Complementi di matematica - Cronologia

Mattiie: /* Settima lezione - 12 ottobre */

2012-10-18T17:21:56Z

‎Settima lezione - 12 ottobre

Mattiie: /* Sesta lezione - 10 ottobre */

2012-10-18T16:41:21Z

‎Sesta lezione - 10 ottobre

Mattiie: /* Sesta lezione - 10 ottobre */

2012-10-18T16:25:34Z

‎Sesta lezione - 10 ottobre

Mattiie: /* Sesta lezione - 10 ottobre */

2012-10-18T11:39:15Z

‎Sesta lezione - 10 ottobre

Mattiie: /* Sesta lezione - 10 ottobre */

2012-10-18T11:20:10Z

‎Sesta lezione - 10 ottobre

Mattiie: /* Sesta lezione - 10 ottobre */

2012-10-18T10:55:24Z

‎Sesta lezione - 10 ottobre

Mattiie: /* Sesta lezione - 10 ottobre */

2012-10-18T10:07:50Z

‎Sesta lezione - 10 ottobre

Mattiie: /* Quinta lezione - 9 ottobre */

2012-10-17T23:31:23Z

‎Quinta lezione - 9 ottobre

Mattiie: /* Quinta lezione - 9 ottobre */

2012-10-17T19:40:19Z

‎Quinta lezione - 9 ottobre

Mattiie: /* Quinta lezione - 9 ottobre */

2012-10-17T19:17:42Z

‎Quinta lezione - 9 ottobre

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 ===Settima lezione - 12 ottobre===
-Distanza minima da un sottospazio V⊂X di dimensione qualunque <br>
+Distanza minima da un sottospazio V⊂X di dimensione qualunque
-Approccio analitico: ottimizzazione funzione di piu' variabili, non ancora trattata!<br>
+:<math>\varphi (t_1, t_2, .. , t_k) = \|x - (t_1 v_1, t_2 v_2, ... , t_k v_k)\|^2 </math>(quadrato della distanza)
 Risoluzione geometrica, ovvero proiezione ortogonale di x∈X su V:
 *definizione come x*∈V tale che ⟨x-x*,v⟩=0 per ogni v∈V
-*dimostrazione unicita' di x*
+*dimostrazione unicita' di x* <br>Dimostriamo per assurdo che esista un altro <math>x_{\star\star}</math><br>Allora sarebbero vere le due equazioni<br><math><x - x_{\star\star}, v> = 0 \qquad \forall v \in V</math><br><math><x - x_{\star}, v> = 0 \qquad \forall v \in V</math><br>di conseguenza<br><math><x_\star - x_{\star\star}, v> = 0 \qquad \forall v \in V</math><br>ma poichè deve essere vero per ogni v, scegliamo <math>v = x_\star - x_{\star \star}</math><br><math><x_\star - x_{\star \star}, x_\star - x_{\star \star}> = 0</math><br><math>\|x_\star - x_{\star \star}\|^2 = 0</math> ma due punti a distanza zero coincidono! Quindi <br><math>x_\star = x_{\star \star}</math>
 *dimostrazione costruttiva esistenza di x* tramite scelta di una base v1, ..., vk per il sottospazio V
 *matrice di Gram associata a v1, ..., vk

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 :<math>f(x)</math> è lineare poichè è lineare il prodotto scalare.
 Enunciato e dimostrazione disuguaglianza di Schwarz, con caratterizzazione uguaglianza
-:<math>\psi(t) = \|x-t_\star v\|^2 = \|x\|^2 - 2t_\star<v,x> + \|tv\|^2=\|x\|^2 - 2t_\star<v,x> + <t_\star v, t_\star v> = \|x\|^2 -2t_\star<v,x> + t_\star^2<v,v> = </math><br>
+:<math>\psi(x) = \|x-t_\star v\|^2 = \|x\|^2 - 2t_\star<v,x> + \|tv\|^2=\|x\|^2 - 2t_\star<v,x> + <t_\star v, t_\star v> = \|x\|^2 -2t_\star<v,x> + t_\star^2<v,v> = </math><br>
 :<math>=\|x\|^2 - 2\frac{<x, v>^2}{\|v\|^2} + \frac{<x, v>^2}{\|v\|^2} = \|x\|^2 - \frac{<x, v>^2}{\|v\|^2}</math>
 :Ciò dimostra la disuguaglianza di Schwarz infatti
-:<math>\psi(t)\ge 0 \Rightarrow \|x\|^2 - \frac{<x, v>^2}{\|v\|^2} \ge 0 \Rightarrow \|x\|^2 \|v\|^2 \ge <x, v>^2 \Rightarrow \|x\| \|v\| \ge |<x, v>|</math>
+:<math>\psi(x)\ge 0 \Rightarrow \|x\|^2 - \frac{<x, v>^2}{\|v\|^2} \ge 0 \Rightarrow \|x\|^2 \|v\|^2 \ge <x, v>^2 \Rightarrow \|x\| \|v\| \ge |<x, v>|</math>
 :L'uguaglianza si verifica quando <math>x \in v</math>

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 :<math>f(x)</math> è lineare poichè è lineare il prodotto scalare.
 Enunciato e dimostrazione disuguaglianza di Schwarz, con caratterizzazione uguaglianza
-:<math>\psi(x) = \|x-t_\star v\|^2 = \|x\|^2 - 2t<v,x> + \|tv\|^2=\|x\|^2 - 2t_\star<v,x> + <t_\star v, t_\star v> = \|x\|^2 -2t_\star<v,x> + t_\star^2<v,v> = </math><br>
+:<math>\psi(t) = \|x-t_\star v\|^2 = \|x\|^2 - 2t_\star<v,x> + \|tv\|^2=\|x\|^2 - 2t_\star<v,x> + <t_\star v, t_\star v> = \|x\|^2 -2t_\star<v,x> + t_\star^2<v,v> = </math><br>
 :<math>=\|x\|^2 - 2\frac{<x, v>^2}{\|v\|^2} + \frac{<x, v>^2}{\|v\|^2} = \|x\|^2 - \frac{<x, v>^2}{\|v\|^2}</math>
 :Ciò dimostra la disuguaglianza di Schwarz infatti
-:<math>\psi(x)\ge 0 \Rightarrow \|x\|^2 - \frac{<x, v>^2}{\|v\|^2} \ge 0 \Rightarrow \|x\|^2 \|v\|^2 \ge <x, v>^2 \Rightarrow \|x\| \|v\| \ge |<x, v>|</math>
+:<math>\psi(t)\ge 0 \Rightarrow \|x\|^2 - \frac{<x, v>^2}{\|v\|^2} \ge 0 \Rightarrow \|x\|^2 \|v\|^2 \ge <x, v>^2 \Rightarrow \|x\| \|v\| \ge |<x, v>|</math>
 :L'uguaglianza si verifica quando <math>x \in v</math>

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 :Dimostro che la minima distanza e la proiezione ortogonale coincidono
 :<math><x-x_\star, v> = <x - \frac{<x, v>}{\|v\|^2} v, v> = <x,v> - \frac{<x, v>}{\|v\|^2}<v, v> = <x, v> - <x, v> = 0</math>
-:<math>f(x)</math> è lineare poichè è lineare il prodotto scalare</math>
+:<math>f(x)</math> è lineare poichè è lineare il prodotto scalare.
-Enunciato e dimostrazione disuguaglianza di Schwarz, con caratterizzazione uguaglianza<br>
+Enunciato e dimostrazione disuguaglianza di Schwarz, con caratterizzazione uguaglianza
 Versione geometrica del prodotto scalare:
 *nel Rn Euclideo, dalla trigonometria elementare <x,v>=||x||||v||cos(θ)

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 :Ne studio la derivata e vedo che è uguale a zero quando <math>t_\star = \frac{<x, v>}{\|v\|^2}</math>
 :di conseguenza
-:<math>x_\star = t_\star v =  \frac{<x, v>}{\|v\|^2} v</math>
+:<math>f(x) = x_\star = t_\star v =  \frac{<x, v>}{\|v\|^2} v</math>
 :Dimostro che la minima distanza e la proiezione ortogonale coincidono
 :<math><x-x_\star, v> = <x - \frac{<x, v>}{\|v\|^2} v, v> = <x,v> - \frac{<x, v>}{\|v\|^2}<v, v> = <x, v> - <x, v> = 0</math>
 Enunciato e dimostrazione disuguaglianza di Schwarz, con caratterizzazione uguaglianza<br>
 Versione geometrica del prodotto scalare:

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 *caratterizzazione geometrica x*: <x-x*,v>=0
 *linearita' della mappa x→x*: rango, immagine e nucleo
 Enunciato e dimostrazione disuguaglianza di Schwarz, con caratterizzazione uguaglianza<br>
 Versione geometrica del prodotto scalare:

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 ===Sesta lezione - 10 ottobre===
 Basi ortonormali
 Relazioni tra ortogonalita' ed indipendenza:
-*un insieme di vettori non nulli ed ortogonali a coppie e' lineramente indipendente
+*un insieme di vettori non nulli ed ortogonali a coppie e' lineramente indipendente (infatti il vettore nullo è ortogonale a qualsiasi vettore ma ne è anche dipendente)
 *viceversa ovviamente falso
-Definizione ed esempi di basi ortonormali, tra cui la base canonica di Rn con prodotto scalare Euclideo <br>
+Definizione ed esempi di basi ortonormali, tra cui la base canonica di <math>\mathbb{R}^n</math> con prodotto scalare Euclideo <br>
 Decomposizione di un vettore lungo una base ortonormale:
 *calcolo delle componenti

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 La norma euclidea ha pedice 2; tuttavia, durante il corso, non si porrà tale pedice.
 Esempi di norme differenti in <math>R^2</math>
-*norma del tassista ||(x,y)||1=|x|+|y|
+*norma del tassista <math>\|(x,y)\|_2 =\|x\|+\|y\|</math>
-*norma infinito ||(x,y)||∞=|x|+|y|
+*norma infinito <math>\|(x,y)\|_\infty = max(\|x\|,\|y\|)</math>
 *geometria delle relative palle unitarie
 Esempi di norme in altri spazi:
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 *norma del sup nello spazio di funzioni limitate
-Prodotto scalare in uno spazio reale <br>
+Prodotto scalare in uno spazio reale
-Nozione di ortogonalita' tra vettori di Rn nella norma Euclidea:
+:<math><x,y>= \sum_{i=1}^nx_iy_i\quad x, y \in R^n  </math><br>E' quindi una funzione che associa a due vettori un elemento del campo.
 *caratterizzazione ortogonalita' tramite teorema di Pitagora
 *espressione in componenti dell'ortogonalita'
 *definzione di prodotto scalare Euclideo

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 ===Quinta lezione - 9 ottobre===
 Norma in spazi vettoriali reali <br>
-Norma Euclidea ||x||2 in Rn e sua giustificazione tramite teorema di Pitagora <br>
+:La norma di <math>\|x\|</math> è la distanza del punto x dal punto 0.
 Proprieta' della norma Euclidea:
 *positivita' ed annullamento
 *positiva omogeneita'
 *disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione, per il momento)
-Assiomatizzazione del concetto di norma
+Assiomatizzazione del concetto di norma: Una norma è una qualsiasi funzione che rispetta le precedenti proprietà. Per distinguere le differenti norme si pone un pedice dopo il suo simbolo.
-Esempi di norme differenti in R2
+La norma euclidea ha pedice 2; tuttavia, durante il corso, non si porrà tale pedice.
 *norma del tassista ||(x,y)||1=|x|+|y|
 *norma infinito ||(x,y)||∞=|x|+|y|
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 Esempi di norme in altri spazi:
 *norma Euclidea negli spazi di matrici
-*norma del sup nelgi spazio di funzioni limitate
+*norma del sup nello spazio di funzioni limitate
 Prodotto scalare in uno spazio reale <br>