack, la parte + piccola o + grande dell’array; possiamo decidere analizzando il caso peggiore e migliore. Caso peggiore due sottoarray con 1 ed n-1 elementi, in questo caso lo stack cresce 1 alla volta fino ad n-1. Se viceversa ci metto parti + grandi la prima sara’ n-1 mentre elaboro 1 e cosi via, e quindi nello stack ho un solo elemento se ci metto quello + grande ovvero il pountatore alla porzione di array di interesse.

Problema 8.5. Mediano di 3 partizioni/elementi con considerazioni probabilistiche. Idea utile dove il problema e’ la scelta dei tre elementi, che potrebbero essere scelti a caso oppure in maniera deterministiaca per esempio il primo, quello centrale e l’ultimo.

Ordinamento in tempo lineare.

Un algoritmo basato sui confronti deve fare almeno Ω(nlogn) operazioni nel caso peggiore, mergesort e quicksort che impiegano questi tempi possono essere definiti come asintoticamente ottimi, ma non vuol dire che siano i migliori da usare. Ad esempio il QuickSort non è asintoticamente ottimo ma nel caso medio si comporta in modo migliore degli altri.
Per ordinare in tempo lineare n ci sono algoritmi che lo fanno senza confronti, vedremo CountingSort, RadixSort e BucketSort.

Come definire limiti inferiori per algoritmi di ordinamento per confronti in qualsiasi caso presente/passato/futuro? Capitolo.9 Con albero di decisione, utilizzando albero binario con due direzioni ‘<=’ e ‘>’. L’albero di decisione non e’ unico a parita’ di elementi da ordinare, la forma/albero cambia al cambiare dell’algoritmo, ma a noi interessa vedere quanto e’ alto nell’ipotesi che sia il + basso possibile.

Ora, un albero binario di altezza h (cammino piu’ lungo[caso peggiore]=numero confronti) non può avere più di 2h foglie, dove numero di foglie e’ uguale ad n!(fattoriale) con (n!-1) nodi interni.

Il teo.9.1 dice che h= Ω(nlogn) con n! foglie.

CountingSort. Algoritmo ordinamento non basato su confronti.

Abbiamo in input un’array A e nell’array C mettiamo il numero di volte che un numero compare nell’array A. Ad esempio se nell’array A il numero 1 compare 4 volte allora nell’array C in posizione 1 metto il numero 4. Quindi l’array C rappresenta le occorrenze di ciascuna chiave, quindi C e’ lungo quanto la max lunghezza della chiave max.
Successivamente scrivo un’array B in cui metto i numeri ordinati secondo l’array C e le frequenze/occorrenze. Si potrebbe riutilizzare l’array A per riscrivere i numeri ordinati senza creare l’array B. Anche se non possiamo poiche’ esisteranno campi/dati satelliti delle chiavi.

Vedi somma cumulata dei valori di C...ottenuto sommando i precedenti....mi dice il numero di elementi che precedono la chiave desiderata, considerando anche le chiavi uguali. Non possiamo usarla...

Usa tanta memoria poiche’ necessita di = array input A + array ausiliario + array output. Con poche chiavi ripetute molte volte allora le cose funzionano bene, ovvio.

=== LEZIONE 20di42 del 14/Novembre/2003 ===

Albero di decisione.Algoritmi di selezione o statistica d’ordine.
Counting sort. Radix sort (testo §9.3). Bucket sort (testo §9.4).

Riepilogo: Albero di decisione usato negli algoritmi di ordinamento per confronti, quando non conosciamo input. Potrebbe essere ambigua l’etichettatura foglie, intendiamolo anche come albero confronti oppure albero degli scambi. Vediamo come interpretare una permutazione, come ordinare un n-permutazione in loco. (Per stabilire il minimo tra n elementi faccio n-1 confronti.)

Il CountingSort ha bisogno di tre array: di input, di output ed uno ausiliario contenente il numero di occorrenze dei dati. Si deve sapere quanto fare grande l'array transitorio C che deve essere di dimensione k pari al numero delle chiavi diverse che dobbiamo ordinare; questa informazione ci deve essere data prima o la deduciamo noi contando gli elementi da ordinare.
Procedura: prima calcoliamo somma cumulata in C con valori debolmente crescenti, rappresentanti le posizioni delle chiavi e le frequenze, poi scansione dell’array input/A da dx a sx e collochiamo i valori su array output/B decrementando i valori delle frequenze dell’array C. Sviluppata in circa 10 righe di pseudo-codice.
Complessita’: spazioS(n)=Θ(n+k) implica almeno-> TempoT(n)=Ω(n+k) effettivamente Θ(n+k); quindi se T(n)= Θ(n) sse k=O(n) cioe’ k cresca al piu’ come n.

Radix Sort. Ordinamento per radice ovvero prendo le cifre dei numeri, ordinando cifra per cifra. Facendo un po’ di storia: era un algoritmo usato per ordinare le schede che si usavano con i vecchi elaboratori.
Procedura: Ordino partendo dalla cifra meno significativa (i.e. 653412 parto dal 2), passo alla cifra successiva (i.e.1) e l’algoritmo deve essere stabile per non perdere il lavoro fatto. Per ordinare le singole cifre devo quindi usare un algoritmo stabile, banale nel caso binario (0 vs.1); ordino quindi per esempio con countingsort (con k=numero chiavi distinte).Quindi tutto bene se ci sono tante ripetizioni, che mantengono d=# cifre basso.
Complessita’:Il tempo di esecuzione di radix sort è d=# di cifre, Θ(kd + dn) che è lineare nel caso in cui k = O(n) e d è una costante ovvero il numero delle cifre deve essere costante. Quindi radixsort esegue in tempo lineare O(n), se la lunghezza delle chiavi (ovvero numero di cifre) rimane costante. Sotto queste condizioni e’ un buon algoritmo di ordinamento per esempio rispetto quicksort.

Bucket Sort. (Ordinamento a secchi). Eseguito in tempo lineare in media, caso peggiore e’ almeno nlogn od addirittura n2. Funziona bene con alcune premesse sull’input. Ovvero la premessa e’ che l‘input sia distribuito uniformemente per esempio sull’intervallo [0-1) semiaperto a dx, ovvero dovremo ricondurre le chiavi iniziali all’intervallo richiesto, inoltre preoccupandoci che siano distribuite uniformemente e non concentrate/affollate.
Procedura: Suddividiamo intervallo input in secchi, usiamo insertionsort per ordinare internamente ai secchi. Se dobbiamo fare Bucket Sort su n elementi quanti secchi dobbiamo preparare? n ed al massimo n. (se mi aspetto k chiavi per secchio allora k secchi). Anche se sono tanti fa niente visto che ci finisce solo una chiave in ogni secchio e alla fine ho solo n elementi da ordinare e quindi sarà facilissimo. Nel caso volessi scegliere meno secchi allora faccio puntare ogni secchio a una lista e collego/link l’ultimo elemento di ogni lista al secchio successivo.
Per ricondurre k all’intervallo [0,1) posso usare la formula:

Complessita: lineare in media (numero chiavi costante in ogni secchio), quadratico caso peggiore (tutte le chiavi in un unico secchio, nel caso usassi insertionsort; complessita’ migliore se usassi per esempio quicksort ma a questo punto tanto valeva non usare bucketsort)

Prossimo argomento: Algoritmi di Selezione o di Statistica d’Ordine, trovare k-simo elemento senza ordinare ed in particolare trovare il mediano. Quanto costa trovare elemento minino o massimo in un file? Costa n - 1 visto che confronto un elemento con tutti gli altri e quindi faccio n - 1 confronti per estrarre il minimo. Per estrarre anche il massimo farò gli stessi confronti e quindi mi costa il doppio. Invece vedremo che ci sono metodi per impiegarci meno del doppio per estrarre sia massimo che minimo.
Per moltiplicare due matrici 2x2 quante moltiplicazioni dovro’ fare? Istintivamente 8 ma ci sono approcci che permettono di farlo con 7 moltiplicazioni.

=== LEZIONE 21di42 del 18/Novembre/2003 ===

Statistiche d'ordine. Determinazione del minimo, del massimo e minimo simultaneamente (testo §10.1).
Prodotto di matrici e algoritmo di Strassen (testo §31.2, solo la presentazione e le conclusioni; si confrontino anche le dispense Bertoni-Goldwurm §10.5).
Selezione con tempo medio lineare (§10.2).Selezione in tempo lineare nel caso peggiore (§10.3, solo risultato).

Mediana e statistiche d’ordine (Cap.10).
Terminologia: L’ i-esima statistica d’ordine di un insieme di elementi è l’i-esimo elemento più piccolo dell’insieme. Il minimo è la prima statistica d’ordine quindi con i=1 e il massimo è l’n-esima statistica d’ordine quindi i=n. Terminologia anglosassone dove ‘i-esima statistica d’ordine’ corrisponde ad ‘i-esimo elemento’.

Tra le piu’ importanti statistiche d’ordine c’e’ Il mediano: è in posizione i=(n+1)/2 quando n è dispari, con array ordinato. Quando n è pari ci sono due mediani: uno in posizione n/2 e l’altro in posizione (n/2)+1; oppure scegliamo uno dei due cioe’ quello che occupa la posizione tetto di n/2. Se vogliamo usare base e tetto prendiamo ë(n+1)/2û quando n è pari oppure é(n+1)/2ù quando è dispari.

Quello che vediamo e’ il problema della selezione dell’i-esima statistica d’ordine da un insieme di n numeri non necessariamente tutti distinti. Avrà in input un insieme A di n numeri ed un numero i con 1 ≤ i ≤ n. In output avremo l’elemento x che sarà più grande di ‘i–1’ altri elementi di A, ovvero in posizione i-esima. Il problema della selezione è risolto in tempo O(nlogn) per esempio ordinando gli elementi con uno degli algoritmi visti. L’obiettivo e’ di trovare l’elemento senza ordinare e risparmiando tempo, magari in tempo lineare.

Prima di vedere il problema della selezione vediamo il problema di identificare min, max od entrambi di un insieme di elementi. Abbiamo gia’ visto che abbiamo un lower bound di n-1 confronti per trovare min o max. Per trovare entrambi abbiamo un totale di 2(n-1), ora se confronto due elementi tra loro e succesivamente con il min or max faccio meno confronti 3én/2ù passando quindi da una costante 2 a 3/2.

Ci sono approcci che migliorano significativamente. Partendo dal problema: un problema numerico fondamentale è la moltiplicazione di due matrici. E’ facile vedere che l’algoritmo richiede tempo dell’ordine di O(n3). Fino alla fine degli anni ’60 il tempo richiesto era Ω(n3) ma poi Strassen (Algoritmo di Strassen Cap.31) mostrò che si poteva usare un tempo inferiore con la tecnica divide et impera cioè divideva le matrici in 4 quadranti/sottomatrici più piccole, ed ottenendo 7 moltiplicazioni invece di 8, con relazione di ricorrenza T(n)=7T(n/2)+O(n2) con soluzione O(n2.81) quindi non e’ necessario tempo cubico per moltiplicare due matrici.
Ad oggi si e’ visto un limite di O(n2.376), con estremo inferione Ω(n2); anche se dal punto di vista pratico e’ decisamente/eccessivamente complessso.

Passiamo alla ricerca dell’i-esima statistica d’ordine. Dove e’ possibile selezionare in tempo attesa lineare. Usando algoritmo di partizionamento (randomizzato) con scelta elemento perno pseudo-casuale.
Procedura: ...
Complessita’: O(n)

(Cap.23) Per rappresentare grafi in memoria posso utilizzare liste, allora avro’:
Metodo delle liste di adiacenza vengono usate per rappresentare i grafi. A ogni elemento vengono aggiunti i vertici adiacenti al nodo.
I grafi possono essere rappresentati anche con le matrici di adiacenza: quest’ultima sarà nell’ordine/dimensione di n2 poiché devo rappresentare i nodi sia sulle righe che sulle colonne. Quindi se la complessità in spazio è Θ(n2) in generale il costo in tempo sarà almeno Ω(n2) ma ci sono delle eccezioni anche se rare. Ad esempio nell’esercizio 23.1-6 viene trattato questo caso.

Riassumendo. Per trovare min/max la complessita’ in tempo e’ lineare. Per trovare il massimo e il minimo in modo veloce posso usare un heap. Infatti in prima posizione ho il massimo mentre in ultima posizione ho il minimo.

Θ(n+klogn) quando è lineare in n? Quando k = n/logn quindi k=O(log n)

Qualche considerazione sull’utilizzo della struttura heap anche se non efficiente: costruire heap in tempo lineare+ricerca in tempo logaritmico.

=== LEZIONE 22di42 del 20/Novembre/2003 ===

Introduzione parte III del corso: strutture di dati (testo pagg. 185-187).
Pile, code e loro operazioni (testo §11.1 ed esercizio 11.1-5).

Esercizio 10.1-1: Per trovare il secondo elemento minimo usiamo per esempio l'albero del torneo e vediamo che il tempo per trovarlo è n+élognù-2. Esercizio 10.1-2 Dimostrare che servono é3n/2ù -2 confronti per trovare sia min che max insieme. Termina qui cap.10 e parte seconda del corso/libro.

Parte 3 Corso - Strutture di dati

Gli insieme che mutano nel tempo vengono chiamati insiemi dinamici (finiti). La principale struttura di dati che gestisce insiemi dinamici si chiama convenzionalmente dizionario (l'origine è data da ragioni storiche, anche se non ricorda un dizionario materiale) e le operazioni che si possono fare su un dizionario sono quelle di cancellazione, inserimento e verifica di appartenenza a un insieme. Ricordiamo che un tipo di ‘dato astratto’ è un insieme di dati e di operazioni sui dati stessi.

Un campo dell’oggetto/dato su cui facciamo le operazioni si chiama chiave/puntatore. I dati presenti oltre la chiave si chiamano dati satellite.

In alcuni insiemi le chiavi sono già ordinate, es. i numeri Reali. L’insieme totalmente ordinato soddisfa le proprietà di tricotomia ovvero presi due elementi A e B ci sono soltanto tre possibili casi: <nowiki>A<B, A=B, A>B</nowiki>. Un ordinamento totale ci consente di definire l’elemento minimo dell’insieme. In ambito matematico con insiemi infiniti non avrebbe senso (potrebbe essere non definito) definire il massimo e il minimo mentre in un ambito informatico (pragmatico/implementato) ha senso.

Le operazioni su insiemi dinamici possono essere divise in due categorie di operazioni di lettura/query e di scrittura/modify:

Search(S,k) Dato un insieme S e la chiave k restituisce un puntatore x in cui key[x]=k oppure NIL.
Insert(S,x) Dato un insieme S inserisce l'elemento puntato da x.
Delete(S,x) Dato un insieme S e un puntatore x toglie l'elemento puntato.
Minimum(S) Restituisce la chiave più piccola di S.
Maximum(S) Restituisce la chiave più grande di S.
Successor(S,x) Restituisce il successore dell'elemento x, dove l’insieme e’ totalmente ordinato.
Predecessor(S,x) Restituisce il predecessore dell'elemento x, dove l’insieme e’ totalmente ordinato.

Il tempo per eseguire un'operazione su insiemi è di solito misurato in funzione della dimensione/cardinalità dell'insieme che viene fornita come argomento.

Strutture di dati elementari: Pile e Code

Il punto di accesso alla pila/stack è unico, mentre alla coda/queue ho un accesso all’inizio ed uno alla fine. La gestione nella pila è LIFO Last In First Out, mentre nella coda è FIFO First In First Out. Nella pila l'operazione di inserimento è chiamata push e quella di estrazione/cancellazione è chiamata pop.

Come si realizzano queste strutture in un ambiente dove non siano gia’ previste/proposte?

Come si realizza pila con array? Visto che c'è un unico punto di accesso ci basta definire un'unica variabile Top(S)=puntatore, per lo stack S, la quale punti all'ultima posizione in cui abbiamo inserito un elemento nella nostra pila. L’ultimo elemento e’ anche il totale degli elementi presenti nello stack.

Se si fa un’operazione di pop su una pila vuota si va in underflow mentre se si fa un' operazione di push su una pila che è al massimo della dimensione si va in overflow.

Tutte le operazioni sullo stack/pila richiedono tempo costante O(1).

Nella coda l'operazione di inserimento su una coda è chiamata enqueue/put e quella di cancellazione si chiama dequeue/get. La coda e’ implementata/realizzata sempre un con array e due puntatori alla testa/inizio=primo elemento della coda ed alla fine=prossimo elemento libero, sempre entro i limiti dell’array.

L'elemento che viene estratto è sempre quello in testa alla coda. Si procede in modo circolare quindi quando finisco la lunghezza dell'array torno al primo elemento.

Esercizio 11.1.-5 come riassunto: punti di accesso per lista, coda, doppia coda(coda a due vie).

[Quali strutture conbinatorie (permutazioni) e’ possibile creare partendo da pila, coda o doppia coda? Con pile posso ottenere permutazioni diverse da quelle iniziali.]

Per cambiare argomento vediamo il problema delle celebrita’: modo per rifrasare problema cap.23.1-6

Ora che sappiamo cosa sono stack, code vediamo come possiamo rappresentare/implementare grafi in una struttura dati. Ricordiamo che grafo e’ un insieme (V=Vertici, E=Lati). Ci sono due modi canonici per rappresentare i grafi: uno con le matrici (nxn) di adiacenza e l'altro con collezione di liste di adiacenza (tante liste quanti sono i vertici).

La rappresentazione con le liste di adiacenza si preferisce quando |E| è molto minore (i.e. lineare) di |V2| cioè quando il grafo è sparso (pochi lati).
La matrice di adiacenza si usa quando |E| è molto vicino a |V2| cioè quando il grafo è denso (i.e. grafo completo).

Prendendo esempio figura 23.1. Un vertice non e’ adiacente a se stesso (altrimente sarebbe un cappio).

Nella lista ci sono tanti elementi quanti sono i nodi mentre nella matrice se ci sono n nodi la matrice sarà n x n

=== LEZIONE 23di42 del 21/Novembre/2003 ===

Liste concatenate, con e senza sentinelle (testo §11.2).
Puntatori, oggetti ed array (testo §11.3).

Strutture di dati elementari: Liste concatenate (collegate, puntate)

La lista concatenata è una struttura dati in cui gli elementi sono collegati tra loro in qualche modo, per esempio sono organizzati in un ordine lineare. L'ordine di accesso è determinato dai puntatori a ogni oggetto, per esempio il successivo in una determinata direzione, dove non necessariamente le chiavi siano ordinate.

Per esempio abbiamo una chiave che ‘punta’ ad un predecessore e successivo elemento: prev<-chiave->next

Una lista può essere semplice/monodirezionale oppure bidirezionale. Se è semplice si omette il puntatore 'prev' di ogni elemento. Se una lista è ordinata l'ordine lineare della lista corrisponde all'ordine lineare delle chiavi memorizzate negli elementi della lista.
In una lista circolare il puntatore 'prev' del primo elemento punta alla coda della lista e il puntatore 'next' dell'ultimo elemento punta alla testa della lista. Fare attenzione nel caso di liste circolari per il rischio di perdere inizio e/o fine.

In una lista posso fare le operazioni:
- di ricerca con caso medio e peggiore Θ(n) mentre nel caso migliore e’ tempo costante O(1)
- di inserimento (tipicamente in testa) con tempo di esecuzione O(1)
- di cancellazione con tempo di esecuzione O(1) con Θ(n) per ricercare elemento specifico

Nelle liste concatenate per semplificare la procedura di cancellazione ed evitare i controlli nei casi limite sulla testa e sulla coda uso delle sentinelle.
Quindi la lista circolare non e’ chiusa su se stessa ma su oggetto fittizio=sentinella, ovvero non ho puntatori NIL ma punto in quel caso alla sentinella. In questo modo rimuovo i casi particolari, nelle posizioni agli estremi della lista, il puntatore NIL e’ tra la coda e la testa.
L'uso delle sentinelle non velocizza necessariamente l'esecuzione del codice tuttavia lo rende molto più leggibile/chiaro/semplice. Il valore della chiave nella sentinella potrebbe essere -1.

Esercizio 11.2-5 Come si fa un'unione di due insiemi disgiunti usando una lista e facendolo in tempo costante?

Come implementare liste concatenate quando non ho puntatori a disposizione nell’ambiente di programmazione? Usando una rappresentazione di oggetti tramite array multipli, ovvero usando un array per ogni campo. Per esempio gli array prev, key, next. Oppure usando una rappresentazione degli oggetti con un unico array, ovvero prendiamo per esempio tre posizioni in un unico array. Dove ogni elemento di una lista occupa una porzione contigua di tre elementi nell'array quindi è un sottoarray di tre elementi con il primo elemento che punta al predecessore, il secondo è la chiave e il terzo è il puntatore a 'next'.

Allocare e liberare oggetti/memoria: in alcuni sistemi con ‘garbage collector’, oppure liberando la memoria quando ho terminato di utilizzarla (ovvero tenendo una lista ‘libera/ombra’ di elementi che sono stati utilizzati e poi rilasciati/liberati).

§11.4 Rappresentazione di alberi con radice con numero di figli non noto a priori. Rappresentazione di alberi binari avra’ puntatore nodo sx e puntatore nodo dx. Se i figli sono di numero indeterminato, comunque pensiamo ad un albero ordinato.

=== LEZIONE 24di42 del 25/Novembre/2003 ===

Strutture ad albero. Rappresentazione di alberi ordinati, alberi binari (appunti: "Grafi e alberi" §2.3, §2.4).
Rappresentazione di alberi mediante un'unica parola binaria (appunti: "Grafi e alberi" §2.5).
Alberi radicati (testo §11.4).

Ripasso su cancellazione elementi in una lista.
Ultimiamo Cap.11 con Strutture di dati elementari: Strutture ad Albero

Ricordando un albero ordinato ristretto a k figli ovvero un alfabeto con k simboli [0,1,..., k-1].
Possiamo dunque rappresentare con un linguaggio L un albero ordinato ristretto a k figli? Dovremo usare un alfabeto con k simboli, per esempio {0,1, ...,k – 1}, e poi dovremo imporre che se xjÎL, allora anche xiÎL per 0 ≤i<j, perché non vogliamo lasciare “buchi” tra i figli: se c’è j-esimo figlio, ci devono essere anche tutti i fratelli che lo precedono. Naturalmente dobbiamo mantenere anche l’ereditarietà. Anzi, possiamo vedere le proprietà necessarie come un’estensione dell’ereditarietà, e formulare la regola come segue: se xjÎL e j>0, allora anche xiÎL con i=j-1; se invece j=0, allora dev’essere xÎL.
Un esempio chiarirà eventuali dubbi.
Il linguaggio {ε, 0, 1, 2, 00, 01, 20, 21, 000, 001, 010, 0010} rappresenta l’albero ordinato (ristretto a 3 figli) della figura 5.6(a). Un utile esercizio può essere quello di rappresentare come linguaggio l’albero della figura 5.6(b).
Non ci resta da compiere che un ultimo passo, per definire alberi ordinati generici, ossia in cui il numero di figli di ciascun nodo è arbitrario (o meglio non è noto a priori): in questo caso, non possiamo prestabilire la cardinalità dell’alfabeto e siamo costretti ad assumere un alfabeto infinito, costituito dall’insieme N dei numeri naturali {0,1,2,...}. Un qualsiasi albero ordinato finito userà comunque, di fatto, un alfabeto finito, e quindi in pratica l’unico eventuale problema è dato dalla necessità di usare interi con più cifre. Un intero costituito da più cifre nella rappresentazione scelta (decimale o no) va pensato come un unico simbolo e l’intero i rappresenta sempre l’(i +1)-esimo figlio di un dato nodo. Il grado di un nodo x in un albero ordinato è sempre il numero dei figli e, se non è 0, è il massimo i tale che xi Î L, aumentato di 1, dato che il primo figlio è etichettato con 0.
Un qualsiasi albero libero può spesso essere pensato come un albero radicato, scegliendo arbitrariamente un nodo come radice. Allo stesso modo, un albero radicato può essere pensato come un albero ordinato, fissando un ordine arbitrario per i figli. In entrambi i casi abbiamo il problema di alfabeti potenzialmente grandi e comunque non fissati a priori. Abbiamo già detto che non ci interessa, in questo ambito teorico, risparmiare memoria, possiamo quindi cercare di rappresentare i simboli che ci occorrono con un alfabeto più piccolo, senza preoccuparci dell’efficienza.
Qual è l’alfabeto più piccolo che possiamo usare? Sorprendentemente, la soluzione più estrema e inefficiente, quella di usare un alfabeto con un solo simbolo, ossia una rappresentazione unaria, fornisce risultati interessanti, che, adeguatamente reinterpretati, si rivelano utili anche dal punto di vista pratico, come ora mostriamo.[… vedi appunti Torelli: "Grafi e alberi §2.4"]
Dunque ogni albero (ordinato) può essere rappresentato come un albero binario!
§2.5 Quanti bit stiamo usando per rappresentare un albero con n nodi? Esattamente 2n–2=2bit *[n-1]lati (due bit per nodo, esclusa la radice): una rappresentazione decisamente compatta!
Inoltre l’idea di associare gli 1 ai nodi fa sorgere spontanea la domanda di cosa associare agli 0. C’è qualche struttura in cui vi siano nodi di due tipi, uno a cui associare gli 1 e un altro a cui associare gli 0? Ci sono in sostanza gli alberi pienamente binari (si veda a pagina 89 del testo), che vanno intesi come alberi con nodi "veri" (interni), quelli con 2 figli, a cui associamo il bit 1, e nodi "falsi" (esterni), senza figli, cui associamo il bit 0.
Da un punto di vista astratto sono banali alberi binari in cui non ci sono nodi con un solo figlio, mentre dal punto di vista informatico sono gli alberi binari che si costruiscono effettivamente in memoria, in cui i nodi "veri" sono quelli puntati da puntatori, mentre quelli "finti" corrispondono ai puntatori NIL.
In qualsiasi albero binario, il numero di nodi senza figli supera di uno il numero di nodi con due figli, ovvero negli alberi pienamente binari, i nodi esterni sono sempre uno in più dei nodi interni., con n foglie ho n-1 nodi interni.
Il risultato interessante è che anche in questo modo ritroviamo la corrispondenza biunivoca tra alberi ordinati con n + 1 nodi e alberi binari con n nodi, già vista nel §2.4 di queste note: l'albero binario con n nodi si ottiene da quello pienamente binario… ignorando i "falsi" nodi esterni.

=== LEZIONE 25di42 del 27/Novembre/2003 ===

Un esempio di rappresentazione "esotica" degli alberi: i numeri di Matula (si veda, per esempio, l'articolo accessibile dall'indirizzo http://www.math.ethz.ch/EMIS/journals/PIMB/067/3.html)
Tabelle e funzioni hash. Indirizzamento diretto vs. in-diretto (§12.1).Hash per concatenazione (testo §12.2).

Fino al Min.25:00 Riassunto lezione 24 del 25 Nov 2003
- Rappresentazioni binarie di alberi
- Alberi binari=linguaggi ereditari
- Alberi ordinati con notazione unaria + ’0’

Prossimo argomento: Funzioni Hash.

Molte applicazioni necessitano di insiemi dinamici in cui le operazioni richieste sono inserimento, cancellazione e ricerca (non successore, predecessore etc); le tabelle hash vanno bene per dizionari in cui ci sono questi tipi di operazioni. La cattiva notizia è che un’operazione di ricerca può durare come la ricerca in una lista collegata e quindi dell’ordine di n, Θ(n), nel caso peggiore. La buona notizia è che nella tabella hash viene fatta quasi sempre in tempo costante O(1), sotto assunzioni ragionevoli. La tabella hash è una generalizzazione della semplice nozione di array, usando la chiave come indice.

Le tabelle si chiamano hash perché c'è una funzione hash che trasforma le chiavi in indirizzi. Se c'è l'indirizzamento diretto non c'è bisogno di nessuna funzione hash. Quindi si da’ per scontato che non facciamo l'indirizzamento diretto se vogliamo parlare di hash. Infatti un vecchio nome delle tabelle hash era: tabelle con indirizzamento calcolato oppure tecniche di memorizzazione dispersa. Perche’ l'indice è calcolato a partire dalla chiave, ma non e’ il valore della chiave.Viene da ‘to hash’=sminuzzare/tritare.

§12.1 Tabelle indirizzamento diretto.

§12.2 Tabelle Hash.
Come gestire problemi nel caso di collisione di piu’ chiavi nello stesso indirizzo. Se ho un grande universo di chiavi che devono essere messe in una piccola tabella che problemi ho? I problemi nel realizzare una tabella hash sono che chiavi diverse possono andare a finire nello stesso indirizzo. Se dovesse succedere, si attacca una lista all'inizio dell'indirizzo così posso avere più chiavi memorizzate. Se non volessi usare le liste calcolo l’indirizzo a partire dalla chiave e lo inserisco nella posizione giusta se trovo un buco e se la trovo occupata lo inserisco nella successiva. Questo rende la ricerca inefficiente.

§12.3 Funzione Hash.
Cos’è una funzione hash? Una funzione hash è una funzione h(k) che trasforma le chiavi k, in indirizzi. La funzione hash deve mappare l’universo U delle chiavi nelle posizioni della tabella hash che tipicamente vanno dalla posizione 0 alla posizione m-1, quindi la tabella e’ un array fino m-1 posizioni. Ha come dominio l’insieme delle chiavi e come condominio le posizioni da 0 a m-1. Quello che rovina l’idea è che due chiavi possono andare a collidere nella stessa posizione. Visto che cardinalita’=|U|>m=dimensione tabella, prima o poi avremo una collisione.

Chiaramente se in una tabella devo mettere m/2 indirizzi le collisioni non per forza devo esserci ma devo calcolare lo stesso una funzione hash ‘perfetta’ che eviti, ovvero gestisca, le collisioni.[esempio del paradosso dei compleanni, bastano 23 persone perche’ probabilita’ di collisione di due persone con lo stesso compleanno sia maggiore nella non-collisione, ovvero supera ½ nella ipotesi di distribuzione omogenea/uniforme dei compleanni].

Le collisioni si gestiscono facilmente con le liste concatenate (Metodo Concatenazione) presenti ad ogni posizione. Nelle posizioni vuote metto un puntatore a NIL mentre nelle altre un puntatore a una lista anche nel caso ci fosse un solo elemento. La cancellazione viene fatta in tempo costante O(1) se abbiamo accesso direttamente all’elemento se invece abbiamo accesso solo alla chiave dobbiamo cercare l’elemento. Poi dopo la cancellazione dobbiamo attaccare successore a predecessore per riunire la lista. Nell’assunzione che le liste non siano troppo lunghe possiamo lasciarle non-ordinate ed inserire sempre in testa, inserendo in tempo costante O(1).

Passiamo ora all’analisi di hashing con concatenazione ovvero quanto saranno lunghe le liste e la ricerca.
Le prestazioni di carico dipendono unicamente dal fattore di carico Alpha. Ovvero il numero medio di elementi immagazzinati in una posizione della tabella. Non importa la dimensione della tabella poiché basta guardare il fattore di carico. Inoltre tabelle con dimensioni molto diverse possono avere lo stesso fattore di carico e quindi le stesse prestazioni, paradossale?!

Nel caso peggiore le prestazione della tabella hash con concatenamento sono ‘terribili’: perche’ tutte le chiavi vanno a finire nello stesso slot creando una lista lunga n e quindi l’ordine di ricerca è Θ(n).
Nel caso migliore la chiave si trova al primo colpo quindi banale.
Nel caso medio entra in gioco il fattore di carico, asintotico alla lunghezza della catena. Le prestazioni della funzione hash nel caso medio dipendono da come la funzione dispone le chiavi bene negli m slot, indipendentemente da dove sono messi gli altri elementi. Questa ipotesi viene chiamata ipotesi dell’uniformità semplice dell’hash. Ovvero in una tabella di m posizioni una chiave ha probabilità 1/m di andare a finire in ogni posizione.

Theorem 12.1&12.2 In una tabella hash in cui le collisioni sono risolte per concatenazione una ricerca senza successo richiede tempo dell’ordine di Θ(1+α) nel caso medio (dobbiamo passare tutta la lista), assumendo l’ipotesi dell’uniformità semplice della funzione hash.
Cosa vuol dire Θ(1 + α)? E’ costante o no? Se α è costante allora il tempo è costante ma se α cresce anche il tempo medio di ricerca cresce. Il ‘+1’ si comporta come ‘or logico’ vuol dire che il tempo è costante oppure cresce come α. Esempio il caso in cui α è < 1 il tempo è costante.
In una tabella hash in cui le collisioni sono risolte con il concatenamento una ricerca con successo richiede tempo dell’ordine di Θ(1+α) nel caso medio (mediamente non passiamo tutta la tabella, mediamente meta’ della lista) , assumendo l’ipotesi dell’uniformità semplice.

Quindi le ricerche in tabelle con liste (concatenate e non) e’ sempre Θ(1+α).

Sara’ come nel caso medio anche per l’alternativa alle liste concatenate definita ad indirizzamento aperto (Open addressing). Le tabelle hash sono sempre pensate come circolari, quindi le posizioni in fondo non sono svantaggiate rispetto alle prime.

=== LEZIONE 26di42 del 28/Novembre/2003 ===

Riepilogo dell'hash con concatenazione: la complessità media è sempre Θ(1+α) (testo §12.2).
Nota: si può saltare la dimostrazione del teorema 12.2 (basta pensare che mediamente si percorre mezza lista, dunque di lunghezza α/2). Contrariamente a quel che dice il libro, conviene pensare α come una variabile che può crescere all'infinito (se continuo a inserire dati in una tabella di dimensione fissa...), e interpretare Θ(1+α) come: il tempo o è costante Θ(1) o cresce come α.
Le collisioni cominciano presto: si veda il paradosso del compleanno (testo §6.6.1).
Funzioni hash (testo §12.3: non è richiesta la procedura descritta nella figura 2.4, si rifletta piuttosto su quante cifre decimali deve avere la costante A. Solo un cenno all'hash universale: pagina 216). Hash per divisione.Indirizzamento aperto.

Riassunto sulle tabelle Hash. L'idea delle tabelle hash è di avere un universo di chiavi molto grande, un insieme di ‘chiavi effettivo’ piccolo e di costruirsi una tabella che ‘mappa’ le chiavi, la quale tipicamente indicizzeremo con posizioni da 0 a m-1 ed è , in qulche modo, proporzionale al numero degli elementi che intendiamo inserirci. Può essere più grande o più piccola, poiche’ useremo un calcolo dell’indirizzo partendo dalle chiavi iniziali. Funzioni per ricerca, inserimento o cancellazioni sono semplici.
Si possono riorganizzare/ristrutturare le liste in modo tale da ridurre il tempo di ricerca nelle ricerche successive anche senza ordinarla? Se accediamo a un determinato elemento può darsi che lo abbiamo ricercato poiché è particolarmente importante ed è quindi possibile che ci si debba accedere più volte successivamente. Lo porto così sulla testa della lista cancellandolo dalla vecchia posizione, con la speranza che il record in questo modo sia immediatamente accessibile. Sostanzialmente è il principio della cache.

Vediamo ora come costruire concretamente una funzione Hash e Gestione collisioni.

Per fare una buona funzione hash ogni chiave deve corrispondere a ciascuna delle m posizioni in modo equamente probabile. Una buona funzione hash dovrebbe quanto meno soddisfare l’assunzione dell’uniformità semplice.
Sebbene ci si debba convincere che le collisioni non siano un fenomeno patologico ci si deve anche convincere che bastano poche chiavi per far verificare le collisioni. A questo proposito possiamo utilizzare il paradosso del compleanno (§6.6.1), dove con k≥23 persone la probabilita’ di collisioni sullo stesso giorno e’>½

Problema. Che cosa facciamo se la chiave che dobbiamo trasformare in un indirizzo è troppo lunga?
1. Se la chiave non è numerica cosa succede? Non ci interessa molto anche perché la rappresentazione dei caratteri, dati non numerici, è binaria e quindi non ci sono particolari problemi.
2. Se la chiave è troppo lunga per ridurre il numero delle cifre basta non prenderle tutte! Si scelgono le parti della chiave che variano maggiormente e che quindi individuano la chiave. Di sicuro su tantissime cifre ci saranno dati ridondanti. Per esempio nel codice fiscale (16 caratteri) la parte numerica che individua la città è uguale per tutti quindi posso escluderla.
3. Se non so quali sono le parti che cambiano maggiormente posso prendere tutti i bit e li "ripiego" su se stessi più volte con funzioni che abbiano senso su singoli bit ad esempio con funzioni AND ed OR anche se non vanno bene perche’ così vengono fuori o tutti 0 o tutti 1. Quindi ci vuole una funzione booleana che privilegi sia 0 che 1; ad esempio ‘or esculsivo’ XOR.Tecnica del folding.

Metodo della Divisione (per realizzare la funzione Hash).

Metodo piu’ semplice per ottenere indirizzo nell’intervallo 0-1 e’ prendere la chiave, calcolarla/convertirla modulo m dove m e’ la dimensione della tabella. E dove m e’ il resto della divisione. Per definire la funzione hash si fa corrispondere una chiave k a una delle m posizioni, prendendo il resto della divisione di k per m.
Dovrei/devo scegliere la dimensione di m in anticipito sulla funzione hash. Buoni valori per m sono numeri primi non troppo vicini alle potenze di 2. Perché? Più avanti c’è un esempio in cui si vede perché è meglio scegliere dei valori primi. In generale però non è detto che vada bene così, meglio prendere cifre meno significative che cambiano piu’ spesso, esempio numeri matricola.
Il difetto del metodo di divisione mappa chiavi vicine in posizioni vicine, quindi non le disperde molto. Se usiamo il metodo di indirizzamento aperto allora questo è un problema. Infatti ci saranno pezzi di tabella vuoti altri molto occupati. Come faccio a risolverlo/migliorarlo? Moltiplico le chiavi ‘iniziale’ per una costante opportuna che poi sarà la distanza tra gli indirizzi (per esempio 11*#matricola).

Metodo della Moltiplicazione (per realizzare la funzione Hash).

Il metodo della moltiplicazione funziona in due parti:
1.Moltiplico la chiave k per una costante 0<A<1, quindi costante frazionaria.
2.Tolgo la parte frazionaria di kA e moltiplico il valore per m e prendiamo la base del risultato. La funzione hash si esprime così: h(k) = ëm(kA mod 1)û dove ( kA mod 1 ) è la parte frazionaria di kA. A questo punto posso usare anche m potenza di 2, m=2*integer.
La costante A come deve essere scelta? Deve essere scelta in modo adeguato perche’ se viene scelta male il numero di collisioni sarà elevato. Si deve scegliere A in modo tale che abbia un numero ragionevole/limitato di cifre decimali (almeno una decina, magari non regolari,…).

Hash Universale ( Solo cenni senza entrare in dettaglio. Non chiesta all’esame)
Se un avversario malintenzionato, che vuol far andar male le cose, dovesse scegliere le chiavi da essere messe in una tabella hash potrebbe scegliere le chiavi che vanno tutte a finire in uno stesso slot. Per esempio basta sapere qual è il modulo della funzione hash e prendere le chiavi di modo tale che escano multipli della posizione. Come si fa a far andar bene il benchmark/test anche se l’avversario conosce la funzione hash ed il modulo ? Si deve usare la funzione hash in modo casuale (come con quicksort), con un generatore pseudo casuale. Questo approccio detto dell’Hash Universale da risultati in media buoni.

§12.4 Indirizzamento Aperto.

Nell'indirizzamento aperto tutti gli elementi della tabella sono memorizzati nella tabella stessa e non in liste concatenate esterne. Aperto perche’ a fronte dell’indirizzo della funzione hash dobbiamo calcolare l’indirizzo effettivo in cui cercare la chiave.
Cioè ogni elemento della tabella contiene un elemento dell'insieme dinamico (chiave) oppure NIL, ovvero non ci sono puntatori. Può esserci anche una terza cosa: se una posizione è stata prima occupata e poi cancellata ci devo mettere dentro NIL oppure qualcosa di differente? Contrassegno diverso da NIL.
Supponiamo una scansione linerare, pensiamo di avere una chiave che va messa alla posizione 30. Nella posizione 30 c’è però memorizzata un’altra chiave e quindi passo alla posizione 31. La posizione 31 è occupata e quindi passo alla 32 che essendo libera mi permette di memorizzare la chiave. Poniamo il caso che poi la chiave alla posizione 31 venga cancellata e che ci venga inserito NIL. Quando cerco la chiave in posizione 32 arrivo alla posizione 30 non trovo la chiave e passo alla posizione 31. Ma lì ci trovo NIL e quindi interrompo la ricerca poiché altrimenti ci avrei messo la chiave che invece è ancora in posizione 32. E quindi al posto di NIL ci dovrò mettere un’altra cosa, un contrassegno diverso per la cancellazione, poiche’ queste posizioni cancellate possono essere usate per inserire e saltate nella ricerca.
Abbiamo una Gestione Ibrida quando mettiamo le concatenzioni all’interno della tabella stessa, ma e’ un approccio confuso.
Inoltre l’ordine di scansione non avviene necessariamente con modalita’ lineare, il punto di partenza dipende dalla chiave calcolata dalla funzione hash.
Con il metodo dell’indirizzamento aperto richiediamo che per ogni chiavi k la sequenza di scansione sia una permutazione delle posizioni, comunque visitando tutte le posizioni senza saltarne alcuna. La permutazione/scansione dipende dalla funzione hash e da un ulteriore parametro che rappresenta il numero di tentativi per cercare la chiave oppure la posizione libera, ecco il parametro i=indice di tentativo della ricerca.

=== LEZIONE 27di42 del 2/Dicembre/2003 ===

Indirizzamento aperto (testo §12.4).
Scansione lineare, quadratica ed hashing doppio (testo §12.4 e problema 12-4).
Analisi dell'hash ad indirizzamento aperto (teorema 12.5 del testo).

§12.4 Indirizzamento Aperto. (continua)

Nell'indirizzamento aperto tutti gli elementi sono memorizzati nella stessa tabella hash [quindi senza liste concatenate]. In pratica ogni elemento della tabella contiene una chiave oppure NIL oppure un contrassegno che dice se quella posizione è stata cancellata/liberata. Nell'indirizzamento aperto non si usano i puntatori [alle liste esterne], risparmiando spazio ma dobbiamo includere tutti gli elementi nella tabella e non nelle liste concatenate. [La ricerca senza successo termina quando si arriva a una posizione vuota. La memoria extra liberata dai puntatori permette di utilizzare più posizioni nella tabella consentendo poche collisioni e un recupero più veloce. Per inserire un elemento nella tabella si fa una scansione e si inserisce l'elemento in una posizione libera.]
Quindi per gestire/risolvere le collisioni invece di seguire i puntatori alle liste si deve calcolare la sequenza di posizioni da esaminare. E calcolare l’indirizzo desiderato a partire da quello della funzione hash, partiamo da questo indirizzo e poi seguendo una sequenza di scansione andremo ad esaminare le posizioni ‘successive’. Quindi senza avere un ordine fisso, l’ordine dipendera’ dal metodo di scansione e dalla chiave di partenza.
La funzione hash dipendera’ quindi anche dal parametro ‘i’ che indica il numero di tentativi fatti fino al determinato momento. La funzione hash si puo’ quindi dire in ‘k’ ed ‘i’: h(k,i).
Ed abbiamo: Algoritmo/codice per Inserimento fino a NIL quindi posizione libera oppure fine tabella con overflow. Algoritmo/codice per Ricerca fino a elemento ricercato nel caso positivo oppure posizione vuota/fine tabella per ricerca negativa. Algoritmo/codice per Cancellazione corrisponde a ricerca con inserimento del contrassegno di cancellazione.

I tempi per la ricerca non dipendono solo dal fattore di carico (per esempio le posizioni cancellate vanno comunque scandite/computate)...

L’Ipotesi dell’uniformita’ nell’hashing nel caso di indirizzamento aperto significa che le possibili scansioni della tabella hanno tutte probabilita’ 1/m! (dove m! sono tutte le possibili permutazioni della tabella stessa). In realta’ questo non succede, i tre metodi presentati hanno due m possibili sequenze ed il migliore m2; comunque le prestazioni non sono molto lontane.

Le tre tecniche utilizzate per calcolare la scansione sono: scansione lineare, quadratica ed hashing doppio. Tecniche che dovrebbero garantire che la sequenza ottenuta sia una permutazione delle posizioni della tabella, la migliore dal punto di vista dell’uniformita’ e’ il doppio hashing con m2 sequenze.

Hash ad indirizzamento aperto. Dopo ‘i’ tentativi la funzione e’ rapprensentabile come:

h(k,i) = [h’(k) + f(i) h’’(k)]mod m, con h’ h’’ due funzioni hash, e con i casi:

caso 1. scansione lineare: f(i)=i and h’’=1 [cioe’ h’’ non esiste, e’ costante] -> h(k,i)=[h’(k)+i] mod m
Quindi visitiamo tutta la tabella ed occupiamo/addensiamo la tabella ‘contiguamente’, vedi agglomerazione. Avro’ m possibili sequenze/scansioni partendo dalla posizione iniziale. Facile da implementare ma soffre di clustering/agglomerazione che incrementa il tempo di ricerca.

caso 2 scansione quadratica: dove f(i) e’ quadratica per esempio i2, tipo ‘canguro’ con il rischio di ripetere salti oppure saltare posizioni. Prob12.4 esempio che permette di passare tutta le posizioni una ed una sola volta. Funziona meglio della scansione lineare, ma per coprire tutta la tabella siamo vincolati sui parametri c1, c2 dove m e’ potenza di 2 [m=2*integer] e prendiamo c1 e c2 entrambi uguali ad ½. Dove le sequenze di scansione sono soltanto m [dipende solo dal punto di inizio] e non m!, con agglomerazione chiamata secondaria.

caso 3. hashing doppio: con f(i)=i and h’’=h2(k) con una reale seconda funzione hash, molto probabilmente torneremo al punto di partenza senza visitare tutta la tabella. Il problema nasce quando mi sposto di una quantita’ che e‘ un divisore della dimensione della tabella, o piu’ in generale quando la dimensione della tabella e quella dello spostamento hanno divisori in comune. Per risolverlo possiamo cambiare la dimensione della tabella, per esempio con numero primo. Ho due funzioni che definiscono punto di inizio/partenza e spostamento/scostamento ed entrambi dipendono da chiave iniziale. Esempio Fig.12.5. E’ un miglioramento su hash quadratico perche’ ci sono circa n2 possibili permutazioni.

Analisi dei metodi di hash con indirizzamento aperto.
Cosi come nei metodi di concatenazione tutto dipende dal fattore di carico alpha α, in particolare nel caso medio. Nel caso peggiore siamo nell’ordine di n, per ricerche con successo ed anche per non-successo.
Nell’indirizzamento aperto abbiamo un elemento per posizione quindi n<m, e α= <1; dove ci sara’ sempre una posizione vuota, per non avere ricerche che vadano all’infinito.
Theo.12.5 Il numero atteso di accessi alla tabella nel caso di ricerca senza-successo e’

=== LEZIONE 28di42 del 4/Dicembre/2003 ===

Alberi binari di ricerca (ABR) e ricerche in un albero binario di ricerca.
Algoritmi di visita degli alberi (inclusa la visita per livelli: § 13.1).
Alberi binari di ricerca:se figlio sx è < del padre e ogni figlio dx è > non è necessariamente di ricerca! (§ 13.1).

Fino al 42:00 Riassunto lezione precedente.
Teo.12.5 Numero medio di accesso per ricerca nei metodi hash ad indirizzamento aperto [con ipotesi uniformita’]:
- caso successo: ; [logaritmo naturale] con α<1;se α=1 allora numero accessi=(m+1)/2
- caso senza-successo: α=n/m<1, allora numero atteso confronti=1/1-α; questo anche nel caso dell’inserimento
Terminiamo qui le tabelle hash.

Cap13. Alberi binari di ricerca.
Cosa da NON DIRE all'esame: nel caso peggiore un albero binario di ricerca richiede per una ricerca logn confronti (sciocchezza) dato che le operazioni base su un albero binario di ricerca richiedono tempo proporzionale alla lunghezza dell'albero (che potrebbe essere n).
Mentre e’ vero che se un albero ha tutti i nodi ovvero è completo ed è bilanciato allora le operazioni vengono fatte in tempi dell’ordine di Θ(logn). Il caso peggiore è quello in cui ogni nodo ha solo un figlio tranne l’ultimo cioè quando è una foglia. Questo albero è rappresentato con un ramo (catena lineare di n nodi, albero con una sola foglia) e i tempi sono nell’ordine di Θ(n) mentre la costruzione di un ramo richiede tempo quadratico sempre per la somma di Gauss. Per evitare il caso peggiore vedremo successivamente le tecniche di bilanciamento. L’altezza di un albero binario di ricerca costruito “a caso” è nell’ordine di O(logn).

Alberi binari di ricerca (ABR): sono strutture di dati che consentono tutte le operazioni su insiemi dinamici. Si hanno sia le prestazioni di un dizionario sia quelle di una coda con priorita’. Un albero in cui ogni figlio sinistro è minore del padre e ogni figlio destro è maggiore NON è necessariamente di ricerca! Si deve usare la parola sottoalbero.
Un albero binario di ricerca è un albero binario in cui le chiavi sono sempre memorizzate di modo tale da soddisfare la proprietà dell'albero binario di ricerca. Ovvero, se x è un nodo in un ABR e y è un nodo del sottoalbero sinistro allora y deve essere minore o uguale a x. Se y è un nodo del sottoalbero destro allora è maggiore o uguale di x. Quindi questo vale per ogni sottoalbero sx e dx e non solo per i singoli nodi, vedi esempio 10-20.
Modalita’ di visita degli alberi, di ricerca e non, binari e non:
- in pre-ordine (ordine anticipato; Radice Sx Dx) ovvero si elencano/elaborano i nodi appena si incontrano andando dall’alto al basso da sx a dx (verso sinistra), ricorda esempio labirinto.
- in post-ordine (ordine differito; SDR) elenco i nodi quando li lascio, prima i nodi di sinistra poi quelli di destra e poi la radice.Quindi dal basso verso l’alto, da sx a dx, dalle foglie alla radice.
- in-ordine (ordine simmetrico, per alberi binari, SRD) prima nodo di sinistra poi radice poi nodo di destra.Facciamo la proiezione dell’albero, e viene fuori una lista ordinata dei nodi.
- per livelli: la radice poi il primo livello da sx a dx, seguito dal secondo livello da sx a dx, etc
Le procedure ricorsive sono particolarmente adatte in queste viste, soprattutto per in-ordine ma anche per pre/post ordine.
Le chiavi uguali sul libro vengono messe a destra ma questa cosa va bene? Se cominciamo a mettere le chiavi uguali solo da una parte si rischierebbe di avere un albero bilanciato sulla destra e così è meglio metterle da entrambe le parti. Un albero bilanciato è un albero in cui il numero dei nodi a sinistra è uguale a quello dei nodi a destra. Decidiamo se mettere le chiavi uguali a sx oppure a dx?Dipende perche’ sbilancia l’albero ma e’ piu’ facile cercare le chiavi uguali.

§ 13.2 Ricerche in un albero binario di ricerca
Prendiamo un ABR e consideriamo un nodo ad esempio prendiamo la radice. Dove trovo il predecessore e il successore (e’ il successore nella visita in ordine simmetrico)? Il successore è il minimo del sottoalbero destro. Se non ci fosse il sottoalbero destro allora devo risalire fino a quando si trova un nodo che è il massimo del sottoalbero in cui c’è il nodo di cui si vuole trovare il successore.
In un albero di ricerca il minimo è la foglia + a sx ed il massimo quella a + a dx. La ricerca di un elemento è molto semplice dato che partendo dalla radice confronto le chiavi e decido se scendere a destra o sinistra.La complessita’ della ricerca e’ O(h) ovvero O(altezza dell’albero, logn).

=== LEZIONE 29di42 del 5/Dicembre/2003 ===

Operazioni sugli alberi binari di ricerca (inserimento e cancellazione: § 13.2 e 13.3).
Alberi lessicografici, alberi Tries.
Per l'esercizio 13.4-2 e problema 13-4 (sui numeri di Catalan si può consultare per esempio http://www.geometer.org/mathcircles/catalan.pdf oppure http://www.maths.usyd.edu.au:8000/u/kooc/catalan.html)

Tornando agli alberi binari di ricerca vediamo come fare l’Inserimento:se la chiave da inserire è minore basta scendere a sx, oppure dx se maggiore; il caso e’ semplice poiche’ si inserisce sempre una foglia con puntatore a NIL. Il numero di confronti è O(h), rispetto all'altezza dell'albero.

La cancellazione è più difficile poiche’ devo ri-ottenere sempre la struttura e le proprieta’ dell’albero e quindi devo stare attento a quello che c’è sotto il nodo che cancello.
Quando cancello un nodo che è la radice di un sottoalbero devo ripristinare le proprietà del sottoalbero e quindi dovrò mettere il successore rispetto a quel nodo. Ci sono tre casi Fig.13.4:
a. il nodo e’ una foglia quindi si cancella inserendo il puntatore NIL nel padre del nodo da canc.
b. il nodo ha un solo figlio [e’ come una lista] quindi si collega il padre ad il figlio del nodo da canc.
c. il nodo ha due figli si sostiuisce il successore al nodo da canc.mantenendo la proprieta’. Il successore è il minimo del sottoalbero destro. Se non ci fosse il sottoalbero destro allora devo risalire fino a quando si trova un nodo che è il massimo del sottoalbero in cui c’è il nodo di cui si vuole trovare il successore.[Nel ns caso di alberi binari il sottoalbero dx c’e’ oppure siamo in una foglia]
Anche la cancellazione, cosi come inserimento, viene fatta in tempo O(h) su un albero binario di ricerca di altezza h, dove h=O(logn). Quanti sono gli alberi con n nodi (binari e non)?Difficile da calcolarare.

Alberi lessicografici (Radix trees, Alberi stringa): rispettano l’ordine lessicografico, date due stringhe ‘a’, ‘b’ di caratteri di lunghezza p1, p2 dove i caratteri sono ordinati. Possiamo dire che ‘a’ lessicograficamente precede/minore di ‘b’ se i simboli in ‘a’ da un certo punto in poi sono < di b oppure ‘a’ e’ piu’ corta di ‘b’. Sono strutture alberi utili per fare ricerca, tipicamente ricerca digitale dove la ricerca non e’ per confronti ma per digit/bit. Buon metodo perche’ confronta bit, ovvero la lunghezza della chiave.

Alberi tries (pron:trais, da retrieval): sono strutture ad albero per la ricerca digitale seguendo i bit. Riferimento ad Alberi Patricia.

Riprendiamo il Problema dei conigli [Fibonacci],[inoltre c’e’ connessione tra il problema e gli alberi]:
“Se una coppia di conigli matura in un mese e genera una nuova coppia ogni mese successivo, quante coppie ci saranno in un anno, partendo da una coppia giovane?”
Mese: 1 2 3 4...
Coppie: 1 1 2 3...

Ed allora valgono le relazioni di ricorrenza con g=giovani ed m=maturi dove:

- g(0) = 1; m(0) = 0
- g(k) = m(k-1); per k>0 le coppie di conigli giovani al tempo k sono tante quante le coppie di conigli maturi al tempo k-1;perche’ ogni coppia di conigli maturi genera una coppia di conigli giovani
- m(k) = m(k-1) + g(k-1); per k>0

Concretamente si rappresenta con un albero delle coppie a 12 mesi, dove fare attenzione per non fare tante operazioni quanti sono i conigli.
Per il problema dei conigli guardiamo la serie di Fibonacci dove ogni argomento e’ la somma dei due precedenti oltre le condizioni iniziali :con f(0)=0 f(1)=1 quindi f(k)=f(k-1) + f(k-2).

=== LEZIONE 30di42 del 9/Dicembre/2003 ===

Cenni alberi AVL. Alberi lessicografici (prob 13-2).
Calcolo n-esimo numero Fibonacci. Cenni Eulero-Binet.
Gli RB-alberi, anche come estensioni di strutture dati (introduzione cap.15 + § 14.; appunti “A proposito degli Alberi rosso/neri”).http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/note.html

Concludere discorso sui nomeri di Fibonacci collegandoli agli Alberi AVL (AVL dal nome dei creatori,1962). Questi alberi erano il primo esempio in letteratura di alberi di ricerca bilanciati. Dove bilanciati significa che per ogni nodo x la differenza del sottoalbero sx e dx e’ max 1,
...
L’albero AVL th con il minimo numero di nodi ed altezza h puo’ essere espresso con una relazione di ricorrenza che richiama quella dei numeri di Fibonacci a meno di una costante 1[la radice]: th=th-1 + th-2 + 1, dove t-1=0 e t0=1. Nel caso contassimo le foglie sarebbe ancora piu’ evidente fh=fh-1 + fh-2 dove fo=f1=1
...
Un esempio e’ l’albero di ricorrenza dei conigli (api secondo Knuth).Figli sx sono m=maturi, figli dx sono g=giovani. Ed i figli dx hanno solo figli sx.In questo modo associamo all’albero stringhe binarie 0,1 dove non ci sono mai due 1 consecutivi (due volte un figlio dx che non abbiamo).
I numeri di fibonacci contano anche le stringe binarie di lunghezza n che non contengono due 1 consecutivi, e quindi sono < di 2n. Quindi i numeri di Fibonacci crescono meno di 2n.
Ora vediamo come ricavare l’n-esimo numero di Fibonacci con una formula ‘chiusa’, senza fare n passaggi. Prima di proseguire risolviamo il problema del Calcolo della potenza ennesima di una matrice/altro.

Per il calcolo efficiente [O(logn)] di Xn definisco di seguito con n>=1:
f(1)=x, per esempio x e’ una matrice oppure una base od altro
f(2n)=[f(n)]2
f(2n+1)=x f(2n)

Faccio cosi un numero di passi dell’ordine del logn, per esempio per calcolare x15 devo fare 6 passi con le catene binarie che non sono ottime, oppure in 5 passi con catena migliore. Calcolando il risultato come somma di valori precedenti. Numero di operazoni e’ comunque dell’ordine di logn.
...
Quindi se potessimo calcolaci l’n-esimo numero di Fibonacci con il prodotto invece delle somme potremmo sperare di calcolarlo in tempo logaritmico invece di lineare, anche se questo metodo funziona solo se l’n rimane costante come per esempio in nn mentre non funziona quando n cambia come in n![fattoriale].

C’e’ quindi un metodo omogeneo di procedere per calcolare l’n-esimo numero di Fibonacci per prodotti? Si, usando il prodotto di matrici, e quindi con numero di operazioni dell’ordine di logn,Θ(logn). Questo metodo e’ utile per calcolare delle potenze anche grandi in maniera efficiente.

Prob.4.6.Ora vediamo come migliorare il risultato riscoprendo La formula di Eulero (1765)-Binet (1843) ricavata elementarmente.

Partiamo dalla definizione dei numeri di Fibonacci: f(0) = 0, f(1) = 1, f(n) = f(n – 1) + f(n – 2) per n > 1 (*)

1) f(n) = f(n – 1) + f(n – 2) ≤ 2 f(n – 1) per n abbastanza grande (di fatto, per n > 1): il metodo iterativo ci dà quindi: f(n) ≤ 2 f(n – 1) ≤ 2 · 2 · f(n – 2) ≤ … ≤ 2k f(n – k) ≤ … ≤ 2n-1 f(1), ovvero limtatata superioremente f(n) = O(2n).

2) Ma non può essere per esempio se fosse f(n) = c · 2n, perché per la ricorrenza dovrebbe essere c · 2n = c · 2n-1 + c · 2n-2 = 3 c · 2n-2 dà 4 c = 3 c, vero solo per c = 0; ed in questo caso non ottengo quello che voglio.Quindi la base non e’ due.
Esiste invece una base Φ≠ 2 per cui valga (*) ? La risposta e’ si, anzi esistono due basi Φ. Vediamo di ricavarli:
Dovrà valere c · Φn = c · Φn-1 + c · Φn-2, c posso semplificarlo,ossia Φ2 = Φ + 1 (**) che ha soluzioni Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 (Φ = chiamato rapporto aureo)e Φ' = (1 – √5)/2 ≈ – 0.618. Troppa grazie abbiamo due basi che cercheremo di combinare.

3) Infatti, se prendiamo f(n) = c · Φn + c' · Φ’n, abbiamo 2 costanti c e c' a disposizione per i due valori iniziali f(0) = c + c' = 0 e f(1) = c · Φ + c' · Φ' = 1. Dalla prima ricaviamo c' = – c, dalla seconda f(1) = c · (Φ – Φ') = 1 ricaviamo c = 1/√5, dato che Φ – Φ' = √5. Dunque l’n-esimo numero di Fibonacci: f(n) = 1/√5 (Φn – Φ’n) che è la formula cercata di Eulero-Binet.

4) In conclusione come cresce f(n), f(n) = Θ(Φn), e anche f(n) =ë 0.5 + Φn /√5 û, dato che |Φ’n| < 1, Φ’n → 0 e i segni si alternano.

5) Come mai 1/√5 (Φn – Φ’n) è sempre esattamente intero? A causa dell'equazione (**)Φ2 = Φ + 1, che conviene interpretare come riscrittura Φ2 → Φ + 1. Quindi posso ‘abbassare’ la potenza di Φ riportandola sempre a 1.
Φ3 = Φ2 · Φ = (Φ + 1) · Φ = Φ2 + Φ = (Φ + 1) + Φ = 2 Φ + 1,
Φ4 = Φ3 · Φ = (2 Φ + 1) · Φ = 2 Φ2 + Φ = 2 (Φ + 1) + Φ = 3 Φ + 2, …
in generale Φn = x Φ + y con x e y interi positivi (che, per inciso, sono due numeri di Fibonacci consecutivi), e la stessa cosa vale per l'altra soluzione di (**),Φ’n = x Φ' + y, con gli stessi interi x e y.
Ne consegue che Φn – Φ’n = x Φ + y – (x Φ' + y) = x (Φ – Φ') = x√5 e quindi che 1/√5 (Φn – Φ’n) = x è intero (e x = f(n)).

6) L'equazione (**) può essere interpretata come Φ → 1 + 1/Φ e iterando questa riscrittura abbiamo Φ = 1 + 1/Φ = 1 + 1/(1 + 1/Φ) = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/Φ)) = … che esprime Φ come una frazione continua con infiniti quozienti tutti uguali a 1 (si veda, per esempio, la pagina web:
math.unifi.it/~mugelli/promat/diofanto/fracont.htm).

7) Interpretando invece (**) come Φ → √(1 + Φ) otteniamo Φ = √(1 + Φ) = √(1 + √(1 + Φ)) = √(1 + √(1 + √(1 + Φ))) = …, un altro modo di ottenere il rapporto aureo

Questo era il modo elementare per ricavare la fomulare di Eulero-Binet cioe’ una formula chiusa per i numeri di Fibonacci. Sul libro viene svolta utilizzando una Funzione generatrice, ovvero un artificio potente per rappresentare una successione (in questo caso i numeri di Fibonacci).
...

Cap.14 Prossimo argomento ovvero, alberi binari di ricerca bilanciati piu’ semplici dei suddetti Alberi AVL.
Alberi Red Black. E' un albero [pienamente] binario di ricerca con in più un bit che rappresenta il colore. Quindi nodi colorati rosso/neri con determinati vincoli che vengono ripristinati con regolarita’ per bilanciare l’albero in maniera soddisfaciente con un numero costante di operazioni, dopo singolo sbilanciamento. E’ una tecnica per tenere bilanciato l’albero mantenendo una altezza dell’ordine di O(logn).
Si sono sviluppati dagli alberi ‘2-3-4’. La colorazione e’ un artificio per definire vincoli interni all’albero, legami rossi sono interni ai ‘maxi-nodi’ e i legami neri sono quelli esterni. Gli alberi RB assicurano che lo sbilanciamento (per bilanciamento intendiamo la lunghezza di ogni cammino) al massimo è di un fattore due. Quindi il rapporto tra il ramo più corto e quello più lungo non supera 2.

Per mantenere il bilanciamento, con il suddetto fattore doppio, ci sono dei vincoli legati a queste 4 proprietà:
1 - Ogni nodo è rosso o nero
2 - Ogni foglia è nera [quindi i nodi puntati da NIL sono una sentinella, con campo colore nero]
3 - Se un nodo è rosso allora entrambi i suoi figli sono neri.
4 - Ogni cammino semplice da un nodo a una foglia, che sia sua discendente, contiene lo stesso numero di nodi neri. Proprieta’ del bilanciamento. Quindi chi sbilancia l’albero sono/sarebbero i nodi rossi.

I figli di un nodo rosso sono sempre due per rispettare la proprietà quattro/4 e sono sempre neri poiché è un albero pienamente binario. La Black-Altezza è il numero dei nodi neri contenuti in un albero, e’ ben definita poiche’ e’ costante per un qualsiasi cammino.

=== LEZIONE 31di42 del 11/Dicembre/2003 ===

Cenni Numeri di Catalan.
Operazioni sugli RB-alberi (§§14.2 e 14.3: le cancellazioni (§14.4) si possono saltare; sapere quando basta una rotazione e quando ne occorrono due)Appunti “A proposito degli Alberi rosso/neri”).http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/note.html

Cominciamo confrontando il numero di alberi binari con n nodi, con la formula dei conigli di Fibonacci. Il libro usa il concetto utile di funzione generatrice per ricavare l'ennesimo numero di Fibonacci. In particolare e’ l’idea di rappresentare mediante una serie di potenze l’intera sequenza di numeri che ci interessano, una funzione generatrice in questo caso dei numeri di Catalan. Dal punto di vista del tipo e forma si chiamano anche come serie di potenze formali, dove ci interessano solo i coefficienti.

Il bello e’ che spesso l’equazione funzionale si puo’ scrivere ‘al volo’ con un po’ di esperienza, nel caso di Fibonacci la funzione generetrice deve rispettare la seguente equazione funzionale:

relazione ricorrenza: Fi = Fi-1 + Fi-2
riscrivibile con potenze di z: Fi zi=z Fi-1 zi-1 + z2 Fi-2 zi-2
...
...

Torniamo agli Alberi. Premessa: con l’approccio elementare alla formula di Eulero-Binet, ci eravamo chiesti quale era la base Φ che andava bene per esprimere la crescita dell’n-esimo numero di Fibonacci, non cresce come 2n. Se cerchiamo di fare la stessa cosa con gli alberi binari di n nodi non ci si riesce.

Invece il metodo della funzione generatrice funziona molto bene. Problema 13.4.
...
...
I numeri di Catalan ci dicono quanti sono gli alberi binari con n nodi. Ed e’ ovviamente sempre intero anche se non evidente. Il numero di alberi con n nodi cresce quasi come 4n, crescita esponenziale.
...
...
Riferimento a Teoria delle Specie: modo elegante di interpretare le strutture combinatorie che possono formalizzare le equazioni funzionali suddette.
...
...
Tutto quanto suddetto per sostanziare come tutti gli alberi ricerca binari con n nodi fossero equiprobabili oppure equiprobabili le n! permutazione su cui costruire gli alberi.

Cap.14. Torniamo agli Alberi RB con colori per bilanciare albero. Dove la proprieta’ + importante e’ la quarta: “4 - Ogni cammino semplice da un nodo ad una foglia, che sia sua discendente, contiene lo stesso numero di nodi neri. Proprieta’ del bilanciamento. Quindi chi sbilancia l’albero sono/sarebbero i nodi rossi.”
Allora per non rovinare il bilanciamento ci serve la terza/3 proprieta’.

Ricordando uno degli esercizi: La proprietà 4 basta farla solo per la radice oppure per ogni nodo? Ovvero se vale per la radice vale anche per gli altri nodi o no? Si, xche’ La proprietà seguente: “ogni cammino semplice dalla radice a una foglia contiene lo stesso numero di nodi neri” implica la proprietà quattro/4 (a pagina 247) del libro (che si riferisce invece a un nodo qualsiasi).

Dimostrazione. Indichiamo con n(xy) il numero di nodi neri che si incontrano lungo il cammino da x a y (senza contare x). Siano r la radice e y e z due foglie qualsiasi: la nostra ipotesi è dunque n(ry) = n(rz). Se x è un qualsiasi nodo interno che ha y e z tra le foglie del sottoalbero di cui è radice, allora vale n(ry) = n(rx) + n(xy), grazie al fatto di aver escluso il nodo x dal computo di n(xy) (altrimenti lo conteremmo due volte, se x è nero). Mostriamo ora che dall’ipotesi discende n(xy) = n(xz). Infatti, n(ry) = n(rz) implica n(rx) + n(xy) = n(rx) + n(xz), dunque, semplificando n(rx), n(xy) = n(xz).

Da queste semplici proprieta’ discende il seguente Teo/Lemma 14.1: un albero RB con n nodi interni ha al massimo altezza 2log(n+1). Il prof. dice che non supera 2log(n).

Da “ A proposito degli Alberi Rosso-Neri” AA 2005/06:

1. La proprietà seguente: “ogni cammino semplice dalla radice ad una foglia contiene lo stesso numero di nodi neri” implica la proprietà 4 (a pagina 247) del libro (che si riferisce invece a un nodo qualsiasi).
Dimostrazione. Indichiamo con n(xy) il numero di nodi neri che si incontrano lungo il cammino da x a y (senza contare x). Siano r la radice e y e z due foglie qualsiasi: la nostra ipotesi è dunque n(ry) = n(rz). Se x è un qualsiasi nodo interno che ha y e z tra le foglie del sottoalbero di cui è radice, allora vale n(ry) = n(rx) + n(xy), grazie al fatto di aver escluso il nodo x dal computo di n(xy) (altrimenti lo conteremmo due volte, se x è nero). Mostriamo ora che dall’ipotesi discende n(xy) = n(xz). Infatti, n(ry) = n(rz) implica n(rx) + n(xy) = n(rx) + n(xz), dunque, semplificando n(rx), n(xy) = n(xz).

2. Vogliamo ora dimostrare che l’altezza di un albero rosso-nero con n nodi interni (n ≥ 2) non supera 2ëlog nû, migliorando così leggermente il risultato del lemma 14.1 del libro. Dimostreremo che il nostro limite è stretto (ossia non può essere ridotto, in generale) e anche qualcosa di più preciso, dopo aver caratterizzato gli alberi rosso-neri dal punto di vista combinatorio (ancora una volta tramite un linguaggio). Notiamo esplicitamente che intendiamo prescindere dalle proprietà degli alberi di ricerca: al solito, siamo interessati solo alla forma dell'albero, non al contenuto dei nodi.

Ciò premesso, gli alberi rosso-neri sono alberi pienamente binari (vedere la nota 2 su Grafi e alberi) con nodi interni neri, che rappresenteremo con n, nodi interni rossi, che rappresenteremo con r e nodi esterni (o foglie) neri, che rappresenteremo con f; i nodi esterni contribuiscono sia all’altezza sia alla altezza nera bh dell’albero.
Ci sono quattro alberi rosso-neri di base che chiameremo 1-nodo, 2-nodo, 3-nodo e 4-nodo, secondo il numero di nodi esterni. La terminologia si ispira a quella degli alberi 2-3-4: si veda Sedgewick (edizione 1993) §15.1.
L'1-nodo è l'albero rosso-nero costituito da un unico nodo esterno f e ha altezza 0.

Il 2-nodo è l'albero rosso-nero costituito da una radice nera e dai suoi due figli, nodi esterni: lo
indicheremo con la parola nff che si ottiene visitando l'albero ed elencando i nodi in ordine anticipato (vedi testo a pagina 215 e appunti Grafi e alberi a pagina 12). Il 2-nodo ha altezza e altezza nera uguali a 1.

I 3-nodi sono due, costituiti da una radice nera e da un figlio rosso, che può essere destro o sinistro, più i rispettivi nodi esterni: le parole corrispondenti sono nfrff e nrfff. I 3-nodi hanno altezza 2 e altezza nera 1.

Il 4-nodo è l'albero rosso-nero costituito da una radice nera, due figli rossi e quattro nodi esterni: nrffrff. Anche il 4-nodo, come il 3-nodo, ha altezza 2 e altezza nera 1.

Gli alberi rosso-neri, infine, sono tutti e soli gli alberi che si ottengono da un albero rosso-nero sostituendo simultaneamente tutti i suoi 1-nodi (nodi esterni) con 2-nodi, 3-nodi o 4-nodi. Gli alberi rosso-neri così definiti coincidono con gli alberi rosso-neri del testo perché i 2, 3 o 4-nodi hanno altezza nera 1 e la sostituzione degli 1-nodi con essi aumenta dunque di 1 la altezza nera dell'intero albero, mantenendo costante il numero di nodi neri lungo ciascun ramo. Inoltre, non è possibile creare nodi rossi con figli rossi, come prescritto dalla proprietà 4.

Per esempio, l'albero rosso-nero della figura 13.4(d) del testo è codificato (prescindendo dalle chiavi contenute nei nodi) dalla parola nr nff nrfff r nff nfrff, che si può ottenere semplicemente dal 4-nodo nr f f r f f con le sostituzioni delle f evidenziate dai colori (gli spazi servono solo ad agevolare la percezione dei diversi sottoalberi).

In altre parole, il linguaggio degli alberi rosso-neri è generato da f mediante il sistema di Lindenmayer non deterministico (ricordate i conigli – deterministici – di Fibonacci g → m e m → mg?) che prevede la riscrittura in parallelo di f come nff oppure nfrff oppure nrfff oppure nrffrff (sui sistemi di Lindenmayer, solitamente abbreviati in L-sistemi, si possono vedere i siti http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_3/lsys.html e http://en.wikipedia.org/wiki/Lindenmayer_system, tra i tanti).

A questo punto non sarebbe difficile contare i possibili alberi rosso-neri con dato numero di nodi interni o foglie (si veda il sito http://www.theory.cs.uvic.ca/~cos/inf/tree/RedBlackTree.html). Ma qui ci interessa invece stabilire il minimo numero n(h) di nodi interni che un albero rosso-nero di altezza h può avere. Grazie alla notazione introdotta precedentemente, tutto risulta molto semplice: per aumentare di 2 l'altezza (non l'altezza nera, che aumenta solo di 1) di un albero rosso-nero inserendo il minimo numero di nodi, basta trasformare un solo 1-nodo in un 3-nodo e tutti gli altri in 2-nodi. Se l'albero rosso-nero aveva il minimo numero n(h) di nodi per l'altezza h, l'albero rosso-nero ottenuto avrà il minimo numero di nodi n(h + 2) per l'altezza h + 2.

La trasformazione f → nff degli 1-nodi in 2-nodi viene fatta per tutte le foglie tranne una: le foglie sono n(h) + 1 (ricordate?), quindi queste trasformazioni aggiungono altri n(h) nodi interni (neri), mentre l’unica trasformazione f → nfrff o f → nrfff di una foglia in un 3-nodo aggiunge altri 2 nodi interni (un n e un r). Dunque n(h + 2) = 2 n(h) + 2, con le ovvie condizioni iniziali n(0) = 0 (l’1-nodo, che non ha nodi interni!) e n(1) = 1 (il 2-nodo).
La successione dei primi valori di n(h) è 0, 1, 2, 4, 6, 10, 14, 22, 30, 46, 62, 94, 126, 190, 254, 382, 510, 766, 1022, …, la successione A027383 dell'Encyclopedia of Integer Sequences.

È facile vedere che n(2k) = 2k+1 – 2 (è vero per k=1 e, se vale per k, la ricorrenza dà n(2(k +1)) = 2 n(2k) + 2 = 2(2k+1 – 2) + 2 = 2k+2 – 2, OK) e anche n(2k + 1) = 2k+1 + 2k – 2, oppure n(k + 1) = n(k) + 2ëk/2û, ma ci serve solo la prima relazione.

Se ora supponiamo che un albero rosso-nero abbia n=2k+1 – 2 oppure n = 2k+1 – 1 nodi interni, con k≥1, ëlog nû vale k ed esiste un albero rosso-nero con n nodi avente altezza 2k = 2ëlg nû. Per valori di n più grandi, da 2k+1 sino a 2k+2 – 3, l'altezza vale 2k o 2k + 1 ed è quindi minore di 2ëlg nû = 2k + 2.

In conclusione, l'altezza di un albero rosso-nero con n nodi interni (n≥2) è sempre minore o uguale a 2 ëlog nû e quest'altezza può essere di fatto raggiunta solo se n precede di 1 o 2 unità una potenza di 2.
...
Operazioni sugli Alberi RB.

Problema nell’inserimento negli alberi RB ovvero come inserire mantenendo le proprieta’. L’inserimento e’ piu’ facile poiche’ inserisco alla fine del ramo, nella foglia.
Quando inserisco un nuovo nodo lo coloro nero o rosso? Rosso, se lo metto nero allora in quel cammino ci sarà un nodo nero in più e quindi viene violata la proprietà quattro/4 e quindi lo dovrò mettere rosso per forza.
Ma se il padre del nodo inserito è rosso allora ci saranno dei problemi e quindi devo fare rispettare tutte le proprietà degli RB-Alberi.

Caso 1. Con una visione miope/localmente; oppure albero ‘piccolo’. Cambiano colore (da R a B, da B a R) il padre lo zio e il nonno del nodo inserito. Posso ricorsivamente salire fino alla radice.

Caso 2. Se ritrovo il problema dei rossi consecutivi & nodi allo stesso livello di colore diverso non posso cambiare colore. Ed allora faccio le operazioni del caso due, ovvero faccio una rotazione sx. Il caso due e’ servito xche’ i due nodi rossi erano figlio sx e dx, a zig-zag, c’era un conflitto...la funzione era di allineare i due nodi rossi dalla stessa parte.

Caso 3. Mi ritrovo nel caso 3 ed applico una rotazione dx con ricolorazione.Quindi numero di rotazioni e’ max due, ed il numero di operazioni e’ costante. Questo e’ il grosso vantaggio degli alberi RB rispetto ad altri alberi con numero di operazioni variabile. Ricololazioni sono in numero non costante ma non richiedono lavoro sui puntatori.

[Quando poi ho inserito il nodo rosso devo far si che tutte le proprietà degli RB-Alberi vengano rispettate e quindi dovrò fare delle rotazioni. La prima rotazione allineiamo i due nodi rossi e quando li abbiamo allineati sistemiamo la colorazione dei nodi dell’albero. Le operazioni sono costanti se ci sono da fare solo rotazioni mentre sono proporzionali all’altezza dell’albero nel caso delle ricolorazioni.]

Si preferisce avere la radice nera, ricolorandola e ri-sistemando l’albero; anche se il colore della radice e’ irrilevante non contandola.

Concludendo il risultato fondamentale, e’ che con numero operazioni nel caso di inserimento di O(logn), ora il lemma ci garantiva che l’altezza dell’alberi e’ max 2(logn+1). Sia nel caso che vada da radice a foglie [logn operazioni] e poi debba risalire fino alla radice [altre logn ricolorazioni] con max 2 rotazioni. Il costo delle operazioni e’ max altezza di albero che e’ un logaritmo moltiplicato fattore 2.

=== LEZIONE 32di42 del 12/Dicembre/2003 ===

I B-alberi e le operazioni su di essi (testo cap.19: introduzione, §§ 19.1 e19.2. Saltare §19.3. Perché nella figura 19.7(d) si spezza la radice?).

Riassunto. Proprieta’ alberi-RB:
1. nodi rossi oppure neri
2. nodi esterni sono foglie nere
3. se un nodo e’ rosso ha due figli neri
4. ogni cammino semplice ha lo stesso numeri di n nodi neri
Il principale risultato degli alberi RB e’ che un albero con n nodi interni ha altezza < 2logn.
Per mantenere le proprieta’ degli alberi dopo inserimento e cancellazione dobbiamo fare delle operazioni. Nel caso di inserimento potremmo trovarci in una situazione di nodi rossi consecutivi, che dobbiamo ricolorare e/o rotare. Vedi casi 1-2-3.
Gli alberi-RB nascono sostanzialmente dagli alberi 2-3-4 puntatori (i.e. dove 2 nodi hanno 3 puntatori esterni al ‘maxi/super nodo’).
Fig.14.2 Alberi-RB – Rotazioni. Vengono eseguite nella condizione che la visita in ordine simmetrico non cambia. Per questo i sottoalberti α e β vengono ri-arrangiati e β spostato da x a y, poiche’ era/e’ maggiore di α (quindi a dx di α ) e contemporaneamente minore di y (quindi alla sx di y). Fig.14.5-Fig.14.6 Dove infatti l’ordine simmetrico viene mantenuto. La cancellazione di nodi e’ + complessa dell’inserimento. [non richiesto all’esame].

Insiemi dinamici persistenti ovvero teniamo traccia dei cambiamenti, tenendo una copia di ogni configurazione dalla prima all’ultima. Qual’e’ la soluzione migliore, con minor occupazione di spazio? Registrando solo i cambiamenti.

Cap15. Estensione di strutture dati.
L’idea ingegneristica e’: quando necessitiamo di una struttura dati differente da quelle “standard” non serve inventarne una nuova ma verosimilmente si dovrà estendere una struttura dati classica aggiungendo ulteriori informazioni e quindi definire nuove operazioni che permetteranno di ottenere il comportamento richiesto dall’applicazione.
Fig.15.1 Per esempio ho un albero RB dove ogni nodo consiene il numero di nodi del relativo sottoalbero. Inoltre vedremo dei casi + avanti, per esempio strutture per la gestione di insiemi disgiunti.

Cap.19 I B-Alberi (pensabili come generalizzazione degli alberi 1-2-3-4, RB senza colore).
Sono alberi di ricerca bilanciati (non sono binari, anzi fattore di diramazione molto maggiore di 2) progettati per operazioni su dischi magnetici. La differenza principale con gli alberi-RB è che i B-Alberi possono avere molti figli, e non hanno colori: da decine a migliaia e quindi non sono binari mentre i RB si. Il fattore di diramazione, “grado” di ramificazione di un B-Albero può quindi essere molto elevato.
Tenendo presente le caratteristiche del disco l’obiettivo è minimizzare le operazioni di I/O sui dischi, per ridurre tempi di accesso tramite alberi ‘bassi’. Come negli alberi-RB l’altezza dei B-Alberi è dell’ordine di O(logn) e sono bilanciati. Anche se il log e’ in base pari al fattore di diramazione.

Caratterizzazione dei nodi dei B-alberi: Cosa dobbiamo mettere nei nodi dei B-Alberi? Se un nodo x di un B-Albero contiene un numero n[x] di chiavi, allora ha n[x] + 1 figli. Le chiavi di un nodo sono usati come punti di divisione: dividono l’intervallo di chiavi gestito dal nodo x in n[x]+1 (sotto)intervalli, dove ciascun sottointervallo è gestito da un figlio di x.
...
I B-alberi sono perfettamente bilanciati poiche’ gli inserimenti si fanno sempre nelle foglie, se il nodo e’ pieno allora posso spezzare il nodo in due (di solito) parti il + possibile uguali, cioe’ contenere lo stesso numero di nodi. Meglio che il numero di chiavi sia dispari, xche’ allora avro’ una chiave mediana che porto sopra in modo tale che i nodi ottenuti siano pari e poi inseriro’ nei nodi ottenuti.

Perché è così importante minimizzare il numero degli accessi a disco? Fig.19.2 Se ad esempio fa 6000 rpm (revolutions per minute) in un secondo fa 100 r e quindi accede ai dati in 1 centesimo di secondo cioe’ 10 millisecondi (10^-3). Gli accessi alla memoria RAM sono dell’ordine dei nanosecondi (10^-9?) quindi un milione di volte più veloci. Ecco perché si devono minimizzare i numeri di accessi a disco.
Questo anche se facciamo una ricerca sequenziale (poco sofisticata e complicata) delle chiavi nel nodo, che saranno in RAM e quindi ad accesso molto veloce.

=== LEZIONE 33di42 del 16/Dicembre/2003 ===

I B-alberi ed operazioni su di essi. Ricerca, creazione, inserimento. Grado ed altezza.

Riassunto. Cap.19 B-Alberi x minimizzare accessi a dischi (memoria secondaria)
Il fattore di diramazione dei B-alberi e’ tale che con fattore (# figli) min=T avro’ un fattore max≤2T.Ricordiamo che sono alberi bilanciati che crescono verso l’alto, le foglie/nodo salgono solo se sono la mediana che sale per ‘spezzare’ il nodo.

Riprendiamo un attimo la Fig.14.3 Vediamo il codice per la rotazione a sx (dove rotazione dx e’ analoga). Partiamo da un puntatore all’albero ed al nodo ‘x’ che dobbiamo far ruotare, da cui prendiamo il figlio dx di ‘x’.
...

Definiamo con precisione i diversi aspetti dei B-Alberi, albero con radice:
1. in ogni nodo c’e’ l’informazione che ci dice quante chiavi ci sono nel nodo e quali sono le n[x} chiavi, in ordine per esempio non decrescente
2. c’e’ un valore booleano che dice se il nodo e’ interno o foglia
3. se ‘x’ e’ interno ci sono gli n[x]+1 puntatori ai figli
4. le chiavi separano gli intervalli di chiavi presenti nei sottoalberi
5. ogni foglia ha la stessa profondita’ h, quindi tutte le foglie sono ben allineate sulle stesso livello
6. ci sono un estremo inferiore e superie a quante chiavi un nodo puo’ contenere, grazie al parametro T≥2 chiamato grado minimo del B-albero.Tutti i nodi hanno almeno T-1 chiavi (quindi T figli) ed al massimo 2T-1 chiavi con 2T figli.
7. Un nodo e’ pieno quando contiene 2T-1 chiavi (non necessitiamo di una variabile boolenana)
8. Il valore minimo di T e’ 2 (se fosse minore T-1 sarebbe O, senza significato) che produce gli alberi 2-3-4 (figli)

L’altezza dei B-alberi, valutando nel caso peggiore, quindi il fattore di diramazione e’ ‘t’ per ogni nodo. Teo.19.1 Per ogni n-chiavi≥1 B-alberi con t≥2 allora h<logt (n+1)/2. Attenzione alla base-t.

Dimostriamo il risultato: consideriamo il caso peggiore ovvero quale e’ la max altezza (ovvero il minimo numero di nodi) di un B-albero, lo otteniamo mettendo in radice il minor numero di chiavi cioe’ 1, poi in ogni nodo mettiamo t-1 chiavi al livello 3 avremo quindi 2(t-1) nodi e cosi a seguire dove alla profindita’ h avremo 2t(h-1) con n ≥ 2th-1 che implica il Teo.19.1 e prendendo i log otteniamo proprio il teo.

In un certo senso quindi i B-alberi si comportano con RB con altezza O(logn) dove la vera differenza e’ il fattore t.

§ 19.2 Operazioni base sui B-Alberi sono + interessanti soprattutto se vediamo il codice [Attenzione alle sottigliezze chieste anche all’esame]. Vedremo ricerca, creazione di un albero vuoto e inserimento, la cancellazione non si fa.

Ricordarsi che le procedure presentate sono algoritmi a “singola passata” ovvero che visitano l’albero dalla radice a scendere e non tornano mai sui propri passi. Perché? Abbiamo visto che in un nodo ci sono 1000 chiavi e 1001 puntatori che vanno solo verso il basso e quindi per risalire ci vorrebbero altrettanti puntatori e quindi diventa troppo costoso. Se usiamo questi puntatori di conseguenza non facciamo algoritmi a “singola passata” e non limitiamo gli accessi a disco. Attenzione che lo splitting di un nodo implica che sopra ci sia posto, ma non possiamo/vogliamo risalire e quindi spezziamo il nodo in discesa quando e’ piano.

Ricerca sui B-Alberi è come quella sugli alberi binari solo che le possibili alternative non sono binarie a due vie ma coincidono con i n+1 figli del nodo in esame che contiene n chiavi. Quindi e’ una generalizzazione della ricerca sugli alberi binari normali.Esempio Fig.19.1. Il numero di pagine su disco a cui si accede e’ Θ(h)=Θ(logtn).

Creazione di un B-Albero vuoto. Si deve creare con la procedura B-TREE-CREATE allocando un nodo radice vuoto adatto al ns B-albero; successivamente per inserire le nuove chiavi si richiama la procedura B-TREE-INSERT. L’operazione di creazione richiede quindi quantita’ costanti: O(1) in accesso a disco e O(1) CPU time.

Inserire la chiave in una B-Albero è decisamente più complicata dell’inserimento di una chiave in un albero di ricerca binario; in entrambi i casi si inserisce nelle foglie. Si segue il percorso di ricerca fino alla foglia adeguata e poi si inserisce, il problema e’ quando non c’e’ spazio e dobbiamo ‘splittare/dividere’ il nodo in due nodi ‘ semivuoti’. Mandando su la ‘chiave centrale/mediana’ e si attaccano due puntatori alle minori chiavi a sx e le maggiori chiavi a dx; dopo lo spezzamento avro’ lo spazio per inserire la nuova chiave. Lo spezzamento viene generalmente fatto in fase preventiva.

Vedi Fig.19.7 dove all’inserimento di L viene spezzata la radice con intervento preventivo. Spezziamo i nodi pieni che attraversiamo siano essi nodi interni o foglie.

=== LEZIONE 34di42 del 18/Dicembre/2003 ===

Rappresentazioni dei grafi (testo §23.1 ed esercizio 23.1-6=il problema della celebrità: un link dallo Utah) http://www.cs.usu.edu/~allanv/cs5050/ch5/ch5.html
Strutture di dati: Insiemi disgiunti e loro Operazioni. Applicazione alla determinazione delle componenti connesse di un grafo (§ 22.1). Cenni uso delle foreste per rappresentare insiemi disgiunti (§ 22.3. Solo cenni al §22.2). Unione per rango e compressione dei cammini (§ 22.3).

Lasciamo i B-Alberi ed andiamo al Cap.22 Strutture di dati per insiemi disgiunti. (Estensione degli alberi con puntatori al padre, per rappresentare insiemi disgiunti con un campo per specificare altezza degli alberi e poter fare l’unione efficiente di insiemi disgiunti)
Alcune applicazioni richiedono di raggruppare n elementi distinti in una collezione di insiemi disgiunti (insiemi che non hanno elementi in comune), rappresentati con alberi.
Le operazioni + importanti saranno: quella di unione degli insiemi e la definire l’appartenza di un elemento ad un insieme (oppure trovare il rappresentante). Vogliamo inoltre distinguere un insieme dall’altro senza dagli un nome. Una cosa interessante e’ che si vedra’ una applicazione dei tipi di dati astratti=dati con operazioni di base. Chiamati infatti Algoritmi Union-Find nella letteratura anglosassone.

§22.1 Una struttura di dati per insiemi disgiunti mantiene/gestisce una collezione S={S1,S2,...,Sk} di insiemi dinamici disgiunti. Dinamici significa che cambiano, tipicamente con la Union, e disgiunti dove presi due elementi/insiemi la loro intersezione e’ vuota.
Ogni insieme è identificato da un rappresentante che è semplicemente un membro dell’insieme. In alcune aplicazione non importa [quasi mai] quale sia il rappresentante. Come sempre gli elementi sono oggetti.
Le operazioni fondamentali che, definiremo in astratto, sono 3 (di cui una banale:inizializzazione):
Make-Set(x) crea un nuovo insieme il cui unico membro (e quindi rappresentante) è x. Dal momento che gli insiemi sono disgiunti dobbiamo richiedere che x non faccia gia’ parte di un altro insieme. Questo perche’ la struttura che andremo a costruire e’ un albero con alcune informazioni nei nodi, in questo caso e’ la radice con il campo che contiene l’altezza dell’albero.
Union(x,y) unisce due insiemi dinamici che contengono x e y (x ed y non necessariamente rappresentanti), ad esempio Sx ed Sy, in un nuovo insieme che è l’unione di questi due insiemi, eliminando gli insiemi di partenza. Il rappresentante dell’insieme risultante è un elemento dell’unione Sx U Sy , benché molte realizzazioni di Union scelgano i rappresentanti di Sx o Sy come nuovo rappresentante [per comodita’] posso scegliere un elemento che non era il rappresentante di uno dei due insiemi.
Find-Set(x) restituisce un puntatore al rappresentante dell’unico insieme contenente x, unico poiche’ gli insiemi si considerano disgiunti.

Osservazione importante: analizzeremo il tempo di esecuzione in funzione di n=numero di operazioni di make-set e m=numero totale di tutte le operazioni. Poiche’ gli insiemi sono disgiunti ogni Union diminuisce il # di insiemi, quindi posso fare al max n-1 operazioni di Union.

Vediamo una applicazione delle strutture per insiemi disgiunti. Per esempio: determinare le componenti connesse di un grafo non orientato.Fig.22.1. Come puo’ essere sviluppare in astratto la procedura per le componenti connesse.

Le tecniche di visita di un grafo consentono di visitare sistematicamente tutte le componenti connesse di un grafo [nodi], senza perdersi e senza omettere zone. Se c’è un altro grafo scollegato vicino al primo è ovvio che al secondo non ci si arriverà mai. In quel caso se abbiamo un elenco dei vertici vediamo che ci sono altri vertici che non abbiamo visitato sappiamo che c’e’ una componente non connessa e cui dovremmo ‘saltare’.
Ora per ogni vertice facciamo una Make-Set e per ogni lato ‘connesso’ facciamo una Union; quando abbiamo finito di unire/analizzare tutti i vertici abbiamo la struttura completa del grafo, vedi Fig.22.1
...
...
Vediamo come realizzare in maniera efficiente questa struttura, un modo ovvio e’ di usare delle liste ovvero ogni componente connessa e’ una lista connessa dei suoi vertici. Anche se non lo vediamo cerchiamo di evincere la struttura dove le operazioni di Make-Set e Find-Set si possono fare in tempo costante O(1), poiche’ la lista e’ organizzata dove ogni elemento ha un puntatore alla testa oltre all’elemento successivo. E l’operazione Union, dove dovro’ aggiornare i puntatori della lista + corta che vado ad ‘aggiungere’, allora il tempo e’ O(m+n logn) con n=#numero elementi cioe’ make-set.
§ 22.3 Vediamo come fare di meglio usando le ‘foreste’ perche’ ogni insieme disgiunto e’ un albero come in Fig.22.4. Dove i puntatori sono verso il padre e la radice punta a se stessa.
Introducendo due euristiche/accorgimenti otteniamo la struttura di dati asintoticamente + veloce conosciuta/possibile. Questo pur di applicare: la “Unione per Rango” e la “Compressione dei Cammini”:

1. Unione per rango/Union by rank. Attaccare albero piccolo sotto la radice dell’albero + grande; quindi far puntare la radice con ‘-‘ nodi alla radice dell’albero con ‘+’ nodi. Dove il rango e’ il limite/estremo superiore dell’altezza del nodo, in generale quindi non e’ l’altezza ed e’ sempre ≥ dell’altezza.
Dopo la union aggiorniamo le informazioni contenute nel rappresentante che qui consideriamo la radice. Il rango dei rappresentanti e’ il rango degli alberi, se gli alberi hanno lo stesso rango possiamo scegliere uno dei due. Se ci fossero solo Make and Union il rango sarebbe uguale all’altezza invece non e’ sempre cosi poiche’ il rango puo’ essere cambiato dalla Find. Vediamo come funziona tramite la seconda euristica.

2. Compressione dei Cammini (Euristica semplice ed efficace). Che viene applicata dalla Find-Set, per far si che ogni non nel cammino di accesso punti direttamente alla radice, la compressione del cammino non cambia il rango dell’albero ma ‘schiaccia’ i nodi, di un percorso/cammino di accesso, facendoli puntare direttamente alla radice.
Quindi l’altezza potrebbe cambiare, cioe’ ridursi, se questo cammino era il piu’ lungo dell’albero e di conseguenza il rango, che non abbiamo intenzionalmente cambiato/aggiornato, ritrovarsi piu’ lungo/maggiore della nuova altezza.
Il codice della Find grazie alla ricorsione e’ estremamente compatto in tre righe di codice. Questo codice di find set procede a ‘due passate’ [facendo su e giu’],poiche per poter assegnare il puntatore a tutti i nodi bisogna prima arrivare alla radice e poi ritornare lungo il percorso/cammino per aggiornare i puntatori.

Come facciamo a valutare il tempo di esecuzione? Usando le due euristiche nel caso peggiore otterremo O(mα(m,n)) dove α(m,n) e’ l’inversa della funzione di Ackermann (l’inversa cresce ‘molto’ lentamente).

Facciamo un passo indietro per capire da dove arriva la Funzione di Ackermann, come facciamo a definire se qualcosa e’ computabile o no? ovvero di formalizzare la definizione di calcolabile per esempio definendo la classe delle funzioni calcolabili, partendo dagli interi:
0. f: Nk -> N
1. ottengo: funzioni base, quali successivo, funzione 0
2. inoltre definisco: composizione di funzioni, ovvero funzioni a cui passo come fattori altre funzioni
3. definsco anche: ricorsione primitiva quindi definisco f(x,n+1) in funzione di f(x,n)
quindi f(x,n+1)=h(f(x,n)) dove h e’ una funzione gia’ nota.

Con questi meccanismi non definiamo pero’ tutte le possibili funzioni perche’ ci serve un ulteriore meccanismo di ricorsione, ed Ackermann nel 1928 produce il primo esempio di funzione ricorsiva (cioe’ calcolabile) non primitiva ovvero dove h puo’ essere f stessa; addirittura f dipende da se stessa due volte.
In un certo senso la funzione di Ackermann cresce + rapidamente di tutte le funzioni ricorsive, di tutte le funzioni inventabili.
Come funziona la Funzione di Ackermann, la quale cresce + rapidamente di tutte le possibili altre funzioni? Fig.22.7
...
...

=== LEZIONE 35di42 del 19/Dicembre/2003 ===

Le funzioni ricorsive, la funzione di Ackermann e la sua inversa (testo § 22.4, solo la prima sezione: saltare da "Proprietà dei ranghi" in poi. Per le funzioni ricorsive si può consultare il libro di G. Ausiello et al. http://www.dis.uniroma1.it/~ausiello/InfoTeoRMvo/main.pdf al paragrafo 6.5 oppure http://vigna.dsi.unimi.it/InformaticaTeorica.pdf ).
Introduzione Parte IV: Tecniche per progettazione ed analisi: Programmazione dinamica, Algoritmi Greedy.

Riassunto. Strutture di dati per gli insiemi disgiunti con operazioni per strutture di dati astratte: Make, Union, Find per rappresentante.
Operazioni utili per trovare componenti connesse di un grafo vedi Fig.22.1. Possiamo realizzare concretamente le tre operazioni in maniera efficiente con liste, meglio con l’euristica dell’unione pesata [liste + corte attaccate alle + lunghe].
Ulteriore miglioramento usando, invece delle liste, gli alberi con entrambe le nuove euristiche: Unione per Rango [attacco l’albero con rango minore ‘sotto’ la radice dell’albero con rango maggiore] e Compressione dei Cammini [tutti i nodi del cammino di accesso puntano alla radice, potenzialmente diminuendo l’altezza dell’albero ma lasciando inalterato il rango, ecco perche’ R≥A]. Rango che aggiorno solo quando faccio Union su alberi con stessa altezza.

Vediamo le prestazioni dell’algoritmo quando usiamo entrambe le euristiche, e nel caso peggiore otterremo O(m α(m,n)) dove α(m,n) e’ l’inversa della funzione di Ackermann; e quindi cresce con ‘esasperante’ lentezza. Addirittura per qualsiasi applicazione si puo’ considerare α(m,n) ≤ 4. Non facciamo la dimostrazione.

La funzione di Ackermann e’ cosi definita sugli interi positivi i, j come potenze iterate:
A(1, j) = 2J per j ≥ 2,
A(i, 1) = A(i-1,2) per i ≥ 2,
A(i, j) = A(i-1,A(i, j-1)) per i, j ≥ 2.
Ora l’inversa della Funzione di Ackermann viene definita come [non e’ inversa in senso matematica, cioe’ il loro prodotto non da 1], inversa relativamente alla crescita: α(m,n) = min {i ≥ 1 : A(i, ëm/nû ) > log n}; vuol dire che fissato il valore n ed il suo logaritmo ed in input in valore m, il loro rapporto m/n e’ >1 ne prendo la parte intera e vado sulla riga...
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Parte IV Tecniche evolute per la progettazione ed analisi di algoritmi.

In questa parte vedremo nuovi metodi/tecniche per il progettare ed analizzare:
Cap.16 Programmazione Dinamica
Cap.17 Algoritmi Greedy (vedi algoritmo di Huffman)
Cap.18 Analisi Ammortizzata
In precedennza abbiamo gia’ visto divide-et-impera, randomizzazione e soluzione delle equazioni di ricorrenza. le nuove tecnice sono un po’ + sofisticate.

1. La programmazione dinamica tipicamente si applica a problemi di ottimizzazione, in cui si deve fare un insiemre di scelte per arrivare ad una soluzione ottima [non necessariamente unica]. La programmazione dinamica non è indicata per risolvere problemi di ordinamento e/o ricerca dove c’e’ una soluzione unica.
Per arrivare alla soluzione ottima si fanno delle scelte e vengono fuori dei sottoproblemi dove i parametri sono gli stessi allora la programmazione dinamica e’ efficace quando un sottoproblema si ripresenta da diversi sottoinsiemi. Se lo stesso sottoproblema si ripresenta tante volte la programmazione dinamica è la tecnica migliore perche’ tiene conto dei sottoproblemi appena risolti.
Non è sempre alla ricerca di una soluzione ottima, con i numeri di Fibonacci applichiamo questa metodica senza cercare una soluzione ottima. Ma dai due precedenti calcolavamo il corrente e cosi via.
Una caratteristica tipica e’ la memorizzazione delle soluzioni intermedie [“memoize”].

2. La differenza tra metodica Algoritmi Greedy e Programmazione Dinamica sono ‘sottili’ nella definizione, dove le Greedy sono + economiche della dinamica nella quale passiamo tutti valori, quindi e’ esauriente/esaustiva poiche’ esauriamo tutte le possibili soluzioni del problema guardando solo quelle ottime soluzioni dei sottoproblemi, risparmiamo un po di lavoro.
Con quella Greedy non affrontiamo ‘tutte’ le possibili soluzioni ma trovata quella ‘localmente’ ottima la espandiamo, e quindi non necessariamente funziona sempre.

[Devo ricordare la soluzione dei problemi da qualche parte quindi li devo memorizzare. La tecnica di programmazione dinamica è una tecnica esaustiva a differenza di quella Greedy. Per arrivare alla soluzione ottima si fanno delle scelte non come nella tecnica Greedy che si arriva a una soluzione ottima immediatamente.]
A questo punto dovremmo avere un criterio per definire quando una tecnica Greedy raggiunge certamente un risultato ottimo oppure no? Non e’ sempre facile dire se un approccio Greedy sara’ efficace, nel Cap.17 con la Teoria dei Matroidi utile per fare tale determinazione. Se il tipo di problema ha la struttura che corrisponde a quella di un Matroide allora sicuramente l’algoritmo Greedy trova una soluzione ottima. Altrimenti dovremo indagare caso per caso.
Esempio di Algoritmo Greedy e’ quello del cambio/resto di monete con numero minimo di monete. Scegliendo il taglio di moneta + grande compatibilemente con il resto rimanente.

3. Riferendoci all’Analisi Ammortizzata possiamo dire che non valutiamo il costo delle singole operazioni, magari non e’ neppure possibile [vedi esempio operazioni su stack push or pop, multipop di arbitrari n elementi da parte dell’utente].
Bensi con metodi che vedremo, per esempio con metodo uno caricando di + le push per avere le multipop gratis/a zero; per esempio con push costo 2=1+1, metodo semplice chiamato degli accantonamenti, costo per ogni operazione.
Il secondo metodo e’ [vedi Ackermann] suddivide il costo totale tra tutte le operazioni ovvero se faccio push+pop+multipop avro’ che se faccio n-1 operazioni di push l’operazione di costo massimo multipop costera’ anch’essa n-1, quindi 2(n-1) operazioni con costo medio (2-qualcosa) quindi costo medio ammortizzato.
Il terzo metodo del potenziale...assomiglia al primo metodo con una terminologia + ostica

Cap.16 La programmazione dinamica

Programmazione dinamica, cosi come la tecnica divide-et-impera, risolve il problema combinando le soluzioni dei sottoproblemi. Qui programmazione si riferisce ad un metodo tabellare, significa un modo sistematico per costruire una tabella che memorizza/ricorda i valori gia’ calcolati.
Divide-et-impera suddivideva il problema in sottoproblemi indipendenti, se i problemi non sono indipendenti ovvero hanno parti in comune non va bene; invece la programmazione dinamica risolve i sottoproblemi e salva le soluzioni in tabella. Le soluzioni ottime posso essere multiple, vedi esempio scacco matto in n modi diversi.
Fasi per risolvere un problema con la programmazione dinamica
1. capire/caratterizzare il problema
2. scrivere almeno una soluzione ‘formale’ ricorsiva
3. calcolare le soluzioni con approccio botto-up, dal + piccolo a salire
4. registrare come si e’ arrivati alla soluzione ottima

16.1 L’esempio tipico e’ il prodotto di n matrici, dove c’e’ una notevole differenza sul come effettuiamo i calcoli. Supponendo tre matrici, abbastanza grosse...
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conteggio parentesizzazioni
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=== LEZIONE 36di42 del 8/Gennaio/2004 ===

Esempio: il problema del resto (anche il problema 17-1 sul testo).
Programmazione dinamica e problemi di ottimizzazione: il prodotto di matrici (testo §16.1).

Riassunto. Programmazione dinamica, con sottoproblemi che si ripetono.
Tecniche/Algoritmi Greedy, scelte piu’ facili poiche’ sono ingorde/miopi. Per esempio nel caso di Huffman abbiamo preso i due/caratteri con la frequenza minore da cui costruiamo alberi rappresentano una soluzione ottima.

Per ripasso rivediamo il Problema del Cambio/Resto che consiste nel minimizzare il numero di monete date come resto spiegato nel capitolo 17-1 sul libro.

Con la programmazione dinamica divido il resto n in k e n-k e provo variando k, naturalmente a condizione che non abbia gia’ una moneta di taglio n. Facendo un numero notevole di calcoli e ricorsioni ripetendo i calcoli su medesimi valori.
Il trucco per non ri-calcolare sempre i valori della funzione è quello di memorizzarli da qualche parte e richiamarli quando servono, per esempio in una bella tabella. La complessità del problema del resto è dell’ordine di Θ(n2) rispetto al resto n; mentre riferito alla lunghezza del numero (n) e’ addirittura esponenziale; poiché devo trovare il minimo tra le monete che costa n operazioni e poi per trovare gli altri resti devo iterare da 1 fino a n, n volte.
L’alternativa Greedy è lineare Θ(n) invece che quadratica Θ(n2) come nella Prog.Dinamica. L’algoritmo Greedy dice che ogni volta prendi la moneta di valore massimo che non supera il resto, invece di provare tutti i valori come si faceva con la Programmazione Dinamica. Se l’insieme di monete è scelto bene l’algoritmo Greedy funziona. Se ad esempio le monete fossero 1, 5, 7 e devo dare resto 10 con l’algoritmo Greedy faccio 7, 1, 1, 1 che è peggio di 5, 5. Quindi non e’/sarebbe ottimo!

Programmazione dinamica, guarderemo solo il problema della moltiplicazione delle matrici; questo perche’ gli altri problemi (sottosequenze comuni per esempio nelle stringhe del genoma, triangolarizzazione dei poligono e’ riconducibile al prodotto di matrici).
In molti casi dobbiamo moltiplicare matrici molto grosse (i.e. modellazione flussi aria intorno ad ali, ma anche con programmi di scacchi), seguendo la regola che moltiplicare righeXcolonne che devono avere la stessa cardinalita’/numero l’ordine di moltiplicazione e’ importante, il prodotto di matrici non e’ communtativo quindi non possiamo cambiare ordine.
Pero’ l’ordine temporale in cui le moltiplichiamo puo’ cambiare il risultato notevomente e quindi per definire l’ordine possiamo definire un problema di parentesizzazione, dove con 4 matrici avremo 5 modi diversi ci come collochiamo le parentesi (vedi sequenza che conta alberi binari 1-2-5-14). In effetti la parentesizzazione si ‘calcola’ con gli alberi: dove le matrici sono le foglie e i nodi interni sono le operazioni di prodotti delle matrici e la visita dell’albero e’ in ordine ‘solito’; avemmo potuto rappresentare gli alberi anche con le parentesi. In generale la matrici A di dimensione PxP dara’: A i (Pi-1,Pi) ∙ Ai(Pi,Pi+1) quanto costa il prodotto?

Il numero di moltiplicazioni da fare dipende dalle 3 dimensioni (1 dimensione e’ in comune) quindi: Pi-1 ∙ Pi ∙ Pi+1.
Quindi ci saranno tre cicli innestati (quindi sospettiamo complessita di n3), se li chiamiamo p,q,r, e’ piu’ chiaro ed il numero totale e’ il loro prodotto.
Esempi in cui il risultato cambia notevolemente al cambiare delle parentesi: A1=10x100, A2=100x5, A3=5x50 posso ottenere ((A1A2)A3)=7500 od addirittura (A1(A2 A3))=75000 operazioni. Anche con una macchina veloce se c’e’ un fattore 100 di differenza e’ una notevole differenza.

Ed allora come si fa a trovare la soluzione migliore, si provano tutte le possibili parentesizzazioni e si sceglie la migliore oppure con la rappresentazione ad albero possiamo vederlo dalla relazione/equazione di ricorrenza P(n) come:

1 se n=1
se n ≥ 2, ho k oggetti a sx ed n-k a dx.
La quale rappresenta la relazione di ricorrenza degli alberi mettendo n-k nodi a dx e k a sx, corrispondenza tra alberi binari con n-1 nodi e parentesizzazioni con n matrici.

Il numero P(n) delle parentesizzazione e’ pari al numero di alberi con n-1 nodi inerni ed e’ contato dai numeri di Catelan Prob.13.4 che dice che l’ennesimo numero cresce come Ω(4n/n3/2), quindi il numero di alberi cresce quasi come 4n, le possibilita’ sono molte/troppe, quindi non vogliamo/possiamo contare tutte le possibili soluzioni.
Ora con la programmazione dinamica andra’ bene perche’ guadagneremo nel memorizzare le soluzioni intermedie in cui i casi non sono tutti distinti, sono sovrapposte, questo e’ il vantaggio. Otterremo un numero polinomiale, algoritmo di complessita’ n3 tra i peggiori che abbiamo visto ma ancora polinomiale.
Se riusciamo a scrivere una equazione/relazione di ricorrenza (come nel problema del resto) siamo soddisfatti. Come procediamo? Dobbiamo definire bene la grandezza per la quale vogliamo trovare la relazione di ricorrenza, nel nostro caso il minimo numero di moltiplicazioni per calcolare il prodotto delle matrici.
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m[i,j]=0 se i=j
min{....} se i<j

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=== LEZIONE 37di42 del 13/Gennaio/2004 ===

Programmazione dinamica. Cenni alla tecnica della memorizzazione.
Algoritmi Greedy: il problema della selezione di attività (testo §17.1).

Riassunto. Finendo la programmazione dinamica. Dove se usiamo un sistema di supporto per esempio Mathematica la memorizzazione sara’ fornita come servizio dal sistema. Se adottassimo una tecnica Greedy al prodotto delle matrici moltiplicando le matrici vicine con il minor numero di operazioni, il risultato e’ comunque superiore ai risultati precedenti, quindi la tecnica Greedy basata inizialmente sul prodotto di matrici che danno il minor numero di operazioni non produce una soluzione ottima.

Programmazione dinamica elementi e proprieta’ (Guardare le dispense di Goldwurm, che su questi argomenti sono di buona sintesi):
Sottostruttura ottima. Per risolvere un problema di ottimizzazione e’ necessario che i sottoprolemi abbiano una soluzione ottima, per poter ‘costruire’ il problema generale. Generalemente con approccio ricorsivo.
Sottoproblemi comuni. Per risolvere un problema con la programmazione dinamica e’ necessario che il numero dei sottoproblemi sia ‘piccolo’ ovvero che i problemi sia sovrapposti e/o si ripetano. Si vede bene nella Fig.26.2.
Ricorsione con memorizzazone(Mimoization). E’ una tecnica che consiste nel memorizzare i risultati parziali in una tabella.
16.3 La piu’ lunga sottosequenza comune.Problema un po’ complicato che saltiamo anche se interessante.

Cap.17 Algoritmi Greedy.
Gli algoritmi Greedy cercano di risolvere problemi di ottimizzazione e lo fanno attraverso una sequenza di passi/decisioni che portano/rebbero alla soluzione ottima. Mentre le tecniche di programmazione dinamica vagliano tutte le sottosoluzioni, cosa gli algoritmi Greedy non lo fanno.(potremmo dire che l’algoritmo Greedy e’ un cammino tra quelli della programmazione dinamica?quasi quasi si) Come faremo per sapere che la soluzione che troveremo e’ ottima? Partiamo da un esampio semplice sulla selezione di attivita’.

Problema della selezione della attività. Abbiamo un insieme di n attività che vogliono utilizzare una singola risorsa ad esempio un’aula di lezione (si fa solo una lezione per volta in un’aula). Qual è il problema? Il problema della selezione della attività consiste nel selezionare il massimo numero di attività mutuamente compatibili. (Quindi meglio 5 attivita’ di 1 ora che 1 attivita’ di 10 ore). Per riuscire ad ottenere questo dobbiamo sapere cosa vuol dire mutuamente compatibili: vuol dire che non si sovrappongono. Come si fa a sapere se si sovrappongono? Se gli intervalli non si sovrappongono allora gli elementi non si sovrappongono, confrontando gli estremi del segmento di tempo.

Ora la prima cosa da fare dovrebbe essere quella di ordinare le attivita’, con quale ordine? L’ordinamento giusto è quello rispetto all’istante di fine. Poi vedremo che se ordinassimo rispetto all’istante di inizio non funzionerebbe il ns approccio.

Conseguentemente l’algoritmo per una scelta Greedy funziona così:
Sia n la lunghezza del vettore S che contiene gli istanti di inizio delle attività . Noi vogliamo selezionare un insieme A di attività, ordinate secondo il tempo di fine. Se non sono ordinate le ordiniamo noi. In generale con un buon algoritmo che funziona sempre ci vuole tempo O(nlogn). Tempo di ordinamento che conteremo se le attivita’ non sono ancora ordinate.

L’insieme di attività lo inizializziamo con l’attività numero 1, cioe’ l’attivita’ che finisce per prima. Prendendo quella che finisce per prima lasciamo disponibile la maggior parte del tempo rispetto a ogni altra attività. Iterando avremo l’elenco di attivita’ compatibili per il massimo numero di attivia’ sulla risorsa. Come siamo sicuri che sia la soluzione ‘ottima’? Potremmo provare con un controesempio ‘migliore’ oppure Teo.17.1.

Dimostrazione in due fasi: prima esiste una soluzione ottima con la scelta Greedy (Greedy puo’ essere giusta); secondo il soottoproblema senza la prima scelta e’ comunque ottima quindi e’ una dimostrazione di tipo ricorsivo.

Elementi/proprieta’ delle tecniche Greedy.
Avendo visto la programmazione dinamica e gli algoritmi Greedy qual è meglio utilizzare? Le Greedy in generale sono più veloci delle altre; anche se potrebbe non funzionare. Dato lo stesso problema la soluzione con programmazione dinamica garantisce una soluzione ottima ma richiederà ‘molto’ più tempo che non una tecnica Greedy. Questo dipende dal criterio di convenienza.

Ci sono a anche casi in cui le tecniche esaustive, come programmazione dinamica, richiedono troppo tempo per trovare la soluzione e quindi non accettabile, allora una tecnica Greedy + veloce anche se potrebbe non trovarmi la soluzione ‘ottima’ troverebbe comunque ‘una soluzione’.

Problema dello zaino ( Knapsack Problem). Buon esempio di come piccole variazioni dello stesso problema possono far si che le tecniche Greedy funzionino oppure no.
C’è un ladro che deve rubare n elementi ma ha uno zaino che non può contenerli tutti. Il problema può essere considerato in due versioni: frazionario/continuo(possibile prendere anche una frazione dell’oggetto) o discreto(0-1, predere o lasciare). Sul libro è spiegato coi lingotti (oro, argento, platino) che in un caso sono solidi e nell’altro sono in polvere.
La tecnica Greedy funziona nel caso continuo valutando il rapporto valore/peso; nel caso discreto invece non da’ una soluzione ottima.

=== LEZIONE 38di42 del 15/Gennaio/2004 ===

Approccio greedy vs. programmazione dinamica. I problemi dello zaino (testo §17.2).
I matroidi e Teo.Rado: esempi e motivazioni (§17.4; per la dimostrazione del teorema 17.5 si può vedere la nota “Problemi su insiemi, matroidi e algoritmi ingordi”). http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/problemi.pdf

Riprendiamo, a proposito del problema della selezione di attivita’ con un paio di osservazioni. Le ns attivita’ possono essere rappresentate con un grafo di intervalli in cui i veritici sono i singoli intervalli ed i lati rappresentato le sovrapposizioni tra gli intervalli, ed il nostro problema consiste/traduce nel trovare l’insieme indipendente dei vertici non collegati da lati, vedi Prob.36.1. Trovando la cardinalita’ in tempo polinomiale.

Qual’e’ quindi la complessita’ dell’algoritmo? Dopo aver ordinato gli intervalli (O(logn)) abbiamo un solo ciclo che scorre la lista in tempo Θ(n), quindi l’algoritmo Greedy e’ efficiente.

Osservazioni su esercizi: 17.1-2 Colorazione del grafo (di intervalli): colorare tutti i vertici con il minimo numero di colori in modo tale che nessuna coppia dei vertici adiacenti siano colorati con colori uguali. Con esempio in cui la strategia Greedy non funziona. E come faccio a capire se la tecnica greedy e’ applicabile con successo ovvero trova la/le soluzioni ottime? vedi Teoria dei Matroidi che seguira’.

12. Algoritmi Greedy (Da dispense di Goldwurm).

Una delle tecniche piu’ semplici per la progettazione di algoritmi di ottimizzazione e’ chiamata tecnica greedy. Letteralmente questo termine significa “ingordo”, ma nel seguito preferiremo tradurlo in “miope”. Intuitivamente, questo metodo costruisce la soluzione di un problema di ottimizzazione mediante una successione di passi durante ciascuno dei quali viene scelto un elemento “localmente” migliore; in altre parole a ciascun passo la scelta migliore viene compiuta in un ambito limitato, senza controllare che il procedimento complessivo porti effettivamente al calcolo di una soluzione ottima per il problema.
Questa strategia, se da un lato permette solitamente di ottenere algoritmi semplici e facilmente implementabili, dall’altro puo’ portare alla definizione di procedure che non forniscono sempre la soluzione ottima. In questo capitolo vogliamo studiare le proprieta’ degli algoritmi di questo tipo e verificare in quali casi e’ possibile garantire che la soluzione costruita sia effettivamente la migliore.

12.1 Problemi di ottimizzazione.

Per esprimere questi concetti in maniera precisa, introduciamo la nozione di sistema di indipendenza.

Un sistema di indipendenza (che sara’ il primo elemento di un Matroide) e’ una coppia (E, F) nella quale E e’ un insieme finito (come elementi nell’esempio zaino), F e’ una famiglia F di sottoinsiemi di E chiusa rispetto all’inclusione; in altre parole, [F e’ contenuto in 2E] (qui e nel seguito denoteremo con 2E la famiglia di tutti i sottoinsiemi di E) e inoltre:
A Î F Λ B e’ contenuto in A → B Î F, vedi funzione caratteristica di appartenza
E’ evidente che, per ogni insieme finito E, la coppia (E, 2E) forma un sistema di indipendenza.

17.4.1 La formula suddetta ricorda quella dei Matroidi...ma meglio utilizzare il concetto di sistema di indipendenza.
...
...
Si pongono allora, a questo livello di generalita’ , due problemi:

1. qual’e’ il tempo di calcolo dell’algoritmo greedy, cioe’ quanti passi di calcolo devono essere compiuti avendo come ingresso un insieme E di n elementi? A questo proposito osserviamo che l’input dell’algoritmo sara’ qui costituito dal solo insieme E e dalla funzione peso w: si suppone che F sia automaticamente definito in maniera implicita mediante una opportuna regola e sia comunque disponibile una routine per verificare quando un insieme A contenuto in E appartiene a F. La famiglia F potrebbe infatti contenere un numero di elementi esponenziale in n e quindi la sua specifica diretta sarebbe improponibile. In generale esiste un criterio per stabilie se un sottoinsieme appartiene o no alla famiglia dei sottoinsiemi indipendenti senza provarli tutti.

2. In quali casi l’algoritmo greedy fornisce effettivamente una soluzione ottima? Qualora l’algoritmo non fornisca la soluzione ottima, si pone un terzo problema, ovvero quello di valutare la bonta’ della soluzione prodotta. Questo porta a studiare una classe di algoritmi, detti di approssimazione, che in generale non forniscono la soluzione migliore a un dato problema ma ne producono una che approssima quella richiesta. In molti casi il calcolo della soluzione ottima e’ troppo costoso in termini di tempo e ci si accontenta di una soluzione approssimata, purche’ ovviamente quest’ultima sia calcolabile in un tempo accettabile.
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12.2 Analisi della procedura Greedy
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Come si vede la procedura prevede due passi principali: l’ordinamento di un vettore di n elementi e n test per verificare se un insieme X contenuto in E appartiene a F. Possiamo chiaramente eseguire il primo passo in un tempo O(n log n). Il secondo tuttavia dipende dal particolare sistema di indipendenza considerato in ingresso. Se comunque assumiamo di poter verificare l’appartenenza X Î F in un tempo C(n), il costo complessivo di questo controllo non e’ superiore a O(n C(n)). Possiamo quindi concludere affermando che la procedura Greedy richiede al piu’ un tempo O(n log n + n C(n)).

[Deve esistere un elemento b che appartiene all’insieme più grande per cui A U b appartiene ancora alla famiglia. Se esiste un insieme B che appartiene alla famiglia ed ha più elementi di A deve poter regalare ad A un suo elemento per far crescere A. Cioè assicura che l’algoritmo Greedy funziona.
Gli insiemi indipendenti massimali in un matroide potranno avere cardinalità diversa? NO perchè se avessero cardinalità diversa allora prendo elementi da quello più grande e lo regalo al piccolo e lo faccio diventare della stessa cardinalità di quello grande (sul libro è la proprietà di scambio).]

Matroidi e Teorema di Rado Vedi Teo.17.10 del libro.
Teo: Se la struttura del problema di ottimizzazione e’ quella di un matroide pesato con funzione peso ‘w’ allora la procedura greedy riesce a trovare una soluzione ottima. Ed e’ proprio per questo che ci interessano i matrodi: per stabilire se gli algoritmi greedy trovano una soluzione ottima oppure no. Indipendentemente dalla funzione peso...attenzione quando la funzione peso e’ = 1 per ogni attivita’

12.3 Matroidi e teorema di Rado ( da dispense Bertoni/Goldwurm). Diamo in questa sezione una soluzione parziale alla seconda questione che ci siamo posti: in quali casi l’algoritmo greedy fornisce la soluzione ottima? Il nostro obiettivo e’ quello di caratterizzare la classe dei sistemi di indipendenza per i quali l’algoritmo greedy fornisce la soluzione ottima qualunque sia la funzione peso considerata.
Dimostreremo (teorema di Rado) che un sistema di indipendenza verifica la proprieta’ precedente se e solo se esso e’ un matroide. Un sistema di indipendenza (E, F) e’ detto matroide se, per ogni A,B Î F tali che |B| = |A| + 1 (qui |X| indica la cardinalita’ di un insieme X), allora esiste b Î B − A per cui A U {b} Î F. Per esempio, e’ facile verificare che, per ogni insieme finito E, la coppia (E, 2E) forma un matroide.
La nozione di matroide e’ stata introdotta nel 1935 da Birkhoff e altri per generalizzare il concetto di dipendenza lineare. Questa nozione ha trovato proficue applicazioni in vari settori, dalla teoria dei grafi agli algoritmi, e puo’ essere considerata un ponte tra l’algebra lineare e la matematica combinatoria.
Esempio 12.3 Sia E un insieme finito di vettori di uno spazio vettoriale V. Sia F la famiglia di sottoinsiemi di E formati da vettori linearmente indipendenti. Si puo’ verificare facilmente che (E, F) forma un matroide, detto matroide vettoriale. L’esempio pi`u importante di matroide e’ tuttavia fornito dal sistema di indipendenza (E,FG) definito nell’Esempio 12.1. La seguente proposizione dimostra questa proprieta’.
Proposizione 12.1 Per ogni grafo non orientato G = (V,E), la coppia (E,FG) e’ un matroide.
La coppia (E,FG) e’ anche chiamata matroide grafico. Un risultato interessante, che fornisce una interpretazione algoritmica dei matroidi, e’ il seguente:

Teorema 12.2 (Rado) Dato un sistema di indipendenza (E,F), le seguenti proposizioni sono equivalenti:
a) per ogni funzione peso w : E -> R+, l’algoritmo MIOPE fornisce una soluzione ottima al problema di massimo su input E, F,w;
b) (E, F) e’ un matroide.

=== LEZIONE 39di42 del 16/Gennaio/2004 ===

Il teorema di Rado (o di Borůvka: teorema 17.10 del testo, dispense Goldwurm, teorema 12.2).
Visita di grafi in ampiezza e in profondità e ordinamento topologico (solo i concetti principali dei §§ 23.2 (saltare dal lemma 23.1 a fine §), 23.3 (saltare da "Proprietà della visita in profondità" a fine §) e 23.4 (saltare da pag. 467 a fine capitolo). Per tutti gli algoritmi sui grafi fare riferimento alla nota “Una guida alla visita di grafi” http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/guida.pdf e vedere gli esempi nelle figure del testo.
Vedi appunti Torelli: “Problemi su insiemi, matroidi e algoritmi ingordi”

§17.4 Matroidi fondamenti Teoretici. Il matroide e’ una struttura combinatoria, rappresentabile da una coppia ordinata M=(S,I) che soddisfa le seguenti condizioni:
1.S e’ un insieme finito non vuoto;
2.I e’ una famiglia non vuota di sottoinsiemi indipendenti di S caratterizzati da: se B Î I ed A e’ contenuto in B allora anche A Î I. E diciamo che I e’ ereditario e soddisfa la precendente proprieta’
3. M soddisfa la proprieta’ di scambio/accrescimento/estensione che e’ quella + caratteristica. Se B contiene qualche elemento in piu’ di A ...
...
...
matroide matriciale
matroide grafico, sono una classe di matroidi ma non comprendono tutti i matroidi (quelli matriciali sono piu’ generali di questi grafici); il matroide grafico e’ costituito dalle foreste di un grafo

A massimale...

Teo.17.6 tutti i massimali hanno la stessa cardinalita’/dimensione poiche’ non posso piu’ fare estensioni/scambi

Il viceversa del teorema 17.6 NON vale: cioè anche se tutti gli insiemi massimali hanno la stessa cardinalità non è affatto detto che il sistema di indipendenza sia un matroide. Controesempio: siano ab e cd gli unici insiemi indipendenti massimali; d è indipendente perché sottoinsieme di cd, ab ha cardinalità maggiore di quella di d ma non posso estendere d né con a né con b perché né ad né bd sono indipendenti.

...
le foreste di un grafo costituisco un matroide
...

12.1 Algoritmo di Kruskal permette di trovare un albero ricoprente minimo (minimum spanning tree). Li vedremo la prosssima settimana.

17.4.2 E’ possibile trasfromare un problema di massimo in un problema di minimo cambiando la funzione di di peso w, associandogli la differenza tra un peso massimo ed il peso originario
...
Vediamo come muoverci in un grafo, che a differenza di un albero potrebbe aver dei cicli. Come contrassegnare i vertici per attraversare completamente il grafo senza ‘perderci’?
- vertici inesplorati in bianco/white
- vertici attivi (in esame) in grigio/grey
- vertici disattivati in nero/black

I nodi processati possono essere inseriti in una struttura dati semplice quali liste organizzate come code/stack con FIFO oppure LIFO
con una coda ottengo visita in ampiezza: da un nodo visito i vicini a distanza uno poi distanza due etc etc ottenendo le distanze dal nodo di partenza sia in numero di lati che in pesi
con uno stack ottengo visita in profondita’ dove parto dal nodo piu’ lontano e poi visitero’ tutto l’albero

=== LEZIONE 40di42 del 20/Gennaio/2004 ===

Alberi ricoprenti minimi (cap. 24, introduzione).
Cenni agli algoritmi di Kruskal e Prim (§24.2: tralasciare i dettagli del codice).
L'algoritmo di Dijkstra per la determinazione dei cammini minimi (fig. 25.5).

Da precedenti appunti: Per la visita dei grafi si devono marcare i nodi già visitati. Nel corso della visita si può costruire un albero di visita A in cui ogni nodo ha come padre il nodo dal quale è stato visitato la prima volta: l’albero A ha come elementi i lati del grafo, mentre gli altri insiemi hanno come elementi i vertici del grafo. In realtà se il grafo non è connesso l’insieme A è una foresta ricoprente tutti i vertici del grafo assegnato. Su questo argomento il libro fa un po’ di confusione quindi è bene attenersi a questa lezione.
Guardare il problema 5.1 sulla colorazione dei grafi. Un grafo è bipartito quando un insieme di vertici può essere diviso in due insiemi di modo tale che ogni lato collega ogni nodo del primo insieme con quelli del secondo insieme. Se non ci sono cicli di lunghezza dispari allora è dipartito. Ogni albero è colorabile con soli due colori. In un albero non ci sono cicli né di lunghezza pari né di lunghezza dispari e quindi è dipartito.
La visita in ampiezza è uno dei più semplici algoritmi per visitare un grafo. Dato un grafo G = (V, E) con uno specifico vertice ‘s’ chiamato sorgente la visita in ampiezza esplora sistematicamente gli archi di G per “scoprire” ogni vertice che sia raggiungibile da s. Essa calcola la distanza da s a ognuno dei vertici raggiungibili e produce un albero BFS (breadth-first search) che ha s come radice e che comprende tutti i vertici raggiungibili da s. I dettagli sono al paragrafo 23.2 del libro.
Ordinamento topologico. L’ordinamento topologico viene fatto sui DAG cioè un directed acyclic graph ovvero un grafo orientato aciclico.

da “Una guida alla visita di grafi Mauro Torelli − a. a. 2004-2005 Note al corso di Algoritmi e strutture di dati.”
Lo scopo di questa nota è presentare molto sinteticamente delle linee guida per comprendere svariati algoritmi su grafi. Il contenuto della nota, l'esame attento delle figure del testo, che illustrano il comportamento dei diversi algoritmi su esempi specifici (come mostrato a lezione), ed eventualmente il materiale accessibile in rete dalla pagina www.algoteam.dsi.unimi.it sono sufficienti per l'esame, mentre per una comprensione approfondita e l'eventuale realizzazione pratica degli algoritmi è necessario lo studio dettagliato del testo.
Per visitare sistematicamente un grafo, a differenza degli alberi, occorre in qualche modo marcare i vertici già visitati: più precisamente, avremo a che fare con vertici inesplorati (che supporremo colorati in bianco (white: denoteremo con W l'insieme dei vertici bianchi), vertici in corso di visita (grigi, insieme C: non abbiamo usato la lettera G per non fare confusione con il simbolo che denota l'intero grafo) e vertici completamente esplorati (neri – black, insieme B).
I vertici assumono via via prima il colore bianco, poi diventano grigi e infine neri. Nel corso della visita si può costruire un albero di visita A, in cui ogni nodo ha come padre il nodo a partire dal quale è stato visitato la prima volta: l'albero A ha come elementi lati del grafo, mentre gli altri insiemi hanno come elementi vertici del grafo. In realtà, se il grafo non è connesso, l'insieme A è una foresta ricoprente tutti i vertici del grafo assegnato.
L'algoritmo di visita può essere espresso genericamente come segue, con una notazione insiemistica che ignora i dettagli realizzativi ma aiuta a capire l'essenziale. Il grafo in input ha vertici V e lati E. Denoteremo con Adj[u] l'insieme dei vicini del vertice u (contenuti nella lista di adiacenza): formalmente Adj[u]:= {v Î V: uv Î E} quindi esiste un lato tra u e v. Ometteremo come di consueto le parentesi graffe: per esempio, indicheremo con uv il lato {u,v}. Il simbolo ► introduce un commento.

ALGORITMO VISITA(V, E)
0. W ← V; A ← B ← C ← Ø ►coloriamo tutti i vertici di bianco e gli altri sono vuoti
1. finché C U W ≠ Ø ►ci sono ancora bianchi o grigi, unione di grey&white
2. se C = Ø scegli1 u Î W altrimenti scegli2 u Î C ►se non ci sono grigi parti da bianco
3. per ogni v Î Adj[u] ∩ W: A ← A U uv ► u è il padre di v nell'albero A
4. B ← B U u; C ← (C U Adj[u]) – B; W ← W – B – C
5. restituisci A ► restituisce albero

Alla riga 2 dell'algoritmo, la prima procedura scegli1 sceglie, in genere casualmente, un vertice u da W: ciò è necessario soltanto se il grafo non è connesso, e in tal caso l'algoritmo può essere usato per individuare le diverse componenti connesse del grafo, in tempo Θ(V + E) (infatti si devono colorare di bianco i vertici di V e poi esaminare – in tempo costante per ciascuno – i lati di E). Quindi + efficiente della procedura per insiemi disgiunti.
La seconda procedura scegli2, che sceglie un vertice u in C, è invece cruciale per determinare le caratteristiche della visita: se interessa solo visitare sistematicamente il grafo, la scelta può essere ancora casuale, altrimenti occorre seguire un ordine stabilito da un'opportuna coda con priorità.Vediamo gli esempi:

1. Come possibile applicazione molto semplice di una visita in ordine casuale possiamo citare lo stabilire se il grafo sia bipartito ovvero 2-colorabile (si veda il problema 5-1 del testo). In questo caso non interessano gli insiemi A, B e C: si colora il nodo di partenza con un colore, tutti i suoi vicini con un altro e poi si alternano i colori. Se non occorre mai cambiare il colore di un nodo già colorato (cioe’ non ci sono conflitti), il grafo è bipartito, altrimenti non lo è.

2. Se scegli2 estrae il vertice u da una coda (FIFO), allora abbiamo la visita in ampiezza (breadth-first search, BFS): i vertici a distanza 1 da quello di partenza sono visitati prima di quelli a distanza 2, e così via: estendendo la struttura dati del grafo con un campo distanza è possibile tener traccia delle distanze e quindi fornire la distanza minima di ciascun nodo da quello di partenza (si veda la figura 23.3 del testo).Ed abbiamo quindi costruito l’albero A.

3. Se scegli2 estrae il vertice u da una pila (LIFO), allora abbiamo la visita in profondità (depth-first search, DFS), in cui i nodi a distanza 1 da quello di partenza sono in fondo alla pila e la visita tende invece ad allontanarsi il più possibile dal nodo di partenza, prima di tornare ad avvicinarsi. In realtà qui abbiamo semplificato un po' troppo: per alcune applicazioni è essenziale la versione ricorsiva dell'algoritmo, in cui solo un primo vicino viene immesso nella pila (non tutti i vicini). La pila è gestita automaticamente dalla ricorsione.
Il libro mostra come, estendendo la struttura dati per registrare gli istanti di inizio visita e di fine visita (si veda la figura 23.4) sia poi possibile, per esempio, realizzare il cosiddetto ordinamento topologico (§23.4 del testo), sempre in tempo Θ(V + E). Con la visita in profondita’ possiamo procedere all’Ordinamento topologico di grafi orientati aciclici (DAG directed acyclic graph) utilizzando gli istanti di inizio e fine. In questo modo abbiamo freccie di direzione e vediamo se possiamo ordinare tutti i nodi secondo un certo ordine.
...

4. Se scegli2 estrae il vertice u da una coda con priorità che fornisce il lato uv di peso minimo tra tutti quelli che collegano un vertice v nero a un vertice grigio (come nella figura 24.5 del testo), allora si costruisce "ingordamente" un albero di lati minimi e si ottiene alla fine un albero ricoprente minimo (rispetto alla somma dei pesi dei lati) (se il grafo G è connesso) con l'algoritmo di Prim. Con l’algoritmo di Prim se la coda con priorità è realizzata con un heap binario (come nell'algoritmo di Huffman) il tempo di esecuzione risulta O(E log E) = O(E log V) ( poiche’ sono diversi a meno di una costante due nel caso E=V*V)

5. In alternativa all'algoritmo di Prim si possono scegliere ingordamente/greedy i lati minimi badando solo a non chiudere cicli, quindi costruendo una foresta (che costituisce un matroide, quindi l’algo greedy funziona ottimalmente), che alla fine però risulterà un albero ricoprente minimo, se il grafo è connesso (si veda la figura 24.4: algoritmo di Kruskal). Per stabilire se un lato chiude o no un ciclo si possono usare (la visita in profondita’ oppure) le procedure per insiemi disgiunti applicati agli insiemi di lati e vertici (UNION e FIND-SET) e il tempo di esecuzione è dominato dal tempo O(E log E) per ordinare i lati.

6. Un'ulteriore alternativa (meno nota, ma di interesse non solamente storico) è data dall'algoritmo di Borůvka, che risale al 1926 ed è quindi anteriore alla data di nascita "ufficiale" della teoria dei grafi moderna, che è il 1936, data di pubblicazione del libro di Dénes König, Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. L'articolo originale di Borůvka, tradotto dal ceco in inglese e accompagnato da utili commenti si può leggere alla pagina http://citeseer.nj.nec.com/nesetril00otakar.html.

7. In un grafo orientato con lati pesati in cui i pesi rappresentano le distanze (non negative), se scegli2 estrae il vertice u da una coda con priorità che fornisce il vertice più vicino all’albero A costruito sino a quel momento, allora l’algoritmo fornisce l’albero che collega tutti i vertici al nodo di partenza con le distanze minime, in tempo O(E log V) (algoritmo di Dijkstra, si veda la figura 25.5 del testo).

=== LEZIONE 41di42 del 22/Gennaio/2004 ===

Analisi ammortizzata: metodo degli aggregati e quello degli accantonamenti (cenni al potenziale) (§18.1,§18.2).
Esempi: pile con multipop e contatore,vedere §3.4 degli appunti heap.http://homes.dsi.unimi.it/~torelli/note.html
Tabelle dinamiche (testo §18.4, saltando da pag. 351 alla fine).

§25.3 Riprendiamo l’algoritmo di Dijkstra: cerca di costruire un albero con le distanze minime da un vertice prefissato, a tutti gli altri. Visitiamo sistematicamente il grafo seguendo i lati orientati ovvero le liste di adiacenza. Utilizziamo il metodo dei nodi bianchi/grigi/neri e si richiede di avere archi di peso non negativo, poiche’ questi diminuiscono la lunghezza del percorso che non e’ possibile. Con complessita’ dove si passano tutti i lati + gestione coda con priorita’, quest’ultima gestiamo in tempo logE=lati e la complessita’ e’ O(ElogE).

Tornando al problema dell’albero ricoprente minimo con Algoritmo di Borůvka. Assomiglia a quello di Kruskal xche’ forma alberi separati (foresta) che poi vengono connessi successivamente ed a quello di Prim che espandendosi forma un solo albero. Il numero di alberi si dimezza ad ogni passo e quindi complessita’ e’ ancora O(ElogE) anche se con caratteristiche diverse dagli algoritmi precedenti.

Cap18. Analisi Ammortizzata.
Supponiamo di dover realizzare una pila con operazioni push, pop, e multipop (elimina k elementi ovvero svuota la pila); e di fare una analisi di complessita’, semplice per push e pop mentre non chiara per multipop.
Supponiamo che abbiamo Costo ammortizzato (un costo medio/mediato anche se su operazioni non omogenee, costo(tempo) totale/numero operazione)= T(n)/n.
Oppure faccio n-1 operazioni di push ed alla ennesima faccio una multipop che svuota la pila;
Oppure decido che push costa il doppio con multipop gratis e pop (caso di multipop con k =1) gratis too. In questo modo i costi sono costanti=2n
...
Metodo degli Aggregati. aggregando n operazioni anche se non omogenee, ed ottenendo un costo ‘pseudomedio’/per operazione.
Metodo degli Accantonamento/Contabilita’. Dove si accantonano tramite le operazioni che costano piu’ del loro costo effettivo/iniziale (esempio il doppio) costi per pagare quelle che saranno considerate ‘costo zero’.
Metodo del Potenziale che non vedremo poiche’ seppur corretto e’ ‘ridondande/assomiglia’ con accantonamento dove accantonamento e’ il potenziale disponibile.

Come risolvere il problema del contatore binario con il metodo degli accantonamenti
...
...
- passaggio da 0 a 1, + chiara e possiamo ‘caricarla’ dei costi per altre operazioni (quella inversa) con costo ammortizzato 2(due) che permette di ‘pagare tutto’
- passaggio da 1 a 0, pagato dal precedente (considerando che parto con tutti i bit a zero)
vedi teorema di Legendre

Problema dimensionamento tabelle dinamiche.
...che vengono allocate dinamicamente oppure tramite incrementi successivi con spostamenti.

Gestione dinamica della dimensione di una tabella analizzata con i due metodi:

1) Metodo aggregati:partendo da array di dim=1 raddoppieremo con multipli/potenze di due...
2) Metodo accantonamenti: rapporto di espansione v=vecchio, n=nuovo l’espansione/carico (v+n)/n ecco che costo ammortizzato (CAM)=costo reale+accantonamento=1+x, costo che verra’ pagato n volte per n inserimenti quindi il costo accantonato=CAN=nx e dobbiamo pagare gli spostamenti v+n ecco che e’ necessatio che nx=v+n ed x=1+(v/n) e quindi costo ammortizzato=CAM=2+(v/n) quindi se:
- raddoppio la dimensione della tabella iniziale v=n quindi CAM=2+1=3
- v=(1/2)n quindi triplico array CAM=2.5
- se espando del 50% n=(1/2)v avro’ x=3 e CAM=4 quindi mi costera’ + che espandere +

CAM=(proprio costo effettivo=1) + (proprio costo trasferimento=1) + costi dei ‘vecchi’

=== LEZIONE 42di42 del 23/Gennaio/2004 === – Ultima Lezione AA2003/04

Cenni ai problemi P, NP e NP-completi, NP-hard (introduzione al capitolo 36 del testo).
Algoritmi approssimati: rapporto limite (testo pagina 907).Coperture approssimate di vertici (testo §37.1).
Cenni al problema del commesso viaggiatore e della copertura di un insieme (§37.2, §37.3, solo i risultati)...
Fine corso

Cap.36 Cenni alla classe NP, NP-C. Cosa fare quando non si conoscono soluzioni efficienti? Per esercizi teorici 5/6 nodi sono semplici mentre con 40/50 nodi diventa impossibile.
In tutti i problemi studiati sin’ora si trovavano soluzioni in tempo polinomiale O(nk) per qualche costante k, e quindi erano problemi ‘trattabili’, mentre i problemi non-trattabili hanno comportamento super-polinomiale.
La classe NP (non deterministico-polinomiale) e’ diversa da classe NP-Completa.
Vediamo come esempio il problema della copertura con/dei vertici §37.1...trasformandolo in un problema di decisione (i.e. esiste una copertura con 3 vertici?si). Non si conosce un algoritmo che lo risolva in tempo polinomiale.
...
...
I problemi NP-C sono quelli piu’ difficili all’interno della classe NP.
...
...
(TSP) Algoritmo commesso viaggiatore appartiene classe NP-C per la decisione ed NP-arduo/difficile per l’ottimizzazione
...
...

Errori presenti nel testo “Introduzione agli Algoritmi’ Cormen.
- Pag 199 nel programma FREE-OBJECT free[x] = x è sbagliato. Si sostituisce con free = x
- Pag 191 della procedura DEQUEUE nella riga 2. If head (q) == lunghezza q
- Pag. 52 nel paragrafo metodo di sostituzione appena dopo l’equazione 4.4 “il metodo consiste nel provare che” T(n) < nlogn infatti anche dopo è minore…

Logica fuzzy/2007-2008

2010-09-21T08:35:18Z

Walter:

[[Categoria:Corsi 2007-2008]]
== News ==

ultima lezione: venerdì 11 gennaio

=== Appelli ===
Su appuntamento.

== Informazioni generali ==

=== Sito del corso ===
[http://logicafuzzy.dsi.unimi.it/ logicafuzzy.dsi.unimi.it]

=== Docenti ===
[http://www.ccdi.unimi.it/it/docenti/MARRA-VINCENZO-12C.html Vincenzo Marra]
[http://homes.dsi.unimi.it/~aguzzoli/ Stefano Aguzzoli]

=== Corsi di laurea ===
Complementare per i corsi di laurea triennale in Informatica, Informatica per le Telecomunicazioni e Comunicazione Digitale e per il corso di laurea magistrale in Informatica.

=== Programma ===
* '''Prima Parte (Marra)'''
Introduzione alla logica fuzzy e alle sue applicazioni.
Logica proposizionale booleana.
Norme triangolari e relative logiche fuzzy.
Introduzione alla logica di Gödel.
Semantica della logica di Gödel.
Completezza della logica di Gödel.
Una semantica alternativa per la logica di Gödel.
Logica di Gödel e logica booleana a confronto.

* '''Seconda Parte (Aguzzoli)'''
Introduzione alla logica di Łukasiewicz.
Logica di Łukasiewicz e logica di Gödel a confronto.
Semantica della logica di Łukasiewicz: le MV-algebre di Chang.
Completezza della logica di Łukasiewicz.
Teorema di rappresentazione di McNaughton.
Complessità computazionale dei problemi di soddisfacibilità e tautologicità della logica di Łukasiewicz.
Un approccio generale alle gerarchie di logiche fuzzy: cenni a BL e MTL.

=== Seminari ===
* Nell'anno accademico 2007-2008 si prevedono i seminari seguenti:
Paolo Amato, ST Microelectronics. Titolo da stabilirsi. Data da stabilirsi.
Matteo Bianchi, Università di Milano. Estensioni predicative delle logiche fuzzy. Data da stabilirsi.
Simone Bova, Università di Siena. Introduzione alla Basic Fuzzy Logic di Hájek. Data da stabilirsi.

=== Modalità d'esame ===
L'esame consiste in un colloquio con i docenti sul programma del corso.

Gli studenti che ne facciano richiesta possono anche concordare con i docenti la redazione di una tesina o lo sviluppo di un progetto in sostituzione di parti del programma.

Alcuni esempi di tesine: relazione su un articolo di ricerca; rassegna della letteratura scientifica su un argomento di ricerca.

Alcuni esempi di progetti: implementazione (in C, Java, Prolog, etc.) di algoritmi inerenti al programma del corso; sviluppo di software di supporto alla ricerca nel campo della logica fuzzy.

=== Prerequisiti al corso ===
Nessuno.

=== Orari e luogo delle lezioni ===
* Martedì 13.30-15.30 auletta 5 (Comelico)
* Venerdì 13.30-15.30 auletta 5 (Comelico)

=== Orario di ricevimento studenti ===
* Marra: su appuntamento.
* Aguzzoli: mercoledì dalle 15.00 alle 16.00 o su appuntamento, stanza S204 via Comelico 39.

== Materiale didattico ==
Non ci sono testi che coprano interamente gli argomenti trattati, ma il contenuto delle lezioni è sufficiente per sostenere l'esame.

=== Testi ausiliari consigliati ===
R. L. O. Cignoli, I. M. L. D'Ottaviano e D. Mundici, Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning, Kluwer, 1999.
P. Hájek, Metamathematics of Fuzzy Logic, Kluwer, 1998.
S. Gottwald, A Treatise on Many-Valued Logics, King's College Publications, Research Studies Press, 2001.

=== Dispense ===
Durante le lezioni verrà distribuita una versione preliminare delle dispense del corso.

== Diario del corso ==

=== Lezione di martedì 2/10/2007 ===

* Definizione di logica fuzzy in senso stretto e in senso ampio.
* Concetti di funzione di appartenenza e di insiemi fuzzy.
* Richiamo di logica proposizionale classica: definizioni di proposizione atomica, proposizione composta, alfabeto, stringa, formula.

=== Lezione di venerdì 5/10/2007 ===

'''Semantica della logica proposizionale classica'''
* Assegnamento alle variabili e assegnamento alle formule.
* Definizioni di tautologia, contraddizione e formula soddisfacibile.
* Esempi di tautologie: prelinearità, principio del terzo escluso, ex falso quodlibet, leggi di de Morgan.

'''Teoria della dimostrazione (sintassi)'''
* Assiomi della LPC.
* Definizione di dimostrabilità e derivabilità per modus ponens.
* Teorema di completezza della LPC.

=== Lezione di martedì 9/10/2007 ===

'''Logica di Gödel'''
* Definizione di assegnamento alle variabili e alle formule nella LG (e variante di Zadeh).
* Analisi di alcune tautologie della LC che cadono nella LG (legge della doppia negazione, principio del terzo escluso) o restano tautologie (ex falso quodlibet, prelinearità).
* Inclusione stretta dell'insieme delle tautologie della LG nell'insieme delle tautologie della LC.
* Introduzione del problema di tautologicità nella LG.
* Lemma: l'insieme dei possibili valori di verità di una formula è composto da 1, 0 e i valori di verità delle variabili coinvolte nella formula.

''Oggi sono state distribuite le fotocopie del primo capitolo delle dispense.''

=== Lezione di venerdì 12/10/2007 ===

* Definizione degli assiomi della LG e di formule deducibili (o dimostrabili).
* Teorema di completezza per la LG (senza dimostrazione).
* Definizione di assegnamenti equivalenti su n variabili (che si scrive <math>\mu\equiv_n\nu</math>).
* Lemma: dati due assegnamenti <math>\mu</math> e <math>\nu</math> equivalenti sulle prime n variabili, per ogni formula <math>\alpha \left( x_1 , \ldots , x_n \right)</math> vale:
<math>
\begin{matrix}
\mu\left(\alpha\right)=1 &\Leftrightarrow& \nu\left(\alpha\right)=1 \\
\mu\left(\alpha\right)=\mu\left(x_i\right) &\Leftrightarrow& \nu\left(\alpha\right)=\nu\left(x_i\right) \\
\mu\left(\alpha\right)=0 &\Leftrightarrow& \nu\left(\alpha\right)=0 \\
\end{matrix}
</math>
* Corollario: il problema di tautologicità della LG è decidibile.

=== Lezione di martedì 16/10/2007 ===

* Algoritmo per la risoluzione del problema di tautologicità.
* Dimostrazione intuitiva del fatto che esiste sempre un assegnamento coerente con ogni catena di segni (purchè non siano tutti '=').
* Relazione d'ordine <math>{\leq}_n</math> tra le classi di equivalenza degli assegnamenti nella LG.
* Rappresentazione di <math>\mathcal{F}_n</math> (= insieme delle classi di equivalenza degli assegnamenti su n variabili nella LG) tramite diagrammi di Hasse.

=== Lezione di venerdì 19/10/2007 ===

* Definizioni di: relazione (riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, di equivalenza, d'ordine), insieme parzialmente ordinato (=poset), insieme totalmente ordinato (=catena), elementi inconfrontabili, sottoposet, downset, foresta, elemento minimale, minimo, albero.
* Lemma: per ogni n, la struttura <math>\left( \mathcal{F}_n , {\leq}_n \right)</math> è una foresta (dimostrazione lasciata per esercizio).

=== Lezione di martedì 23/10/2007 ===

* Definizioni di downset di un insieme e sottoforesta.
* Equivalenza semantica e sintattica delle formule (sia nella LC sia nella LG), definizione di 1-set di una formula <math>\alpha</math> nella LC (insieme associato <math>I_\alpha</math>) e nella LG (foresta associata <math>F_\alpha</math>), di classe di equivalenza di una formula.
* Lemma: la foresta associata ad una formula n-aria è una sottoforesta di <math>\mathcal{F}_n</math>.
* Lemma di sconnessione delle foreste: due formule sono equivalenti sse le foreste ad esse associate coincidono.
* Definizione di foglie e radici di una foresta.
* Fatto: <math>\left[\mu\right] \in \mathcal{F}_n</math> è una foglia sse <math>\mu\left(x_i\right)=1</math> per ogni i = 1,...,n .

=== Lezione di venerdì 26/10/2007 ===

'''Forme normali disgiuntive (DNF)'''

* Definizioni (nella logica classica) di: letterale, clausola congiuntiva, mintermine, formula in DNF.
* Definizioni (nella logica di Gödel) di: formula equivalente a un mintermine, clausola di Gödel.
* Teorema:
<math>
\begin{matrix}
F_{\alpha\vee\beta} &=& F_\alpha \cup F_\beta \\
F_{\alpha\wedge\beta} &=& F_\alpha \cap F_\beta \\
F_{\bot} &=& \emptyset \\
F_{\top} &=& \mathcal{F}_n \\
\end{matrix}
</math>
* Esercizio per casa: trovare <math>F_{\alpha\rightarrow\beta}</math> e <math>F_{\neg\alpha}</math>.
* Osservazione: una foresta può sempre essere scritta come unione dei suoi rami massimali.
* Osservazione 2: una foresta <math>F</math> può essere sintetizzata dalla formula <math>\alpha</math> (cioè <math>F_\alpha = F</math>) se <math>\alpha</math> è ottenibile come disgiunzione di formule che sintetizzano i rami massimali di <math>F</math>.
* Definizione del connettivo <math>\triangleleft</math> (che si legge "minore di"):
<math>\beta \triangleleft \alpha \equiv \left( \alpha \rightarrow \beta \right) \rightarrow \alpha</math>.
* Definizione alternativa:
<math>
\mu\left(\beta \triangleleft \alpha\right) = \left\{
\begin{matrix}
1 & \mbox{ se } \mu\left(\beta\right) < \mu\left(\alpha\right) \mbox{ oppure } \mu\left(\beta\right) = \mu\left(\alpha\right) = 1 \\
\mu\left(\alpha\right) & \mbox{altrimenti} \\
\end{matrix} \right.
</math>
* Definizione di formula <math>\alpha_\mu</math> associata a <math>\left[\mu\right]</math>.
* Lemma: il downset di <math>\left[\mu\right]</math> coincide con la foresta associata ad <math>\alpha_\mu</math>.

=== Lezione di martedì 30/10/2007 ===

* Esempi di corrispondenza tra clausole di Gödel e rami di <math>\mathcal{F}_n</math>.
* Lemma: una clausola risulta vera esattamente per gli assegnamenti nel downset del nodo corrispondente alla scelta di segni della clausola.
* Lemma: data una foresta F qualsiasi, esiste sempre un n nei naturali tale che F si immerge in <math>\mathcal{F}_n</math> (cioè F è isomorfa a una foresta contenuta in <math>\mathcal{F}_n</math>).
'''Sistemi Fuzzy''' (argomento facoltativo)
* Introduzione ai sistemi fuzzy ([http://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_control_system pagina di Wikipedia]).
* Definizione di fuzzy set.
* Formalizzazione delle regole fuzzy e assiomi extralogici.
* Esempi e considerazioni sugli insiemi fuzzy in relazione alle logiche polivalenti.

=== Lezione di martedì 6/11/2007 ===

'''Seminario'''
Paolo Amato, ST Microelectronics-M6. '''Logica Fuzzy e Applicazioni Industriali'''.

=== Lezione di martedì 13/11/2007 ===

'''Semantica temporale della LG'''
* Definizioni di assegnamento atomico o alle formule e di tautologia secondo la semantica temporale.
* Semantica temporale dei connettivi.
* Teorema di completezza per la semantica temporale (senza dimostrazione ma con un paio di esempi).
* Relazione tra gli assegnamenti nella semantica temporale e le foreste <math>\mathcal{F}_n</math>.

''Oggi si è conclusa ufficialmente la parte sulla logica di Gödel con Marra, dalla prossima lezione comincerà la parte sulla logica di Łukasiewicz tenuta da Aguzzoli.''

=== Lezione di venerdì 16/11/2007 ===

'''Introduzione alle logiche polivalenti basate su t-norme'''
* Riassunto delle caratteristiche principali della LG e relazione con la LC.
* Rappresentazione grafica della semantica dei connettivi della LG.
* Correttezza del modus ponens fuzzy.
* Definizione di t-norma e esempi di t-norme (tra cui la t-norma di Łukasiewicz).
* Residuazione, residuo, condizione di esistenza del residuo.
* Congiunzione, implicazione e negazione nella logica di Łukasiewicz.

=== Lezione di martedì 20/11/2007 ===

* Grafico della negazione in funzione dello 0-set della t-norma.
* Implicazione in Łukasiewicz: funzione algebrica e grafico.
* Introduzione a BL (basic logic).
* Gerarchia delle logiche: BL, LG, LŁ, LC, logica prodotto e relazioni tra esse.

=== Lezione di venerdì 23/11/2007 ===

* Definizione di congiunzione/disgiunzione forte/debole.
* Teorema: fissando una t-norma, vengono automaticamente definite una congiunzione debole e una disgiunzione debole.
* Proprietà dell'implicazione:
x -> x = 1
1 -> x = x
se x <= y allora x -> y = 1
* Disgiunzione forte in Łukasiewicz, definizione di t-conorma.
* Dimostrazione del fatto che <math>\left\{ \bigodot \lnot \right\}</math>, <math>\left\{ \oplus \lnot \right\}</math>, <math>\left\{ \rightarrow \lnot \right\}</math> sono tre possibili scelte di connettivi primitivi in Łukasiewicz.
* Connettivi derivati: <math>\leftrightarrow</math>, <math>\vee</math>, <math>\wedge</math>.
* Sintassi della logica di Łukasiewicz: alfabeto, formule, teorema di unica leggibilità.
* Semantica [0,1]: assegnamento, assgnamento esteso, formula [0,1]-soddisfacibile, [0,1]-1-soddisfacibile, [0,1]-tautologia.
* Proprietà della logica di Łukasiewicz:
se <math>\varphi</math> è una [0,1]-tautologia, allora <math>\lnot \varphi</math> è [0,1]-insoddisfacibile
se <math>\varphi</math> è [0,1]-soddisfacibile, allora <math>\lnot \varphi</math> non è una [0,1]-tautologia.

=== Lezione di martedì 27/11/2007 ===

* Definizione di teoria e di conseguenza logica nella semantica [0,1].
* Calcolo di Łukasiewicz (=sintassi): schemi di assiomi e regola di inferenza.
* Definizione di prova e di prova da una teoria.
* Enunciato del teorema di correttezza e completezza.
* Teorema: per verificare la [0,1]-tautologia di un assioma basta verificare la [0,1]-tautologia di una sua istanza su variabili.
* Dimostrazione di correttezza del modus ponens e di [0,1]-tautologicità degli assiomi.
* Dimostrazione del teorema di correttezza.
* Esempi di formule provabili.

=== Lezione di martedì 4/12/2007 ===

* Considerazioni sul significato degli assiomi del calcolo di Łukasiewicz.
* Schema di assiomi per il calcolo per la LC.
* Definizione di funzione termine.
* Corrispondenza tra le funzioni termine costanti 1 e le [0,1]-tautologie.
* Completezza funzionale della LC (che in genere non vale nelle logiche polivalenti).
* Funzioni di McNaughton: definizione e esempi.
* Teorema di rappresentazione di Mc Naughton e dimostrazione di un lato della doppia implicazione (funzioni termine -> funzioni Mc Naughton).

=== Lezione di martedì 11/12/2007 ===

* Fine della dimostrazione della volta scorsa (funzioni termine -> funzioni Mc Naughton).
* Lemma di Rose-Rosser (con dimostrazione).

=== Lezione di venerdì 14/12/2007 ===

* Sequenze di Farey.
* Teorema di Farey-Cauchy.
* Cappelli di Schauder.
* Lemma: I cappelli di Schauder sono funzioni di Mc Naughton (con dimostrazione).
* Metodo iterativo per la costruzione di sequenze di Farey (e visione geometrica dell'algoritmo coi cappelli di Schauder).

=== Lezione di martedì 18/12/2007 ===

* Dimostrazione del secondo lato del teorema di McNaughton (funzioni Mc Naughton -> funzioni termine) nel caso particolare di una sola variabile.
* Accenno al caso con 2 variabili.

=== Lezione di venerdì 21/12/2007 ===

* Equivalenza logica sintattica e semantica tra formule.
* La relazione di equivalenza logica sintattica è una relazione di congruenza (dimostrazione).
* Definizione di MV-algebra ed esempi di MV-algebre.
* Algebra di Lindenbaum.
* L'algebra di Lindenbaum è una MV-algebra (dimostrazione).

=== Lezione di martedì 8/1/2008 ===

* Fine della dimostrazione del fatto che l'algebra di Lindenbaum è una MV-algebra.
* Definizioni di: assegnamento, assegnamento esteso, equazioni valide e funzioni termine in una MV-algebra.
* Teorema di completezza algebrica di Chang (senza dimostrazione).
* Teorema di completezza per la logica di Łukasiewicz.

Logica fuzzy/2007-2008

2010-09-20T06:59:46Z

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