Istituzioni di matematiche info T2/2006-2007

Indice

1 ESAME
2 RICEVIMENTO STUDENTI
3 Corsi di laurea
4 Siti del corso
5 Materiale didattico
6 Orari e luogo delle lezioni
7 Diario del corso

ESAME

Si avvisano gli studenti che l' esame di Istituzioni di Matematiche si terrà il giorno 26/06/2007 alle ore 09:30 in aula V1 per chi deve sostenere l' esame con i proff. Tarallo e Forti e in aula V3 per chi deve sostenere l' esame con la prof.ssa Rusconi.

RICEVIMENTO STUDENTI

Il Prof. Tarallo ha prenotato l'Aula C, al secondo piano del Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), per lunedi' 4 giugno a partire dalle ore 10.30.

Il Dott. Penati ha dato disponibilità per giovedì 7 dopo la lezione ed eventualmente è reperibile nel suo ufficio su appuntamento.

Corsi di laurea

Informatica

Siti del corso

Pagina personale della professoressa Rusconi: http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/

Raccolta di scritti e soluzioni: http://www.mat.unimi.it/users/massa/

http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/temi%20d%27esame.html

Materiale didattico

Testi

L'esercitatore segnala questo testo:

Esercizi di Analisi Matematica 1, parte II, di Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajroldi, ed. Zanichelli.

P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore.

P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte I, Liguori Editore.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. I parte II, Liguori Editore.

Il docente consiglia di utilizzare per le esercitazioni i temi d'esame svolti e fa presente di non seguire in modo particolare alcun libro di testo.

Orari e luogo delle lezioni

Lunedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
Martedì 13:30-15:30 Aula V3 (190 posti, via Venezian 15)
Mercoledì 13:30-15:30 Aula V1 (333 posti, via Venezian 15)
Giovedì 13:30-15:30 Aula V3 (190posti, via Venezian 15)

Diario del corso

Lezione 1 [05/03/2007]

Introduzione al corso e modalità d'esame per l'anno corrente.
Disequazioni;
Grafici di alcune funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, modulo);
Funzioni pari e dispari;
Monotonia e crescenza;
Esercizi ed esempi .

Lezione 2 [06/03/2007]

Esercizi ed esempi sugli argomenti della lezione precedente;
Costruzione e manipolazioni di grafici;
Ricerca del dominio e codominio per via grafica ed analitica.

Lezione 3 [07/03/2007]

Iniettività;
Funzione inversa;
Funzione logaritmo;
Alcune funzioni circolari e rispettive inverse;
Esercizi ed esempi.

Lezione 4 [08/03/2007]

Perché si utilizzano gli asintotici;
Esercizi ed esempi su dominio codominio e inverse;
Funzione composta.

Lezione 5 [12/03/2007]

Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme;
Assioma di completezza;
Esercizi ed esempi.

Lezione 6 [13/03/2007]

Limiti di successioni;
Definizione di limite finito e infinito;
Definizione di intorno;
Esercizi ed esempi.

Lezione 7 [14/03/2007]

Unicità del limite;
Relazioni fra limitatezza e convergenza;
Teorema regolarità delle successioni monotone;
Teorema del confronto;
Teorema della permanenza del segno.

Lezione 8 [15/03/2007]

Teorema del confronto con un solo termine;
Teorema della permanenza del segno;
Confronto fra limiti;
Divergenza;
Alcune forme di indecisione e risoluzione delle stesse.

Esercitazione [19/03/2007]

Numero di Nepero e limiti notevoli.

Esercitazione [20/03/2007]

Esercizi successioni ed asintotico.

Esercitazione [22/03/2007]

Limiti di successioni, confronto di infiniti.

Lezione 9 [26/03/2007]

Perché si utilizzano gli asintotici;
Il passaggio ad asintotico non cambia il limite delle successioni;
Definizione di "o-piccolo";
Proprietà di "o-piccolo";
Operazioni con "o-piccolo";
Vantaggi nell'utilizzo di "o-piccolo" ed esempi.

Esercitazione [27/03/2007]

Calcolo di limiti di successioni;

Lezione 10 [28/03/2007]

Criterio del rapporto per il confronto fra successioni e dimostrazione;
Ordinamento tramite o-piccolo di alcune successioni;
Criterio della radice per il confronto fra successioni;
Fine parte sulle successioni;
Intorni;
Limiti di funzioni;
Definizione limite e dimostrazione;
Definizione funzione continua.

Lezione 11 [29/03/2007]

Limiti di funzioni;
Per i limiti di funzioni valgono ancora i teoremi visti per le successioni;
Relazione fra limite di successione e limite di funzione:

    SE per x->alfa lim f(x)=L ALLORA per xn->alfa f(xn)->L VERO se xn!=alfa a meno che f sia continua in alfa ovvero L=f(alfa)

Non esistenza di limite: dimostrazione;
Limiti notevoli (x->0);
Confronto fra infiniti;
Funzioni continue: somma e composizione.

Lezione 12 [02/04/2007]

Continuità;
Disuguaglianza triangolare (ne avevamo già parlato, è una formula che sarebbe utile conoscere e aver capito);
Estensione per continuità;
Teoremi fondamentali: il Teorema degli zeri;
Dimostrazione algoritmica del teorema degli zeri.

Lezione 13 [03/04/2007]

Approfondimento sul teorema degli zeri e continuità;
Teorema dei valori intermedi;
Teorema di Weierstrass;
Retta tangente al grafico di una funzione;
Derivata: definizione;
La retta tangente è la migliore approssimazione - del primo ordine- al grafico della funzione;
Teorema:

       SE una funzione è derivabile in un punto ALLORA in quel punto è continua.

Lezione 14 [04/04/2007]

Derivate: calcolo della derivata di x^p: approfondimento sulla formula di calcolo al variare di x e p;
Calcolo della derivata di |x|: derivata destra e sinistra, punto angoloso;
Calcolo della derivata di |x|^alfa al variare di alfa;
Calcolo della derivata di x^alfa al variare di alfa;
Esempi di punti di flesso a tangente verticale e orizzontale;
Formula per il calcolo della derivata della funzione esponenziale e^x;
Derivata di a^x;
Derivata dei logaritmi;
Derivata delle funzioni trigonometriche;
Algebra delle derivate: esempi;
Derivata della funzione inversa.

Lezione 15 [12/04/2007]

Estremi locali e loro caratterizzazione;
Teorema di Fermat e dimostrazione;
Teorema di Rolle e dimostrazione;
Teorema di Lagrange e dimostrazione;
Conseguenze del teorema di Lagrange;
Esempi di applicazioni.

Esercitazione [16/04/2007]

Studio di funzione: simmetrie, derivate, segno della derivata, continuità della derivata prima e della derivata seconda.

Lezione 16 [17/04/2007]

Segno della derivata;
Relazione fra monotonia e iniettività/invertibilità:

     Per le funzioni continue su un intervallo la monotonia stretta implica l'iniettività

Studio di funzione: esempio;
Teorema:

  data f:[a,a+d) -> R, continua in [a,a+d), derivabile in [a,a+d)
  SE esiste ed è finito il limite L, per x->a da dx, della derivata prima (condizione sufficiente)
  ALLORA la derivata destra nel punto a è uguale a tale limite L

Dimostrazione del teorema mediante il teorema di Lagrange;
Esercizi ed esempi.

Lezione 17 [18/04/2007]

Convessità su intervalli: definizione di convessità per funzioni derivabili;
Relazione fra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata seconda;
Convessità e punti stazionari (punti in cui la derivata prima è nulla);
Teroema De L'Hospital: enunciato;
Teroema De L'Hospital, implicazione: l'esistenza del limite, finito e indicato con L, del rapporto fra le derivate implica l'esistenza del limite del rapporto fra le funzioni che è proprio L;
Applicazioni del teorema;
Approssimazioni migliori al grafico della funzione: costruzione della formula del polinomio di Taylor, con resto di Peano;
Osservazione: il polinomio che abbiamo definito è unico.

Lezione 18 [19/04/2007]

Taylor: sviluppi di funzioni elementari;
Conseguenza degli sviluppi di Taylor nella ricerca di punti stazionari;
Teorema:

  SE f derivabile quanto basta in x0,
     le prime n-1 derivate sono uguali e pari a ZERO
     e la derivata n-esima è non nulla (uguale ad alfa)
  ALLORA x0 è estremo
     n pari --> x0 punto estremo [ x0 min se alfa>0  x0 MAX se alfa<0 ]
     n dispari --> x0 non è estremo;

Esempi.

Lezione 19 [23/04/2007]

Uso degli sviluppi di Taylor nella risoluzione di limiti;
Calcolo della derivata n-esima mediante l'utilizzo degli sviluppi di Taylor;
Esercizi.

Esercitazione [24/04/2007]

Esempi di soluzioni di limiti mediante sviluppi di Taylor.

[1] materiale del Dott. Penati

Lezione 20 [26/04/2007]

Successioni definite per ricorrenza;
Criteri di convergenza per le successioni.
Esempi.

Lezione 21 [02/05/2007]

Integrali;
Calcolo di aree per esaustione;
Teorema fondamentale del calcolo integrale;
Primitiva;
Funzione integrale;
Formula fondamentale del calcolo integrale;
Definizione di integrale alla Riemann.

Lezione 22 [03/05/2007]

Convenzioni di scrittura;
Confronto fra integrali;
Teorema della media integrale;
Teorema fondamentale del calcolo integrale;
Importanza dell'estremo di integrazione.

Lezione 23 [07/05/2007]

Integrale indefinito: insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo certo;
Metodi di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione;
Esempi di decomposizione;
Integrali di razionali fratte;
Esempi.

Lezione 24 [08/05/2007]

Integrali per parti;
Integrali per sostituzione;
Esempi.

Lezione 25 [09/05/2007]

Esercizi sul calcolo di integrali.

Esercitazione [10/05/2007]

Esercizi sul calcolo di integrali;
Calcolo della media integrale.

Lezione 26 [14/05/2007]

Integrali generalizzati;
Integrali impropri;
Criterio del confronto e del confronto asintotico.

Lezione 27 [15/05/2007]

Serie numeriche;
Somme parziali;
Teorema per la regolarità delle serie a segno costante [definitivamente];
Condizione necessaria per la convergenza;
La serie di Mengoli, serie telescopiche;
La serie geometrica di ragione q;
Operazioni algebriche con le serie;
La serie armonica;
Criterio del confronto per serie a termini [definitivamente] positivi;
Criterio del confronto integrale;
Criterio del confronto asintotico per serie a termini [definitivamente] positivi.

Lezione 28 [16/05/2007]

Criterio della radice e del rapporto;
Convergenza assoluta;
Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno;
Esempi.

Esercitazione [17/05/2007]

Calcolo di integrali con il metodo del confronto e del confronto asintotico.

Lezione 29 [21/05/2007]

Esercizi sulle serie.

Lezione 30 [22/052007]

Problema di Cauchy;
Equazioni differenziali lineari;
Equazioni differenziali a variabili separabili;
Esempi.

Lezione 31 [23/05/2007]

Ancora equazioni differenziali a variabili separabili;
Dominio delle soluzioni;
Esempi.

Esercitazione [24/05/2007]

Serie risolte con tutti i metodi (confronto, confronto asintotico, confronto integrale, rapporto, radice e Leibnitz).