Complementi di analisi/2006-2007

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Materiale didattico

• Appunti presi a lezione

Programma del corso

• Dal DICo: Programma di Complementi di Analisi
• Guardare anche il sito ufficiale del corso.

Bibliografia consigliata

Questi libri sono solo consigliati, qualsiasi altro libro che tratta gli stessi argomenti, va bene.

• M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: "Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare" , Zanichelli
• N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: "Elementi di Analisi Matematica II", Liguori Editore
• P. Marcellini, C. Sbordone: "Calcolo", Liguori Editore
• S. Salsa, A. Squellati: "Esercizi di Analisi Matematica 2", Masson
• P. Marcellini, C. Sbordone: "Esercitazioni di Matematica", Liguori Editore
• Carlamaria Maderna: "Analisi Matematica II: Esercizi scelti", Milano CittaStudi

Diario del corso

Lezione di Giovedì 05 ottobre 2006

• Presentazione del corso.
• Il campo dei numeri complessi.
• Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.
• Teorema fondamentale dell'algebra.

Lezione di Martedì 10 ottobre 2006

• Successioni numeriche.
• Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica (con dimostrazione).
• Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica.

Lezione di Giovedì 12 ottobre 2006

• Serie armonica generalizzata, serie di termine generale 1/[(n^a)|log n|^b].
• Criteri di convergenza per serie a termini di segno costante (>=0).
  • Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice.
• Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualunque.
  • Criterio della convergenza assoluta, criterio di Leibniz.
• Successioni di funzioni. Insieme di convergenza semplice o puntuale, funzione limite.
• Convergenza puntuale di successioni di funzioni.

Lezione di Martedì 17 ottobre 2006

• Convergenza uniforme di successioni di funzioni.
• Teoremi di limitatezza, continuità, passaggio al limite sotto il segno di integrale.
• Teorema di derivazione per successioni di funzioni.

Lezione di Giovedì 19 ottobre 2006

• Esercizi sulle successioni di funzioni.
• Serie di funzioni. Convergenza puntuale, funzione somma e convergenza uniforme di serie di funzioni.
• Condizione necessaria per la convergenza uniforme di serie di funzioni (con dimostrazione).

Lezione di Martedì 24 ottobre 2006

• Condizione sufficiente per la convergenza uniforme di serie di funzioni (teorema di Weierstrass) (con dimostrazione).
• Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni. Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze..

Lezione di Giovedì 26 ottobre 2006

• Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni.
• Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze. Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza.

Lezione di Martedì 31 ottobre 2006

• Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza. Teorema di Abel sulla convergenza di serie di potenze.
• Regolarità della funzione somma di una serie di potenze. Esercizi sulle serie di potenze.
• Serie di Taylor associata ad una funzione di classe C-infinito.

Lezione di Giovedì 02 novembre 2006

• Relazione tra formula di Taylor e serie di Taylor.
• Criterio di analiticità.
• Esercizi.

Lezione di Martedì 07 novembre 2006

• Introduzione alle serie di Fourier.
• Polimomi trigonometrici e serie trigonometriche.
• Coefficienti di Fourier e serie di Fourier.
• Funzioni continue a tratti, regolari a tratti, C^1 a tratti.
• Teorema sulla convergenza in media quadratica delle serie di Fourier.
• Teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier.
• Teorema sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier.

Lezione di Giovedì 09 novembre 2006

• Teorema di Parseval e conseguenze.
• Esercizi sulle serie di Fourier.

Lezione di Martedì 14 novembre 2006

• Integrali impropri. Esempi di funzioni integrabili in senso improprio.
• Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Integrabilita' assoluta.
• Introduzione alla trasformata di Fourier: serie di Fourier in forma esponenziale.
• Trasformata di Fourier. Proprieta' di continuita' e comportamento all'infinito della trasformata di Fourier. Antitrasformata di Fourier. Trasformata di Fourier delle funzioni pari/dispari.
• Trasformata di Fourier delle funzioni impulsive. Cenni al caso limite della trasformata di Fourier della funzione delta di Dirac.

Lezione di Martedì 21 novembre 2006

• Ulteriori proprieta' della trasformata di Fourier: linearita', trasformata della derivata, uguaglianza di Parseval.
• Esercizi sulle trasformate di Fourier.

Lezione di Giovedì 30 novembre 2006

• R^n e norma euclidea. Insiemi aperti di R^n. Punti interni, punti di accumulazione.
• Funzioni reali in piu' variabili. Continuita' di funzioni in piu' variabili.
• Derivate parziali. Vettore gradiente.
• Implicazioni della continuita' delle derivate parziali e analogie con il caso n=1:
  • continuita';
  • esistenza del piano tangente;
  • formula di Taylor del I ordine.
• Derivate direzionali e relativa formula del gradiente.
• Significato geometrico del gradiente rispetto alla direzione di massimo accrescimento.
• Introduzione alle equazioni differenziali
• Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie che derivano dalla fisica e dalla dinamica delle popolazioni.
• Classificazione delle equazioni differenziali ordinarie: equazioni di ordine n, equazioni lineari.
• Forma normale di una equazione differenziale. Problema di Cauchy associato.
• Problema di Cauchy per una equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale: formula risolutiva e proprieta' della soluzione.

Lezione di Martedì 05 dicembre 2006

• Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine.
• Teorema di Peano per il problema di Cauchy (equazioni I ordine) (esistenza locale) .
• Teorema di esistenza e unicita' locale (o in piccolo) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).
• Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.Teoremi di esistenza e unicita' globale (o in grande) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).

Lezione di Martedì 12 dicembre 2006

• Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.

Lezione di Giovedì 14 dicembre 2006

• Esercizi sulle equazioni differenziali di Bernoulli.
• Equazioni differenziali a variabili separabili. Metodo generale di risoluzione.
• Esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
• Equazioni differenziali omogenee. Metodo generale di risoluzione.
• Esercizi sulle equazioni differenziali omogenee.

Lezione di Martedì 19 dicembre 2006

• Equazioni differenziali lineari di ordine n: problema di Cauchy associato ed enunciato del teorema di esistenza e unicita' globale.
• Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee.
• Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee (con dimostrazione).
• Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni non omogenee (con dimostrazione).
• Metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
• Metodo per la ricerca delle n soluzioni linearmente indipendenti di una equazione differenziale lineare di ordine n omogenea a coefficienti costanti.

Lezione di Giovedì 21 dicembre 2006

• Esercizi sulle equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e non omogenee, a coefficienti costanti.
• Metodo delle funzioni simili per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, non omogenee.
• Esercizi su problemi ai limiti per equazioni differenziali lineari del II ordine.