Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

Indice

1 Corsi di laurea
2 Siti del corso
3 Materiale didattico
4 Orari e luogo delle lezioni
5 Diario del corso

Corsi di laurea

Informatica

Siti del corso

Pagina personale della professoressa Rusconi: http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni: http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

Materiale didattico

Testi

L'esercitatore segnala questo testo:

Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

Orari e luogo delle lezioni

Lunedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
Martedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
Mercoledì 13:30-15:30 Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
Giovedì 13:30-15:30 Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

Diario del corso

Lezione 1 [05/03/2007]

Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
Disequazioni;
Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
Funzioni pari e dispari;
Monotonia e crescenza;
Esercizi ed esempi .

Lezione 2 [06/03/2007]

Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
Costruzione e manipolazioni di grafici;
Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

Lezione 3 [07/03/2007]

Iniettività;
Funzione inversa;
Funzione logaritmo;
Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
Esercizi ed esempi.

Lezione 4 [08/03/2007]

Perché si utilizzano gli asintotici;
Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
Funzione composta.

Lezione 5 [12/03/2007]

Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
Assioma di completezza;
Esercizi ed esempi.

Lezione 6 [13/03/2007]

Limiti di successioni;
Definizione di limite finito e infinito;
Definizione di intorno;
Esercizi ed esempi.

Lezione 7 [14/03/2007]

Unicità del limite;
Relazioni fra limitatezza e convergenza;
Teorema regolarità delle successioni monotone;
Teorema del confronto;
Teorema della permanenza del segno.

Lezione 8 [15/03/2007]

Teorema del confronto con un solo termine;
Teorema della permanenza del segno;
Confronto fra limiti;
Divergenza;
Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

Esercitazione [19/03/2007]

Numero di Nepero e limiti notevoli.

Esercitazione [20/03/2007]

Esercizi successioni ed asintotico.

Esercitazione [22/03/2007]

Limiti di successioni, confronto di infiniti.

Lezione 9 [26/03/2007]

Perché si utilizzano gli asintotici;
Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
Definizione di "o-piccolo";
Proprietà di "o-piccolo";
Operazioni con "o-piccolo";
Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

Esercitazione [27/03/2007]

Calcolo di limiti di successioni;

Lezione 10 [28/03/2007]

Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
Criterio della radice per il confronto fra successioni;
Fine parte sulle successioni;
Intorni;
Limiti di funzioni;
Definizione limite e dimostrazione;
Definizione funzione continua.

Lezione 11 [29/03/2007]

Limiti di funzioni;
Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
Relazione fra limite di successione e limite di funzione:

    SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)

Non esistenza di limite: dimostrazione;
Limiti notevoli (x->0);
Confronto fra infiniti;
Funzioni continue: somma e composizione.

Lezione 12 [02/04/2007]

Continuità;
Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
Estensione per continuità;
Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

Lezione 13 [03/04/2007]

Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
Teorema dei valori intermedi;
Teorema di Weierstrass;
Retta tangente al grafico di una funzione;
Derivata: definizione;
La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
Teorema:

       SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

Lezione 14 [04/04/2007]

Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
Derivata di a^x;
Derivata dei logaritmi;
Derivata delle funzioni trigonometriche;
Algebra delle derivate: esempi;
Derivata della funzione inversa.

Lezione 15 [12/04/2007]

Estremi locali e loro caratterizzazione;
Teorema di Fermat e dimostrazione;
Teorema di Rolle e dimostrazione;
Teorema di Lagrange e dimostrazione;
Conseguenze del teorema di Lagrange;
Esempi di applicazioni.

Esercitazione [16/04/2007]

Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

Lezione 16 [17/04/2007]

Segno della derivata;
Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:

     Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività

Studio di funzione: esempio;
Teorema:

  data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
  SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
  ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L

Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
Esercizi ed esempi.

Lezione 17 [18/04/2007]

Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
Teroema De L'Hospital: enunciato;
Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
Applicazioni del teorema;
Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

Lezione 18 [19/04/2007]

Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
Teorema:

  SE f derivabile quanto basta in x0,
     le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
     e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
  ALLORA x0 è estremo
     n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0  x0 MAX se alfa<0 ]
     n dispari --> x0 non è estremo;

Esempi.

Lezione 19 [23/04/2007]

Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
Esercizi.

Esercitazione [24/04/2007]

Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.

[1] materiale del Dott. Penati

Lezione 20 [26/04/2007]

Successioni definite per ricorrenza;
Criteri di convergenza per le successioni.
Esempi.

Lezione 21 [02/05/2007]

Integrali;
Calcolo di aree per esaustione;
Teorema fondamentale del calcolo integrale;
Primitiva;
Funzione integrale;
Formula fondamentale del calcolo integrale;
Definizione di integrale alla Riemann.

Lezione 22 [03/05/2007]

Convenzioni di scrittura;
Confronto fra integrali;
Teorema della media integrale;
Teorema fondamentale del calcolo integrale;
Importanza dell'estremo di integrazione.

Lezione 23 [07/05/2007]

Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
Esempi di decomposizione;
Integrali di razionali fratte;
Esempi.

Lezione 24 [08/05/2007]

Integrali per parti;
Integrali per sostituzione;
Esempi.

Lezione 25 [09/05/2007]

Esercizi sul calcolo di integrali.

Esercitazione [10/05/2007]

Esercizi sul calcolo di integrali;
Calcolo della media integrale.

Lezione 26 [14/05/2007]

Integrali generalizzati;
Integrali impropri;
Criterio del confronto e del confronto asintotico.

Lezione 27 [15/05/2007]

Serie numeriche;
Somme parziali;
Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
Condizione necessaria per la convergenza;
La serie di Mengoli, serie telescopiche;
La serie geometrica di ragione q;
Operazioni algebriche con le serie;
La serie armonica;
Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
Criterio del confronto integrale;
Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

Lezione 28 [16/05/2007]

Criterio della radice e del rapporto;
Convergenza assoluta;
Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
Esempi.

Esercitazione [17/05/2007]

Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

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Esercitazione [24/05/2007]

Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).