Calcolo numerico/2006-2007

Programma in Sintesi

Introduzione

• Introduzione alla Matematica Finita
• Tipologie di errori e quantificazione

Ricerca degli zeri di un polinomio

• Metodi basati sugli estremi
  • Metodo di Bisezione
• Metodi basati sulla pendenza
  • Metodo delle corde
  • Metodo di Newton
• Metodi basati su iterazioni di punto fisso

Ricerca degli zeri di più polinomi (caso vettoriale)

• Metodi basati su iterazioni di punto fisso
• Metodo di Newton
• Metodo di Quasi Newton

Interpolazione di funzioni con polinomi

• Interpolazione Polinomiale
  • Matrici e sistema di Vandermonde
  • Polinomio interpolatore di Lagrange
• Intepolazione Composita
  • Composita Lineare
  • Composita Quadratica
• Curve Spline Cubiche
  • Spline parametriche

Approssimazione Numerica

• Approssimazione di Dati
  • Minimi Quadrati con una retta
  • Minimi quadrati con un paraboloide convesso
• Approssimazione di Derivate
  • Backward e Forward Difference
  • Centered Difference
• Approssimazione di Integrali
  • Metodo del Punto Medio Semplice e Composito
  • Metodo dei Trapezi Semplice e Composito
  • Metodo di Simpson Semplice e Composito

Risoluzione di sistemi lineari

• Metodo di Jacobi

Diario delle lezioni

Teoria - Lezione del 06/03/2007

• Introduzione al corso (date, orari, esami...)
• Problemi che si risolveranno durante il corso
  • Ricerca dello zero di una funzione
  • Risoluzione di sistemi lineari
  • Problemi di Cauchy
• Definizione di problema ben posto
  • Analisi del metodo di newton
• Errori in matematica, fisica e informatica
  • Errore di modellazione (modello matematico)
  • Errore di discretizzazione (modello numerico)
  • Errore algoritmico
• Elementi di analisi matematica fondamentali per il calcolo numerico
  • Teorema del valore internmedio
  • Teorema del valor medio
  • Teorema della media integrale
  • Serie di Taylor

Laboratorio - Lezione del 08/03/2007

Materiale: Lab1.pdf

• Introduzione a MatLab (comandi di base)
• Variabili e Variabili predefinite
• Manipolazione di Vettori e Matrici
• Uso di funzioni simboliche e disegno
• Toolboxes per il calcolo differenziale e integrale

Teoria - Lezione del 13/03/2007

• Rappresentazione dei numeri in doppia precisione
  • Rappresentazione del segno
  • Rappresentazione della mantissa
  • Rappresentazione dell'esponente
• Errore della matematica finita
  • Chopping (troncamento)
  • Rounding (arrotondamento)
  • Differenza tra errore assoluto ed errore relativo
• Funzionamento delle operazioni floating point
• Metodo di bisezione
  • Basi teoriche del metodo
  • Criteri di arresto del metodo

Laboratorio - Lezione del 15/03/2007

Materiale: Lab2.pdf

• Operatori condizionali
• Operatori logici
• Funzioni esterne (es. successione di fibonacci)
• Rappresentazione dei numeri macchina
• Errori nella matematica finita
  • Errori di arrotondamento
  • Errori di cancellazione

Teoria - Lezione del 20/03/2007

• Limiti del metodo di bisezione
• Metodi basati sulla pendenza
  • Metodo delle corde
  • Metodo di newton
  • Limiti del metodo di newton e delle corde
• Confronto tra i metodi visti (cifre significative/iterazione)
• Ordine (di convergenza) di un metodo
  • Convergenza lineare (corde)
  • Convergenza quadratica (newton)
  • Casi particolari del metodo di newton (molteplicità degli zeri)
• Criteri di arresto per i metodi
  • Differenza tra iterate
  • Residuo
  • Affidabilità ed efficenza della tecnica del residuo
• Metodi basati su Iterazioni a punto fisso
  • Aggiramento del problema da risolvere
  • Calcolo della funzione ausiliaria

Laboratorio - Lezione del 22/03/2007

Materiale: Lab3.pdf

• Rappresentazione grafica di una funzione
• Uso di assi, scale e zoom
• Programma per la risoluzione con il metodo di bisezione
  • Ordine di convergenza del metodo
  • Verifica di funzionamento rispetto alla teoria
• Programma per la risoluzione con il metodo di newton
  • Diverse condizioni di arresto
  • Verifica di funzionamento rispetto alla teoria
• Programma per la risoluzione con il metodo delle corde

Teoria - Lezione del 27/03/2007

• Metodo di Newton come iterazione a punto fisso
• Metodo delle corde come iterazione a punto fisso
• Metodi basati su Iterazioni a punto fisso
  • Convergenza di Iterazioni a punto fisso
    • Teorema di Convergenza Locale
    • Velocità di convergenza
  • Criteri di arresto
• Ricerca di zeri di funzioni nel caso vettoriale
  • Definizione di Jacobiano
  • Derivata parziale
  • Metodo di iterazioni a punto fisso nel caso vettoriale
    • Tecniche di rilassamento per la convergenza
  • Metodo di Newton nel caso vettoriale
  • Metodo di Quasi Newton

Laboratorio - Lezione del 29/03/2007

Lezione Annullata

Teoria - Lezione del 03/04/2007

• Interpolazione di funzioni: metodi che non vedremo
  • Serie trigonometriche
• Interpolazione di funzioni: Interpolazione polinomiale
  • Rappresentazione
    • Rappresentazione matriciale del problema
    • Rappresentazione con la forma di Lagrange
  • Risoluzione
    • Risolvo il sistema di Vandermonde
    • Risolvo nella forma di Lagrange
  • Analisi dell'errore
  • Casi particolari
    • Funzione di Runge
    • Distribuzione di Chebishev

Laboratorio - Lezione del 05/04/2007

Vacanze Pasquali

Teoria - Lezione del 10/04/2007

Vacanze Pasquali

Laboratorio - Lezione del 12/04/2007

Materiale: Lab3.pdf

• Implemenzazione del metodo di newton
  • Analisi dei criteri di arresto
  • Errore del metodo
  • Velocità di convergenza
• Implemenzazione del metodo delle corde
  • Errore del metodo
  • Velocità di convergenza
• Metodo di newton per sistemi lineari
  • Analisi del funzionamento
  • Calcolo dello Jacobiano

Teoria - Lezione del 17/04/2007

• Interpolazion polinomiale
  • Errore con nodi equispaziati
  • Interpolazione lineare
• Interpolazione composita
  • Caso lineare
    • Risultato visivo
    • Errori nel caso lineare
  • Caso quadratico
    • Risultato visivo
    • Errori nel caso quadratico
• Meotdi di interpolazione avanzati
  • Hermite (accenno)
  • Spline
    • Curve di Bezier (accenno: computer grafica)
    • Nurbs (accenno: spline composte)
  • Slpine Cubiche
    • Condizioni per scrivere lil polinomio
    • Condizioni aggiuntive e classi generate
    • Errore nell Spline Cubiche
      • Ritazione degli assi
      • Spline parametriche

Laboratorio - Lezione del 19/04/2007

Materiale: Lab4.pdf

• Metodo di newton per sistemi
  • Funzionamento
  • Verifica errori
  • Convergenza e cifre significative
• Metodi di punto fisso
  • Polinomio interpolatore di Lagrange

Teoria - Lezione del 24/04/2007

• Approssimazione Numerica
  • Metodo dei Minimi Quadrati
    • Retta di regressione lineare
    • Paraboloide convesso
  • Differenza tra approssimazione e interpolazione
• Approssimazione di Derivate
  • Forward Difference
  • Backward Difference
  • Errore per Backward e Forward
  • Centered Difference
  • Errore per Centered

Laboratorio - Lezione del 26/04/2007

Materiale: Lab5.pdf

• Interpolazione di polinomi
  • Uso del polinomio di Lagrange
  • Uso dei comandi Matlab polyfit e polyval
  • Calcolo dell'errore di approssimazione
• Approssimazione di funzioni
  • Approssimazione di una funzione semplice con Matlab
  • Sperimentazione del controesempio di Runge

Teoria - Lezione del 01/05/2007

Vacanze 1° Maggio

Laboratorio - Lezione del 03/05/2007

Materiale: Lab6.pdf

• Approssimazione di funzioni
  • Calcolo dei nodi di Chebyshev
  • Interpolazione di funzione in questi nodi
• Minimi Quadrati
  • Esempio di approssimazione di minimi quadrati
• Approssimazione di derivate
  • Calcolo di Forward Difference e stima dell'errore
  • Calcolo di Centered Difference e stima dell'errore

Materiale: Lab7.pdf

• Interpolazione con funzioni spline
  • Verifica che una funzione è una spline
  • Verifica della tipologia di una spline
• Funzioni spline parametriche

Teoria - Lezione del 08/05/2007

• Approssimazione di Integrali Definiti
  • con Polinomi di grado 0
    • Metodo del punto medio semplice
    • Metodo del punto medio composito
    • Errore del metodo del punto medio semplice e composto
  • con Polinomi di grado 1
    • Metodo dei trapezi semplice
    • Metodo dei trapezi composito
    • Errore del metodo dei trapezi semplice e composto
  • con Polinomi di grado 2
    • Metodo di Simpson semplice
    • Metodo di Simpson composito
    • Errore del metodo di Simpson semplice e composto
• Osservazioni sull'ordine di infinitesimo dell'errore
• Osservazioni sul grado di esattezza del metodo

Laboratorio - Lezione del 10/05/2007

Materiale: Lab8.pdf

• Approssimazione numerica di un integrale
  • Implementazione del metodo del punto medio
  • Implementazione del metodo del trapezio
  • Implementazione del metodo di Simpson
  • Calcolo dell'errore nei metodi di quadratura

Teoria - Lezione del 15/05/2007

• Metodi di quadratura
  • Pendenza della funzione delle'errore con i vari metodi
• Categorizzazione: Formule di Newton-Cotes
  • Distinzione Formule Aperte/Chiuse
  • Distizione: Formule Pari/Dispari
  • Osservazioni sulle distinzioni
• Strategie di ottimizzazione
  • Aumntare il numero di passi in funzione dell'errore
• Grado di esattezza delle formule di quaratura
  • Minima precisione dei metodi
  • Massima precisione con i nodi di Gauss
    • Calcolo dei nodi di Gauss
    • Esempi con i nodi di Gauss
• Risoluzione di sistemi lineari
  • Analisi del problema, delle variabili e dei quesiti
  • Condizioni per la risoluzione
  • Risoluzione con Metodi diretti e iterativi
• Metodi iterativi
  • Metodo di Jacobi
    • Splitting della matrice
    • Convergenza del metodo

Teoria - Lezione del 22/05/2007

Cambio aula per questa lezione: da 303 a 402