Differenze tra le versioni di "Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10"

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(Testo soluzione)
(Testo soluzione)
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<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>
 
<math> {n \cdot p} = 1 \cdot {1 \over 3} = {1 \over 3}</math>
  
<math> {(1-p)^n} = (1 - {1 \over 3})^1 = {2 \over 3}</math>
+
<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 3}\bigg )^1 = {2 \over 3}</math>
  
 
** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>
 
** b) <math>n=10, p={1 \over 30}</math>
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<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>
 
<math> {n \cdot p} = 10 \cdot {1 \over 30} = {1 \over 3}</math>
  
<math> {(1-p)^n} = (1 - {1 \over 30})^{10} = ({29 \over 30})^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>
+
<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over 30}\bigg )^{10} = \bigg ({29 \over 30}\bigg )^{10} = 7,12 \cdot 10^{-1}</math>
  
 
** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>
 
** c) <math>n=10^9, p={1 \over {3 \cdot 10^9}}</math>
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<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>
 
<math> {n \cdot p} = 10^9 \cdot {1 \over {3 \cdot 10^9}} = {1 \over 3}</math>
  
<math> {(1-p)^n} = (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}})^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>
+
<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^9}}\bigg )^{10^9} = 7,17 \cdot 10^{-1}</math>
  
 
** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>
 
** d) <math>n=10^{23}, p={1 \over {3 \cdot 10^{23}}}</math>
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<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>
 
<math> {n \cdot p} = 10^{23} \cdot {1 \over {3 \cdot 10^{23}}} = {1 \over 3}</math>
  
<math> {(1-p)^n} = (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}})^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>
+
<math> {(1-p)^n} = \bigg (1 - {1 \over {3 \cdot 10^{23}}}\bigg )^{10^{23}} \approx e^{-{1 \over 3}} = 7,17 \cdot 10^{-1} </math>
  
  
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<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>
 
<math>P(S_{m(x)}=0) = P(X_1=0 \land X_2=0 \land ... \land X_{\lfloor x \rfloor}=0) = \prod_{i=1}^{\lfloor x \rfloor} P(X_i = 0) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>
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Quindi:
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<math>P(G>x) = (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>
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** b)
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<math>F_G(x) = P(G \le x) = 1 - P(G > x) = 1 - (1-p)^{\lfloor x \rfloor}</math>
  
 
* punto 4)
 
* punto 4)
 +
<math>p={1 \over 3}  \Rightarrow  1-p = {2 \over 3}  \Rightarrow  F_G(x) = 1 - \bigg ({2 \over 3}\bigg )^{\lfloor x \rfloor}</math>
 +
 +
NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori  sulle ordinate:
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 +
<math>x=1  \Rightarrow  F_G(x) = {1 \over 3}</math>
 +
 +
<math>x=2  \Rightarrow  F_G(x) = {5 \over 9}</math>
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 +
<math>x=3  \Rightarrow  F_G(x) = {19 \over 27}</math>
  
 +
<math>x=4  \Rightarrow  F_G(x) = {65 \over 81}</math>
  
 +
<math>\vdots</math>
  
 
  ESERCIZIO III
 
  ESERCIZIO III

Versione delle 14:38, 12 gen 2008

Tema d'esame del 10-01-2007

Problemi modellati

  • Generatore di impulsi

Distribuzioni

  • Bernoulli
  • Binomiale
  • Geometrica

Immagine testo

Tema del 10Gen2008

Testo soluzione

ESERCIZIO I

X_{1},X_{2},... sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

P(X_{1}=1)=p con 0<p<1

quindi E(X_{i})=p

  • punto 1)

per la linearita' del valore atteso: E(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})=\sum _{{i=1}}^{n}E(X_{i})

e visto che sono identicamente distribuite:

\sum _{{i=1}}^{n}E(X_{i})=n\cdot E(X)=n\cdot p

  • punto 2)

P(X_{1}=0\land X_{2}=0\land ...\land X_{n}=0)=\prod _{{i=1}}^{n}P(X_{i}=0)

visto che

P(X_{i}=0)=1-P(X_{i}=1)=1-p

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

\prod _{{i=1}}^{n}P(X_{i}=0)=(1-p)^{n}

  • punto 3)

dal punto precedente abbiamo che:

E(\sum _{{i=1}}^{n}X_{i})=n\cdot p

e che:

\prod _{{i=1}}^{n}P(X_{i}=0)=(1-p)^{n}

    • a) n=1,p={1 \over 3}

{n\cdot p}=1\cdot {1 \over 3}={1 \over 3}

{(1-p)^{n}}={\bigg (}1-{1 \over 3}{\bigg )}^{1}={2 \over 3}

    • b) n=10,p={1 \over 30}

{n\cdot p}=10\cdot {1 \over 30}={1 \over 3}

{(1-p)^{n}}={\bigg (}1-{1 \over 30}{\bigg )}^{{10}}={\bigg (}{29 \over 30}{\bigg )}^{{10}}=7,12\cdot 10^{{-1}}

    • c) n=10^{9},p={1 \over {3\cdot 10^{9}}}

{n\cdot p}=10^{9}\cdot {1 \over {3\cdot 10^{9}}}={1 \over 3}

{(1-p)^{n}}={\bigg (}1-{1 \over {3\cdot 10^{9}}}{\bigg )}^{{10^{9}}}=7,17\cdot 10^{{-1}}

    • d) n=10^{{23}},p={1 \over {3\cdot 10^{{23}}}}

{n\cdot p}=10^{{23}}\cdot {1 \over {3\cdot 10^{{23}}}}={1 \over 3}

{(1-p)^{n}}={\bigg (}1-{1 \over {3\cdot 10^{{23}}}}{\bigg )}^{{10^{{23}}}}\approx e^{{-{1 \over 3}}}=7,17\cdot 10^{{-1}}


ESERCIZIO II

x\in \mathbb{R} ^{+}

X_{1},X_{2},... sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma QUANTI valori puo' assumere l'impulso, cioe' 2 valori)

  • punto 1)

m(x)=\lfloor x\rfloor

m(17.412)=\lfloor 17.412\rfloor =17

  • punto 2)

P(X_{1}=1)=p

S_{{m(x)}}= "numero di segnali '1' emessi nei primi x secondi"

S_{{m(x)}} conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri p e \lfloor x\rfloor .

  • punto 3)

G = "numero di secondi passati al primo segnale '1'"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

    • a)

P(G>x)=P(S_{{m(x)}}=0)

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo x equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo x son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare x insuccessi.

P(S_{{m(x)}}=0)=P(X_{1}=0\land X_{2}=0\land ...\land X_{{\lfloor x\rfloor }}=0)=\prod _{{i=1}}^{{\lfloor x\rfloor }}P(X_{i}=0)=(1-p)^{{\lfloor x\rfloor }}

Quindi:

P(G>x)=(1-p)^{{\lfloor x\rfloor }}

    • b)

F_{G}(x)=P(G\leq x)=1-P(G>x)=1-(1-p)^{{\lfloor x\rfloor }}

  • punto 4)

p={1 \over 3}\Rightarrow 1-p={2 \over 3}\Rightarrow F_{G}(x)=1-{\bigg (}{2 \over 3}{\bigg )}^{{\lfloor x\rfloor }}

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

x=1\Rightarrow F_{G}(x)={1 \over 3}

x=2\Rightarrow F_{G}(x)={5 \over 9}

x=3\Rightarrow F_{G}(x)={19 \over 27}

x=4\Rightarrow F_{G}(x)={65 \over 81}

\vdots

ESERCIZIO III
  • punto 1)
  • punto 2)
  • punto 3)
  • punto 4)
  • punto 5)
  • punto 6)

Domande orale

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