Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

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Pagina personale della professoressa Rusconi: http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni: http://www.mat.unimi.it/users/massa/

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Materiale didattico

Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati

http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568

Programma del corso

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

Modalità d'esame

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

Testi

• L'esercitatore segnala questo testo:

Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

• P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

• P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
• P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

Orari e luogo delle lezioni

• Lunedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
• Martedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
• Mercoledì 13:30-15:30 Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
• Giovedì 13:30-15:30 Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

Diario del corso

Lezione 1 [05/03/2007]

• Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
• Disequazioni;
• Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
• Funzioni pari e dispari;
• Monotonia e crescenza;
• Esercizi ed esempi .

Lezione 2 [06/03/2007]

• Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
• Costruzione e manipolazioni di grafici;
• Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

Lezione 3 [07/03/2007]

• Iniettività;
• Funzione inversa;
• Funzione logaritmo;
• Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
• Esercizi ed esempi.

Lezione 4 [08/03/2007]

• Perché si utilizzano gli asintotici;
• Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
• Funzione composta.

Lezione 5 [12/03/2007]

• Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
• Assioma di completezza;
• Esercizi ed esempi.

Lezione 6 [13/03/2007]

• Limiti di successioni;
• Definizione di limite finito e infinito;
• Definizione di intorno;
• Esercizi ed esempi.

Lezione 7 [14/03/2007]

• Unicità del limite;
• Relazioni fra limitatezza e convergenza;
• Teorema regolarità delle successioni monotone;
• Teorema del confronto;
• Teorema della permanenza del segno.

Lezione 8 [15/03/2007]

• Teorema del confronto con un solo termine;
• Teorema della permanenza del segno;
• Confronto fra limiti;
• Divergenza;
• Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

Esercitazione [19/03/2007]

• Numero di Nepero e limiti notevoli.

Esercitazione [20/03/2007]

• Esercizi successioni ed asintotico.

Esercitazione [22/03/2007]

• Limiti di successioni, confronto di infiniti.

Lezione 9 [26/03/2007]

• Perché si utilizzano gli asintotici;
• Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
• Definizione di "o-piccolo";
• Proprietà di "o-piccolo";
• Operazioni con "o-piccolo";
• Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

Esercitazione [27/03/2007]

• Calcolo di limiti di successioni;

Lezione 10 [28/03/2007]

• Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
• Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
• Criterio della radice per il confronto fra successioni;
• Fine parte sulle successioni;
• Intorni;
• Limiti di funzioni;
• Definizione limite e dimostrazione;
• Definizione funzione continua.

Lezione 11 [29/03/2007]

• Limiti di funzioni;
• Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
• Relazione fra limite di successione e limite di funzione:

    SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)

• Non esistenza di limite: dimostrazione;
• Limiti notevoli (x->0);
• Confronto fra infiniti;
• Funzioni continue: somma e composizione.

Lezione 12 [02/04/2007]

• Continuità;
• Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
• Estensione per continuità;
• Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
• Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

Lezione 13 [03/04/2007]

• Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
• Teorema dei valori intermedi;
• Teorema di Weierstrass;
• Retta tangente al grafico di una funzione;
• Derivata: definizione;
• La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
• Teorema:

       SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

Lezione 14 [04/04/2007]

• Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
• Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
• Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
• Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
• Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
• Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
• Derivata di a^x;
• Derivata dei logaritmi;
• Derivata delle funzioni trigonometriche;
• Algebra delle derivate: esempi;
• Derivata della funzione inversa.

Lezione 15 [12/04/2007]

• Estremi locali e loro caratterizzazione;
• Teorema di Fermat e dimostrazione;
• Teorema di Rolle e dimostrazione;
• Teorema di Lagrange e dimostrazione;
• Conseguenze del teorema di Lagrange;
• Esempi di applicazioni.

Esercitazione [16/04/2007]

• Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

Lezione 16 [17/04/2007]

• Segno della derivata;
• Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:

     Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività

• Studio di funzione: esempio;
• Teorema:

  data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
  SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
  ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L

• Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
• Esercizi ed esempi.

Lezione 17 [18/04/2007]

• Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
• Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
• Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
• Teroema De L'Hospital: enunciato;
• Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
• Applicazioni del teorema;
• Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
• Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

Lezione 18 [19/04/2007]

• Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
• Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
• Teorema:

  SE f derivabile quanto basta in x0,
     le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
     e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
  ALLORA x0 è estremo
     n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0  x0 MAX se alfa<0 ]
     n dispari --> x0 non è estremo;

• Esempi.

Lezione 19 [23/04/2007]

• Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
• Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
• Esercizi.

Esercitazione [24/04/2007]

• Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.

[1] materiale del Dott. Penati

Lezione 20 [26/04/2007]

• Successioni definite per ricorrenza;
• Criteri di convergenza per le successioni.
• Esempi.

Lezione 21 [02/05/2007]

• Integrali;
• Calcolo di aree per esaustione;
• Teorema fondamentale del calcolo integrale;
• Primitiva;
• Funzione integrale;
• Formula fondamentale del calcolo integrale;
• Definizione di integrale alla Riemann.

Lezione 22 [03/05/2007]

• Convenzioni di scrittura;
• Confronto fra integrali;
• Teorema della media integrale;
• Teorema fondamentale del calcolo integrale;
• Importanza dell'estremo di integrazione.

Lezione 23 [07/05/2007]

• Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
• Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
• Esempi di decomposizione;
• Integrali di razionali fratte;
• Esempi.

Lezione 24 [08/05/2007]

• Integrali per parti;
• Integrali per sostituzione;
• Esempi.

Lezione 25 [09/05/2007]

• Esercizi sul calcolo di integrali.

Esercitazione [10/05/2007]

• Esercizi sul calcolo di integrali;
• Calcolo della media integrale.

Lezione 26 [14/05/2007]

• Integrali generalizzati;
• Integrali impropri;
• Criterio del confronto e del confronto asintotico.

Lezione 27 [15/05/2007]

• Serie numeriche;
• Somme parziali;
• Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
• Condizione necessaria per la convergenza;
• La serie di Mengoli, serie telescopiche;
• La serie geometrica di ragione q;
• Operazioni algebriche con le serie;
• La serie armonica;
• Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
• Criterio del confronto integrale;
• Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

Lezione 28 [16/05/2007]

• Criterio della radice e del rapporto;
• Convergenza assoluta;
• Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
• Esempi.

Esercitazione [17/05/2007]

• Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

Lezione 31 [23/05/2007]

• Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
• Dominio delle soluzioni;
• Esempi.

Esercitazione [24/05/2007]

• Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).