Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

Corsi di laurea

Informatica

Siti del corso

Pagina personale della professoressa Rusconi: http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni: http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

Materiale didattico

Programma del corso

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/Programma%20IstMat07.pdf

Modalità d'esame

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/ModalitaInfo.pdf

Testi

P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

Orari e luogo delle lezioni

Lunedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
Martedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
Mercoledì 13:30-15:30 Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
Giovedì 13:30-15:30 Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

Diario del corso

Lezione 1 [05/03/2007]

Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
Disequazioni;
Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
Funzioni pari e dispari;
Monotonia e crescenza;
Esercizi ed esempi .

Lezione 2 [06/03/2007]

Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
Costruzione e manipolazioni di grafici;
Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

Lezione 3 [07/03/2007]

Iniettività;
Funzione inversa;
Funzione logaritmo;
Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
Esercizi ed esempi.

Lezione 4 [08/03/2007]

Perché si utilizzano gli asintotici;
Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
Funzione composta.

Lezione 5 [12/03/2007]

Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
Assioma di completezza;
Esercizi ed esempi.

Lezione 6 [13/03/2007]

Limiti di successioni;
Definizione di limite finito e infinito;
Definizione di intorno;
Esercizi ed esempi.

Lezione 7 [14/03/2007]

Unicità del limite;
Relazioni fra limitatezza e convergenza;
Teorema regolarità delle successioni monotone;
Teorema del confronto;
Teorema della permanenza del segno.

Lezione 8 [15/03/2007]

Teorema del confronto con un solo termine;
Teorema della permanenza del segno;
Confronto fra limiti;
Divergenza;
Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

Lezione 9 [26/03/2007]

Perché si utilizzano gli asintotici;
Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
Definizione di "o-piccolo";
Proprietà di "o-piccolo";
Operazioni con "o-piccolo";
Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

Esercitazione [27/03/2007]

Calcolo di limiti di successioni;

Lezione 10 [28/03/2007]

Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
Criterio della radice per il confronto fra successioni;
Fine parte sulle successioni;
Intorni;
Limiti di funzioni;
Definizione limite e dimostrazione;
Definizione funzione continua.

Lezione 11 [29/03/2007]

Limiti di funzioni;
Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
Relazione fra limite di successione e limite di funzione:

    SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)

Non esistenza di limite: dimostrazione;
Limiti notevoli (x->0);
Confronto fra infiniti;
Funzioni continue: somma e composizione.

Lezione 12 [02/04/2007]

Continuità;
Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
Estensione per continuità;
Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

Lezione 13 [03/04/2007]

Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
Teorema dei valori intermedi;
Teorema di Weierstrass;
Retta tangente al grafico di una funzione;
Derivata: definizione;
La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
Teorema:

       SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

Lezione 14 [04/04/2007]

Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
Derivata di a^x;
Derivata dei logaritmi;
Derivata delle funzioni trigonometriche;
Algebra delle derivate: esempi;
Derivata della funzione inversa.

Lezione 15 [12/04/2007]

Estremi locali e loro caratterizzazione;
Teorema di Fermat e dimostrazione;
Teorema di Rolle e dimostrazione;
Teorema di Lagrange e dimostrazione;
Conseguenze del teorema di Lagrange;
Esempi di applicazioni.

Esercitazione [16/04/2007]

Studio di funzione: simmetrie, derivate, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

Lezione 16[17/04/2007]

Segnodella derivata;
Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:

     Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività

Studio di funzione: esempio;
Teorema:

  data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
  SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
  ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L

Dimostrazione del teorema applicando il teorema di Lagrange;
Esercizi ed esempi.