Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

Tema d'esame del 10-01-2007

Problemi modellati

• Generatore di impulsi

Distribuzioni

• Bernoulli
• Binomiale
• Geometrica

Immagine testo

Testo soluzione

ESERCIZIO I

$X_{1},X_{2},...$ sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

$P(X_{1}=1)=p$ con $0<p<1$

quindi $E(X_{i})=p$

• punto 1)

per la linearita' del valore atteso: $E(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})=\sum _{{i=1}}^{n}E(X_{i})$

e visto che sono identicamente distribuite:

$\sum _{{i=1}}^{n}E(X_{i})=n\cdot E(X)=n\cdot p$

• punto 2)

$P(X_{1}=0\land X_{2}=0\land ...\land X_{n}=0)=\prod _{{i=1}}^{n}P(X_{i}=0)$

visto che

$P(X_{i}=0)=1-P(X_{i}=1)=1-p$

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

$\prod _{{i=1}}^{n}P(X_{i}=0)=(1-p)^{n}$

• punto 3)

dal punto precedente abbiamo che:

$E(\sum _{{i=1}}^{n}X_{i})=n\cdot p$

e che:

$\prod _{{i=1}}^{n}P(X_{i}=0)=(1-p)^{n}$

• • a) $n=1,p={1 \over 3}$

${n\cdot p}=1\cdot {1 \over 3}={1 \over 3}$

${(1-p)^{n}}=(1-{1 \over 3})^{1}={2 \over 3}$

• • b) $n=10,p={1 \over 30}$

${n\cdot p}=10\cdot {1 \over 30}={1 \over 3}$

${(1-p)^{n}}=(1-{1 \over 30})^{{10}}=({29 \over 30})^{{10}}=7,12\cdot 10^{{-1}}$

• • c) $n=10^{9},p={1 \over {3\cdot 10^{9}}}$

${n\cdot p}=10^{9}\cdot {1 \over {3\cdot 10^{9}}}={1 \over 3}$

${(1-p)^{n}}=(1-{1 \over {3\cdot 10^{9}}})^{{10^{9}}}=7,17\cdot 10^{{-1}}$

• • d) $n=10^{{23}},p={1 \over {3\cdot 10^{{23}}}}$

${n\cdot p}=10^{{23}}\cdot {1 \over {3\cdot 10^{{23}}}}={1 \over 3}$

${(1-p)^{n}}=(1-{1 \over {3\cdot 10^{{23}}}})^{{10^{{23}}}}\approx e^{{-{1 \over 3}}}=7,17\cdot 10^{(}-1)$

ESERCIZIO II

• punto 1)

• punto 2)

• punto 3)

• punto 4)

ESERCIZIO III

• punto 1)

• punto 2)

• punto 3)

• punto 4)

• punto 5)

• punto 6)

Domande orale

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