Metodi probabilistici/2007-2008

Diario del corso

Lezione del giorno 3/3/2008

• Introduzione al corso
• Partendo dal concetto di variabile casuale ripasso di:
  • Funzione, Relazione, Prodotto Cartesiano
• Ripasso del concetto di funzione di ripartizione
  • Ri-defizione del concetto di funzione di ripartizione come probabilità della controimmagine di una variabile casuale con argomento la semiretta dei reali delimitata da un x segnato
• Primo approccio al concetto di funzione misurabile ($\Sigma$-s misurabile, con s semiretta dei Reali ${\mathbb {R}}$)

Lezione del giorno 7/3/2008

• Recap del modello Kolmogoroviano ($\Omega$, $\Sigma$, P)
• Proprietà delle funzioni di ripartizione
  • Ripasso del concetto di continuità da dx e sx
  • Data una generica F(x) che gode delle tre proprietà (MGB 67-68) questa è una funzione di ripartizione della quale possiamo definire modello Kolmogoroviano. (Vedi MGB 68-2.3)
• Concetto di misurabilità partendo da esempi elementari (da CPSM) con distribuzione uniforme in (a,b]
  • Il concetto di misurabilità va ridefinito superando il "vincolo dell'intervallo".
    • Non tutti i sottoinsiemi di una retta R sono intervalli, eppure sono "interessanti".
  • Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna (${\mathbb {R}}$, ${\mathcal {B}}$(${\mathbb {R}}$), $P_{X}$)
  • Prima citazione degli insieme di Borel ${\mathcal {B}}$(${\mathbb {R}}$).
• Ripasso del concetto di esponenziale (con naturale estensione al piano complesso)
  • Sistema di 2 equazioni g(0) = 1 , g'(x) = g(x)
    • Ripasso del concetto di derivata come limite del rapporto incrementale
    • Ricerca di una soluzione tra i polinomi
    • Verifica della soluzione $\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{{\frac {x^{n}}{n!}}}$
    • Verifica della convergenza della serie
  • Definizione formale del numero di Nepero
  • Cenno di dimostrazione sulla proprietà exp(x+y) = exp(x) * exp(y) [utilizzare binomio di Newton]
  • Esponenziale di complessi
    • Legame con funzione seno e coseno

Lezione del giorno 10/3/2008

• Definizione formale di $\pi$) (non l'ha fatta però, rivedersela per conto proprio)
• Riprendiamo discorso su F di ripartizione
  • Proprietà F che portano al concetto di "Assenza di memoria"
  • Unicità della soluzione per G(x+y) = G(x)+G(y) --> G(x) = exp (-$\nu$x)
  • Tempo attesa esponenziale (cfr con legge Poisson)
  • Risoluzione primo esercizio CPSM tema di febb
    • Valutazione della derivata della F di ripartizione (in 0 non è definita, i limiti sono diversi)
• Riflessione sulla derivata in ${\mathbb {C}}$; è condizione "inifinitamente" stringente poichè vi sono infiniti limiti da valutare (h varia in tutte le oo direzioni in ${\mathbb {C}}$)
  • derivabile in ${\mathbb {C}}\Leftrightarrow$ sviluppabile in serie di potenze
• Introduciamo valore atteso E()
  • Linearità, E(1) = 1, associatività e commutatività per le v.c.
  • Limitazione di X, |X| $\leq$ c
• Definizione formale dell'algebra sulla quale lavoreremo
  • $E(A^{2})\geq$ 0 ( = 0 sse A=0)
  • $\forall A,B\in {\mathbb {A}}\ \ \exists b\in {\mathbb {R}}:E(BA^{2})\leq bE(A^{2})$
• Data la struttura ${\mathbb {A}}$, esiste uno spazio di probabilità $(\Omega ,\Sigma ,P)$ tale che ${\mathbb {A}}$ è isomorfo alla famiglia delle v.c. limitate definite su $\Omega$, regolari rispetto a $\Sigma$
• Valore atteso definito come integrale:

$E(A)=\int _{\Omega }a(\omega )dP=\int _{{\mathbb  {R}}}x{\frac  {dF}{dx}}dx$
dove A <-> a tramite l'isomorfismo sopracitato.

• Accenno alla non commutatività dell'algebra
• Irving Segal - Algebraic Integration Theory cfr. pag. 430.

Lezione del giorno 14/3/2008

• Variabili casuali né continue né discrete
  • Definizioni di valore atteso e varianza di v.c. generiche (2.6 MGB 75 e 2.9 MGB 78)
  • Rimando a definizione elementare di E(x) da CPSM --> la definizione di varianza dipende dalla definizione di valore atteso.
• Ridefinizione formale del th. di pag 432 articolo Irving Segal
  • Esempi pratici di isomorfismi tra algebre e loro realizzazioni
    • Corpo lanciato che segue traiettoria
    • Distribuzione delle particelle in un gas
• Dimostrazione della disuguaglianza di Tcheb. secondo il th sopracitato.
• Cauchy - Schwarz su v.c. limitate
  • si parte da E((Y-tX)^2) con t $\in {\mathbb {R}}$
  • Valutiamo discriminante del polinomio
    • Precisazione sul caso in cui E(x)=0 sse le v.c. sono proporzionali secondo t.
  • Si deduce che per le v.c. dotate di momento secondo $\exists E(XY)$
• Introduzione allo spazio L^2
  • Tramite Cauchy-Schwarz deduciamo che L^2 è spazio vettoriale
  • Recap di spazio vettoriale e proprietà delle op definite in esso
  • Definizione di lunghezza , distanza rispetto al valore atteso
  • Relazione tra valore atteso e varianza nello spazio vettoriale