Complementi di matematica

Edizione 2012-2013

Premessa: vista la completezza del sito in Ariel relativo al corso, ho pensato di inserire sul wiki consigli pratici allo studio della materia.

Richiami di algebra lineare

Prima lezione - 2 ottobre

Esempi di spazi vettoriali, reali e complessi con esibizione esplicita di basi:

• ${\mathbb {R}}_{n}$: operazioni algebriche e loro interpretazione geometrica; verifica concreta dell'indipendenza di k vettori
• ${\mathbb {C}}_{n}$ come spazio vettoriale complesso di dimensione n e come spazio vettoriale reale di dimensione 2n
• $P_{n}[x]$: polinomi di grado minore od uguale a n nella variabile x
• matrici n x m
• funzioni da $f:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}$ come esempio di spazio di dimensione infinita

Sottospazi vettoriali:

• definizione di sottospazio e chiusura ripsetto alle operazioni vettoriali
• esempi concreti di verifica con calcolo della dimensione e deteminazione di una base

La lezione si è occupata prevalentemente del paragrafo 2.2 delle dispense di P. Favro ed A. Zucco che si trovano sul sito del corso.

In particolar modo è importante sapere verificare se

• dati un insieme di vettori essi siano o meno indipendenti;
• dato un sottoinsieme di uno spazio vettoriale esso sia o meno un sottospazio vettoriale;

Seconda lezione - 3 ottobre

Somma di sottospazi Y,Z di X

• l'unione Y∪Z non e' in generale un sottospazio di X
• Y+Z come minimo sottospazio contenente Y∪Z
• consistenza di Y∩Z ed unicita' della decomposizione
• somma diretta di sottospazi

Per questa parte si può fare sempre riferimento al paragrafo 2.2, in particolare a quanto scritto nelle pagine 15-16.

Enti lineari in $R_{n}$

• definizione parametrica di retta
• equazione cartesiana di una retta nel piano
• equazione cartesiana di un piano in $R^{3}$
• equazione cartesiana di una retta in $R^{3}$: non unicita'.

Fare riferimento a quanto scritto nei paragrafi 3.1 e 3.2. Per quanto riguarda l'equazione del piano in $R^{3}$[1].

Terza lezione - 4 ottobre

Enti lineari in $R^{n}$:

• definizione parametrica di piano k-dimensionale
• iperpiano = piano di codimensione 1
• esempio di iperpiano in $R^{m}$ e determinazione della sua equzione cartesiana

Operatori lineari:

• definizione ed esempi concreti di verifica

esempio: sia

$B:R^{2}\rightarrow R$

$B(x,y)=1+x+2y$

Vogliamo sapere se la funzione B è una mappa lineare o meno; dobbiamo quindi vedere se rispetta l'additività e l'omogeneità.

Testiamo la seconda nel seguente modo:

$B(\alpha (x,y)=\alpha B(x,y)$ dove $\alpha \in R$

$B(\alpha x,\alpha y)=\alpha B(x,y)$

$1+\alpha x+2\alpha y\neq \alpha +\alpha x+2\alpha y$

Poichè non vale l'uguaglianza possiamo concludere che B non è una mappa lineare.

Vediamo invece un caso in cui lo è:

$A(x,y)=x+2y$

Testiamo l'omogeneità

$A(\alpha (x,y)=\alpha B(x,y)$ dove $\alpha \in R$

$A(\alpha x,\alpha y)=\alpha B(x,y)$

$\alpha x+2\alpha y=\alpha x+2\alpha y$

L'uguaglianza è vera; testiamo ora l'additività:

$A(x+z,y+w)=A(x,y)+A(z,w)$

$x+z+2y+2w=x+2y+z+2w$

Poichè l'uguaglianza è vera, possiamo dice che A è una mappa lineare dallo spazio vettoriale $R^{2}$ allo spazio vettoriale $R$

• coniugio nel campo complesso C: R-lineare ma non C-lineare

$L:{\mathbb {C}}\rightarrow {\mathbb {C}}$

$L(z)={\bar {z}}$

L'additività vale in ogni caso:

$L(z+w)=L(z)+L(w)$

$\overline {z+w}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

Mentre l'omogeneità vale solo se $\alpha \in {\mathbb {R}}$

$L(\alpha z)=\alpha L(z)$

$\overline {\alpha z}=\alpha {\bar {z}}$

${\bar {\alpha }}{\bar {z}}=\alpha {\bar {z}}$

Infatti se $\alpha \in {\mathbb {C}}$ avremmo:

${\bar {\alpha }}{\bar {z}}\neq \alpha {\bar {z}}$

• matrice associata al coniugio, rispetto alla base reale {1, i}
• matrice associata al coniugio, rispetto alla base reale {1, 1+i}

Matrici associate ad un operatore lineare A : X → Y

Gli argomenti trattati da qui in poi sono spiegati chiaramente al paragrafo 2.8 per libro "Linear Algebra Done Wrong" di cui trovate il link sul sito del corso

• $[x]_{V}$ vettore delle componenti di x rispetto alla base V
• matrice $[A]_{{WV}}$ associata ad A rispetto alle basi V in X e W in Y
• ricostruzione dell'azione di A a partire dalla matrice associata: $[Ax]_{W}=[A]_{{WV}}[x]_{V}$
• matrice $[I]_{{V_{1}V_{2}}}$ associata all'indentita': matrice del cambio di base
• cambio delle basi ed effetto sulla matrice associata: $[A]_{{W_{2}V_{2}}}=[I]_{{W_{2}W_{1}}}[A]_{{W_{1}V_{1}}}[I]_{{V_{1}V_{2}}}$

Quarta lezione - 5 ottobre

Operatori astratti A:X→Y

• $[x]_{V}$ vettore delle componenti di x rispetto alla base V
• matrice $[A]_{{WV}}$ associata ad A rispetto alle basi V in X e W in Y
• ricostruzione dell'azione di A a partire dalla matrice associata: $[Ax]_{W}=[A]_{{WV}}[x]_{V}$
• matrice $[I]_{{V_{1}V_{2}}}$ associata all'indentita': matrice del cambio di base
• cambio delle basi ed effetto sulla matrice associata: $[A]_{{W_{2}V_{2}}}=[I]_{{W_{2}W_{1}}}[A]_{{W_{1}V_{1}}}[I]_{{V_{1}V_{2}}}$

Operatori lineari $A:R_{n}\rightarrow R_{m}$

• base canonica E
• proprieta' notevole della base canonica $[x]_{E}=x$
• azione dell'operatore nelle basi canoniche: $Ax=[Ax]_{E}=[A]_{{EE}}[x]_{E}=[A]_{{EE}}x$
• identificazione operatore-matrice nelle basi canoniche: $A=[A]_{{EE}}$
• esempi di calcolo della matrice rappresentativa in basi non canoniche

Tutti i punti sopra citati sono trattati nel paragrafo 2.8 del libro "Linear Algebra Done Wrong" di cui trovate il link sul sito del corso.

• immagine di un operatore e sua dimensione: rango di ogni matrice rappresentativa

sia $A:R_{n}\rightarrow R_{m}$ una qualsiasi mappa lineare, l'immagine di A è:

$Im(A)=\{y:\exists x\in X,y=A(x)\}$

La dimensione di $Im(A)$ è data dal rango della matrice rappresentativa di A:

$[A]_{{WV}}$, dove V è base di $R^{n}$ e W è base di $R^{m}$

• nucleo di un operatore e sua dimensione: numero colonne - rango di ogni matrice rappresentativa

Il nucleo di un operatore (anche detto kernel) è:

$ker(A)=\{x:A(x)=0_{v}\}$, dove con $0_{v}$ intendo il vettore nullo del codominio.

• caratterizzazione iniettivita'\suriettivita' tramite rango matrice rappresentativa

Sia V uno spazio vettoriale e A un'applicazione lineare, allora dim(ker(A)) + dim((Im(A)) = dim(V);

La funzione A è iniettiva se dim(Ker(A)) = 0, ovvero se $ker(A)=\{0_{v}\}$;

La funzione A è suriettiva se dim(Im(A)) = dim(W). Ricordo che V è una base del dominio e W del codominio.

• il caso speciale dominio=codominio: iniettivita' equivalente a suriettivita'.

Soluzione esercizi

1.1a) Dire se $v_{1}=(1,2)\quad v_{2}=(3,-4)$ sono linearmente indipendenti.

In generale, diciamo che n vettori $v_{1},v_{2},..,v_{n}$ sono linearmente indipendenti quando

$\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+...+\lambda _{n}v_{n}=0_{v}$ solo quando

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=...=\lambda _{n}=0$

($0_{v}$ è il vettore nullo, $\lambda _{i}$ sono i coefficienti)

Per verificare questo abbiamo principalmente due modi:

• I vettori vengono riscritti come prodotto delle basi, in questo caso canoniche, quindi

$v_{1}=1e_{1}+2e_{2}\qquad v_{2}=3e_{1}-4e_{2}$

$\lambda _{1}(e_{1}+2e_{2})+\lambda _{2}(3e_{1}-4e_{2})=0$

Raccogliamo le due basi

$e_{1}(\lambda _{1}+3\lambda _{2})+e_{2}(2\lambda _{1}-4\lambda _{2})=0$

Mettiamo le due equazioni a sistema

${\begin{cases}\lambda _{1}+3\lambda _{2}=0\\2\lambda _{1}-3\lambda _{2}=0\end{cases}}$

Risolvendolo si trova che $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ quindi possiamo concludere che sono linearmente indipendenti.

• Un metodo molto più veloce è fare la matrice dei due vettori:

$A={\begin{bmatrix}1&3\\2&-4\end{bmatrix}}$

che corrisponde alla matrice dei coefficienti del sistema appena sopra

Se verifichiamo che il determinante di questa matrice è diverso da zero allora possiamo dire che la soluzione del sistema è la soluzione banale (questa proprietà del determinante vale solo per le matrici quadrate), ovvero tutti i lambda a zero.

$det(A)=-4-6=-10\neq 0$

Anche in questo modo possiamo concludere che i vettori sono linearmente indipendenti.

1.1b) Lo stesso per i vettori $v_{1}=(1,2)\quad v_{2}=(3,1)\quad v_{3}=(2,-1)$

${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&1&-1\end{bmatrix}}$

Poichè formano una matrice 2 x 3, possiamo già dire che non sono indipendenti perchè il rango massimo è 2, e il rango è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti.

Risposta: no, non sono linearmente indipendenti.

Spazi euclidei e calcolo vettoriale

Quinta lezione - 9 ottobre

Norma in spazi vettoriali reali Norma Euclidea ||x||2 in Rn e sua giustificazione tramite teorema di Pitagora Proprieta' della norma Euclidea:

• positivita' ed annullamento
• positiva omogeneita'
• disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione, per il momento)

Assiomatizzazione del concetto di norma Esempi di norme differenti in R2

• norma del tassista ||(x,y)||1=|x|+|y|
• norma infinito ||(x,y)||∞=|x|+|y|
• geometria delle relative palle unitarie

Esempi di norme in altri spazi:

• norma Euclidea negli spazi di matrici
• norma del sup nelgi spazio di funzioni limitate

Prodotto scalare in uno spazio reale Nozione di ortogonalita' tra vettori di Rn nella norma Euclidea:

• caratterizzazione ortogonalita' tramite teorema di Pitagora
• espressione in componenti dell'ortogonalita'
• definzione di prodotto scalare Euclideo
• ricostruzione norma Euclidea a partire dal prodotto scalare Euclideo

Proprieta' del prodotto scalare < , > e sua assiomatizzazione:

• simmetria: <x,y>=<y,x> per ogni x,y
• bilinearita' che nella prima componente si scrive; <ax+bz,y>=a<x,y>+b<z,y> per ogni scalare a,b ed ogni x,z,y
• positivita' ed annullamento: x≠0 implica <x,x>>0

Norma associata ad un prodotto scalare:

• definizione ||x||2=<x,x>
• omogeneita', positivita' ed annullamento della norma
• disuguagliqanza di Schwarz e suo utlizzo per la disuguaglianza triangolare della norma

Non tutte le norme derivano da un prodototo scalare

• identita' del parallelogrammo e sue conseguenze
• il caso della norma del tassista