Calcolo numerico/2006-2007

Indice

1 Programma in Sintesi
2 Diario delle lezioni

Programma in Sintesi

Introduzione

Introduzione alla Matematica Finita
Tipologie di errori e quantificazione

Ricerca degli zeri di un polinomio

Metodi basati sugli estremi
- Metodo di Bisezione
Metodi basati sulla pendenza
- Metodo delle corde
- Metodo di Newton
Metodi basati su iterazioni di punto fisso

Ricerca degli zeri di più polinomi (caso vettoriale)

Metodi basati su iterazioni di punto fisso
Metodo di Newton
Metodo di Quasi Newton

Interpolazione di funzioni con polinomi

Interpolazione Polinomiale
- Matrici e sistema di Vandermonde
- Polinomio interpolatore di Lagrange
Intepolazione Composita
- Composita Lineare
- Composita Quadratica
Curve Spline Cubiche
- Spline parametriche

Approssimazione Numerica

Approssimazione di Dati
- Minimi Quadrati con una retta
- Minimi quadrati con un paraboloide convesso
Approssimazione di Derivate
- Backward e Forward Difference
- Centered Difference
Approssimazione di Integrali
- Metodo del Punto Medio Semplice e Composito
- Metodo dei Trapezi Semplice e Composito
- Metodo di Simpson Semplice e Composito

Risoluzione di sistemi lineari

Risoluzione di problemi di cauchy

Diario delle lezioni

Teoria - Lezione del 06/03/2007

Introduzione al corso (date, orari, esami...)
Problemi che si risolveranno durante il corso
- Ricerca dello zero di una funzione
- Risoluzione di sistemi lineari
- Problemi di Cauchy
Definizione di problema ben posto
- Analisi del metodo di newton
Errori in matematica, fisica e informatica
- Errore di modellazione (modello matematico)
- Errore di discretizzazione (modello numerico)
- Errore algoritmico
Elementi di analisi matematica fondamentali per il calcolo numerico
- Teorema del valore internmedio
- Teorema del valor medio
- Teorema della media integrale
- Serie di Taylor

Laboratorio - Lezione del 08/03/2007

Materiale: Lab1.pdf

Introduzione a MatLab (comandi di base)
Variabili e Variabili predefinite
Manipolazione di Vettori e Matrici
Uso di funzioni simboliche e disegno
Toolboxes per il calcolo differenziale e integrale

Teoria - Lezione del 13/03/2007

Rappresentazione dei numeri in doppia precisione
- Rappresentazione del segno
- Rappresentazione della mantissa
- Rappresentazione dell'esponente
Errore della matematica finita
- Chopping (troncamento)
- Rounding (arrotondamento)
- Differenza tra errore assoluto ed errore relativo
Funzionamento delle operazioni floating point
Metodo di bisezione
- Basi teoriche del metodo
- Criteri di arresto del metodo

Laboratorio - Lezione del 15/03/2007

Materiale: Lab2.pdf

Operatori condizionali
Operatori logici
Funzioni esterne (es. successione di fibonacci)
Rappresentazione dei numeri macchina
Errori nella matematica finita
- Errori di arrotondamento
- Errori di cancellazione

Teoria - Lezione del 20/03/2007

Limiti del metodo di bisezione
Metodi basati sulla pendenza
- Metodo delle corde
- Metodo di newton
- Limiti del metodo di newton e delle corde
Confronto tra i metodi visti (cifre significative/iterazione)
Ordine (di convergenza) di un metodo
- Convergenza lineare (corde)
- Convergenza quadratica (newton)
- Casi particolari del metodo di newton (molteplicità degli zeri)
Criteri di arresto per i metodi
- Differenza tra iterate
- Residuo
- Affidabilità ed efficenza della tecnica del residuo
Metodi basati su Iterazioni a punto fisso
- Aggiramento del problema da risolvere
- Calcolo della funzione ausiliaria

Laboratorio - Lezione del 22/03/2007

Materiale: Lab3.pdf

Rappresentazione grafica di una funzione
Uso di assi, scale e zoom
Programma per la risoluzione con il metodo di bisezione
- Ordine di convergenza del metodo
- Verifica di funzionamento rispetto alla teoria
Programma per la risoluzione con il metodo di newton
- Diverse condizioni di arresto
- Verifica di funzionamento rispetto alla teoria
Programma per la risoluzione con il metodo delle corde

Teoria - Lezione del 27/03/2007

Metodo di Newton come iterazione a punto fisso
Metodo delle corde come iterazione a punto fisso
Metodi basati su Iterazioni a punto fisso
- Convergenza di Iterazioni a punto fisso
  - Teorema di Convergenza Locale
  - Velocità di convergenza
- Criteri di arresto
Ricerca di zeri di funzioni nel caso vettoriale
- Definizione di Jacobiano
- Derivata parziale
- Metodo di iterazioni a punto fisso nel caso vettoriale
  - Tecniche di rilassamento per la convergenza
- Metodo di Newton nel caso vettoriale
- Metodo di Quasi Newton

Laboratorio - Lezione del 29/03/2007

Lezione Annullata

Teoria - Lezione del 03/04/2007

Interpolazione di funzioni: metodi che non vedremo
- Serie trigonometriche
Interpolazione di funzioni: Interpolazione polinomiale
- Rappresentazione
  - Rappresentazione matriciale del problema
  - Rappresentazione con la forma di Lagrange
- Risoluzione
  - Risolvo il sistema di Vandermonde
  - Risolvo nella forma di Lagrange
- Analisi dell'errore
- Casi particolari
  - Funzione di Runge
  - Distribuzione di Chebishev

Laboratorio - Lezione del 05/04/2007

Vacanze Pasquali

Teoria - Lezione del 10/04/2007

Vacanze Pasquali

Laboratorio - Lezione del 12/04/2007

Materiale: Lab3.pdf

Implemenzazione del metodo di newton
- Analisi dei criteri di arresto
- Errore del metodo
- Velocità di convergenza
Implemenzazione del metodo delle corde
- Errore del metodo
- Velocità di convergenza
Metodo di newton per sistemi lineari
- Analisi del funzionamento
- Calcolo dello Jacobiano

Teoria - Lezione del 17/04/2007

Interpolazion polinomiale
- Errore con nodi equispaziati
- Interpolazione lineare
Interpolazione composita
- Caso lineare
  - Risultato visivo
  - Errori nel caso lineare
- Caso quadratico
  - Risultato visivo
  - Errori nel caso quadratico
Meotdi di interpolazione avanzati
- Hermite (accenno)
- Spline
  - Curve di Bezier (accenno: computer grafica)
  - Nurbs (accenno: spline composte)
- Slpine Cubiche
  - Condizioni per scrivere lil polinomio
  - Condizioni aggiuntive e classi generate
  - Errore nell Spline Cubiche
    - Ritazione degli assi
    - Spline parametriche

Laboratorio - Lezione del 19/04/2007

Materiale: Lab4.pdf

Metodo di newton per sistemi
- Funzionamento
- Verifica errori
- Convergenza e cifre significative
Metodi di punto fisso
- Polinomio interpolatore di Lagrange

Teoria - Lezione del 24/04/2007

Approssimazione Numerica
- Metodo dei Minimi Quadrati
  - Retta di regressione lineare
  - Paraboloide convesso
- Differenza tra approssimazione e interpolazione
Approssimazione di Derivate
- Forward Difference
- Backward Difference
- Errore per Backward e Forward
- Centered Difference
- Errore per Centered

Laboratorio - Lezione del 26/04/2007

Materiale: Lab5.pdf

Interpolazione di polinomi
- Uso del polinomio di Lagrange
- Uso dei comandi Matlab polyfit e polyval
- Calcolo dell'errore di approssimazione
Approssimazione di funzioni
- Approssimazione di una funzione semplice con Matlab
- Sperimentazione del controesempio di Runge

Teoria - Lezione del 01/05/2007

Vacanze 1° Maggio

Laboratorio - Lezione del 03/05/2007

Materiale: Lab6.pdf

Approssimazione di funzioni
- Calcolo dei nodi di Chebyshev
- Interpolazione di funzione in questi nodi
Minimi Quadrati
- Esempio di approssimazione di minimi quadrati
Approssimazione di derivate
- Calcolo di Forward Difference e stima dell'errore
- Calcolo di Centered Difference e stima dell'errore

Materiale: Lab7.pdf

Interpolazione con funzioni spline
- Verifica che una funzione è una spline
- Verifica della tipologia di una spline
Funzioni spline parametriche

Teoria - Lezione del 08/05/2007

Approssimazione di Integrali Definiti
- con Polinomi di grado 0
  - Metodo del punto medio semplice
  - Metodo del punto medio composito
  - Errore del metodo del punto medio semplice e composto
- con Polinomi di grado 1
  - Metodo dei trapezi semplice
  - Metodo dei trapezi composito
  - Errore del metodo dei trapezi semplice e composto
- con Polinomi di grado 2
  - Metodo di Simpson semplice
  - Metodo di Simpson composito
  - Errore del metodo di Simpson semplice e composto
Osservazioni sull'ordine di infinitesimo dell'errore
Osservazioni sul grado di esattezza del metodo