Calcolo probabilità e statistica matematica T1/2006-2007

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Orari delle lezioni

  • Martedì, 08:30-10:30, aula V1 (via Venezian)15* Venerdì, 08:30-10:30, aula 405 (Via Celoria 20, Settore Didattico)


Le lezioni iniziano alle 8.30 precise, niente quarto d'ora accademico, infatti il prof utilizzerà questo quarto d'ora iniziale per fare un breve ripasso degli argomenti trattati la lezione precedente.

Professore

Diego De Falco

Programma

'Parte 1'

  1. Insieme
    • insieme
    • elemento
    • sottoinsieme
    • insieme complementare
    • insieme delle parti
    • coppia ordinata
    • prodotto cartesiano
    • corrispondenza biunivoca
  2. Esperimento casuale
  3. Stima
  4. Spazio campionario
    • spazio campionario
    • esito
    • evento
    • evento elementare
  5. Probabilità
    • probabilità
    • spazio di probabilità
    • funzione di probabilità
    • assioma di finita additività
  6. Modello statistico.

Temi trattati in:

  • A. M. Mood, F. A. Graybill, D. C. Boes: "Introduzione alla statistica", McGraw-Hill, 1994 (MGB): Cap. 1, pp. 15-44; Cap. 6 pp. 227-230.
  • D. de Falco: "Probabilità e Statistica: guida allo studio", Progetto Leonardo, Bologna, 1998 (dF): Cap I.

'Parte 2'

  1. Estrazioni con reimmissione
    • estrazioni con reimmissione
    • distribuzione binomiale
    • moda
    • valore atteso
    • varianza della legge binomiale
  2. Disuguaglianza di Tchebycheff
  3. Campione
    • campione
    • numerosità del campione
    • stimatore
  4. Variabile casuale
  5. Distribuzione di Bernoulli
  6. Estrazioni senza reimmissione
  7. Distribuzione ipergeometrica.

Temi trattati in:

  • MGB, Cap 2, pp. 63-70 , pp. 75-82; Cap 3, pp. 95-102.
  • dF, Cap. II.

'Parte 3'

  1. Valore atteso e varianza di una variabile casuale ipergeometrica
  2. Linearità del valore atteso
  3. covarianza
  4. dipendenza
  5. varianza della somma di variabili casuali
  6. variabili casuali negativamente correlate
  7. variabili casuali positivamente correlate
  8. variabili casuali indipendenti
  9. variabili casuali dipendenti
  10. probabilità condizionata
  11. teorema delle probabilità totali
  12. valore atteso di una variabile casuale condizionato al valore assunto da un'altra variabile casuale
  13. processo stocastico
  14. matrice di transizione
  15. proprietà di Markov.

Temi trattati in:

  • MGB, Cap.1, pp. 44-54; Cap. 2, pp. 83-88; Cap. 4, pp. 143-146, pp.153-157, pp. 164-168; Cap. 5 pp. 187-189.
  • dF, Cap III.

'Parte 4'

  1. Probabilità condizionata
    • probabilità condizionata
    • teorema delle probabilità totali
    • dipendenza
    • indipendenza
    • teorema di Bayes
  2. distribuzione multinomiale
  3. distribuzione discreta uniforme.

Temi trattati in:

  • MGB, Cap. 1, pp. 44-54 ; Cap. 4, pp. 146-147; Cap. 9, pp.403-410.
  • dF, Cap. IV.

(continua)

Sito del corso

Sito web del corso

Materiale didattico

Diario del corso

Lezioni fino al 6/11/06 compreso

Le trovate a questo link. (NB: Sarebbe opportuno copiare qui tali pagine visto che altervista dopo un po' di tempo di inutilizzo zappa via tutto...)

Lezione del 10/11/06

  • Errore quadratico medio (MSE)
  • Definizioni "formali" (come da Mood) di valore atteso e varianza
  • Forma più generale della disuguaglianza di Tchebycheff
  • Valutazione del valore atteso di Sm/m
  • MSE(Sm/m) = var(Sm/m) con dimostrazione
  • var(aZ) = a^2 * var(Z) con dimostrazione
  • Valutazione della var(Sm)
  • p stimatore non distorto di E(Sm/m)

Lezione del 13/11/06

  • Altre considerazioni sulla dis. di Tcheycheff alla luce del fatto che var(Sm/m) = 1/m^2 * var(Sm)
  • Valutazione di var(Z+W) --> cov(Z,W)
  • Per var. cas. bernoulliane, var(Z) = pq (dimostrazione)
  • In generale: cov(Z,W) = E(Z*W) - E(Z)*E(W)
  • Nel caso di estr. con reimmissione --> cov(Z,W) = 0
  • Nel caso di estr. senza reimmissione --> cov(Z,W) = b/n*((b-1)/(n-1)*(b/n))

Lezione del 20/11/06

  • Valutazione di MSE(Sm/m)
  • Considerazioni su var(Z) --> grafico, punto di massimo...
  • limite all'infinito del primo membro della dis. di Tchebycheff = 1 --> "legge dei grandi numeri"
  • Valutazione di varianza e valore atteso per distribuzione binomiale (con reimm) e per distribuzioni senza reimmissione
  • confronto dell'andamento dei due tipi di varianza sulla base dei grafici (per valori piccoli rispetto a n/2 le due varianze vanno allo stesso modo)
  • cov(Z,W) = ... nel caso di estrazioni con contagio.
  • var(Sm/m) nel caso con contagio (andamento per m-->+inf)
  • dimostrazione formale che E(Z+W) = E(Z) + E(W)

Lezione del 24/11/06

  • "Svolgimento" dell'esercizio IV del tema d'esame del 18/2/04
  • Concetto di indipendenza
  • Probabilità condizionata (valutazione dei tre casi: con reimm, senza reimm e con contagio)
  • Teoremi vari sulla probabilità condizionata

EvJL0N <a href="http://mtdzinjwukan.com/">mtdzinjwukan</a>, [url=http://gauptyiyinqj.com/]gauptyiyinqj[/url], [link=http://bmixhbxvxkja.com/]bmixhbxvxkja[/link], http://cfvogtbhjvcj.com/

Lezione del 1/12/06

Qualcuno per favore completi

Lezione del 4/12/06

  • Tempi di attesa (solito esempio dei mezzi pubblici a Milano e a Napoli, "solito" per chi non è la prima volta che frequenta :D)
  • P(T > k) ovvero probabilità che avvenga il primo successo dopo la k-esima prova = q^k
  • Definizione di funzione di ripartizione
  • grafico di una funzione di ripartizione (non ho capito quale! vedi Mood pag. 67)
  • P(T = k) = p * q^(k-1) con dimostrazione
  • P(T > a+b | T>a) = P(T>b) --> «Convinciamo vostra zia che non conviene puntare sui numeri ritardarari» --> la probabilità di successo dopo a+b prove è uguale alla probabilità dopo b prove, se la variabile casuale gode della "assenza di memoria"
  • "Assenza di memoria" --> P(T > k) = P(T > 1)^k

Lezione dell'11/12/06

"Riassunto delle puntate precedenti": panoramica sulle varie distribuzioni di probabilità sinora affrontate. DISCRETE: bernoulliana, binomiale, ipergeometrica (Polya), discreta uniforme --> stimiamo la probabilità attraverso la legge dei grandi numeri --> coinvolge concetti quali Valore Atteso, Varianza, dis. di Tchebycheff. CONTINUE: distr. continua uniforme (la storia del bersaglio rettangolare sul quale veniva sparato un proiettile, risale ad una delle prime lezioni), geometrica. Precisazione sulla distr. geometrica: una var. cas. geometrica indica il numero della prima prova nella quale avrò successo dopo una certa serie di prove indipendenti.

Oggi:

  • distribuzione esponenziale (si consiglia di ripassare i concetti di funzione esponenziale, derivata e integrale)
  • grafico della distr. continua uniforme U
  • data una var. cas. U che segue la distribuzione continua uniforme, stima di P(U=a)
  • data una var. cas. D che segue la distribuzione esponenziale, stima di P(D=a)
  • "nuove definizioni" di Valore Atteso utilizzando la funzione di ripartizione (Mood pag. 75)

Lezione del 15/12/06

  • Tabella comparativa tra le varie distribuzioni
  • Distribuzione di Poisson
  • Esercizio 3 - Esame del 17/02/2005
  • Mood 7.2: "Metodi di ricerca degli stimatori"
  • Metodo dei momenti
  • Funzione di densità per una variabile casuale continua (ro)
  • Esercizio 2 del suddetto esame


  • Confronto tra distribuzioni geometrica ed esponenziale:
    • Funzione di ripartizione
    • Funzione di densità
    • Giudizio sull'utilità dei due tipi di funzioni
    • Calcolo del valore atteso utilizzando le due funzioni
  • Media aritmetica dei valori registrati come stimatore di (1/ni):
    • (Esercizio 3 - Strategia 2 - Esame del 17/02/2005)
  • Indipendenza di variabili casuali continue
  • Covarianza di variabili casuali continue (sul libro "Funzione di ripartizione congiunta)

Lezione del 18/12/06

La scorsa lezione non è stata - per ammissione del prof stesso - assimilata molto bene. Quindi oggi per gran parte della lezione sono stati ripresi gli argomenti della scorsa lezione che sono però stati trattati in modo diverso, a mio avviso più chiaramente.

  • Confronto tra distribuzioni geometrica ed esponenziale:
    • grafico
    • funzione di densità (discreta) e densità («senza aggettivo») rispettivamente per geom. ed esp.
    • funzione di ripartizione
    • Valore atteso (definizione comprendente la funzione di ripartizione)
  • Per l'esponenziale: stima del valore atteso. Dimostrazione del fatto che è consistente e non distorto.
  • Definizione di variabili casuali indipendenti (che valga anche nel caso di var. cas. continue)
  • Linearità del valore atteso di variabili casuali continue
  • Covarianza di var. cas. continue (è nulla)
  • utilizzo dello stimatore del valore atteso di una var. cas. continua nella disuguaglianza di Tchabycheff (per dimostrare che è un buon stimatore --> consistente e non distorto)

Sono stati inoltre citati i seguenti concetti di analisi matematica:

Lezione del 21/12/06

Oggi il prof ha comunicato che verso metà gennaio (non ricordo il giorno) il programma «cesserà di crescere», in coincidenza con la fine del semestre. Rimane da affrontare la distribuzione normale. A programma terminato, ci saranno cmq delle "esercitazioni" pre-esame.

  • Funzione generatrice dei momenti
  • Uso della funzione generatrice dei momenti per trovare valore atteso e varianza di una variabile casuale
  • Calcolo della funzione generatrice dei momenti per la legge binomiale: E[e^(t*Sm)]
  • Dalla funzione generatrice dei momenti alla legge di probabilità della distribuzione binomiale.
  • Dalla funzione generatrice dei momenti al valore atteso e varianza della distribuzione binomiale.
  • Distribuzione di Poisson: definita a partire dalla funzione generatrice dei momenti, ricavata in precedenza da quella della binomiale con m-->infinito e p-->0. [Nel definirla il prof ha posto lamda = vt. Vedi Mood pag. 105 teorema 3.7]
  • Poisson: valore atteso e varianza (coincidono).
  • Stima del parametro "ni".

Lezione del 08/01/07

  • Lemma: se X,Y sono variabili casuali indipendenti, allora, E(XY) = E(X) E(Y)
  • Conseguenza: m[X+Y](t)=m[X](t) m[Y](t)
  • Ripasso Distribuzione di Poisson
  • Distribuzione di Dirac (cenni)
  • Funzione Generatrice dei Momenti della media campionaria
  • Limite della disuguaglianza di Tchebicheff per n -> infinito

Lezione del 12/01/07

  • Definizione di media campionaria
  • Dimostrazione che è uno stimatore non distorto del valore atteso
  • Dimostrazione di consistenza come stimatore del valore atteso utilizzando la disuguaglianza di Chebychev
  • Calcolo della funzione generatrice dei momenti della media campionaria (per n-->infinito la funzione generatrice dei momenti della media campionaria tende a una var. cas. di Dirac [??])

Lezione del 15/01/07

  • definizione di media campionaria standardizzata (e in generale di var. cas. standardizzata)
  • proprietà di una var. cas. standardizzata
  • studio della funzione di ripartizione della media campionaria standardizzata attraverso la sua funzione generatrice dei momenti
  • il limite per n-->inf della funzione generatrice dei momenti della media campionaria standardizzata è la funzione generatrice dei momenti di una var cas Normale standardizzata (teorema del limite centrale)
  • valore atteso e varianza della normale standardizzata (che in quanto standardizzata ha E[G] = 0 e var[G] = 1)

Lezione del 19/01/07 - Ultima con argomenti nuovi

  • Distribuzione normale standard con:
    • F.G.M.
    • Valore Atteso
    • Varianza
  • Distribuzione normale (o di Gauss)
    • F.G.M.
    • Valore Atteso
    • Varianza
  • Funzione di ripartizione
  • Altro modo per verificare l’indipendenza di due V.C. mediante le F.G.M.
  • Esempio di applicazione della distribuzione normale standard (tiro al bersaglio e rotazione dello stesso)

Lezione del 22/01/07

  • Svolgimento del tema d'esame del 10 gennaio 2007
  • Domande e commenti vari a partire dal tema d'esame svolto
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