Calcolo probabilità e statistica matematica

Questa è una pagina di introduzione al corso: contiene i turni, le modalità d'insegnamento, alcune informazioni generali ed eventuali giudizi sul corso in questione. Se sei giunto qui passando da un link, puoi tornare indietro e correggerlo in modo che punti direttamente alla voce appropriata.

Turni

• Turno 1 (De Falco)
• Turno 2 (Apolloni)

A.A. passati

• (De Falco) T1, A.A. 2005-2006

Informazioni

Corso del primo semestre, il superamento di quest'esame da diritto a 6 CFU.

• Docente: Bruno Apolloni
• Url del corso [1]

Obiettivi del corso

Fornire gli elementi di base per la costruzione di modelli probabilistici e per l’analisi statistica di fenomeni aleatori.

Modalità d'esame

• Scritto
• Orale

Propedeuticità consigliate e prerequisiti

• Istituzioni matematiche

• Rudimenti di insiemistica e di calcolo differenziale ed integrale.

Programma del corso

• Legame tra conoscenza e aleatorietà
  • Proprietà corrette su insiemi di dati incerti
  • Misure di probabilità
  • Elementi di calcolo combinatorio
  • Variabili aleatorie
  • Da uno a più bit per definire una variabile
  • Aggregati di variabili aleatorie
  • Funzioni di variabili aleatorie
  • Teoremi limiti
• Inferenza statistica
  • L’approccio predittivo
  • Intervalli di confidenza
  • Stimatori puntuali
  • Test di ipotesi

Metodi didattici

Il corso si articola attraverso lezioni teoriche volte spiegare i ragionamenti alla base della modellistica probabilistica e dell’inferenza statistica ed esercitazioni nelle quali a questi ragionamenti si da un riscontro operativo, in termini di regole ed algoritmi per definire quantitativamente decisioni in ambito incerto.

Giudizio sul corso

I giudizi di seguito espressi sono il parere personale degli studenti,
e potrebbero non rispecchiare il parere medio dei frequentanti.
Non vi è comunque alcun intento di mettere alla gogna i docenti del corso!

Interesse della materia (da 1 a 5 - aiuto)

_3___________________

Difficoltà del corso (da 1 a 5 - aiuto)

_5___________________

Difficoltà del corso per non frequentanti (da 1 a 5 - aiuto)

_5___________________

Ore di studio richieste (da 1 a 5 - aiuto)

_5___________________

Diario del corso

Lezioni fino al 6/11/06 compreso

Le trovate a questo link.

Lezione del 10/11/06

• Errore quadratico medio (MSE)
• Definizioni "formali" (come da Mood) di valore atteso e varianza
• Forma più generale della disuguaglianza di Tchebycheff
• Valutazione del valore atteso di Sm/m
• MSE(Sm/m) = var(Sm/m) con dimostrazione
• var(aZ) = a^2 * var(Z) con dimostrazione
• Valutazione della var(Sm)
• p stimatore non distorto di E(Sm/m)

Lezione del 13/11/06

• Altre considerazioni sulla dis. di Tcheycheff alla luce del fatto che var(Sm/m) = 1/m^2 * var(Sm)
• Valutazione di var(Z+W) --> cov(Z,W)
• Per var. cas. bernoulliane, var(Z) = pq (dimostrazione)
• In generale: cov(Z,W) = E(Z*W) - E(Z)*E(W)
• Nel caso di estr. con reimmissione --> cov(Z,W) = 0
• Nel caso di estr. senza reimmissione --> cov(Z,W) = b/n*((b-1)/(n-1)*(b/n))

Lezione del 20/11/06

• Valutazione di MSE(Sm/m)
• Considerazioni su var(Z) --> grafico, punto di massimo...
• limite all'infinito del primo membro della dis. di Tchebycheff = 1 --> "legge dei grandi numeri"
• Valutazione di varianza e valore atteso per distribuzione binomiale (con reimm) e per distribuzioni senza reimmissione
• confronto dell'andamento dei due tipi di varianza sulla base dei grafici (per valori piccoli rispetto a n/2 le due varianze vanno allo stesso modo)
• cov(Z,W) = ... nel caso di estrazioni con contagio.
• var(Sm/m) nel caso con contagio (andamento per m-->+inf)
• dimostrazione formale che E(Z+W) = E(Z) + E(W)

Lezione del 24/11/06

• "Svolgimento" dell'esercizio IV del tema d'esame del 18/2/04
• Concetto di indipendenza
• Probabilità condizionata (valutazione dei tre casi: con reimm, senza reimm e con contagio)
• Teoremi vari sulla probabilità condizionata

Lezione del 27/11/06

• Teorema: lo "spazio" (Omega, Sigma, Ps)che si viene a creare con la nuova funzione di probabilità condizionata su P è uno spazio di probabilità
• Stima della funzione di probabilità condizionata Ps

LEZIONE INTERROTTA!! Argomenti scritti alla lavagna:

• Regola a catena
• Teorema di Bayes
• Teorema della probabilità totali

Mood paragrafo 1.3.6

Lezione del 1/12/06

Qualcuno per favore completi

Lezione del 4/12/06

• Tempi di attesa (solito esempio dei mezzi pubblici a Milano e a Napoli, "solito" per chi non è la prima volta che frequenta :D)
• P(T > k) ovvero probabilità che avvenga il primo successo dopo la k-esima prova = q^k
• Definizione di funzione di ripartizione
• grafico di una funzione di ripartizione (non ho capito quale! vedi Mood pag. 67)
• P(T = k) = p * q^(k-1) con dimostrazione
• P(T > a+b | T>a) = P(T>b) --> «Convinciamo vostra zia che non conviene puntare sui numeri ritardarari» --> la probabilità di successo dopo a+b prove è uguale alla probabilità dopo b prove, se la variabile casuale gode della "assenza di memoria"
• "Assenza di memoria" --> P(T > k) = P(T > 1)^k

Lezione dell'11/12/06

"Riassunto delle puntate precedenti": panoramica sulle varie distribuzioni di probabilità sinora affrontate. DISCRETE: bernoulliana, binomiale, ipergeometrica (Polya), discreta uniforme --> stimiamo la probabilità attraverso la legge dei grandi numeri --> coinvolge concetti quali Valore Atteso, Varianza, dis. di Tchebycheff. CONTINUE: distr. continua uniforme (la storia del bersaglio rettangolare sul quale veniva sparato un proiettile, risale ad una delle prime lezioni), geometrica. Precisazione sulla distr. geometrica: una var. cas. geometrica indica il numero della prima prova nella quale avrò successo dopo una certa serie di prove indipendenti.

Oggi:

• distribuzione esponenziale (si consiglia di ripassare i concetti di funzione esponenziale, derivata e integrale)
• grafico della distr. continua uniforme U
• data una var. cas. U che segue la distribuzione continua uniforme, stima di P(U=a)
• data una var. cas. D che segue la distribuzione esponenziale, stima di P(D=a)
• "nuove definizioni" di Valore Atteso utilizzando la funzione di ripartizione (Mood pag. 75)

Lezione del 15/12/06

• Tabella comparativa tra le varie distribuzioni
• Distribuzione di Poisson
• Esercizio 3 - Esame del 17/02/2005
• Mood 7.2: "Metodi di ricerca degli stimatori"
• Metodo dei momenti
• Funzione di densità per una variabile casuale continua (ro)
• Esercizio 2 del suddetto esame

• Confronto tra distribuzioni geometrica ed esponenziale:
  • Funzione di ripartizione
  • Funzione di densità
  • Giudizio sull'utilità dei due tipi di funzioni
  • Calcolo del valore atteso utilizzando le due funzioni
• Media aritmetica dei valori registrati come stimatore di (1/ni):
  • (Esercizio 3 - Strategia 2 - Esame del 17/02/2005)
• Indipendenza di variabili casuali continue
• Covarianza di variabili casuali continue (sul libro "Funzione di ripartizione congiunta)

Lezione del 18/12/06

La scorsa lezione non è stata - per ammissione del prof stesso - assimilata molto bene. Quindi oggi per gran parte della lezione sono stati ripresi gli argomenti della scorsa lezione che sono però stati trattati in modo diverso, a mio avviso più chiaramente.

• Confronto tra distribuzioni geometrica ed esponenziale:
  • grafico
  • funzione di densità (discreta) e densità («senza aggettivo») rispettivamente per geom. ed esp.
  • funzione di ripartizione
  • Valore atteso (definizione comprendente la funzione di ripartizione)
• Per l'esponenziale: stima del valore atteso. Dimostrazione del fatto che è consistente e non distorto.
• Definizione di variabili casuali indipendenti (che valga anche nel caso di var. cas. continue)
• Linearità del valore atteso di variabili casuali continue
• Covarianza di var. cas. continue (è nulla)
• utilizzo dello stimatore del valore atteso di una var. cas. continua nella disuguaglianza di Tchabycheff (per dimostrare che è un buon stimatore --> consistente e non distorto)

Sono stati inoltre citati i seguenti concetti di analisi matematica:

• Teorema fondamentale del calcolo integrale (formula fondamentale)
• Teorema della media integrale