Differenze tra le versioni di "Complementi di analisi/2006-2007"

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== News ==
 
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* Il giorno 12 ottobre 2006 ha raccolto le prime firme per il compitino.
 
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=== Lezioni cancellate/spostate ===
 
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=== Appelli ===
 
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* Il compitino si farà intorno alla fine di Novembre.
 
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== Informazioni generali ==
 
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Complementi di Analisi è un corso complementare per le Lauree Magistrali.
 
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=== Docenti ===
 
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* Prof. [[Cecilia Cavaterra]]
 
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** Email: cecilia [DOT] cavaterra [AT] mat [DOT] unimi [DOT] it
 
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** Pagina personale sul DMat: http://www.mat.unimi.it/users/cecilia/
 
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** Pagina personale sul DICo: http://www.dico.unimi.it/persona.php?z=0;id_persona=142
 
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=== Corsi di laurea ===
 
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* [[:Categoria:Corsi_Magistrale|Corsi_Magistrale]]
 
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=== Modalità d'esame ===
 
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* Due prove in itinere per i frequentanti (chi supera le due prove potrà non sostenere l'orale).
 
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* Appello scritto e prova orale.
 
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=== Orari e luogo delle lezioni ===
 
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* Martedì, 14:30-16:30, Aula 100 (via Celoria)
 
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* Giovedì, 14:30-17:30, Aula 100 (via Celoria)
 
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* Dal DICo: http://www.dico.unimi.it/occorrenza.php?z=0;id_corso=8;id_ins=369;id_occ=1172;id_ori=
 
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=== Orario di ricevimento studenti ===
 
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* Fino al 31/01/07: Mercoledì dalle 14.00 alle 15.30 oppure su appuntamento via e-mail.
 
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* Dall' 01/02/07: consultare sito web del docente oppure su appuntamento via e-mail
 
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* Stanza 2060, [http://www.mat.unimi.it/ Dipartimento di Matematica "Federigo Enriques"]
 
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== Informazioni specifiche ==
 
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=== Siti del corso ===
 
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* Il sito ufficiale di questo anno accademico deve essere ancora aggiornato.
 
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* [http://www.mat.unimi.it/users/cecilia/info2005.06/didattica0506.html Sito ufficiale Complementi di Analisi AA0506]
 
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* In DICo: http://www.dico.unimi.it/occorrenza.php?z=0;id_occ=1172
 
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=== Forum del corso (non ufficiale) ===
 
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* Da dsy: http://www.dsy.it/forum/forumdisplay.php?forumid=215
 
  
 
== Materiale didattico ==
 
== Materiale didattico ==
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=== Bibliografia consigliata ===
 
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Questi libri sono solo consigliati, qualsiasi altro libro che tratta gli stessi argomenti, va bene.
 
Questi libri sono solo consigliati, qualsiasi altro libro che tratta gli stessi argomenti, va bene.
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* M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: "Matematica - Calcolo infinitesiamle e algebra lineare" , Zanichelli
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* M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: "Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare" , Zanichelli
 
* N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: "Elementi di Analisi Matematica II", Liguori Editore
 
* N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: "Elementi di Analisi Matematica II", Liguori Editore
 
* P. Marcellini, C. Sbordone: "Calcolo", Liguori Editore
 
* P. Marcellini, C. Sbordone: "Calcolo", Liguori Editore
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== Diario del corso ==
 
== Diario del corso ==
 
   
 
   
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=== Lezione di Giovedì 05 ottobre 2006 ===
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=== Lezione di Giovedì 05 ottobre 2006 ===
 
* Presentazione del corso.  
 
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* Il campo dei numeri complessi.  
 
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* Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.
 
* Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.
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* Teorema fondamentale dell'algebra
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* Teorema fondamentale dell'algebra.
  
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=== Lezione di Martedì 10 ottobre 2006 ===
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=== Lezione di Martedì 10 ottobre 2006 ===
 
* Successioni numeriche.  
 
* Successioni numeriche.  
 
* Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica (con dimostrazione).
 
* Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica (con dimostrazione).
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* Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica
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* Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica.
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=== Lezione di Giovedì 12 ottobre 2006 ===
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* Serie armonica generalizzata, serie di termine generale  1/[(n^a)|log n|^b].
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* Criteri di convergenza per serie a termini di segno costante (>=0).
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** Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice.
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* Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualunque.
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** Criterio della convergenza assoluta, criterio di Leibniz.
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* Successioni di funzioni. Insieme di convergenza semplice o puntuale, funzione limite.
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* Convergenza puntuale di successioni di funzioni.
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=== Lezione di Martedì 17 ottobre 2006 ===
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* Convergenza uniforme di successioni di funzioni.
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* Teoremi di limitatezza, continuità, passaggio al limite sotto il segno di integrale.
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* Teorema di derivazione per successioni di funzioni.
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=== Lezione di Giovedì 19 ottobre 2006 ===
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* Esercizi sulle successioni di funzioni.
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* Serie di funzioni. Convergenza puntuale, funzione somma e convergenza uniforme di serie di funzioni.
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* Condizione necessaria per la convergenza uniforme di serie di funzioni (con dimostrazione).
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=== Lezione di Martedì 24 ottobre 2006 ===
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* Condizione sufficiente per la convergenza uniforme di serie di funzioni (teorema di Weierstrass) (con dimostrazione).
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* Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni. Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze..
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=== Lezione di Giovedì 26 ottobre 2006 ===
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* Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni.
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* Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze. Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza.
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=== Lezione di Martedì 31 ottobre 2006 ===
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* Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza. Teorema di Abel sulla convergenza di serie di potenze.
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* Regolarità della funzione somma di una serie di potenze. Esercizi sulle serie di potenze.
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* Serie di Taylor associata ad una funzione di classe C-infinito.
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=== Lezione di Giovedì 02 novembre 2006 ===
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* Relazione tra formula di Taylor e serie di Taylor.
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* Criterio di analiticità.
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* Esercizi.
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=== Lezione di Martedì 07 novembre 2006 ===
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* Introduzione alle serie di Fourier.
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* Polimomi trigonometrici e serie trigonometriche.
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* Coefficienti di Fourier e serie di Fourier.
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* Funzioni continue a tratti, regolari a tratti, C^1 a tratti.
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* Teorema sulla convergenza in media quadratica delle serie di Fourier.
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* Teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier.
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* Teorema sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier.
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=== Lezione di Giovedì 09 novembre 2006 ===
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* Teorema di Parseval e conseguenze.
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* Esercizi sulle serie di Fourier.
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=== Lezione di Martedì 14 novembre 2006 ===
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* Integrali impropri.  Esempi di funzioni integrabili in senso improprio.
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* Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico.  Integrabilita' assoluta.
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* Introduzione alla trasformata di Fourier: serie di Fourier in forma esponenziale.
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* Trasformata di Fourier. Proprieta' di continuita' e comportamento all'infinito della trasformata di Fourier. Antitrasformata di Fourier. Trasformata di Fourier delle funzioni pari/dispari.
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* Trasformata di Fourier delle funzioni impulsive. Cenni al caso limite della trasformata di Fourier della funzione delta di Dirac.
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=== Lezione di Martedì 21 novembre 2006 ===
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* Ulteriori proprieta' della trasformata di Fourier: linearita', trasformata della derivata,  uguaglianza di Parseval.
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* Esercizi sulle trasformate di Fourier.
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=== Lezione di Giovedì 30 novembre 2006 ===
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* R^n e norma euclidea. Insiemi aperti di R^n. Punti interni, punti di accumulazione.
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* Funzioni reali in piu' variabili. Continuita' di funzioni in piu' variabili.
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* Derivate parziali. Vettore gradiente.
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* Implicazioni della continuita' delle derivate parziali e analogie con il caso n=1:
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** continuita';
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** esistenza del piano tangente;
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** formula di Taylor del I ordine.
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* Derivate direzionali e relativa formula del gradiente.
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* Significato geometrico del gradiente rispetto alla direzione di massimo accrescimento.
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* Introduzione alle equazioni differenziali
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* Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie che derivano dalla fisica e dalla dinamica delle popolazioni.
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* Classificazione delle equazioni differenziali ordinarie: equazioni di ordine n, equazioni lineari.
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* Forma normale di una equazione  differenziale. Problema di Cauchy associato.
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* Problema di Cauchy per una equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale: formula risolutiva  e proprieta' della soluzione.
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=== Lezione di Martedì 05 dicembre 2006 ===
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* Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine.
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* Teorema di Peano per il problema di Cauchy (equazioni I ordine) (esistenza locale) .
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* Teorema di esistenza e unicita' locale (o in piccolo) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).
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* Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.Teoremi di esistenza e unicita' globale (o in grande) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).
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=== Lezione di Martedì 12 dicembre 2006 ===
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* Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.
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=== Lezione di Giovedì 14 dicembre 2006 ===
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* Esercizi sulle equazioni differenziali di Bernoulli.
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* Equazioni differenziali a variabili separabili. Metodo generale di risoluzione.
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* Esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
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* Equazioni differenziali omogenee. Metodo generale di risoluzione.
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* Esercizi sulle equazioni differenziali omogenee.
  
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=== Lezione di Giovedì 12 ottobre 2006 ===
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=== Lezione di Martedì 19 dicembre 2006 ===
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[...]
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* Equazioni differenziali lineari di ordine n: problema di Cauchy associato ed enunciato del teorema di esistenza e unicita'  globale.  
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* Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee.
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* Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee (con dimostrazione).
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* Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni non omogenee (con dimostrazione).
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* Metodo di variazione delle costanti arbitrarie.  
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* Metodo per la ricerca delle n soluzioni linearmente indipendenti di una equazione differenziale lineare di ordine n omogenea a coefficienti costanti.  
  
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=== Lezione di Martedì 17 ottobre 2006 ===
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=== Lezione di Giovedì 21 dicembre 2006 ===
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[...]
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* Esercizi sulle equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e non omogenee, a coefficienti costanti.
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* Metodo delle funzioni simili per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, non omogenee.
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* Esercizi su problemi ai limiti per equazioni differenziali lineari del II ordine.

Versione attuale delle 21:07, 15 lug 2008

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Materiale didattico

  • Appunti presi a lezione

Programma del corso

Bibliografia consigliata

Questi libri sono solo consigliati, qualsiasi altro libro che tratta gli stessi argomenti, va bene.

  • M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: "Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare" , Zanichelli
  • N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: "Elementi di Analisi Matematica II", Liguori Editore
  • P. Marcellini, C. Sbordone: "Calcolo", Liguori Editore
  • S. Salsa, A. Squellati: "Esercizi di Analisi Matematica 2", Masson
  • P. Marcellini, C. Sbordone: "Esercitazioni di Matematica", Liguori Editore
  • Carlamaria Maderna: "Analisi Matematica II: Esercizi scelti", Milano CittaStudi

Diario del corso

Lezione di Giovedì 05 ottobre 2006

  • Presentazione del corso.
  • Il campo dei numeri complessi.
  • Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.
  • Teorema fondamentale dell'algebra.

Lezione di Martedì 10 ottobre 2006

  • Successioni numeriche.
  • Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica (con dimostrazione).
  • Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica.

Lezione di Giovedì 12 ottobre 2006

  • Serie armonica generalizzata, serie di termine generale 1/[(n^a)|log n|^b].
  • Criteri di convergenza per serie a termini di segno costante (>=0).
    • Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice.
  • Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualunque.
    • Criterio della convergenza assoluta, criterio di Leibniz.
  • Successioni di funzioni. Insieme di convergenza semplice o puntuale, funzione limite.
  • Convergenza puntuale di successioni di funzioni.

Lezione di Martedì 17 ottobre 2006

  • Convergenza uniforme di successioni di funzioni.
  • Teoremi di limitatezza, continuità, passaggio al limite sotto il segno di integrale.
  • Teorema di derivazione per successioni di funzioni.

Lezione di Giovedì 19 ottobre 2006

  • Esercizi sulle successioni di funzioni.
  • Serie di funzioni. Convergenza puntuale, funzione somma e convergenza uniforme di serie di funzioni.
  • Condizione necessaria per la convergenza uniforme di serie di funzioni (con dimostrazione).

Lezione di Martedì 24 ottobre 2006

  • Condizione sufficiente per la convergenza uniforme di serie di funzioni (teorema di Weierstrass) (con dimostrazione).
  • Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni. Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze..

Lezione di Giovedì 26 ottobre 2006

  • Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni.
  • Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze. Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza.

Lezione di Martedì 31 ottobre 2006

  • Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza. Teorema di Abel sulla convergenza di serie di potenze.
  • Regolarità della funzione somma di una serie di potenze. Esercizi sulle serie di potenze.
  • Serie di Taylor associata ad una funzione di classe C-infinito.

Lezione di Giovedì 02 novembre 2006

  • Relazione tra formula di Taylor e serie di Taylor.
  • Criterio di analiticità.
  • Esercizi.

Lezione di Martedì 07 novembre 2006

  • Introduzione alle serie di Fourier.
  • Polimomi trigonometrici e serie trigonometriche.
  • Coefficienti di Fourier e serie di Fourier.
  • Funzioni continue a tratti, regolari a tratti, C^1 a tratti.
  • Teorema sulla convergenza in media quadratica delle serie di Fourier.
  • Teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier.
  • Teorema sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier.

Lezione di Giovedì 09 novembre 2006

  • Teorema di Parseval e conseguenze.
  • Esercizi sulle serie di Fourier.

Lezione di Martedì 14 novembre 2006

  • Integrali impropri. Esempi di funzioni integrabili in senso improprio.
  • Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Integrabilita' assoluta.
  • Introduzione alla trasformata di Fourier: serie di Fourier in forma esponenziale.
  • Trasformata di Fourier. Proprieta' di continuita' e comportamento all'infinito della trasformata di Fourier. Antitrasformata di Fourier. Trasformata di Fourier delle funzioni pari/dispari.
  • Trasformata di Fourier delle funzioni impulsive. Cenni al caso limite della trasformata di Fourier della funzione delta di Dirac.

Lezione di Martedì 21 novembre 2006

  • Ulteriori proprieta' della trasformata di Fourier: linearita', trasformata della derivata, uguaglianza di Parseval.
  • Esercizi sulle trasformate di Fourier.

Lezione di Giovedì 30 novembre 2006

  • R^n e norma euclidea. Insiemi aperti di R^n. Punti interni, punti di accumulazione.
  • Funzioni reali in piu' variabili. Continuita' di funzioni in piu' variabili.
  • Derivate parziali. Vettore gradiente.
  • Implicazioni della continuita' delle derivate parziali e analogie con il caso n=1:
    • continuita';
    • esistenza del piano tangente;
    • formula di Taylor del I ordine.
  • Derivate direzionali e relativa formula del gradiente.
  • Significato geometrico del gradiente rispetto alla direzione di massimo accrescimento.
  • Introduzione alle equazioni differenziali
  • Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie che derivano dalla fisica e dalla dinamica delle popolazioni.
  • Classificazione delle equazioni differenziali ordinarie: equazioni di ordine n, equazioni lineari.
  • Forma normale di una equazione differenziale. Problema di Cauchy associato.
  • Problema di Cauchy per una equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale: formula risolutiva e proprieta' della soluzione.

Lezione di Martedì 05 dicembre 2006

  • Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine.
  • Teorema di Peano per il problema di Cauchy (equazioni I ordine) (esistenza locale) .
  • Teorema di esistenza e unicita' locale (o in piccolo) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).
  • Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.Teoremi di esistenza e unicita' globale (o in grande) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).

Lezione di Martedì 12 dicembre 2006

  • Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.

Lezione di Giovedì 14 dicembre 2006

  • Esercizi sulle equazioni differenziali di Bernoulli.
  • Equazioni differenziali a variabili separabili. Metodo generale di risoluzione.
  • Esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
  • Equazioni differenziali omogenee. Metodo generale di risoluzione.
  • Esercizi sulle equazioni differenziali omogenee.

Lezione di Martedì 19 dicembre 2006

  • Equazioni differenziali lineari di ordine n: problema di Cauchy associato ed enunciato del teorema di esistenza e unicita' globale.
  • Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee.
  • Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee (con dimostrazione).
  • Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni non omogenee (con dimostrazione).
  • Metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
  • Metodo per la ricerca delle n soluzioni linearmente indipendenti di una equazione differenziale lineare di ordine n omogenea a coefficienti costanti.

Lezione di Giovedì 21 dicembre 2006

  • Esercizi sulle equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e non omogenee, a coefficienti costanti.
  • Metodo delle funzioni simili per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, non omogenee.
  • Esercizi su problemi ai limiti per equazioni differenziali lineari del II ordine.
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