Complementi di matematica

Edizione 2012-2013

Premessa: vista la completezza del sito in Ariel relativo al corso, ho pensato di inserire sul wiki consigli pratici allo studio della materia.

Richiami di algebra lineare

Prima lezione - 2 ottobre

Esempi di spazi vettoriali, reali e complessi con esibizione esplicita di basi:

• $R_{n}$: operazioni algebriche e loro interpretazione geometrica; verifica concreta dell'indipendenza di k vettori
• $C_{n}$ come spazio vettoriale complesso di dimensione n e come spazio vettoriale reale di dimensione 2n
• $P_{n}[x]$: polinomi di grado minore od uguale a n nella variabile x
• matrici n x m
• funzioni da f:R→R come esempio di spazio di dimensione infinita

Sottospazi vettoriali:

• definizione di sottospazio e chiusura ripsetto alle operazioni vettoriali
• esempi concreti di verifica con calcolo della dimensione e deteminazione di una base

La lezione si è occupata prevalentemente del paragrafo 2.2 delle dispense di P. Favro ed A. Zucco che si trovano sul sito del corso.

In particolar modo è importante sapere verificare se

• dati un insieme di vettori essi siano o meno indipendenti;
• dato un sottoinsieme di uno spazio vettoriale esso sia o meno un sottospazio vettoriale;

Seconda lezione - 3 ottobre

Somma di sottospazi Y,Z di X

• l'unione Y∪Z non e' in generale un sottospazio di X
• Y+Z come minimo sottospazio contenente Y∪Z
• consistenza di Y∩Z ed unicita' della decomposizione
• somma diretta di sottospazi

Per questa parte si può fare sempre riferimento al paragrafo 2.2, in particolare a quanto scritto nelle pagine 15-16.

Enti lineari in $R_{n}$

• definizione parametrica di retta
• equazione cartesiana di una retta nel piano
• equazione cartesiana di un piano in $R^{3}$
• equazione cartesiana di una retta in $R^{3}$: non unicita'.

Fare riferimento a quanto scritto nei paragrafi 3.1 e 3.2. Per quanto riguarda l'equazione del piano in $R^{3}$[1].

Terza lezione - 4 ottobre

Enti lineari in $R_{n}$:

• definizione parametrica di piano k-dimensionale
• iperpiano = piano di codimensione 1
• esempio di iperpiano in $R_{m}$ e determinazione della sua equzione cartesiana

Operatori lineari:

• definizione ed esempi concreti di verifica
• coniugio nel campo complesso C: R-lineare ma non C-lineare
• matrice associata al coniugio, rispetto alla base reale {1, i}
• matrice associata al coniugio, rispetto alla base reale {1, 1+i}

Matrici associate ad un operatore lineare A : X → Y

• $[x]_{V}$ vettore delle componenti di x rispetto alla base V
• matrice $[A]_{{WV}}$ associata ad A rispetto alle basi V in X e W in Y
• ricostruzione dell'azione di A a partire dalla matrice associata: $[Ax]_{W}=[A]_{{WV}}[x]_{V}$
• matrice $[I]_{{V_{1}V_{2}}}$ associata all'indentita': matrice del cambio di base
• cambio delle basi ed effetto sulla matrice associata: $[A]_{{W_{2}V_{2}}}=[I]_{{W_{2}W_{1}}}[A]_{{W_{1}V_{1}}}[I]_{{V_{1}V_{2}}}$

Quarta lezione - 5 ottobre

Operatori astratti A:X→Y

• $[x]_{V}$ vettore delle componenti di x rispetto alla base V
• matrice $[A]_{{WV}}$ associata ad A rispetto alle basi V in X e W in Y
• ricostruzione dell'azione di A a partire dalla matrice associata: $[Ax]_{W}=[A]_{{WV}}[x]_{V}$
• matrice [I]V1V2 associata all'indentita': matrice del cambio di base
• cambio delle basi ed effetto sulla matrice associata: $[A]_{{W_{2}V_{2}}}=[I]_{{W_{2}W_{1}}}[A]_{{W_{1}V_{1}}}[I]_{{V_{1}V_{2}}}$

Operatori lineari $A:R_{n}\rightarrow R_{m}$

• base canonica E
• proprieta' notevole della base canonica $[x]_{E}=x$
• azione dell'operatore nelle basi canoniche: $Ax=[Ax]_{E}=[A]_{{EE}}[x]_{E}=[A]_{{EE}}x$
• identificazione operatore-matrice nelle basi canoniche: $A=[A]_{{EE}}$
• esempi di calcolo della matrice rappresentativa in basi non canoniche
• immagine di un operatore e sua dimensione: rango di ogni matrice rappresentativa
• nucleo di un operatore e sua dimensione: numero colonne - rango di ogni matrcie rappresentativa
• caratterizzazione iniettivita'\suriettivita' tramite rango matrice rappresentativa
• il caso speciale dominio=codominio: iniettivita' equivalente a suriettivita'.