Calcolo probabilità e statistica matematica

Questa è una pagina di introduzione al corso: contiene i turni, le modalità d'insegnamento, alcune informazioni generali ed eventuali giudizi sul corso in questione. Se sei giunto qui passando da un link, puoi tornare indietro e correggerlo in modo che punti direttamente alla voce appropriata.

Turni

• Turno 1 (De Falco)
• Turno 2 (Apolloni)

A.A. passati

• (De Falco) T1, A.A. 2006-2007
• (Apolloni) T2, A.A. 2006-2007
• (De Falco) T1, A.A. 2005-2006

Informazioni

Corso del primo semestre, il superamento di quest'esame da diritto a 6 CFU.

• Docente: Bruno Apolloni
• Url del corso [1]

Obiettivi del corso

Fornire gli elementi di base per la costruzione di modelli probabilistici e per l’analisi statistica di fenomeni aleatori.

Modalità d'esame

• Scritto
• Orale

Propedeuticità consigliate e prerequisiti

• Istituzioni matematiche

• Rudimenti di insiemistica e di calcolo differenziale ed integrale.

Programma del corso

• Legame tra conoscenza e aleatorietà
  • Proprietà corrette su insiemi di dati incerti
  • Misure di probabilità
  • Elementi di calcolo combinatorio
  • Variabili aleatorie
  • Da uno a più bit per definire una variabile
  • Aggregati di variabili aleatorie
  • Funzioni di variabili aleatorie
  • Teoremi limiti
• Inferenza statistica
  • L’approccio predittivo
  • Intervalli di confidenza
  • Stimatori puntuali
  • Test di ipotesi

Metodi didattici

Il corso si articola attraverso lezioni teoriche volte spiegare i ragionamenti alla base della modellistica probabilistica e dell’inferenza statistica ed esercitazioni nelle quali a questi ragionamenti si da un riscontro operativo, in termini di regole ed algoritmi per definire quantitativamente decisioni in ambito incerto.

Giudizio sul corso

I giudizi di seguito espressi sono il parere personale degli studenti,
e potrebbero non rispecchiare il parere medio dei frequentanti.
Non vi è comunque alcun intento di mettere alla gogna i docenti del corso!

Interesse della materia (da 1 a 5 - aiuto)

_3___________________

Difficoltà del corso (da 1 a 5 - aiuto)

_5___________________

Difficoltà del corso per non frequentanti (da 1 a 5 - aiuto)

_5___________________

Ore di studio richieste (da 1 a 5 - aiuto)

_5___________________

Diario del corso 2006/2007

Lezioni fino al 6/11/06 compreso

Le trovate a questo link.

Lezione del 10/11/06

• Errore quadratico medio (MSE)
• Definizioni "formali" (come da Mood) di valore atteso e varianza
• Forma più generale della disuguaglianza di Tchebycheff
• Valutazione del valore atteso di Sm/m
• MSE(Sm/m) = var(Sm/m) con dimostrazione
• var(aZ) = a^2 * var(Z) con dimostrazione
• Valutazione della var(Sm)
• p stimatore non distorto di E(Sm/m)

Lezione del 13/11/06

• Altre considerazioni sulla dis. di Tcheycheff alla luce del fatto che var(Sm/m) = 1/m^2 * var(Sm)
• Valutazione di var(Z+W) --> cov(Z,W)
• Per var. cas. bernoulliane, var(Z) = pq (dimostrazione)
• In generale: cov(Z,W) = E(Z*W) - E(Z)*E(W)
• Nel caso di estr. con reimmissione --> cov(Z,W) = 0
• Nel caso di estr. senza reimmissione --> cov(Z,W) = b/n*((b-1)/(n-1)*(b/n))

Lezione del 20/11/06

• Valutazione di MSE(Sm/m)
• Considerazioni su var(Z) --> grafico, punto di massimo...
• limite all'infinito del primo membro della dis. di Tchebycheff = 1 --> "legge dei grandi numeri"
• Valutazione di varianza e valore atteso per distribuzione binomiale (con reimm) e per distribuzioni senza reimmissione
• confronto dell'andamento dei due tipi di varianza sulla base dei grafici (per valori piccoli rispetto a n/2 le due varianze vanno allo stesso modo)
• cov(Z,W) = ... nel caso di estrazioni con contagio.
• var(Sm/m) nel caso con contagio (andamento per m-->+inf)
• dimostrazione formale che E(Z+W) = E(Z) + E(W)

Lezione del 24/11/06

• "Svolgimento" dell'esercizio IV del tema d'esame del 18/2/04
• Concetto di indipendenza
• Probabilità condizionata (valutazione dei tre casi: con reimm, senza reimm e con contagio)
• Teoremi vari sulla probabilità condizionata

Lezione del 27/11/06

• Teorema: lo "spazio" (Omega, Sigma, Ps)che si viene a creare con la nuova funzione di probabilità condizionata su P è uno spazio di probabilità
• Stima della funzione di probabilità condizionata Ps

LEZIONE INTERROTTA!! Argomenti scritti alla lavagna:

• Regola a catena
• Teorema di Bayes
• Teorema della probabilità totali

Mood paragrafo 1.3.6

Lezione del 1/12/06

Qualcuno per favore completi

Lezione del 4/12/06

• Tempi di attesa (solito esempio dei mezzi pubblici a Milano e a Napoli, "solito" per chi non è la prima volta che frequenta :D)
• P(T > k) ovvero probabilità che avvenga il primo successo dopo la k-esima prova = q^k
• Definizione di funzione di ripartizione
• grafico di una funzione di ripartizione (non ho capito quale! vedi Mood pag. 67)
• P(T = k) = p * q^(k-1) con dimostrazione
• P(T > a+b | T>a) = P(T>b) --> «Convinciamo vostra zia che non conviene puntare sui numeri ritardarari» --> la probabilità di successo dopo a+b prove è uguale alla probabilità dopo b prove, se la variabile casuale gode della "assenza di memoria"
• "Assenza di memoria" --> P(T > k) = P(T > 1)^k

Lezione dell'11/12/06

"Riassunto delle puntate precedenti": panoramica sulle varie distribuzioni di probabilità sinora affrontate. DISCRETE: bernoulliana, binomiale, ipergeometrica (Polya), discreta uniforme --> stimiamo la probabilità attraverso la legge dei grandi numeri --> coinvolge concetti quali Valore Atteso, Varianza, dis. di Tchebycheff. CONTINUE: distr. continua uniforme (la storia del bersaglio rettangolare sul quale veniva sparato un proiettile, risale ad una delle prime lezioni), geometrica. Precisazione sulla distr. geometrica: una var. cas. geometrica indica il numero della prima prova nella quale avrò successo dopo una certa serie di prove indipendenti.

Oggi:

• distribuzione esponenziale (si consiglia di ripassare i concetti di funzione esponenziale, derivata e integrale)
• grafico della distr. continua uniforme U
• data una var. cas. U che segue la distribuzione continua uniforme, stima di P(U=a)
• data una var. cas. D che segue la distribuzione esponenziale, stima di P(D=a)
• "nuove definizioni" di Valore Atteso utilizzando la funzione di ripartizione (Mood pag. 75)

Lezione del 15/12/06

• Tabella comparativa tra le varie distribuzioni
• Distribuzione di Poisson
• Esercizio 3 - Esame del 17/02/2005
• Mood 7.2: "Metodi di ricerca degli stimatori"
• Metodo dei momenti
• Funzione di densità per una variabile casuale continua (ro)
• Esercizio 2 del suddetto esame

• Confronto tra distribuzioni geometrica ed esponenziale:
  • Funzione di ripartizione
  • Funzione di densità
  • Giudizio sull'utilità dei due tipi di funzioni
  • Calcolo del valore atteso utilizzando le due funzioni
• Media aritmetica dei valori registrati come stimatore di (1/ni):
  • (Esercizio 3 - Strategia 2 - Esame del 17/02/2005)
• Indipendenza di variabili casuali continue
• Covarianza di variabili casuali continue (sul libro "Funzione di ripartizione congiunta)

Lezione del 18/12/06

La scorsa lezione non è stata - per ammissione del prof stesso - assimilata molto bene. Quindi oggi per gran parte della lezione sono stati ripresi gli argomenti della scorsa lezione che sono però stati trattati in modo diverso, a mio avviso più chiaramente.

• Confronto tra distribuzioni geometrica ed esponenziale:
  • grafico
  • funzione di densità (discreta) e densità («senza aggettivo») rispettivamente per geom. ed esp.
  • funzione di ripartizione
  • Valore atteso (definizione comprendente la funzione di ripartizione)
• Per l'esponenziale: stima del valore atteso. Dimostrazione del fatto che è consistente e non distorto.
• Definizione di variabili casuali indipendenti (che valga anche nel caso di var. cas. continue)
• Linearità del valore atteso di variabili casuali continue
• Covarianza di var. cas. continue (è nulla)
• utilizzo dello stimatore del valore atteso di una var. cas. continua nella disuguaglianza di Tchabycheff (per dimostrare che è un buon stimatore --> consistente e non distorto)

Sono stati inoltre citati i seguenti concetti di analisi matematica:

• Teorema fondamentale del calcolo integrale (formula fondamentale)
• Teorema della media integrale

Lezione del 21/12/06

Oggi il prof ha comunicato che verso metà gennaio (non ricordo il giorno) il programma «cesserà di crescere», in coincidenza con la fine del semestre. Rimane da affrontare la distribuzione normale. A programma terminato, ci saranno cmq delle "esercitazioni" pre-esame.

• Funzione generatrice dei momenti
• Uso della funzione generatrice dei momenti per trovare valore atteso e varianza di una variabile casuale
• Calcolo della funzione generatrice dei momenti per la legge binomiale: E[e^(t*Sm)]
• Dalla funzione generatrice dei momenti alla legge di probabilità della distribuzione binomiale.
• Dalla funzione generatrice dei momenti al valore atteso e varianza della distribuzione binomiale.

• Distribuzione di Poisson: definita a partire dalla funzione generatrice dei momenti, ricavata in precedenza da quella della binomiale con m-->infinito e p-->0. [Nel definirla il prof ha posto lamda = vt. Vedi Mood pag. 105 teorema 3.7]
• Poisson: valore atteso e varianza (coincidono).
• Stima del parametro "ni".

Lezione del 08/01/07

• Lemma: se X,Y sono variabili casuali indipendenti, allora, E(XY) = E(X) E(Y)
• Conseguenza: m[X+Y](t)=m[X](t) m[Y](t)
• Ripasso Distribuzione di Poisson
• Distribuzione di Dirac (cenni)
• Funzione Generatrice dei Momenti della media campionaria
• Limite della disuguaglianza di Tchebicheff per n -> infinito

Lezione del 12/01/07

• Definizione di media campionaria
• Dimostrazione che è uno stimatore non distorto del valore atteso
• Dimostrazione di consistenza come stimatore del valore atteso utilizzando la disuguaglianza di Chebychev
• Calcolo della funzione generatrice dei momenti della media campionaria (per n-->infinito la funzione generatrice dei momenti della media campionaria tende a una var. cas. di Dirac [??])

Lezione del 15/01/07

• definizione di media campionaria standardizzata (e in generale di var. cas. standardizzata)
• proprietà di una var. cas. standardizzata
• studio della funzione di ripartizione della media campionaria standardizzata attraverso la sua funzione generatrice dei momenti
• il limite per n-->inf della funzione generatrice dei momenti della media campionaria standardizzata è la funzione generatrice dei momenti di una var cas Normale standardizzata (teorema del limite centrale)
• valore atteso e varianza della normale standardizzata (che in quanto standardizzata ha E[G] = 0 e var[G] = 1)

Lezione del 19/01/07 - Ultima con argomenti nuovi

• Distribuzione normale standard con:
  • F.G.M.
  • Valore Atteso
  • Varianza
• Distribuzione normale (o di Gauss)
  • F.G.M.
  • Valore Atteso
  • Varianza
• Funzione di ripartizione
• Altro modo per verificare l’indipendenza di due V.C. mediante le F.G.M.
• Esempio di applicazione della distribuzione normale standard (tiro al bersaglio e rotazione dello stesso)

Lezione del 22/01/07

• Svolgimento del tema d'esame del 10 gennaio 2007
• Domande e commenti vari a partire dal tema d'esame svolto

Diario del corso 2007/2008

Lezione del 01/10/07 - Teoria

• Definizioni di ESITO, EVENTO, PROBABILITA' (prima meta' del cap.1 del MOOD)

Lezione del 05/10/07 - Teoria

• Assiomi di Kolmogorov
• Evento certo
• Evento impossibile

Lezione del 08/10/07 - Teoria

• Probabilita' dell'unione come somma delle probabilita'

Lezione del 12/10/07 - Teoria

• Probabilita' condizionata (Teorema di Bayes o Chain Rule)
• Teorema delle probabilita' totali

Lezione del 19/10/07 - Teoria

• Funzione indicatrice (o caratteristica)
• Variabili casuali
• Funzione di ripartizione
• Distribuzione Bernoulliana Uniforme

Lezione del 22/10/07 - Teoria

• Funzione di ripartizione
• Probabilita' condizionata
• Binomiale: Sm e P(Sm=k)

Lezione del 24/10/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 13/09/2007 (Guardia di Finanza-Pazienti mutuabili/solventi): Svolgimento

Lezione del 26/10/07 - Teoria

• Variabile Casuale Binomiale
• Funzione di densita' (o funzione di probabilita' discreta) di Var.Cas. Binomiale

Lezione del 29/10/07 - Teoria

• Distribuzione Binomiale
• Legge Debole dei Grandi Numeri
• Chebyshev
• Moda

Lezione del 31/10/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 13/09/2007 (Guardia di Finanza-Pazienti mutuabili/solventi): Parole chiave

Lezione del 02/11/07

PONTE

Lezione del 05/11/07 - Teoria

• Valore atteso
• Varianza
• Chebyshev

Lezione del 07/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 05/07/2007 (Tempi d'attesa del tram): Svolgimento

Lezione del 09/11/07 - Teoria

• Esempio tema d'esame del 13/09/2007 (Guardia di Finanza-Pazienti mutuabili/solventi)

Lezione del 12/11/07 - Teoria

• Chebyshev sul continuo
• Covarianza
• Varianza della Binomiale (var(Sm))

Lezione del 14/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 05/07/2007 (Tempi d'attesa del tram + volano): Svolgimento + Parole chiave:

• V.C. continua
• V.C. uniforme
• V.C. esponenziale
• V.C. poissoniana
• approssimazione della binomiale con la poissoniana

Lezione del 16/11/07 - Teoria

Riscrittura di Chebyshev dopo note su:

• E(X)
• Proprieta' di E(X)
• Proprieta' della var(X)
• cov(X,Y)

Legge Debole dei Grandi Numeri

Lezione del 19/11/07 - Teoria

Chebyshev

Lezione del 21/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 13/06/2007 (Micrometeoriti): Svolgimento

Lezione del 23/11/07 - Teoria

Svolto tema d'esame del 12/01/2005 (Viti)

Lezione del 26/11/07 - Teoria

• Svolto tema d'esame del 24/02/2000 (Urna con palline)
• Polya - contagio
• Note sulla covarianza

Lezione del 28/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 13/06/2007 (Micrometeoriti): Parole chiave:

• Funzione di ripartizione
• Funzione di ripartizione congiunta
• Proprieta' Fx singola e multipla
• Funzione di densita' congiunta
• Distribuzioni condizionali
• Somma di variabili casuali

Lezione del 30/11/07 - Teoria

• Polya
• Chebyshev per la Binomiale
• Chebyshev per la Ipergeometrica
• var(Sm) con contagio
• Stima migliore sul problema delle viti (tema d'esame del 12/01/2005)

Lezione del 03/12/07 - Teoria

• Polya
• Distorsione stimatori
• Distribuzione Geometrica
• Probabilita' condizionata

Lezione del 05/12/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 12/01/2005 (Viti): Svolgimento

Lezione del 07/12/07

FESTA

Lezione del 10/12/07 - Teoria

• Ipergeometrica
• Estrazioni indipendenti
• Estrazioni senza contagio
• Geometrica

Lezione del 12/12/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

• Tema d'esame del 24/02/2000 (Urna palline)
• Tema d'esame del 13/09/2006 (palline? - ipergeometrica)

Lezione del 14/12/07 - Teoria

• Tema d'esame del 14/09/2005 (Figli)
• Tema d'esame del 14/01/2004 (Produzione chip)
• Geometrica
• Chebyshev per la Geometrica

Lezione del 17/12/07 - Teoria

• Normale
• Poissoniana
• Funzione generatrice dei momenti

Lezione del 19/12/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 14/01/2004 (Produzione chip)

Lezione del 21/12/07 - Teoria

• Poissoniana
• Moda
• Somma di Poissoniane
• Gaussiana
• Normale
• Continua Uniforme

Lezione del 07/01/08 - Teoria

Ancora da fare

Lezione del 11/01/08 - Teoria

Ancora da fare

Lezione del 14/01/08 - Teoria

Ancora da fare