Metodi probabilistici/2007-2008

Indice

Introduzione al corso
Partendo dal concetto di variabile casuale ripasso di:
- Funzione, Relazione, Prodotto Cartesiano
Ripasso del concetto di funzione di ripartizione
- Ri-defizione del concetto di funzione di ripartizione come probabilità della controimmagine di una variabile casuale con argomento la semiretta dei reali delimitata da un x segnato
Primo approccio al concetto di funzione misurabile ( $\Sigma$ -s misurabile, con s semiretta dei Reali ${\mathbb {R}}$ )

Recap del modello Kolmogoroviano ( $\Omega$ , $\Sigma$ , P)
Proprietà delle funzioni di ripartizione
- Ripasso del concetto di continuità da dx e sx
- Data una generica F(x) che gode delle tre proprietà (MGB 67-68) questa è una funzione di ripartizione della quale possiamo definire modello Kolmogoroviano. (Vedi MGB 68-2.3)
Concetto di misurabilità partendo da esempi elementari (da CPSM) con distribuzione uniforme in (a,b]
- Il concetto di misurabilità va ridefinito superando il "vincolo dell'intervallo".
  - Non tutti i sottoinsiemi di una retta R sono intervalli, eppure sono "interessanti".
- Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna ( ${\mathbb {R}}$ , ${\mathcal {B}}$ ( ${\mathbb {R}}$ ), $P_{X}$ )
- Prima citazione degli insieme di Borel ${\mathcal {B}}$ ( ${\mathbb {R}}$ ).
Ripasso del concetto di esponenziale (con naturale estensione al piano complesso)
- Sistema di 2 equazioni g(0) = 1 , g'(x) = g(x)
  - Ripasso del concetto di derivata come limite del rapporto incrementale
  - Ricerca di una soluzione tra i polinomi
  - Verifica della soluzione $\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{{\frac {x^{n}}{n!}}}$
  - Verifica della convergenza della serie
- Definizione formale del numero di Nepero
- Cenno di dimostrazione sulla proprietà exp(x+y) = exp(x) * exp(y) [utilizzare binomio di Newton]
- Esponenziale di complessi
  - Legame con funzione seno e coseno

Definizione formale di $\pi$ ) (non l'ha fatta però, rivedersela per conto proprio)
Riprendiamo discorso su F di ripartizione
- Proprietà F che portano al concetto di "Assenza di memoria"
- Unicità della soluzione per G(x+y) = G(x)+G(y) --> G(x) = exp (- $\nu$ x)
- Tempo attesa esponenziale (cfr con legge Poisson)
- Risoluzione primo esercizio CPSM tema di febb
  - Valutazione della derivata della F di ripartizione (in 0 non è definita, i limiti sono diversi)
Riflessione sulla derivata in ; è condizione "inifinitamente" stringente poichè vi sono infiniti limiti da valutare (h varia in tutte le oo direzioni in )
- derivabile in ${\mathbb {C}}\Leftrightarrow$ sviluppabile in serie di potenze
Introduciamo valore atteso E()
- Linearità, E(1) = 1, associatività e commutatività per le v.c.
- Limitazione di X, |X| $\leq$ c
Definizione formale dell'algebra sulla quale lavoreremo
- $E(A^{2})\geq$ 0 ( = 0 sse A=0)
- $\forall A,B\in {\mathbb {A}}\ \ \exists b\in {\mathbb {R}}:E(BA^{2})\leq bE(A^{2})$
Data la struttura ${\mathbb {A}}$ , esiste uno spazio di probabilità $(\Omega ,\Sigma ,P)$ tale che ${\mathbb {A}}$ è isomorfo alla famiglia delle v.c. limitate definite su $\Omega$ , regolari rispetto a $\Sigma$
Valore atteso definito come integrale:

 $E(A)=\int _{\Omega }a(\omega )dP=\int _{{\mathbb {R}}}x{\frac {dF}{dx}}dx$ 
dove A <-> a tramite l'isomorfismo sopracitato.

Variabili casuali ne continue ne discrete
- Definizioni di valore atteso e varianza di v.c. generiche (2.6 MGB 75 e 2.9 MGB 78)
- Rimando a definizione elementare di E(x) da CPSM --> la definizione di varianza dipende dalla definizione di valore atteso.
Ridefinizione formale del th. di pag 432 articolo Irving Segal
- Esempi pratici di isomorfismi tra algebre e loro realizzazioni
  - Corpo lanciato che segue traiettoria
  - Distribuzione delle particelle in un gas
Dimostrazione della disuguaglianza di Tcheb. secondo il th sopracitato.
Cauchy - Schwarz su v.c. limitate
- si parte da E((Y-tX)^2) con t $\in {\mathbb {R}}$
- Valutiamo discriminante del polinomio
  - Precisazione sul caso in cui E(x)=0 sse le v.c. sono proporzionali secondo t.
- Si deduce che per le v.c. dotate di momento secondo $\exists E(XY)$
Introduzione allo spazio L^2
- Tramite Cauchy-Schwarz deduciamo che L^2 è spazio vettoriale
- Recap di spazio vettoriale e proprietà delle op definite in esso
- Definizione di lunghezza , distanza rispetto al valore atteso
- Relazione tra valore atteso e varianza nello spazio vettoriale