Metodi probabilistici/2007-2008 - Cronologia

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‎Diario del corso

159.149.134.17 il 10:14, 14 mar 2008

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159.149.134.17 il 10:11, 14 mar 2008

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159.149.134.17 il 11:02, 10 mar 2008

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159.149.134.17 il 10:39, 10 mar 2008

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Walter il 07:46, 8 mar 2008

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Yoruno il 13:05, 7 mar 2008

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[[Categoria:Corsi 2007-2008]]

== Diario del corso ==
=== Lezione del giorno 3/3/2008 ===
* Introduzione al corso
* Partendo dal concetto di variabile casuale ripasso di:
** Funzione, Relazione, Prodotto Cartesiano
* Ripasso del concetto di funzione di ripartizione
** Ri-defizione del concetto di funzione di ripartizione come probabilità della controimmagine di una variabile casuale con argomento la semiretta dei reali delimitata da un x segnato
* Primo approccio al concetto di funzione misurabile (Sigma-s misurabile, con s semiretta dei Reali)

=== Lezione del giorno 7/3/2008 ===
* Recap del modello Kolmogoroviano (omega, sigma, P)
* Proprietà delle funzioni di ripartizione
** Ripasso del concetto di continuità da dx e sx
** Data una generica F(x) che gode delle tre proprietà (MGB 67-68) questa è una funzione di ripartizione della quale possiamo definire modello Kolmogoroviano. (Vedi MGB 68-2.3)
* Concetto di misurabilità partendo da esempi elementari (da CPSM) con distribuzione uniforme in (a,b]
** Il concetto di misurabilità va ridefinito superando il "vincolo dell'intervallo".
*** Non tutti i sottoinsiemi di una retta R sono intervalli, eppure sono "interessanti".
** Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna (R, B(R), Px)
** Prima citazione degli insieme di Borel (B(R)).
* Ripasso del concetto di esponenziale (con naturale estensione al piano complesso)
** Sistema di 2 equazioni g(0) = 1 , g'(x) = g(x)
*** Ripasso del concetto di derivata come limite del rapporto incrementale
*** Ricerca di una soluzione tra i polinomi
*** Verifica della soluzione Sum{ x^n / n!, n da 0 a oo}
*** Verifica della convergenza della serie
** Definizione formale del numero di nepero
** Cenno di dimostrazione sulla proprietà exp(x+y) = exp(x) * exp(y) [utilizzare binomio di Newton]
** Esponenziale di complessi
*** Legame con funzione seno e coseno

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	** Definizione di lunghezza , distanza rispetto al valore atteso		** Definizione di lunghezza , distanza rispetto al valore atteso
	** Relazione tra valore atteso e varianza nello spazio vettoriale		** Relazione tra valore atteso e varianza nello spazio vettoriale
		+	=== Lezione del giorno 17/3/2008===
		+	* IL DIARIO DI QUESTA LEZIONE E' UN PO' APPROSSIMATIVO, DEVO ANCORA CAPIRE BENE LA LEZIONE
		+	* Covarianza (utilizzando cauchy-shwarz)
		+	**Coefficiente di correlazione
		+	* Regressione lineare (dimostrazione analitica, attraverso derivate parziali e determinante della matrice associata al sistema lineare definito - CRAMER)
		+	* Il valore atteso di Z (varibile casuale definita come il polinomio di primo grado della regressione) concide con quello della variabile casuale da "stimare"
		+	* Anticipazione su Tcheb.
		+	=== Lezione del giorno 28/3/2008===
		+	* Rivisitazione del concetto di regressione lineare attraverso inferenze di carattere puramente geometrico..tutti gli argomenti trattati il 17 si rifanno il 28 con un approccio molto più semplice e immediato.
		+	* Primo approccio al concetto di valore atteso condizionato (N.B è una variabile casuale)
		+	* Stima parametrica - stimatori UMVUE
		+	** Dimostrazione unicità stimatori UMVUE
		+	** il valore atteso della differenza di due v.c. stimatori UMVUE "=" 0 (nella prossima lezione si puntualizza quell'uguale tra virgolette).
		+	=== Lezione del giorno 31/3/2008===
		+	* Iniziamo la lezione con un caso degenere di stimatore (non riusciamo a trovarne uno per il problema posto).
		+	* Valutiamo la statistica (S+T)/2 e ragioniamo ancora sul concetto di unicità dello stimatore UMVUE.
		+	** Digressione sul "quasi ovunque".
		+	** Dimostrazione unicità asttraverso il concetto di Probabilità & tcheb.
		+	** Digressone sulla norma quadra definita in L2 rispetto alla media campionaria.
		+	* Ritorniamo al compito per introdurre le f. generatrici.
		+	** E' necessario studiare il dominio della f.generatrice...non è cosi banale.
		+	*** Caso della exp negativo
		+	** Estensione al piano complesso della f. generatrice.
		+	* Dimostrazione che la distribuzione di Cauchy non segue il th centrale della statistica. Infatti non ammette valore atteso!

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 === Lezione del giorno 14/3/2008 ===
-* Variabili casuali ne continue ne discrete
+* Variabili casuali né continue né discrete
 ** Definizioni di valore atteso e varianza di v.c. generiche (2.6 MGB 75 e 2.9 MGB 78)
 ** Rimando a definizione elementare di E(x) da CPSM --> la definizione di varianza dipende dalla definizione di valore atteso.

← Versione meno recente		Versione delle 10:11, 14 mar 2008
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	* Accenno alla non commutatività dell'algebra		* Accenno alla non commutatività dell'algebra
	* [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183526903 Irving Segal - Algebraic Integration Theory] cfr. pag. 430.		* [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183526903 Irving Segal - Algebraic Integration Theory] cfr. pag. 430.
		+
		+	=== Lezione del giorno 14/3/2008 ===
		+	* Variabili casuali ne continue ne discrete
		+	** Definizioni di valore atteso e varianza di v.c. generiche (2.6 MGB 75 e 2.9 MGB 78)
		+	** Rimando a definizione elementare di E(x) da CPSM --> la definizione di varianza dipende dalla definizione di valore atteso.
		+	* Ridefinizione formale del th. di pag 432 articolo Irving Segal
		+	** Esempi pratici di isomorfismi tra algebre e loro realizzazioni
		+	*** Corpo lanciato che segue traiettoria
		+	*** Distribuzione delle particelle in un gas
		+	* Dimostrazione della disuguaglianza di Tcheb. secondo il th sopracitato.
		+	* Cauchy - Schwarz su v.c. limitate
		+	** si parte da E((Y-tX)^2) con t <math>\in \mathbb{R}</math>
		+	** Valutiamo discriminante del polinomio
		+	*** Precisazione sul caso in cui E(x)=0 sse le v.c. sono proporzionali secondo t.
		+	** Si deduce che per le v.c. dotate di momento secondo <math>\exists E(XY)</math>
		+	* Introduzione allo spazio L^2
		+	** Tramite Cauchy-Schwarz deduciamo che L^2 è spazio vettoriale
		+	** Recap di spazio vettoriale e proprietà delle op definite in esso
		+	** Definizione di lunghezza , distanza rispetto al valore atteso
		+	** Relazione tra valore atteso e varianza nello spazio vettoriale

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 ** Limitazione di X, |X| <math>\leq</math> c
 * Definizione formale dell'algebra sulla quale lavoreremo
-**E(A^2) <math>\geq</math> 0 ( = 0 sse A=0)
+** <math> E(A^2) \geq</math> 0 ( = 0 sse A=0)
 **<math>\forall A,B \in \mathbb{A}\ \  \exists b \in \mathbb{R}: E(BA^2) \leq bE(A^2) </math>
 * Data la struttura <math>\mathbb{A}</math>, esiste uno spazio di probabilità <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> tale che <math>\mathbb{A}</math> è isomorfo alla famiglia delle v.c. limitate definite su <math>\Omega</math>, regolari rispetto a <math>\Sigma</math>

@@ Riga 40: / Riga 40: @@
 *** Valutazione della derivata della F di ripartizione (in 0 non è definita, i limiti sono diversi)
 * Riflessione sulla derivata in <math>\mathbb{C}</math>; è condizione "inifinitamente" stringente poichè vi sono infiniti limiti da valutare (h varia in tutte le oo direzioni in <math>\mathbb{C}</math>)
-** derivabile in <math>\mathbb{C}\Leftrightarrow</math> svuiluppabile in serie di potenze
+** derivabile in <math>\mathbb{C}\Leftrightarrow</math> sviluppabile in serie di potenze
 * Introduciamo valore atteso E()
 ** Linearità, E(1) = 1, associatività e commutatività per le v.c.

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 === Lezione del giorno 10/3/2008 ===
 * Riprendiamo discorso su F di ripartizione
 ** Proprietà F che portano al concetto di "Assenza di memoria"

← Versione meno recente		Versione delle 10:39, 10 mar 2008
Riga 30:		Riga 30:
	** Esponenziale di complessi		** Esponenziale di complessi
	*** Legame con funzione seno e coseno		*** Legame con funzione seno e coseno
		+
		+	=== Lezione del giorno 10/3/2008 ===
		+	* Riprendiamo discorso su F di ripartizione
		+	** Proprietà F che portano al concetto di "Assenza di memoria"
		+	** Unicità della soluzione per G(x+y) = G(x)+G(y) --> G(x) = exp (-<math>\nu</math>x)
		+	** Tempo attesa esponenziale (cfr con legge Poisson)
		+	** Risoluzione primo esercizio CPSM tema di febb
		+	*** Valutazione della derivata della F di ripartizione (in 0 non è definita, i limiti sono diversi)
		+	* Riflessione sulla derivata in <math>\mathbb{C}</math>; è condizione "inifinitamente" stringente poichè vi sono infiniti limiti da valutare (h varia in tutte le oo direzioni in <math>\mathbb{C}</math>)
		+	** derivabile in <math>\mathbb{C}\Leftrightarrow</math> svuiluppabile in serie di potenze
		+	* Introduciamo valore atteso E()
		+	** Linearità, E(1) = 1, associatività e commutatività per le v.c.
		+	** Limitazione di X, \|X\| <math>\leq</math> c
		+	* Definizione formale dell'algebra sulla quale lavoreremo
		+	**E(A^2) <math>\geq</math> 0 ( = 0 sse A=0)
		+	**<math>\forall A,B \in \mathbb{A}\ \ \exists b \in \mathbb{R}: E(BA^2) \leq bE(A^2) </math>
		+	* Data la struttura <math>\mathbb{A}</math>, esiste uno spazio di probabilità <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> tale che <math>\mathbb{A}</math> è isomorfo alla famiglia delle v.c. limitate definite su <math>\Omega</math>, regolari rispetto a <math>\Sigma</math>
		+	* Valore atteso definito come integrale:
		+	<math>E(A) = \int_\Omega a(\omega)dP = \int_\mathbb{R} x \frac{dF}{dx} dx</math>
		+	dove A <-> a tramite l'isomorfismo sopracitato.
		+	* Accenno alla non commutatività dell'algebra
		+	* [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183526903 Irving Segal - Algebraic Integration Theory] cfr. pag. 430.

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 ** Il concetto di misurabilità va ridefinito superando il "vincolo dell'intervallo".
 *** Non tutti i sottoinsiemi di una retta R sono intervalli, eppure sono "interessanti".
-** Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna (<math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathcal{B}</math>(<math>\mathbb{R}</math>), Px)
+** Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna (<math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathcal{B}</math>(<math>\mathbb{R}</math>), <math>P_X</math>)
 ** Prima citazione degli insieme di Borel <math>\mathcal{B}</math>(<math>\mathbb{R}</math>).
 * Ripasso del concetto di esponenziale (con naturale estensione al piano complesso)

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 * Ripasso del concetto di funzione di ripartizione
 ** Ri-defizione del concetto di funzione di ripartizione come probabilità della controimmagine di una variabile casuale con argomento la semiretta dei reali delimitata da un x segnato
-* Primo approccio al concetto di funzione misurabile (Sigma-s misurabile, con s semiretta dei Reali)
+* Primo approccio al concetto di funzione misurabile (<math>\Sigma</math>-s misurabile, con s semiretta dei Reali <math>\mathbb{R}</math>)
 === Lezione del giorno 7/3/2008 ===
-* Recap del modello Kolmogoroviano (omega, sigma, P)
+* Recap del modello Kolmogoroviano (<math>\Omega</math>, <math>\Sigma</math>, P)
 * Proprietà delle funzioni di ripartizione
 ** Ripasso del concetto di continuità da dx e sx
@@ Riga 18: / Riga 18: @@
 ** Il concetto di misurabilità va ridefinito superando il "vincolo dell'intervallo".
 *** Non tutti i sottoinsiemi di una retta R sono intervalli, eppure sono "interessanti".
-** Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna (R, B(R), Px)
+** Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna (<math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathcal{B}</math>(<math>\mathbb{R}</math>), Px)
-** Prima citazione degli insieme di Borel (B(R)).
+** Prima citazione degli insieme di Borel <math>\mathcal{B}</math>(<math>\mathbb{R}</math>).
 * Ripasso del concetto di esponenziale (con naturale estensione al piano complesso)
 ** Sistema di 2 equazioni g(0) = 1 , g'(x) = g(x)
 *** Ripasso del concetto di derivata come limite del rapporto incrementale
 *** Ricerca di una soluzione tra i polinomi
-*** Verifica della soluzione Sum{ x^n / n!,  n da 0 a oo}
+*** Verifica della soluzione <math>\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}</math>
 *** Verifica della convergenza della serie
-** Definizione formale del numero di nepero
+** Definizione formale del numero di Nepero
 ** Cenno di dimostrazione sulla proprietà exp(x+y) = exp(x) * exp(y)  [utilizzare binomio di Newton]
 ** Esponenziale di complessi
 *** Legame con funzione seno e coseno