Differenze tra le versioni di "Complementi di analisi/2006-2007"

Da WikiDsy.
(→‎Lezione di Martedì 07 novembre 2006)
(→‎Diario del corso)
Riga 126: Riga 126:
  
 
=== Lezione di Martedì 14 novembre 2006 ===
 
=== Lezione di Martedì 14 novembre 2006 ===
−
[...]
+
* Integrali impropri. Esempi di funzioni integrabili in senso improprio.
 +
* Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico.  Integrabilita' assoluta.
 +
* Introduzione alla trasformata di Fourier: serie di Fourier in forma esponenziale.
 +
* Trasformata di Fourier. Proprieta' di continuita' e comportamento all'infinito della trasformata di Fourier. Antitrasformata di Fourier. Trasformata di Fourier delle funzioni pari/dispari.
 +
* Trasformata di Fourier delle funzioni impulsive. Cenni al caso limite della trasformata di Fourier della funzione delta di Dirac.
 +
 
 +
=== Lezione di Martedì 21 novembre 2006 ===
 +
* Ulteriori proprieta' della trasformata di Fourier: linearita', trasformata della derivata,  uguaglianza di Parseval.
 +
* Esercizi sulle trasformate di Fourier.
 +
 
 +
=== Lezione di Giovedì 30 novembre 2006 ===
 +
* R^n e norma euclidea. Insiemi aperti di R^n. Punti interni, punti di accumulazione.
 +
* Funzioni reali in piu' variabili. Continuita' di funzioni in piu' variabili.
 +
* Derivate parziali. Vettore gradiente.
 +
* Implicazioni della continuita' delle derivate parziali e analogie con il caso n=1:
 +
** continuita';
 +
** esistenza del piano tangente;
 +
** formula di Taylor del I ordine.
 +
* Derivate direzionali e relativa formula del gradiente.
 +
* Significato geometrico del gradiente rispetto alla direzione di massimo accrescimento.
 +
* Introduzione alle equazioni differenziali
 +
* Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie che derivano dalla fisica e dalla dinamica delle popolazioni.
 +
* Classificazione delle equazioni differenziali ordinarie: equazioni di ordine n, equazioni lineari.
 +
* Forma normale di una equazione  differenziale. Problema di Cauchy associato.
 +
* Problema di Cauchy per una equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale: formula risolutiva  e proprieta' della soluzione.
 +
 
 +
=== Lezione di Martedì 05 dicembre 2006 ===
 +
* Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine.
 +
* Teorema di Peano per il problema di Cauchy (equazioni I ordine) (esistenza locale) .
 +
* Teorema di esistenza e unicita' locale (o in piccolo) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).
 +
* Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.Teoremi di esistenza e unicita' globale (o in grande) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).
 +
 
 +
=== Lezione di Martedì 12 dicembre 2006 ===
 +
* Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.
 +
 
 +
=== Lezione di Giovedì 14 dicembre 2006 ===
 +
* Esercizi sulle equazioni differenziali di Bernoulli.
 +
* Equazioni differenziali a variabili separabili. Metodo generale di risoluzione.
 +
* Esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
 +
* Equazioni differenziali omogenee. Metodo generale di risoluzione.
 +
* Esercizi sulle equazioni differenziali omogenee.
 +
 
 +
=== Lezione di Martedì 19 dicembre 2006 ===
 +
* Equazioni differenziali lineari di ordine n: problema di Cauchy associato ed enunciato del teorema di esistenza e unicita'  globale.
 +
* Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee.
 +
* Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee (con dimostrazione).
 +
* Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni non omogenee (con dimostrazione).
 +
* Metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
 +
* Metodo per la ricerca delle n soluzioni linearmente indipendenti di una equazione differenziale lineare di ordine n omogenea a coefficienti costanti.
 +
 
 +
=== Lezione di Giovedì 21 dicembre 2006 ===
 +
* Esercizi sulle equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e non omogenee, a coefficienti costanti.
 +
* Metodo delle funzioni simili per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, non omogenee.
 +
* Esercizi su problemi ai limiti per equazioni differenziali lineari del II ordine.

Versione delle 15:19, 23 dic 2006


News

  • Il giorno 12 ottobre 2006 ha raccolto le prime firme per il compitino.

Lezioni cancellate/spostate

[...]

Appelli

  • Il compitino si farà Mercoledì 29 novembre 2006.

Informazioni generali

Complementi di Analisi è un corso complementare per le Lauree Magistrali.

Docenti

Corsi di laurea

Modalità d'esame

  • Due prove in itinere per i frequentanti (chi supera le due prove potrà non sostenere l'orale).
  • Appello scritto e prova orale.

Orari e luogo delle lezioni

Orario di ricevimento studenti

Informazioni specifiche

Siti del corso

Forum del corso (non ufficiale)

Materiale didattico

  • Appunti presi a lezione

Programma del corso

Bibliografia consigliata

Questi libri sono solo consigliati, qualsiasi altro libro che tratta gli stessi argomenti, va bene.

  • M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: "Matematica - Calcolo infinitesiamle e algebra lineare" , Zanichelli
  • N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: "Elementi di Analisi Matematica II", Liguori Editore
  • P. Marcellini, C. Sbordone: "Calcolo", Liguori Editore
  • S. Salsa, A. Squellati: "Esercizi di Analisi Matematica 2", Masson
  • P. Marcellini, C. Sbordone: "Esercitazioni di Matematica", Liguori Editore
  • Carlamaria Maderna: "Analisi Matematica II: Esercizi scelti", Milano CittaStudi

Diario del corso

Lezione di Giovedì 05 ottobre 2006

  • Presentazione del corso.
  • Il campo dei numeri complessi.
  • Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.
  • Teorema fondamentale dell'algebra.

Lezione di Martedì 10 ottobre 2006

  • Successioni numeriche.
  • Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica (con dimostrazione).
  • Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica.

Lezione di Giovedì 12 ottobre 2006

  • Serie armonica generalizzata, serie di termine generale 1/[(n^a)|log n|^b].
  • Criteri di convergenza per serie a termini di segno costante (>=0).
    • Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice.
  • Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualunque.
    • Criterio della convergenza assoluta, criterio di Leibniz.
  • Successioni di funzioni. Insieme di convergenza semplice o puntuale, funzione limite.
  • Convergenza puntuale di successioni di funzioni.

Lezione di Martedì 17 ottobre 2006

  • Convergenza uniforme di successioni di funzioni.
  • Teoremi di limitatezza, continuità, passaggio al limite sotto il segno di integrale.
  • Teorema di derivazione per successioni di funzioni.

Lezione di Giovedì 19 ottobre 2006

  • Esercizi sulle successioni di funzioni.
  • Serie di funzioni. Convergenza puntuale, funzione somma e convergenza uniforme di serie di funzioni.
  • Condizione necessaria per la convergenza uniforme di serie di funzioni (con dimostrazione).

Lezione di Martedì 24 ottobre 2006

  • Condizione sufficiente per la convergenza uniforme di serie di funzioni (teorema di Weierstrass) (con dimostrazione).
  • Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni. Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze.

Lezione di Giovedì 26 ottobre 2006

  • Esercizi sulla convergenza uniforme di serie di funzioni.
  • Serie di potenze reali. Raggio di convergenza. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme di serie di potenze. Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza.

Lezione di Martedì 31 ottobre 2006

  • Teoremi per la determinazione del raggio di convergenza. Teorema di Abel sulla convergenza di serie di potenze.
  • Regolarità della funzione somma di una serie di potenze. Esercizi sulle serie di potenze.
  • Serie di Taylor associata ad una funzione di classe C-infinito.

Lezione di Giovedì 02 novembre 2006

  • Relazione tra formula di Taylor e serie di Taylor.
  • Criterio di analiticità.
  • Esercizi.

Lezione di Martedì 07 novembre 2006

  • Introduzione alle serie di Fourier.
  • Polimomi trigonometrici e serie trigonometriche.
  • Coefficienti di Fourier e serie di Fourier.
  • Funzioni continue a tratti, regolari a tratti, C^1 a tratti.
  • Teorema sulla convergenza in media quadratica delle serie di Fourier.
  • Teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier.
  • Teorema sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier.

Lezione di Giovedì 09 novembre 2006

  • Teorema di Parseval e conseguenze.
  • Esercizi sulle serie di Fourier.

Lezione di Martedì 14 novembre 2006

  • Integrali impropri. Esempi di funzioni integrabili in senso improprio.
  • Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Integrabilita' assoluta.
  • Introduzione alla trasformata di Fourier: serie di Fourier in forma esponenziale.
  • Trasformata di Fourier. Proprieta' di continuita' e comportamento all'infinito della trasformata di Fourier. Antitrasformata di Fourier. Trasformata di Fourier delle funzioni pari/dispari.
  • Trasformata di Fourier delle funzioni impulsive. Cenni al caso limite della trasformata di Fourier della funzione delta di Dirac.

Lezione di Martedì 21 novembre 2006

  • Ulteriori proprieta' della trasformata di Fourier: linearita', trasformata della derivata, uguaglianza di Parseval.
  • Esercizi sulle trasformate di Fourier.

Lezione di Giovedì 30 novembre 2006

  • R^n e norma euclidea. Insiemi aperti di R^n. Punti interni, punti di accumulazione.
  • Funzioni reali in piu' variabili. Continuita' di funzioni in piu' variabili.
  • Derivate parziali. Vettore gradiente.
  • Implicazioni della continuita' delle derivate parziali e analogie con il caso n=1:
    • continuita';
    • esistenza del piano tangente;
    • formula di Taylor del I ordine.
  • Derivate direzionali e relativa formula del gradiente.
  • Significato geometrico del gradiente rispetto alla direzione di massimo accrescimento.
  • Introduzione alle equazioni differenziali
  • Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie che derivano dalla fisica e dalla dinamica delle popolazioni.
  • Classificazione delle equazioni differenziali ordinarie: equazioni di ordine n, equazioni lineari.
  • Forma normale di una equazione differenziale. Problema di Cauchy associato.
  • Problema di Cauchy per una equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale: formula risolutiva e proprieta' della soluzione.

Lezione di Martedì 05 dicembre 2006

  • Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine.
  • Teorema di Peano per il problema di Cauchy (equazioni I ordine) (esistenza locale) .
  • Teorema di esistenza e unicita' locale (o in piccolo) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).
  • Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.Teoremi di esistenza e unicita' globale (o in grande) per il problema di Cauchy (equazioni I ordine).

Lezione di Martedì 12 dicembre 2006

  • Equazioni differenziali di Bernoulli. Metodo generale di risoluzione.

Lezione di Giovedì 14 dicembre 2006

  • Esercizi sulle equazioni differenziali di Bernoulli.
  • Equazioni differenziali a variabili separabili. Metodo generale di risoluzione.
  • Esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
  • Equazioni differenziali omogenee. Metodo generale di risoluzione.
  • Esercizi sulle equazioni differenziali omogenee.

Lezione di Martedì 19 dicembre 2006

  • Equazioni differenziali lineari di ordine n: problema di Cauchy associato ed enunciato del teorema di esistenza e unicita' globale.
  • Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee.
  • Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee (con dimostrazione).
  • Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni non omogenee (con dimostrazione).
  • Metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
  • Metodo per la ricerca delle n soluzioni linearmente indipendenti di una equazione differenziale lineare di ordine n omogenea a coefficienti costanti.

Lezione di Giovedì 21 dicembre 2006

  • Esercizi sulle equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e non omogenee, a coefficienti costanti.
  • Metodo delle funzioni simili per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, non omogenee.
  • Esercizi su problemi ai limiti per equazioni differenziali lineari del II ordine.
Estratto da "https://wiki.dsy.it/index.php?title=Complementi_di_analisi/2006-2007&oldid=16653"