Calcolo probabilità e statistica matematica/Esami/2008-01-10

Tema d'esame del 10-01-2007

Problemi modellati

• Generatore di impulsi

Distribuzioni

• Bernoulli
• Binomiale
• Geometrica

Immagine testo

Testo soluzione

ESERCIZIO I

$X_{1},X_{2},...$ sono v.c. bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite

$P(X_{1}=1)=p$ con $0<p<1$

quindi $E(X_{i})=p$

• punto 1)

---

per la linearita' del valore atteso: $E(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})=\sum _{{i=1}}^{n}E(X_{i})$

e visto che sono identicamente distribuite:

$\sum _{{i=1}}^{n}E(X_{i})=n\cdot E(X)=n\cdot p$

• punto 2)

---

$P(X_{1}=0\land X_{2}=0\land ...\land X_{n}=0)=\prod _{{i=1}}^{n}P(X_{i}=0)$

visto che

$P(X_{i}=0)=1-P(X_{i}=1)=1-p$

e che le X sono indipendenti e identicamente distribuite:

$\prod _{{i=1}}^{n}P(X_{i}=0)=(1-p)^{n}$

• punto 3)

---

dal punto precedente abbiamo che:

$E(\sum _{{i=1}}^{n}X_{i})=n\cdot p$

e che:

$\prod _{{i=1}}^{n}P(X_{i}=0)=(1-p)^{n}$

• • a) $n=1,p={1 \over 3}$

${n\cdot p}=1\cdot {1 \over 3}={1 \over 3}$

${(1-p)^{n}}={\bigg (}1-{1 \over 3}{\bigg )}^{1}={2 \over 3}$

• • b) $n=10,p={1 \over 30}$

${n\cdot p}=10\cdot {1 \over 30}={1 \over 3}$

${(1-p)^{n}}={\bigg (}1-{1 \over 30}{\bigg )}^{{10}}={\bigg (}{29 \over 30}{\bigg )}^{{10}}=7,12\cdot 10^{{-1}}$

• • c) $n=10^{9},p={1 \over {3\cdot 10^{9}}}$

${n\cdot p}=10^{9}\cdot {1 \over {3\cdot 10^{9}}}={1 \over 3}$

${(1-p)^{n}}={\bigg (}1-{1 \over {3\cdot 10^{9}}}{\bigg )}^{{10^{9}}}=7,17\cdot 10^{{-1}}$

• • d) $n=10^{{23}},p={1 \over {3\cdot 10^{{23}}}}$

${n\cdot p}=10^{{23}}\cdot {1 \over {3\cdot 10^{{23}}}}={1 \over 3}$

${(1-p)^{n}}={\bigg (}1-{1 \over {3\cdot 10^{{23}}}}{\bigg )}^{{10^{{23}}}}\approx e^{{-{1 \over 3}}}=7,17\cdot 10^{{-1}}$

ESERCIZIO II

$x\in \mathbb{R} ^{+}$

$X_{1},X_{2},...$ sono impulsi BINARI, quindi distribuiti secondo Bernoulli

(NB: Il fatto che i valori che l'impulso puo' assumere siano '1' e '-1' non e' rilevante nel nostro caso, potrebbero benissimo essere '2' e '3' oppure 'a' e 'b', quello che conta qui NON e' QUALI ma QUANTI valori puo' assumere l'impulso, cioe' 2 valori)

• punto 1)

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$m(x)=\lfloor x\rfloor$

$m(17.412)=\lfloor 17.412\rfloor =17$

• punto 2)

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$P(X_{1}=1)=p$

$S_{{m(x)}}=$ "numero di segnali '1' emessi nei primi $x$ secondi"

$S_{{m(x)}}$ conta il numero di impulsi='1', ovvero conta i "successi"; quindi e' distribuita come una BINOMIALE di parametri $p$ e $\lfloor x\rfloor$.

• punto 3)

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G = "numero di secondi passati prima del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 1 impulso al secondo"

quindi G e' distribuita come una GEOMETRICA.

• • a)

$P(G>x)=P(S_{{m(x)}}=0)$

La probabilita' che il primo impulso '1' avvenga DOPO il tempo $x$ equivale a dire che tutti gli impulsi fino al tempo $x$ son stati '-1', ovvero insuccessi; quindi devo sommare $x$ insuccessi.

$P(S_{{m(x)}}=0)=P(X_{1}=0\land X_{2}=0\land ...\land X_{{\lfloor x\rfloor }}=0)=\prod _{{i=1}}^{{\lfloor x\rfloor }}P(X_{i}=0)=(1-p)^{{\lfloor x\rfloor }}$

Quindi:

$P(G>x)=(1-p)^{{\lfloor x\rfloor }}$

• • b)

$F_{G}(x)=P(G\leq x)=1-P(G>x)=1-(1-p)^{{\lfloor x\rfloor }}$

• punto 4)

---

$p={1 \over 3}\ \Rightarrow \ 1-p={2 \over 3}\ \Rightarrow \ F_{G}(x)=1-{\bigg (}1-p{\bigg )}^{{\lfloor x\rfloor }}\ \Rightarrow \ F_{G}(x)=1-{\bigg (}{2 \over 3}{\bigg )}^{{\lfloor x\rfloor }}$

NB: Il disegno qui e' un po' un casino da fare, comunque e' quello che si trova sul libro a pag. 67 (figura 2.2), cambiano solo i valori sulle ordinate:

$x=1\Rightarrow F_{G}(x)={1 \over 3}$

$x=2\Rightarrow F_{G}(x)={5 \over 9}$

$x=3\Rightarrow F_{G}(x)={19 \over 27}$

$x=4\Rightarrow F_{G}(x)={65 \over 81}$

$\vdots$

ESERCIZIO III

$r\in \mathbb{N} ^{+}$ conta il numero di impulsi al secondo

$X_{1}=$ primo segnale emesso al tempo $t={1 \over r}$

$X_{2}=$ secondo segnale emesso al tempo $t={2 \over r}$

$X_{3}=$ terzo segnale emesso al tempo $t={3 \over r}$

$\vdots$

• punto 1)

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$x\in \mathbb{R} ^{+}$

$m(r,x)=$ numero di impulsi nei primi $x$ secondi = numero impulsi al secondo * numero di secondi = $r\cdot x$. Visto che sto contanto impulsi, e non posso avere frazioni di impulso, arrotondo questo valore finale al maggiore intero positivo inferiore a $r\cdot x$.

$m(r,x)=\lfloor r\cdot x\rfloor$

$m(3,17.412)=\lfloor 3\cdot 17.412\rfloor =\lfloor 52.236\rfloor =52$

• punto 2)

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Le X sono bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con $P(X_{1}=1)=p$

$S_{{m(r,x)}}=$ "numero di segnali '1' emessi nei primi $x$ secondi.

$S_{{m(r,x)}}$ conta il numero di successi (segnali = '1'), quindi e' di nuovo una BINOMIALE con parametri $p$ e $\lfloor r\cdot x\rfloor$.

• punto 3)

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$E(S_{{m(r,x)}})=\lfloor r\cdot x\rfloor \cdot p$

• punto 4)

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T = "numero di secondi passati al momento del primo segnale '1' con una frequenza di impulsi di 3 impulsi al secondo".

• • a)

$P(T>x)=P(S_{{m(r,x)}}=0)=\prod _{{i=1}}^{{\lfloor r\cdot x\rfloor }}P(X_{i}=0)=(1-p)^{{\lfloor r\cdot x\rfloor }}$

• • b)

dalla III.3):

$E(S_{{m(r,x)}})=\lfloor r\cdot x\rfloor \cdot p$

ricavo: $p={E(S_{{m(r,x)}}) \over {\lfloor r\cdot x\rfloor }}$

$\Rightarrow P(T>x)={\bigg (}{1-{E(S_{{m(r,x)}}) \over {\lfloor r\cdot x\rfloor }}}{\bigg )}^{{\lfloor r\cdot x\rfloor }}$

• • c)

$F_{T}(x)=P(T\leq x)=1-P(T>x)=1-{{\bigg (}{1-{E(S_{{m(r,x)}}) \over {\lfloor r\cdot x\rfloor }}}{\bigg )}^{{\lfloor r\cdot x\rfloor }}}$

• punto 5)

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La figura 1 rappresenta $F_{T}$. La figura 2 rappresenta $F_{G}$.

• punto 6)

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frequenza impulsi in generale $=r=10^{9}$ impulsi al secondo

frequenza impulsi '1' $=v={E(S_{{m(r,x)}}) \over x}=0,\overline {3}sec^{{-1}}$

(che equivale a circa un '1' ogni 3 secondi in media, ovvero ${1 \over 3}$ impulsi '1' al secondo)

$p={{frequenza\ impulsi\ '1'} \over {frequenza\ impulsi\ in\ generale}}={v \over r}={{1 \over 3} \over 10^{9}}={1 \over 3\cdot 10^{9}}$

Guarda caso ho gli stessi valori dell'esercizio I.3c)...

Secondo il suggerimento per $x>0$:

$\lim _{{r\to \infty }}{{r\cdot x} \over {\lfloor r\cdot x\rfloor }}=1$

questo vuol dire che, per valori molto alti di r, posso approssimare $\lfloor r\cdot x\rfloor$ con $r\cdot x$

$F_{T}(x)\approx 1-{\bigg (}1-{v \over r}{\bigg )}^{{r\cdot x}}\approx 1-e^{{-{v\cdot x}}}$

$F_{T}(x)\approx 1-{\bigg (}1-{{1 \over 3} \over 10^{9}}{\bigg )}^{{10^{9}\cdot x}}\approx 1-e^{{-{{1 \over 3}\cdot x}}}$

Sorry, ma il grafico qui non riesco a disegnarlo...

Domande orale

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