Complementi di analisi/2005-2006

Informazioni generali

Orari delle lezioni

- Martedì: 14.30 - 16.30 ( aula 301, in Via Celoria)
- Giovedì: 14.30 - 17.30 ( aula 301, in Via Celoria)

L'inizio delle lezioni sarà indicativamente per le 14.45. Il giovedì, la pausa è prevista dalle 16.00 alle 16.15 e la lezione finirà alle 17.15 Le 3 ore del giovedì soo giustificate dal fatto che la prof si assenterà una settimana a Novembre, e quindi, al posto di recuparare i giorni a fine semestre, si fa un'ora in più a settimana!

Orario di ricevimento studenti

Mercoledi' : 14 – 15.30 (fino al 31.01.06, dal 01.02.06 è ancora da definire)

in alternativa si può fissare appuntamento scrivendo alla prof. via e-mail

Sito del corso

Pagina della Prof.
Sito del corso

Materiale didattico

- Appunti da prendere in classe
- Il libro verrà comunicato quando aggiornerà la home page

Il libro è solamente consigliato (potete prendere uno che volete che tratti gli stessi argomenti), ma sicuramente seguire le lezioni è il metodo migliore per passare l'esame (gli esercizi che si svolgeranno in classe saranno molto simili agli esercizi d'esame)

Modalità d'esame

Prova scritta (risoluzione di esercizi) + prova orale, nello stesso appello.
- Durante lo svolgimento della prova scritta e' consentito consultare qualunque tipo di materiale e l’utilizzo di calcolatrici.
- E' possibile essere esonerati dalla prova scritta dei primi appelli in caso di superamento di due prove in itinere che verranno effettuate in novembre e gennaio. Date, modalita' di superamento e validita' dell'esonero verranno pubblicate a breve nella pagina ultime notizie

Fonte: sito del corso

La prima prova in itinere si terra' mercoledi' 30 novembre alle ore 14 in Aula Chisini, presso il Dipartimento di Matematica, Via Saldini 50. ATTENZIONE: Sono ammessi alla prova in itinere solo gli studenti che hanno lasciato al docente il proprio nominativo. Gli studenti iscritti devono presentarsi alla prova con il libretto universitario o con il tesserino universitario e un documento di identita' valido e corredato di fotografia.

Diario del corso

Lezione di Martedì 4-10-05

Sono stati trattati i numeri complessi con relative proprietà.
Qua gli appunti di questa lezione: [1]

Lezione di Giovedì 6-10-05

Le successioni e le serie numeriche: definizioni, teoremi e proprietà. Qua per gli appunti: [2]

Lezione di Martedì 11-10-05

Abbiamo visto le serie geometriche, armoniche e armoniche generalizzate; i criteri di convergenza: di confronto; di confronto asintotico; del rapporto; della radice; le serie a termini qualunque e il criterio di Leibnitz.

Lezione di Giovedì 13-10-05

Abbiamo visto le successioni di funzioni, la funzione limite di una successione di funzioni e i criteri di convergenza di successioni di funzioni

Italic text=== Lezione di Martedì 18-10-05 === Teorema di derivazione. Abbiamo svolto esercizi sulla convergenza puntuale ed uniforme

Lezione di Giovedì 20-10-05

Serie di funzioni.. Teoremi per la condizione necessaria e la condizione sufficiente (di Weierstrass) per la convergenza uniforme di serie di funzioni. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale per serie di funzioni. Teorema di derivazione per serie di funzioni. Esercizi ed esempi vari.

Lezione di Martedì 25-10-05

Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teoremi di proprietà di serie di potenze. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Polinomio di Taylor con resto di Peano.

Lezione di Giovedì 27-10-05

Teorema di Abel. Esempi di funzioni sviluppabili in serie di Taylor: e^x, sen(x), cos(x), log(1+x). Esempi ed esercizi anche con il teorema di passaggio sotto il segno di integrale per serie di potenze. Introduzione alla serie di Fourier.

Lezione di Martedì 01-11-05

Lezione sospesa per festività

Lezione di Giovedì 03-11-05

Serie di Fourier. Funzioni continue a tratti,funzioni regolari a tratti e C^1 a tratti. Teorema sulla convergenza puntuale,uniforme e in media quadratica delle serie di Fourier. Teorema di Parseval e conseguenze. Esercizi sulle serie di Fourier.

Lezione di Martedi' 08-11-05

Brevi richiami agli integrali impropri o generalizzati (1°,2°,3° e 4° generalizzazione). Criteri di integrabilita' in senso improprio , confronto, confronto asintotico,integrabilita' assoluta. Serie di Fourier in forma esponenziale complessa, serie di fourier in forma esponenziale per funzioni 2 pigreco-periodiche,serie di fourier in forma esponenziale per funzioni T-periodiche. Trasformata di Fourier, funzioni pari e dispari per trasformate di fourier con esempio.

Lezione di Giovedi' 10-11-05

Ulteriori proprieta' della trasformata di Fourier (linearita',formula del ritardo,trasformata della derivata,trasformata del prodotto di convoluzione,uguaglianza di Parseval). Esercizi sulla trasformata di Fourier.(con questi argomenti la prof ha concluso le lezioni dedicate al primo compitino). Secondo Compitino: Funzioni in piu' variabili con varie definizioni, Funzione continua con esempi.

Lezione di Martedì 15-11-05

Vettore gradiente. Differenziabilita' di una funzione in piu' variabili. Implicazioni della differenziabilita' : continuita' ed esistenza del piano tangente. Formula di Taylor del I ordine. Analogie con il caso n=1. Condizione sufficiente per la differenziabilita'. Funzioni di classe C^1. Derivate direzionali e relativa formula del gradiente. Significato geometrico del gradiente rispetto alla direzione di massimo accrescimento. Derivate successive . Funzioni di classe C^2 e relativo risultato sulle derivate miste. Funzioni di classe C^2. Foormula di Taylor del II ordine. Matrice Hessiana. Massimi e minimi liberi. Punti stazionari. Condizione necessaria per l'esistenza di un punto estremante.

Lezione di Giovedì 17-11-05

Formula di Taylor del II ordine e forme quadratiche. Forme quadratiche definite positive/negative, indefinite, semidefinite positive/negative e relativi teoremi. Esercizi su massimi e minimi liberi. Equazioni differenziali Alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie che derivano dalla fisica, dalla dinamica delle popolazioni, dall'economia. Classificazione delle equazioni differenziali ordinarie: equazioni di ordine n, equazioni lineari. Forma normale di una equazione differenziale. Problema di Cauchy.

Lezione di Martedì 22-11-05

Esercizi in preparazione del compitino.

       1-3t

y'(t)= ------

        1-t

y(0)=2

Lezione di Giovedì 24-11-05

Esercizi in preparazione del compitino.

Lezione di Martedì 29-11-05

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine in forma normale.Teorema e problema di Cauchy con relativi casi particolari.Esempi.

Lezione di Giovedì 01-12-05

Teoremi di esistenza ed esistenza e unicita' di soluzioni di problemi di Cauchy per equazioni differenziali del 1° ordine. Teorema di Peano,di esistenza e unicita' locale,di esistenza e unicita' globale (in due casi). Equazioni differenziali di Bernoulli.

Lezione di Martedì 06-12-05

Esercizi con equazioni differenziali di bernoulli.Definizione di "prolungamento di y (y tilde).Esempi ed esercizi.

Lezione di Martedì 13-12-05

Equazioni a variabili separabili con esempi.Equazioni omogenee con esempi.

Lezione di Giovedì 15-12-05

Esercizi su equazioni differenziali riconducibili ad equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari di ordine n: problema di Cauchy ed enunciato dei teoremi di esistenza, esistenza ed unicita' locale, esistenza ed unicita' globale. Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee. Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee (con dimostrazione).

Lezione di Martedì 20-12-05

Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni non omogenee (con dimostrazione). Metodo di variazione delle costanti arbitrarie (con dimostrazione). Metodo per la ricerca delle n soluzioni linearmente indipendenti di una equazione differenziale lineare di ordine n omogenea a coefficienti costanti. Esercizi sulle equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e non omogenee, a coefficienti costanti.

Lezione di Martedì 10-01-06

Esercizi sulle equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee a coefficienti costanti. Metodo delle funzioni simili per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, non omogenee. Esercizi su problemi ai limiti per equazioni differenziali lineari del II ordine.

Lezione di Giovedì 12-01-06

Equazioni differenziali lineari a coefficienti non costanti. Metodo dell'abbassamento di ordine per le equazioni del II ordine. Equazioni di Eulero. Metodi di risoluzione.

Lezione di Martedì 17-01-06

Esercizi sulle equazioni di Eulero. Sistemi differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti omogenei. Metodo generale di risoluzione. Metodo del determinante. Sistemi differenziali lineari: modelli di interazioni tra due popolazioni (cooperazione, competizione, sistemi preda-predatore).

Lezione di Giovedì 19-01-06

Esercizi sui sistemi differenziali del I ordine. Teorema di equivalenza Problema di Cauchy e Problema integrale di Volterra Teorema delle approssimazioni successive o di Picard.