Complementi di matematica

Edizione 2012-2013

Premessa: vista la completezza del sito in Ariel relativo al corso, ho pensato di inserire sul wiki consigli pratici allo studio della materia.

Richiami di algebra lineare

Prima lezione - 2 ottobre

Esempi di spazi vettoriali, reali e complessi con esibizione esplicita di basi:

• ${\mathbb {R}}_{n}$: operazioni algebriche e loro interpretazione geometrica; verifica concreta dell'indipendenza di k vettori
• ${\mathbb {C}}_{n}$ come spazio vettoriale complesso di dimensione n e come spazio vettoriale reale di dimensione 2n
• $P_{n}[x]$: polinomi di grado minore od uguale a n nella variabile x
• matrici n x m
• funzioni da $f:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}$ come esempio di spazio di dimensione infinita

Sottospazi vettoriali:

• definizione di sottospazio e chiusura rispetto alle operazioni vettoriali
• esempi concreti di verifica con calcolo della dimensione e deteminazione di una base

La lezione si è occupata prevalentemente del paragrafo 2.2 delle dispense di P. Favro ed A. Zucco che si trovano sul sito del corso.

In particolar modo è importante sapere verificare se

• dati un insieme di vettori essi siano o meno indipendenti;
• dato un sottoinsieme di uno spazio vettoriale esso sia o meno un sottospazio vettoriale;

Seconda lezione - 3 ottobre

Somma di sottospazi Y,Z di X

• l'unione Y∪Z non e' in generale un sottospazio di X
• Y+Z come minimo sottospazio contenente Y∪Z
• consistenza di Y∩Z ed unicita' della decomposizione
• somma diretta di sottospazi

Per questa parte si può fare sempre riferimento al paragrafo 2.2, in particolare a quanto scritto nelle pagine 15-16.

Enti lineari in $R_{n}$

• definizione parametrica di retta
• equazione cartesiana di una retta nel piano
• equazione cartesiana di un piano in $R^{3}$
• equazione cartesiana di una retta in $R^{3}$: non unicita'.

Fare riferimento a quanto scritto nei paragrafi 3.1 e 3.2. Per quanto riguarda l'equazione del piano in $R^{3}$[1].

Terza lezione - 4 ottobre

Enti lineari in $R^{n}$:

• definizione parametrica di piano k-dimensionale
• iperpiano = piano di codimensione 1
• esempio di iperpiano in $R^{m}$ e determinazione della sua equzione cartesiana

Operatori lineari:

• definizione ed esempi concreti di verifica

esempio: sia

$B:R^{2}\rightarrow R$

$B(x,y)=1+x+2y$

Vogliamo sapere se la funzione B è una mappa lineare o meno; dobbiamo quindi vedere se rispetta l'additività e l'omogeneità.

Testiamo la seconda nel seguente modo:

$B(\alpha (x,y)=\alpha B(x,y)$ dove $\alpha \in R$

$B(\alpha x,\alpha y)=\alpha B(x,y)$

$1+\alpha x+2\alpha y\neq \alpha +\alpha x+2\alpha y$

Poichè non vale l'uguaglianza possiamo concludere che B non è una mappa lineare.

Vediamo invece un caso in cui lo è:

$A(x,y)=x+2y$

Testiamo l'omogeneità

$A(\alpha (x,y)=\alpha B(x,y)$ dove $\alpha \in R$

$A(\alpha x,\alpha y)=\alpha B(x,y)$

$\alpha x+2\alpha y=\alpha x+2\alpha y$

L'uguaglianza è vera; testiamo ora l'additività:

$A(x+z,y+w)=A(x,y)+A(z,w)$

$x+z+2y+2w=x+2y+z+2w$

Poichè l'uguaglianza è vera, possiamo dice che A è una mappa lineare dallo spazio vettoriale $R^{2}$ allo spazio vettoriale $R$

• coniugio nel campo complesso C: R-lineare ma non C-lineare

$L:{\mathbb {C}}\rightarrow {\mathbb {C}}$

$L(z)={\bar {z}}$

L'additività vale in ogni caso:

$L(z+w)=L(z)+L(w)$

$\overline {z+w}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

Mentre l'omogeneità vale solo se $\alpha \in {\mathbb {R}}$

$L(\alpha z)=\alpha L(z)$

$\overline {\alpha z}=\alpha {\bar {z}}$

${\bar {\alpha }}{\bar {z}}=\alpha {\bar {z}}$

Infatti se $\alpha \in {\mathbb {C}}$ avremmo:

${\bar {\alpha }}{\bar {z}}\neq \alpha {\bar {z}}$

• matrice associata al coniugio, rispetto alla base reale {1, i}
• matrice associata al coniugio, rispetto alla base reale {1, 1+i}

Matrici associate ad un operatore lineare A : X → Y

Gli argomenti trattati da qui in poi sono spiegati chiaramente al paragrafo 2.8 per libro "Linear Algebra Done Wrong" di cui trovate il link sul sito del corso

• $[x]_{V}$ vettore delle componenti di x rispetto alla base V
• matrice $[A]_{{WV}}$ associata ad A rispetto alle basi V in X e W in Y
• ricostruzione dell'azione di A a partire dalla matrice associata: $[Ax]_{W}=[A]_{{WV}}[x]_{V}$
• matrice $[I]_{{V_{1}V_{2}}}$ associata all'indentita': matrice del cambio di base
• cambio delle basi ed effetto sulla matrice associata: $[A]_{{W_{2}V_{2}}}=[I]_{{W_{2}W_{1}}}[A]_{{W_{1}V_{1}}}[I]_{{V_{1}V_{2}}}$

Quarta lezione - 5 ottobre

Operatori astratti A:X→Y

• $[x]_{V}$ vettore delle componenti di x rispetto alla base V
• matrice $[A]_{{WV}}$ associata ad A rispetto alle basi V in X e W in Y
• ricostruzione dell'azione di A a partire dalla matrice associata: $[Ax]_{W}=[A]_{{WV}}[x]_{V}$
• matrice $[I]_{{V_{1}V_{2}}}$ associata all'indentita': matrice del cambio di base
• cambio delle basi ed effetto sulla matrice associata: $[A]_{{W_{2}V_{2}}}=[I]_{{W_{2}W_{1}}}[A]_{{W_{1}V_{1}}}[I]_{{V_{1}V_{2}}}$

Operatori lineari $A:R_{n}\rightarrow R_{m}$

• base canonica E
• proprieta' notevole della base canonica $[x]_{E}=x$
• azione dell'operatore nelle basi canoniche: $Ax=[Ax]_{E}=[A]_{{EE}}[x]_{E}=[A]_{{EE}}x$
• identificazione operatore-matrice nelle basi canoniche: $A=[A]_{{EE}}$
• esempi di calcolo della matrice rappresentativa in basi non canoniche

Tutti i punti sopra citati sono trattati nel paragrafo 2.8 del libro "Linear Algebra Done Wrong" di cui trovate il link sul sito del corso.

• immagine di un operatore e sua dimensione: rango di ogni matrice rappresentativa

sia $A:R_{n}\rightarrow R_{m}$ una qualsiasi mappa lineare, l'immagine di A è:

$Im(A)=\{y:\exists x\in X,y=A(x)\}$

La dimensione di $Im(A)$ è data dal rango della matrice rappresentativa di A:

$[A]_{{WV}}$, dove V è base di $R^{n}$ e W è base di $R^{m}$

• nucleo di un operatore e sua dimensione: numero colonne - rango di ogni matrice rappresentativa

Il nucleo di un operatore (anche detto kernel) è:

$ker(A)=\{x:A(x)=0_{v}\}$, dove con $0_{v}$ intendo il vettore nullo del codominio.

• caratterizzazione iniettivita'\suriettivita' tramite rango matrice rappresentativa

Sia V uno spazio vettoriale e A un'applicazione lineare, allora dim(ker(A)) + dim((Im(A)) = dim(V);

La funzione A è iniettiva se dim(Ker(A)) = 0, ovvero se $ker(A)=\{0_{v}\}$;

La funzione A è suriettiva se dim(Im(A)) = dim(W). Ricordo che V è una base del dominio e W del codominio.

• il caso speciale dominio=codominio: iniettivita' equivalente a suriettivita'.

Soluzione esercizi

1.1a) Dire se $v_{1}=(1,2)\quad v_{2}=(3,-4)$ sono linearmente indipendenti.

In generale, diciamo che n vettori $v_{1},v_{2},..,v_{n}$ sono linearmente indipendenti quando

$\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+...+\lambda _{n}v_{n}=0_{v}$ solo quando

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=...=\lambda _{n}=0$

($0_{v}$ è il vettore nullo, $\lambda _{i}$ sono i coefficienti)

Per verificare questo abbiamo principalmente due modi:

1. I vettori vengono riscritti come prodotto delle basi, in questo caso canoniche, quindi
   $v_{1}=1e_{1}+2e_{2}\qquad v_{2}=3e_{1}-4e_{2}$
   $\lambda _{1}(e_{1}+2e_{2})+\lambda _{2}(3e_{1}-4e_{2})=0$
   Raccogliamo le due basi
   $e_{1}(\lambda _{1}+3\lambda _{2})+e_{2}(2\lambda _{1}-4\lambda _{2})=0$
   Mettiamo le due equazioni a sistema
   ${\begin{cases}\lambda _{1}+3\lambda _{2}=0\\2\lambda _{1}-3\lambda _{2}=0\end{cases}}$
   Risolvendolo si trova che $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ quindi possiamo concludere che sono linearmente indipendenti.
2. Un metodo molto più veloce è fare la matrice dei due vettori:
   $A={\begin{bmatrix}1&3\\2&-4\end{bmatrix}}$
   che corrisponde alla matrice dei coefficienti del sistema appena sopra
   Se verifichiamo che il determinante di questa matrice è diverso da zero allora possiamo dire che la soluzione del sistema è la soluzione banale (questa proprietà del determinante vale solo per le matrici quadrate), ovvero tutti i lambda a zero.
   $det(A)=-4-6=-10\neq 0$
   Anche in questo modo possiamo concludere che i vettori sono linearmente indipendenti.

1.1b) Lo stesso per i vettori $v_{1}=(1,2)\quad v_{2}=(3,1)\quad v_{3}=(2,-1)$

${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&1&-1\end{bmatrix}}$

Poichè formano una matrice 2 x 3, possiamo già dire che non sono indipendenti perchè il rango massimo è 2, e il rango è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti.

Risposta: no, non sono linearmente indipendenti.

1.2) Non sono linearmente indipendenti poichè il determinante è 0.

1.3) Sono linearmente indipendenti poichè il determinante è diverso da 0.

1.4) Boh

1.5) Essendo in un campo di 3 dimensioni, basta che i tre vettori siano linearmente indipendenti infatti, il numero di dimensioni ci dice il massimo numero di vettori linearmente indipendenti tra di loro. E' quindi una base.

1.7) Un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è tale se è a sua volta un sottospazio, ovvero le operazioni di somma è prodotto per scalare sono chiuse (il loro risultato appartiene al sottospazio).

• Somma: $(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b)\in V_{1}$
  Prodotto:$\lambda (a,a,a)=(\lambda a,\lambda a,\lambda a)\in V_{1}$
  $V_{1}$ è un sottospazio di ${\mathbb {R}}^{3}$
• $V_{2}$ è un sottospazio di ${\mathbb {R}}^{3}$
• $V_{3}$ è un sottospazio di ${\mathbb {R}}^{3}$
• $V_{4}$ non è un sottospazio di ${\mathbb {R}}^{3}$
• $V_{5}$ non è un sottospazio di ${\mathbb {R}}^{3}$

1.15) Le rette $r_{k},s_{k}$ sono definite come l'intersezione dei piani le cui equazioni sono nei sistemi.

Dobbiamo trovare il punto P in cui si incontrano, al variare di k. Per fare ciò dobbiamo trovare la soluzione al sistema unito.

Uniamo i sistemi:

${\begin{cases}x_{1}+3x_{2}+x_{3}=4\\kx_{1}+\qquad 2x_{3}=2\\2x_{1}+kx_{2}-x_{3}=k-1\\\qquad x_{2}+3x_{3}=4\end{cases}}$

Riduciamolo ad un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:

• Sommiamo la prima riga alla terza;
• Moltiplichiamo la seconda per ${\frac {3}{2}}$ e sottraiamo la quarta riga:

${\begin{cases}3x_{1}+(3+k)x_{2}=3+k\\{\frac {3}{2}}kx_{1}-x_{2}=-1\end{cases}}$

$x_{2}={\frac {3}{2}}kx_{1}+1$ Sostituendo nella prima, dopo alcune semplificazioni, si arriva a

${\frac {3}{2}}x_{1}(k^{2}+3k+2)=0$

Se il trinomio in k si annulla (questo accade per $k=-1,-2$, l'equazione è vera per qualsiasi $x_{1}$: non si tratta quindi di un punto e non ha senso studiarlo.

Se invece k è diverso da quei valori, l'equazione è vera solo per $x_{1}=0$. Da questo è facile trovare che $x_{2}=x_{3}=1$

Il punto P in cui si incontrano le rette sarà $P={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}$

L'esercizio chiede inoltre di trovare l'equazione della retta $t$ passante per l'origine e $P$:

$t\rightarrow {\begin{bmatrix}0\\t\\t\end{bmatrix}}$ di cui si può anche trovare l'equazione cartesiana:

$t={\begin{cases}x=0\\y=t\\z=t\end{cases}},t\in {\mathbb {R}}^{3}$

e togliendo t

$t={\begin{cases}x=0\\y=z\end{cases}}$

Spazi euclidei e calcolo vettoriale

Quinta lezione - 9 ottobre

Norma in spazi vettoriali reali

La norma di $\|x\|$ è la distanza del punto x dal punto 0.

Norma Euclidea $\|x\|_{2}$ in $R^{n}$ e sua giustificazione tramite teorema di Pitagora

Sia $x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\.\\.\\x_{n}\end{bmatrix}}\qquad \|x\|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+..+x_{n}^{2}}}$

In $R^{2}$ è il noto teorema di pitagora: $x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\qquad \|x\|={\sqrt {(x_{1}-0)^{2}+(x_{2}-0)^{2}}}$

Proprieta' della norma Euclidea:

• positivita' ed annullamento
• positiva omogeneita'
• disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione, per il momento)

Assiomatizzazione del concetto di norma: Una norma è una qualsiasi funzione che rispetta le precedenti proprietà. Per distinguere le differenti norme si pone un pedice dopo il suo simbolo. La norma euclidea ha pedice 2; tuttavia, durante il corso, non si porrà tale pedice. Esempi di norme differenti in $R^{2}$

• norma del tassista $\|(x,y)\|_{2}=\|x\|+\|y\|$
• norma infinito $\|(x,y)\|_{\infty }=max(\|x\|,\|y\|)$
• geometria delle relative palle unitarie

Esempi di norme in altri spazi:

• norma Euclidea negli spazi di matrici
• norma del sup nello spazio di funzioni limitate

Prodotto scalare in uno spazio reale

$<x,y>=\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}y_{i}\quad x,y\in R^{n}$
E' quindi una funzione che associa a due vettori un elemento del campo.

Nozione di ortogonalita' tra vettori di ${\mathbb {R}}^{n}$ nella norma Euclidea:

Due vettori sono ortogonali se e solo se $<x,y>=0$

• caratterizzazione ortogonalita' tramite teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora afferma che quando si tratta di triangoli rettangoli, ovvero con due lati ortogonali, si ha che

$\|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}$(teorema di pitagora riscritto in maniera diversa)

ma poichè $\|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}-2<x,y>+\|y\|^{2}$

concludiamo che questo accade solo quando $<x,y>=0$

• espressione in componenti dell'ortogonalita'
• definzione di prodotto scalare Euclideo
• ricostruzione norma Euclidea a partire dal prodotto scalare Euclideo

Proprieta' del prodotto scalare < , > e sua assiomatizzazione:

• simmetria: <x,y>=<y,x> per ogni x,y
• bilinearita' che nella prima componente si scrive; <ax+bz,y>=a<x,y>+b<z,y> per ogni scalare a,b ed ogni x,z,y
• positivita' ed annullamento: x≠0 implica <x,x>>0

Norma associata ad un prodotto scalare:

• definizione ||x||2=<x,x>
• omogeneita', positivita' ed annullamento della norma
• disuguagliqanza di Schwarz e suo utlizzo per la disuguaglianza triangolare della norma

Non tutte le norme derivano da un prodototo scalare

• identita' del parallelogrammo e sue conseguenze
• il caso della norma del tassista

Sesta lezione - 10 ottobre

Basi ortonormali

Una base ortonormale è formata da vettori ortogonali tra loro e tutti di norma 1.

Relazioni tra ortogonalita' ed indipendenza:

• un insieme di vettori non nulli ed ortogonali a coppie e' lineramente indipendente (infatti il vettore nullo è ortogonale a qualsiasi vettore ma ne è anche dipendente)
• viceversa ovviamente falso

Definizione ed esempi di basi ortonormali, tra cui la base canonica di ${\mathbb {R}}^{n}$ con prodotto scalare Euclideo
Decomposizione di un vettore lungo una base ortonormale:

• calcolo delle componenti
• calcolo della norma

Distanza minima e proiezione ortogonale in dimensione 1
Problema: dato V=Rv ed x∈V determinare per la minima distanza di x da V

• determinare per quale t la funzione f(t)=||x-tv||2 e' minima
• risposta: t*=<x,v>/||v||2
• x*=t*v piede della perpendicolare a V condotta da x
• caratterizzazione geometrica x*: <x-x*,v>=0
• linearita' della mappa x→x*: rango, immagine e nucleo

Data una base unidimensionale $v$ e un vettore $x$ di cui si vuole trovare la proiezione ortogonale$x_{\star }$

Sappiamo intuitivamente che $<x-x_{\star },v>=0\quad \forall v\in V$ però devo trovare $x_{\star }$

Per far ciò, data la retta $tv$ cerco $t$ tale che la distanza da $x$ sia minima, quindi

$\psi (t)=\|x-tv\|^{2}$ è la funzione che descrive il quadrato della distanza,

Ne studio la derivata e vedo che è uguale a zero quando $t_{\star }={\frac {<x,v>}{\|v\|^{2}}}$

di conseguenza

$f(x)=x_{\star }=t_{\star }v={\frac {<x,v>}{\|v\|^{2}}}v$

Dimostro che la minima distanza e la proiezione ortogonale coincidono

$<x-x_{\star },v>=<x-{\frac {<x,v>}{\|v\|^{2}}}v,v>=<x,v>-{\frac {<x,v>}{\|v\|^{2}}}<v,v>=<x,v>-<x,v>=0$

$f(x)$ è lineare poichè è lineare il prodotto scalare.

Enunciato e dimostrazione disuguaglianza di Schwarz, con caratterizzazione uguaglianza

$\psi (x)=\|x-t_{\star }v\|^{2}=\|x\|^{2}-2t_{\star }<v,x>+\|tv\|^{2}=\|x\|^{2}-2t_{\star }<v,x>+<t_{\star }v,t_{\star }v>=\|x\|^{2}-2t_{\star }<v,x>+t_{\star }^{2}<v,v>=$

$=\|x\|^{2}-2{\frac {<x,v>^{2}}{\|v\|^{2}}}+{\frac {<x,v>^{2}}{\|v\|^{2}}}=\|x\|^{2}-{\frac {<x,v>^{2}}{\|v\|^{2}}}$

Ciò dimostra la disuguaglianza di Schwarz infatti

$\psi (x)\geq 0\Rightarrow \|x\|^{2}-{\frac {<x,v>^{2}}{\|v\|^{2}}}\geq 0\Rightarrow \|x\|^{2}\|v\|^{2}\geq <x,v>^{2}\Rightarrow \|x\|\|v\|\geq |<x,v>|$

L'uguaglianza si verifica quando $x\in v$

Versione geometrica del prodotto scalare:

• nel Rn Euclideo, dalla trigonometria elementare <x,v>=||x||||v||cos(θ)
• nel caso generale, la formula precedente definisce θ

Settima lezione - 12 ottobre

Distanza minima da un sottospazio V⊂X di dimensione qualunque

$\varphi (t_{1},t_{2},..,t_{k})=\|x-(t_{1}v_{1},t_{2}v_{2},...,t_{k}v_{k})\|^{2}$(quadrato della distanza)

Studiare il minimo di questa funzione è molto complesso quindi

Risoluzione geometrica, ovvero proiezione ortogonale di x∈X su V:

• definizione come x*∈V tale che ⟨x-x*,v⟩=0 per ogni v∈V
• dimostrazione unicita' di x*
  Dimostriamo per assurdo che esista un altro $x_{{\star \star }}$
  Allora sarebbero vere le due equazioni
  $<x-x_{{\star \star }},v>=0\qquad \forall v\in V$
  $<x-x_{{\star }},v>=0\qquad \forall v\in V$
  di conseguenza
  $<x_{\star }-x_{{\star \star }},v>=0\qquad \forall v\in V$
  ma poichè deve essere vero per ogni v, scegliamo $v=x_{\star }-x_{{\star \star }}$
  $<x_{\star }-x_{{\star \star }},x_{\star }-x_{{\star \star }}>=0$
  $\|x_{\star }-x_{{\star \star }}\|^{2}=0$ ma due punti a distanza zero coincidono! Quindi
  $x_{\star }=x_{{\star \star }}$
• dimostrazione costruttiva esistenza di x* tramite scelta di una base v1, ..., vk per il sottospazio V
• matrice di Gram associata a v1, ..., vk
• esempio concreto di inversione della matricie di Gram e calcolo di x*

Proprieta' generali della proiezione ortogonale PV su V:

• operatore lineare X→X
• immagine = V
• nucleo = tutti e soli i vettori di X che sono ortogonali a V
• PVPV=PV

Studio della matrice di Gram
Definizione:

• v1, ..., vk∈X vettori assegnati
• matrice G=G(v1, ..., vk) definita tramite Gij=⟨vi,vj⟩
• matrice quadrata simmetrica di dimensione k

Teorema: G invertibile se e solo se i vettori v1, ..., vk∈X sono linearmente indipendenti
Passi chiave della dimostrazione:

• u=λ1v1+...+λkvk e w=μ1v1+...+μkvk generici elementi di V
• λ=(λ1,...,λk) e μ=(μ1,...,μk) elementi di Rk
• vale formula di calcolo ⟨w,u⟩=⟨μ,Gλ⟩ dove l'ultimo prodotto scalare e' quello Euclideo standard di Rk
• dedurne che u=0 equivale a Gλ=0
• invertibilita' di G equivalente alla iniettivita' dell'operatore associato (base canonica)

Osservazioni:

• quando i vettori v1, ..., vk sono ortonormali, la matrice di Gram e' l'identita'
• metodo molto conveniente per valutare indipendenza lineare quando k<dim(X)