Metodi probabilistici/2007-2008

Diario del corso

Lezione del giorno 3/3/2008

• Introduzione al corso
• Partendo dal concetto di variabile casuale ripasso di:
  • Funzione, Relazione, Prodotto Cartesiano
• Ripasso del concetto di funzione di ripartizione
  • Ri-defizione del concetto di funzione di ripartizione come probabilità della controimmagine di una variabile casuale con argomento la semiretta dei reali delimitata da un x segnato
• Primo approccio al concetto di funzione misurabile ($\Sigma$-s misurabile, con s semiretta dei Reali ${\mathbb {R}}$)

Lezione del giorno 7/3/2008

• Recap del modello Kolmogoroviano ($\Omega$, $\Sigma$, P)
• Proprietà delle funzioni di ripartizione
  • Ripasso del concetto di continuità da dx e sx
  • Data una generica F(x) che gode delle tre proprietà (MGB 67-68) questa è una funzione di ripartizione della quale possiamo definire modello Kolmogoroviano. (Vedi MGB 68-2.3)
• Concetto di misurabilità partendo da esempi elementari (da CPSM) con distribuzione uniforme in (a,b]
  • Il concetto di misurabilità va ridefinito superando il "vincolo dell'intervallo".
    • Non tutti i sottoinsiemi di una retta R sono intervalli, eppure sono "interessanti".
  • Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna (${\mathbb {R}}$, ${\mathcal {B}}$(${\mathbb {R}}$), $P_{X}$)
  • Prima citazione degli insieme di Borel ${\mathcal {B}}$(${\mathbb {R}}$).
• Ripasso del concetto di esponenziale (con naturale estensione al piano complesso)
  • Sistema di 2 equazioni g(0) = 1 , g'(x) = g(x)
    • Ripasso del concetto di derivata come limite del rapporto incrementale
    • Ricerca di una soluzione tra i polinomi
    • Verifica della soluzione $\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{{\frac {x^{n}}{n!}}}$
    • Verifica della convergenza della serie
  • Definizione formale del numero di Nepero
  • Cenno di dimostrazione sulla proprietà exp(x+y) = exp(x) * exp(y) [utilizzare binomio di Newton]
  • Esponenziale di complessi
    • Legame con funzione seno e coseno