Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

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Corsi di laurea

Siti del corso

Pagina personale della professoressa Rusconi: http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni: http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

Materiale didattico

Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati

http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568

Programma del corso

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

Modalità d'esame

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

Testi

  • L'esercitatore segnala questo testo:

Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

  • P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.
  • P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
  • P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

Orari e luogo delle lezioni

  • Lunedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
  • Martedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
  • Mercoledì 13:30-15:30 Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
  • Giovedì 13:30-15:30 Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

Diario del corso

Lezione 1 [05/03/2007]

  • Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
  • Disequazioni;
  • Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
  • Funzioni pari e dispari;
  • Monotonia e crescenza;
  • Esercizi ed esempi .

Lezione 2 [06/03/2007]

  • Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
  • Costruzione e manipolazioni di grafici;
  • Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

Lezione 3 [07/03/2007]

  • Iniettività;
  • Funzione inversa;
  • Funzione logaritmo;
  • Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
  • Esercizi ed esempi.

Lezione 4 [08/03/2007]

  • Perché si utilizzano gli asintotici;
  • Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
  • Funzione composta.

Lezione 5 [12/03/2007]

  • Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
  • Assioma di completezza;
  • Esercizi ed esempi.

Lezione 6 [13/03/2007]

  • Limiti di successioni;
  • Definizione di limite finito e infinito;
  • Definizione di intorno;
  • Esercizi ed esempi.

Lezione 7 [14/03/2007]

  • Unicità del limite;
  • Relazioni fra limitatezza e convergenza;
  • Teorema regolarità delle successioni monotone;
  • Teorema del confronto;
  • Teorema della permanenza del segno.

Lezione 8 [15/03/2007]

  • Teorema del confronto con un solo termine;
  • Teorema della permanenza del segno;
  • Confronto fra limiti;
  • Divergenza;
  • Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

Esercitazione [19/03/2007]

  • Numero di Nepero e limiti notevoli.

Esercitazione [20/03/2007]

  • Esercizi successioni ed asintotico.

Esercitazione [22/03/2007]

  • Limiti di successioni, confronto di infiniti.

Lezione 9 [26/03/2007]

  • Perché si utilizzano gli asintotici;
  • Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
  • Definizione di "o-piccolo";
  • Proprietà di "o-piccolo";
  • Operazioni con "o-piccolo";
  • Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

Esercitazione [27/03/2007]

  • Calcolo di limiti di successioni;

Lezione 10 [28/03/2007]

  • Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
  • Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
  • Criterio della radice per il confronto fra successioni;
  • Fine parte sulle successioni;
  • Intorni;
  • Limiti di funzioni;
  • Definizione limite e dimostrazione;
  • Definizione funzione continua.

Lezione 11 [29/03/2007]

  • Limiti di funzioni;
  • Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
  • Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
    SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
  • Non esistenza di limite: dimostrazione;
  • Limiti notevoli (x->0);
  • Confronto fra infiniti;
  • Funzioni continue: somma e composizione.

Lezione 12 [02/04/2007]

  • Continuità;
  • Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
  • Estensione per continuità;
  • Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
  • Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

Lezione 13 [03/04/2007]

  • Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
  • Teorema dei valori intermedi;
  • Teorema di Weierstrass;
  • Retta tangente al grafico di una funzione;
  • Derivata: definizione;
  • La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
  • Teorema:
       SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

Lezione 14 [04/04/2007]

  • Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
  • Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
  • Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
  • Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
  • Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
  • Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
  • Derivata di a^x;
  • Derivata dei logaritmi;
  • Derivata delle funzioni trigonometriche;
  • Algebra delle derivate: esempi;
  • Derivata della funzione inversa.

Lezione 15 [12/04/2007]

  • Estremi locali e loro caratterizzazione;
  • Teorema di Fermat e dimostrazione;
  • Teorema di Rolle e dimostrazione;
  • Teorema di Lagrange e dimostrazione;
  • Conseguenze del teorema di Lagrange;
  • Esempi di applicazioni.

Esercitazione [16/04/2007]

  • Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

Lezione 16 [17/04/2007]

  • Segno della derivata;
  • Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
     Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
  • Studio di funzione: esempio;
  • Teorema:
  data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
  SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
  ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
  • Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
  • Esercizi ed esempi.

Lezione 17 [18/04/2007]

  • Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
  • Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
  • Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
  • Teroema De L'Hospital: enunciato;
  • Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
  • Applicazioni del teorema;
  • Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
  • Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

Lezione 18 [19/04/2007]

  • Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
  • Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
  • Teorema:
  SE f derivabile quanto basta in x0,
     le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
     e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
  ALLORA x0 è estremo
     n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0  x0 MAX se alfa<0 ]
     n dispari --> x0 non è estremo;
  • Esempi.

Lezione 19 [23/04/2007]

  • Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
  • Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
  • Esercizi.

Esercitazione [24/04/2007]

  • Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.

[1] materiale del Dott. Penati

Lezione 20 [26/04/2007]

  • Successioni definite per ricorrenza;
  • Criteri di convergenza per le successioni.
  • Esempi.

Lezione 21 [02/05/2007]

  • Integrali;
  • Calcolo di aree per esaustione;
  • Teorema fondamentale del calcolo integrale;
  • Primitiva;
  • Funzione integrale;
  • Formula fondamentale del calcolo integrale;
  • Definizione di integrale alla Riemann.

Lezione 22 [03/05/2007]

  • Convenzioni di scrittura;
  • Confronto fra integrali;
  • Teorema della media integrale;
  • Teorema fondamentale del calcolo integrale;
  • Importanza dell'estremo di integrazione.

Lezione 23 [07/05/2007]

  • Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
  • Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
  • Esempi di decomposizione;
  • Integrali di razionali fratte;
  • Esempi.

Lezione 24 [08/05/2007]

  • Integrali per parti;
  • Integrali per sostituzione;
  • Esempi.

Lezione 25 [09/05/2007]

  • Esercizi sul calcolo di integrali.

Esercitazione [10/05/2007]

  • Esercizi sul calcolo di integrali;
  • Calcolo della media integrale.

Lezione 26 [14/05/2007]

  • Integrali generalizzati;
  • Integrali impropri;
  • Criterio del confronto e del confronto asintotico.

Lezione 27 [15/05/2007]

  • Serie numeriche;
  • Somme parziali;
  • Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
  • Condizione necessaria per la convergenza;
  • La serie di Mengoli, serie telescopiche;
  • La serie geometrica di ragione q;
  • Operazioni algebriche con le serie;
  • La serie armonica;
  • Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
  • Criterio del confronto integrale;
  • Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

Lezione 28 [16/05/2007]

  • Criterio della radice e del rapporto;
  • Convergenza assoluta;
  • Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
  • Esempi.

Esercitazione [17/05/2007]

  • Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

Lezione 31 [23/05/2007]

  • Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
  • Dominio delle soluzioni;
  • Esempi.

Esercitazione [24/05/2007]

  • Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).