Metodi probabilistici/2007-2008

Indice

Introduzione al corso
Partendo dal concetto di variabile casuale ripasso di:
- Funzione, Relazione, Prodotto Cartesiano
Ripasso del concetto di funzione di ripartizione
- Ri-defizione del concetto di funzione di ripartizione come probabilità della controimmagine di una variabile casuale con argomento la semiretta dei reali delimitata da un x segnato
Primo approccio al concetto di funzione misurabile ( $\Sigma$ -s misurabile, con s semiretta dei Reali ${\mathbb {R}}$ )

Recap del modello Kolmogoroviano ( $\Omega$ , $\Sigma$ , P)
Proprietà delle funzioni di ripartizione
- Ripasso del concetto di continuità da dx e sx
- Data una generica F(x) che gode delle tre proprietà (MGB 67-68) questa è una funzione di ripartizione della quale possiamo definire modello Kolmogoroviano. (Vedi MGB 68-2.3)
Concetto di misurabilità partendo da esempi elementari (da CPSM) con distribuzione uniforme in (a,b]
- Il concetto di misurabilità va ridefinito superando il "vincolo dell'intervallo".
  - Non tutti i sottoinsiemi di una retta R sono intervalli, eppure sono "interessanti".
- Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna ( ${\mathbb {R}}$ , ${\mathcal {B}}$ ( ${\mathbb {R}}$ ), $P_{X}$ )
- Prima citazione degli insieme di Borel ${\mathcal {B}}$ ( ${\mathbb {R}}$ ).
Ripasso del concetto di esponenziale (con naturale estensione al piano complesso)
- Sistema di 2 equazioni g(0) = 1 , g'(x) = g(x)
  - Ripasso del concetto di derivata come limite del rapporto incrementale
  - Ricerca di una soluzione tra i polinomi
  - Verifica della soluzione $\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{{\frac {x^{n}}{n!}}}$
  - Verifica della convergenza della serie
- Definizione formale del numero di Nepero
- Cenno di dimostrazione sulla proprietà exp(x+y) = exp(x) * exp(y) [utilizzare binomio di Newton]
- Esponenziale di complessi
  - Legame con funzione seno e coseno

Definizione formale di $\pi$ ) (non l'ha fatta però, rivedersela per conto proprio)
Riprendiamo discorso su F di ripartizione
- Proprietà F che portano al concetto di "Assenza di memoria"
- Unicità della soluzione per G(x+y) = G(x)+G(y) --> G(x) = exp (- $\nu$ x)
- Tempo attesa esponenziale (cfr con legge Poisson)
- Risoluzione primo esercizio CPSM tema di febb
  - Valutazione della derivata della F di ripartizione (in 0 non è definita, i limiti sono diversi)
Riflessione sulla derivata in ; è condizione "inifinitamente" stringente poichè vi sono infiniti limiti da valutare (h varia in tutte le oo direzioni in )
- derivabile in ${\mathbb {C}}\Leftrightarrow$ sviluppabile in serie di potenze
Introduciamo valore atteso E()
- Linearità, E(1) = 1, associatività e commutatività per le v.c.
- Limitazione di X, |X| $\leq$ c
Definizione formale dell'algebra sulla quale lavoreremo
- $E(A^{2})\geq$ 0 ( = 0 sse A=0)
- $\forall A,B\in {\mathbb {A}}\ \ \exists b\in {\mathbb {R}}:E(BA^{2})\leq bE(A^{2})$
Data la struttura ${\mathbb {A}}$ , esiste uno spazio di probabilità $(\Omega ,\Sigma ,P)$ tale che ${\mathbb {A}}$ è isomorfo alla famiglia delle v.c. limitate definite su $\Omega$ , regolari rispetto a $\Sigma$
Valore atteso definito come integrale:

 $E(A)=\int _{\Omega }a(\omega )dP=\int _{{\mathbb {R}}}x{\frac {dF}{dx}}dx$ 
dove A <-> a tramite l'isomorfismo sopracitato.

Variabili casuali né continue né discrete
- Definizioni di valore atteso e varianza di v.c. generiche (2.6 MGB 75 e 2.9 MGB 78)
- Rimando a definizione elementare di E(x) da CPSM --> la definizione di varianza dipende dalla definizione di valore atteso.
Ridefinizione formale del th. di pag 432 articolo Irving Segal
- Esempi pratici di isomorfismi tra algebre e loro realizzazioni
  - Corpo lanciato che segue traiettoria
  - Distribuzione delle particelle in un gas
Dimostrazione della disuguaglianza di Tcheb. secondo il th sopracitato.
Cauchy - Schwarz su v.c. limitate
- si parte da E((Y-tX)^2) con t $\in {\mathbb {R}}$
- Valutiamo discriminante del polinomio
  - Precisazione sul caso in cui E(x)=0 sse le v.c. sono proporzionali secondo t.
- Si deduce che per le v.c. dotate di momento secondo $\exists E(XY)$
Introduzione allo spazio L^2
- Tramite Cauchy-Schwarz deduciamo che L^2 è spazio vettoriale
- Recap di spazio vettoriale e proprietà delle op definite in esso
- Definizione di lunghezza , distanza rispetto al valore atteso
- Relazione tra valore atteso e varianza nello spazio vettoriale

IL DIARIO DI QUESTA LEZIONE E' UN PO' APPROSSIMATIVO, DEVO ANCORA CAPIRE BENE LA LEZIONE
Covarianza (utilizzando cauchy-shwarz)
- Coefficiente di correlazione
Regressione lineare (dimostrazione analitica, attraverso derivate parziali e determinante della matrice associata al sistema lineare definito - CRAMER)
Il valore atteso di Z (varibile casuale definita come il polinomio di primo grado della regressione) concide con quello della variabile casuale da "stimare"
Anticipazione su Tcheb.

Rivisitazione del concetto di regressione lineare attraverso inferenze di carattere puramente geometrico..tutti gli argomenti trattati il 17 si rifanno il 28 con un approccio molto più semplice e immediato.
Primo approccio al concetto di valore atteso condizionato (N.B è una variabile casuale)
Stima parametrica - stimatori UMVUE
- Dimostrazione unicità stimatori UMVUE
- il valore atteso della differenza di due v.c. stimatori UMVUE "=" 0 (nella prossima lezione si puntualizza quell'uguale tra virgolette).

Iniziamo la lezione con un caso degenere di stimatore (non riusciamo a trovarne uno per il problema posto).
Valutiamo la statistica (S+T)/2 e ragioniamo ancora sul concetto di unicità dello stimatore UMVUE.
- Digressione sul "quasi ovunque".
- Dimostrazione unicità asttraverso il concetto di Probabilità & tcheb.
- Digressone sulla norma quadra definita in L2 rispetto alla media campionaria.
Ritorniamo al compito per introdurre le f. generatrici.
- E' necessario studiare il dominio della f.generatrice...non è cosi banale.
  - Caso della exp negativo
- Estensione al piano complesso della f. generatrice.
Dimostrazione che la distribuzione di Cauchy non segue il th centrale della statistica. Infatti non ammette valore atteso!