Complementi di analisi/2006-2007

2008-07-15T21:06:27Z

ZeldoMleto: errolzellet

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[[Categoria:Corsi 2006-2007]]

== Materiale didattico ==
* Appunti presi a lezione

=== Programma del corso ===
* Dal DICo: [http://www.dico.unimi.it/files/occorrenza/programma/programma176151.pdf Programma di Complementi di Analisi]
* Guardare anche il sito ufficiale del corso.

=== Bibliografia consigliata ===
Questi libri sono solo consigliati, qualsiasi altro libro che tratta gli stessi argomenti, va bene.
* M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: "Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare" , Zanichelli
* N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: "Elementi di Analisi Matematica II", Liguori Editore
* P. Marcellini, C. Sbordone: "Calcolo", Liguori Editore
* S. Salsa, A. Squellati: "Esercizi di Analisi Matematica 2", Masson
* P. Marcellini, C. Sbordone: "Esercitazioni di Matematica", Liguori Editore
* Carlamaria Maderna: "Analisi Matematica II: Esercizi scelti", Milano CittaStudi

== Diario del corso ==

=== Lezione di GiovedÃ¬ 05 ottobre 2006 ===
* Presentazione del corso.
* Il campo dei numeri complessi.
* Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.
* Teorema fondamentale dell'algebra.

=== Lezione di MartedÃ¬ 10 ottobre 2006 ===
* Successioni numeriche.
* Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica (con dimostrazione).
* Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica.

=== Lezione di GiovedÃ¬ 12 ottobre 2006 ===
* Serie armonica generalizzata, serie di termine generale 1/[(n^a)|log n|^b].
* Criteri di convergenza per serie a termini di segno costante (>=0).
** Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice.
* Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualunque.
** Criterio della convergenza assoluta, criterio di Leibniz.
* Successioni di funzioni. Insieme di convergenza semplice o puntuale, funzione limite.
* Convergenza puntuale di successioni di funzioni.

=== Lezione di MartedÃ¬ 17 ottobre 2006 ===
* Convergenza uniforme di successioni di funzioni.
* Teoremi di limitatezza, continuitÃ , passaggio al limite sotto il segno di integrale.
* Teorema di derivazione per successioni di funzioni.

=== Lezione di GiovedÃ¬ 19 ottobre 2006 ===
* Esercizi sulle successioni di funzioni.
* Serie di funzioni. Convergenza puntuale, funzione somma e convergenza uniforme di serie di funzioni.
* Condizione necessaria per la convergenza uniforme di serie di funzioni (con dimostrazione).

=== Lezione di MartedÃ¬ 24 ottobre 2006 ===
* Condizione sufficiente per la convergenza uniforme di serie di funzioni (teorema di Weierstrass) (con dimostrazione).
* Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni. Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze..

=== Lezione di GiovedÃ¬ 26 ottobre 2006 ===
* Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni.
* Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze. Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza.

=== Lezione di MartedÃ¬ 31 ottobre 2006 ===
* Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza. Teorema di Abel sulla convergenza di serie di potenze.
* RegolaritÃ della funzione somma di una serie di potenze. Esercizi sulle serie di potenze.
* Serie di Taylor associata ad una funzione di classe C-infinito.

=== Lezione di GiovedÃ¬ 02 novembre 2006 ===
* Relazione tra formula di Taylor e serie di Taylor.
* Criterio di analiticitÃ .
* Esercizi.

=== Lezione di MartedÃ¬ 07 novembre 2006 ===
* Introduzione alle serie di Fourier.
* Polimomi trigonometrici e serie trigonometriche.
* Coefficienti di Fourier e serie di Fourier.
* Funzioni continue a tratti, regolari a tratti, C^1 a tratti.
* Teorema sulla convergenza in media quadratica delle serie di Fourier.
* Teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier.
* Teorema sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier.

=== Lezione di GiovedÃ¬ 09 novembre 2006 ===
* Teorema di Parseval e conseguenze.
* Esercizi sulle serie di Fourier.

=== Lezione di MartedÃ¬ 14 novembre 2006 ===
* Integrali impropri. Esempi di funzioni integrabili in senso improprio.
* Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Integrabilita' assoluta.
* Introduzione alla trasformata di Fourier: serie di Fourier in forma esponenziale.
* Trasformata di Fourier. Proprieta' di continuita' e comportamento all'infinito della trasformata di Fourier. Antitrasformata di Fourier. Trasformata di Fourier delle funzioni pari/dispari.
* Trasformata di Fourier delle funzioni impulsive. Cenni al caso limite della trasformata di Fourier della funzione delta di Dirac.

=== Lezione di MartedÃ¬ 21 novembre 2006 ===
* Ulteriori proprieta' della trasformata di Fourier: linearita', trasformata della derivata, uguaglianza di Parseval.
* Esercizi sulle trasformate di Fourier.

=== Lezione di GiovedÃ¬ 30 novembre 2006 ===
* R^n e norma euclidea. Insiemi aperti di R^n. Punti interni, punti di accumulazione.
* Funzioni reali in piu' variabili. Continuita' di funzioni in piu' variabili.
* Derivate parziali. Vettore gradiente.
* Implicazioni della continuita' delle derivate parziali e analogie con il caso n=1:
** continuita';
** esistenza del piano tangente;
** formula di Taylor del I ordine.
* Derivate direzionali e relativa formula del gradiente.
* Significato geometrico del gradiente rispetto alla direzione di massimo accrescimento.
* Introduzione alle equazioni differenziali
* Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie che derivano dalla fisica e dalla dinamica delle popolazioni.
* Classificazione delle equazioni differenziali ordinarie: equazioni di ordine n, equazioni lineari.
* Forma normale di una equazione differenziale. Problema di Cauchy associato.
* Problema di Cauchy per una equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale: formula risolutiva e proprieta' della soluzione.

=== Lezione di MartedÃ¬ 05 dicembre 2006 ===
* Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine.
* Teorema di Peano per il problema di Cauchy (equazioni I ordine) (esistenza locale) .
* Teorema di esistenza e unicita' locale (o in piccolo) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).
* Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.Teoremi di esistenza e unicita' globale (o in grande) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).

=== Lezione di MartedÃ¬ 12 dicembre 2006 ===
* Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.

=== Lezione di GiovedÃ¬ 14 dicembre 2006 ===
* Esercizi sulle equazioni differenziali di Bernoulli.
* Equazioni differenziali a variabili separabili. Metodo generale di risoluzione.
* Esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
* Equazioni differenziali omogenee. Metodo generale di risoluzione.
* Esercizi sulle equazioni differenziali omogenee.

=== Lezione di MartedÃ¬ 19 dicembre 2006 ===
* Equazioni differenziali lineari di ordine n: problema di Cauchy associato ed enunciato del teorema di esistenza e unicita' globale.
* Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee.
* Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee (con dimostrazione).
* Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni non omogenee (con dimostrazione).
* Metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
* Metodo per la ricerca delle n soluzioni linearmente indipendenti di una equazione differenziale lineare di ordine n omogenea a coefficienti costanti.

=== Lezione di GiovedÃ¬ 21 dicembre 2006 ===
* Esercizi sulle equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e non omogenee, a coefficienti costanti.
* Metodo delle funzioni simili per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, non omogenee.
* Esercizi su problemi ai limiti per equazioni differenziali lineari del II ordine.

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