Metodi probabilistici/2007-2008

Da WikiDsy.


Diario del corso

Lezione del giorno 3/3/2008

  • Introduzione al corso
  • Partendo dal concetto di variabile casuale ripasso di:
    • Funzione, Relazione, Prodotto Cartesiano
  • Ripasso del concetto di funzione di ripartizione
    • Ri-defizione del concetto di funzione di ripartizione come probabilità della controimmagine di una variabile casuale con argomento la semiretta dei reali delimitata da un x segnato
  • Primo approccio al concetto di funzione misurabile (\Sigma -s misurabile, con s semiretta dei Reali {\mathbb  {R}})

Lezione del giorno 7/3/2008

  • Recap del modello Kolmogoroviano (\Omega , \Sigma , P)
  • Proprietà delle funzioni di ripartizione
    • Ripasso del concetto di continuità da dx e sx
    • Data una generica F(x) che gode delle tre proprietà (MGB 67-68) questa è una funzione di ripartizione della quale possiamo definire modello Kolmogoroviano. (Vedi MGB 68-2.3)
  • Concetto di misurabilità partendo da esempi elementari (da CPSM) con distribuzione uniforme in (a,b]
    • Il concetto di misurabilità va ridefinito superando il "vincolo dell'intervallo".
      • Non tutti i sottoinsiemi di una retta R sono intervalli, eppure sono "interessanti".
    • Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna ({\mathbb  {R}}, {\mathcal  {B}}({\mathbb  {R}}), P_{X})
    • Prima citazione degli insieme di Borel {\mathcal  {B}}({\mathbb  {R}}).
  • Ripasso del concetto di esponenziale (con naturale estensione al piano complesso)
    • Sistema di 2 equazioni g(0) = 1 , g'(x) = g(x)
      • Ripasso del concetto di derivata come limite del rapporto incrementale
      • Ricerca di una soluzione tra i polinomi
      • Verifica della soluzione \sum _{{n=0}}^{{\infty }}{{\frac  {x^{n}}{n!}}}
      • Verifica della convergenza della serie
    • Definizione formale del numero di Nepero
    • Cenno di dimostrazione sulla proprietà exp(x+y) = exp(x) * exp(y) [utilizzare binomio di Newton]
    • Esponenziale di complessi
      • Legame con funzione seno e coseno

Lezione del giorno 10/3/2008

  • Definizione formale di \pi ) (non l'ha fatta però, rivedersela per conto proprio)
  • Riprendiamo discorso su F di ripartizione
    • Proprietà F che portano al concetto di "Assenza di memoria"
    • Unicità della soluzione per G(x+y) = G(x)+G(y) --> G(x) = exp (-\nu x)
    • Tempo attesa esponenziale (cfr con legge Poisson)
    • Risoluzione primo esercizio CPSM tema di febb
      • Valutazione della derivata della F di ripartizione (in 0 non è definita, i limiti sono diversi)
  • Riflessione sulla derivata in {\mathbb  {C}}; è condizione "inifinitamente" stringente poichè vi sono infiniti limiti da valutare (h varia in tutte le oo direzioni in {\mathbb  {C}})
    • derivabile in {\mathbb  {C}}\Leftrightarrow sviluppabile in serie di potenze
  • Introduciamo valore atteso E()
    • Linearità, E(1) = 1, associatività e commutatività per le v.c.
    • Limitazione di X, |X| \leq c
  • Definizione formale dell'algebra sulla quale lavoreremo
    • E(A^{2})\geq 0 ( = 0 sse A=0)
    • \forall A,B\in {\mathbb  {A}}\ \ \exists b\in {\mathbb  {R}}:E(BA^{2})\leq bE(A^{2})
  • Data la struttura {\mathbb  {A}}, esiste uno spazio di probabilità (\Omega ,\Sigma ,P) tale che {\mathbb  {A}} è isomorfo alla famiglia delle v.c. limitate definite su \Omega , regolari rispetto a \Sigma
  • Valore atteso definito come integrale:
E(A)=\int _{\Omega }a(\omega )dP=\int _{{\mathbb  {R}}}x{\frac  {dF}{dx}}dx
dove A <-> a tramite l'isomorfismo sopracitato.

Lezione del giorno 14/3/2008

  • Variabili casuali ne continue ne discrete
    • Definizioni di valore atteso e varianza di v.c. generiche (2.6 MGB 75 e 2.9 MGB 78)
    • Rimando a definizione elementare di E(x) da CPSM --> la definizione di varianza dipende dalla definizione di valore atteso.
  • Ridefinizione formale del th. di pag 432 articolo Irving Segal
    • Esempi pratici di isomorfismi tra algebre e loro realizzazioni
      • Corpo lanciato che segue traiettoria
      • Distribuzione delle particelle in un gas
  • Dimostrazione della disuguaglianza di Tcheb. secondo il th sopracitato.
  • Cauchy - Schwarz su v.c. limitate
    • si parte da E((Y-tX)^2) con t \in {\mathbb  {R}}
    • Valutiamo discriminante del polinomio
      • Precisazione sul caso in cui E(x)=0 sse le v.c. sono proporzionali secondo t.
    • Si deduce che per le v.c. dotate di momento secondo \exists E(XY)
  • Introduzione allo spazio L^2
    • Tramite Cauchy-Schwarz deduciamo che L^2 è spazio vettoriale
    • Recap di spazio vettoriale e proprietà delle op definite in esso
    • Definizione di lunghezza , distanza rispetto al valore atteso
    • Relazione tra valore atteso e varianza nello spazio vettoriale