Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007
Indice
- 1 RICEVIMENTO STUDENTI
- 2 Corsi di laurea
- 3 Siti del corso
- 4 Materiale didattico
- 5 Orari e luogo delle lezioni
- 6 Diario del corso
- 6.1 Lezione 1 [05/03/2007]
- 6.2 Lezione 2 [06/03/2007]
- 6.3 Lezione 3 [07/03/2007]
- 6.4 Lezione 4 [08/03/2007]
- 6.5 Lezione 5 [12/03/2007]
- 6.6 Lezione 6 [13/03/2007]
- 6.7 Lezione 7 [14/03/2007]
- 6.8 Lezione 8 [15/03/2007]
- 6.9 Esercitazione [19/03/2007]
- 6.10 Esercitazione [20/03/2007]
- 6.11 Esercitazione [22/03/2007]
- 6.12 Lezione 9 [26/03/2007]
- 6.13 Esercitazione [27/03/2007]
- 6.14 Lezione 10 [28/03/2007]
- 6.15 Lezione 11 [29/03/2007]
- 6.16 Lezione 12 [02/04/2007]
- 6.17 Lezione 13 [03/04/2007]
- 6.18 Lezione 14 [04/04/2007]
- 6.19 Lezione 15 [12/04/2007]
- 6.20 Esercitazione [16/04/2007]
- 6.21 Lezione 16 [17/04/2007]
- 6.22 Lezione 17 [18/04/2007]
- 6.23 Lezione 18 [19/04/2007]
- 6.24 Lezione 19 [23/04/2007]
- 6.25 Esercitazione [24/04/2007]
- 6.26 Lezione 20 [26/04/2007]
- 6.27 Lezione 21 [02/05/2007]
- 6.28 Lezione 22 [03/05/2007]
- 6.29 Lezione 23 [07/05/2007]
- 6.30 Lezione 24 [08/05/2007]
- 6.31 Lezione 25 [09/05/2007]
- 6.32 Esercitazione [10/05/2007]
- 6.33 Lezione 26 [14/05/2007]
- 6.34 Lezione 27 [15/05/2007]
- 6.35 Lezione 28 [16/05/2007]
- 6.36 Esercitazione [17/05/2007]
- 6.37 Lezione 29 [21/05/2007]
- 6.38 Lezione 30 [22/052007]
- 6.39 Lezione 31 [23/05/2007]
- 6.40 Esercitazione [24/05/2007]
RICEVIMENTO STUDENTI
Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi' 4 giugno a partire dalle ore 10.30.
Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è reperibile nel suo ufficio su appuntamento.
Corsi di laurea
Siti del corso
Pagina personale della professoressa Rusconi: http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/
Raccolta di scritti e soluzioni: http://www.mat.unimi.it/users/massa/
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html
Materiale didattico
Esercizi svolti il 24/04/2007 (Taylor) dal Dott. Penati
http://www.dsy.it/forum/showthread.php?s=&postid=431568#post431568
Programma del corso
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf
Modalità d'esame
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf
Testi
- L'esercitatore segnala questo testo:
Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.
- P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.
- P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
- P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.
Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.
Orari e luogo delle lezioni
- Lunedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
- Martedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
- Mercoledì 13:30-15:30 Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
- Giovedì 13:30-15:30 Aula V3 (190posti, via Venezian 15)
Diario del corso
Lezione 1 [05/03/2007]
- Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
- Disequazioni;
- Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
- Funzioni pari e dispari;
- Monotonia e crescenza;
- Esercizi ed esempi .
Lezione 2 [06/03/2007]
- Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
- Costruzione e manipolazioni di grafici;
- Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.
Lezione 3 [07/03/2007]
- Iniettività;
- Funzione inversa;
- Funzione logaritmo;
- Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
- Esercizi ed esempi.
Lezione 4 [08/03/2007]
- Perché si utilizzano gli asintotici;
- Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
- Funzione composta.
Lezione 5 [12/03/2007]
- Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
- Assioma di completezza;
- Esercizi ed esempi.
Lezione 6 [13/03/2007]
- Limiti di successioni;
- Definizione di limite finito e infinito;
- Definizione di intorno;
- Esercizi ed esempi.
Lezione 7 [14/03/2007]
- Unicità del limite;
- Relazioni fra limitatezza e convergenza;
- Teorema regolarità delle successioni monotone;
- Teorema del confronto;
- Teorema della permanenza del segno.
Lezione 8 [15/03/2007]
- Teorema del confronto con un solo termine;
- Teorema della permanenza del segno;
- Confronto fra limiti;
- Divergenza;
- Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.
Esercitazione [19/03/2007]
- Numero di Nepero e limiti notevoli.
Esercitazione [20/03/2007]
Esercitazione [22/03/2007]
- Limiti di successioni.
Lezione 9 [26/03/2007]
- Perché si utilizzano gli asintotici;
- Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
- Definizione di "o-piccolo";
- Proprietà di "o-piccolo";
- Operazioni con "o-piccolo";
- Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.
Esercitazione [27/03/2007]
- Calcolo di limiti di successioni;
Lezione 10 [28/03/2007]
- Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
- Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
- Criterio della radice per il confronto fra successioni;
- Fine parte sulle successioni;
- Intorni;
- Limiti di funzioni;
- Definizione limite e dimostrazione;
- Definizione funzione continua.
Lezione 11 [29/03/2007]
- Limiti di funzioni;
- Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
- Relazione fra limite di successione e limite di funzione:
SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)
- Non esistenza di limite: dimostrazione;
- Limiti notevoli (x->0);
- Confronto fra infiniti;
- Funzioni continue: somma e composizione.
Lezione 12 [02/04/2007]
- Continuità;
- Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
- Estensione per continuità;
- Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
- Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.
Lezione 13 [03/04/2007]
- Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
- Teorema dei valori intermedi;
- Teorema di Weierstrass;
- Retta tangente al grafico di una funzione;
- Derivata: definizione;
- La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
- Teorema:
SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.
Lezione 14 [04/04/2007]
- Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
- Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
- Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
- Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
- Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
- Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
- Derivata di a^x;
- Derivata dei logaritmi;
- Derivata delle funzioni trigonometriche;
- Algebra delle derivate: esempi;
- Derivata della funzione inversa.
Lezione 15 [12/04/2007]
- Estremi locali e loro caratterizzazione;
- Teorema di Fermat e dimostrazione;
- Teorema di Rolle e dimostrazione;
- Teorema di Lagrange e dimostrazione;
- Conseguenze del teorema di Lagrange;
- Esempi di applicazioni.
Esercitazione [16/04/2007]
- Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.
Lezione 16 [17/04/2007]
- Segno della derivata;
- Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:
Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività
- Studio di funzione: esempio;
- Teorema:
data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d) SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente) ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L
- Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
- Esercizi ed esempi.
Lezione 17 [18/04/2007]
- Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
- Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
- Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
- Teroema De L'Hospital: enunciato;
- Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
- Applicazioni del teorema;
- Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
- Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.
Lezione 18 [19/04/2007]
- Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
- Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
- Teorema:
SE f derivabile quanto basta in x0, le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa) ALLORA x0 è estremo n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0 x0 MAX se alfa<0 ] n dispari --> x0 non è estremo;
- Esempi.
Lezione 19 [23/04/2007]
- Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
- Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
- Esercizi.
Esercitazione [24/04/2007]
- Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.
[1] materiale del Dott. Penati
Lezione 20 [26/04/2007]
- Successioni definite per ricorrenza;
- Criteri di convergenza per le successioni.
- Esempi.
Lezione 21 [02/05/2007]
- Integrali;
- Calcolo di aree per esaustione;
- Teorema fondamentale del calcolo integrale;
- Primitiva;
- Funzione integrale;
- Formula fondamentale del calcolo integrale;
- Definizione di integrale alla Riemann.
Lezione 22 [03/05/2007]
- Convenzioni di scrittura;
- Confronto fra integrali;
- Teorema della media integrale;
- Teorema fondamentale del calcolo integrale;
- Importanza dell'estremo di integrazione.
Lezione 23 [07/05/2007]
- Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
- Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
- Esempi di decomposizione;
- Integrali di razionali fratte;
- Esempi.
Lezione 24 [08/05/2007]
- Integrali per parti;
- Integrali per sostituzione;
- Esempi.
Lezione 25 [09/05/2007]
- Esercizi sul calcolo di integrali.
Esercitazione [10/05/2007]
- Esercizi sul calcolo di integrali;
- Calcolo della media integrale.
Lezione 26 [14/05/2007]
- Integrali generalizzati;
- Integrali impropri;
- Criterio del confronto e del confronto asintotico.
Lezione 27 [15/05/2007]
- Serie numeriche;
- Somme parziali;
- Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
- Condizione necessaria per la convergenza;
- La serie di Mengoli, serie telescopiche;
- La serie geometrica di ragione q;
- Operazioni algebriche con le serie;
- La serie armonica;
- Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
- Criterio del confronto integrale;
- Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.
Lezione 28 [16/05/2007]
- Criterio della radice e del rapporto;
- Convergenza assoluta;
- Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
- Esempi.
Esercitazione [17/05/2007]
- Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.
Lezione 29 [21/05/2007]
- Esercizi sulle serie.
Lezione 30 [22/052007]
- Problema di Cauchy;
- Equazioni differenziali lineari;
- Equazioni differenziali a variabili separabili;
- Esempi.
Lezione 31 [23/05/2007]
- Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
- Dominio delle soluzioni;
- Esempi.
Esercitazione [24/05/2007]
- Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).