Metodi probabilistici/2007-2008

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Diario del corso

Lezione del giorno 3/3/2008

  • Introduzione al corso
  • Partendo dal concetto di variabile casuale ripasso di:
    • Funzione, Relazione, Prodotto Cartesiano
  • Ripasso del concetto di funzione di ripartizione
    • Ri-defizione del concetto di funzione di ripartizione come probabilità della controimmagine di una variabile casuale con argomento la semiretta dei reali delimitata da un x segnato
  • Primo approccio al concetto di funzione misurabile (\Sigma -s misurabile, con s semiretta dei Reali {\mathbb  {R}})

Lezione del giorno 7/3/2008

  • Recap del modello Kolmogoroviano (\Omega , \Sigma , P)
  • Proprietà delle funzioni di ripartizione
    • Ripasso del concetto di continuità da dx e sx
    • Data una generica F(x) che gode delle tre proprietà (MGB 67-68) questa è una funzione di ripartizione della quale possiamo definire modello Kolmogoroviano. (Vedi MGB 68-2.3)
  • Concetto di misurabilità partendo da esempi elementari (da CPSM) con distribuzione uniforme in (a,b]
    • Il concetto di misurabilità va ridefinito superando il "vincolo dell'intervallo".
      • Non tutti i sottoinsiemi di una retta R sono intervalli, eppure sono "interessanti".
    • Parallelismo tra Modello Kolmogoroviano e terna ({\mathbb  {R}}, {\mathcal  {B}}({\mathbb  {R}}), P_{X})
    • Prima citazione degli insieme di Borel {\mathcal  {B}}({\mathbb  {R}}).
  • Ripasso del concetto di esponenziale (con naturale estensione al piano complesso)
    • Sistema di 2 equazioni g(0) = 1 , g'(x) = g(x)
      • Ripasso del concetto di derivata come limite del rapporto incrementale
      • Ricerca di una soluzione tra i polinomi
      • Verifica della soluzione \sum _{{n=0}}^{{\infty }}{{\frac  {x^{n}}{n!}}}
      • Verifica della convergenza della serie
    • Definizione formale del numero di Nepero
    • Cenno di dimostrazione sulla proprietà exp(x+y) = exp(x) * exp(y) [utilizzare binomio di Newton]
    • Esponenziale di complessi
      • Legame con funzione seno e coseno