Calcolo probabilità e statistica matematica

Questa è una pagina di introduzione al corso: contiene i turni, le modalità d'insegnamento, alcune informazioni generali ed eventuali giudizi sul corso in questione. Se sei giunto qui passando da un link, puoi tornare indietro e correggerlo in modo che punti direttamente alla voce appropriata.

Turni

• Turno 1 (De Falco)
• Turno 2 (Apolloni)

A.A. passati

• (De Falco) T1, A.A. 2007-2008
• (De Falco) T1, A.A. 2006-2007
• (Apolloni) T2, A.A. 2006-2007
• (De Falco) T1, A.A. 2005-2006

Informazioni

Corso del primo semestre, il superamento di quest'esame da diritto a 6 CFU.

• Docente: Bruno Apolloni
• Url del corso

Obiettivi del corso

Fornire gli elementi di base per la costruzione di modelli probabilistici e per l’analisi statistica di fenomeni aleatori.

Modalità d'esame

• Scritto
• Orale

Propedeuticità consigliate e prerequisiti

• Istituzioni matematiche

• Rudimenti di insiemistica e di calcolo differenziale ed integrale.

Programma del corso

• Legame tra conoscenza e aleatorietà
  • Proprietà corrette su insiemi di dati incerti
  • Misure di probabilità
  • Elementi di calcolo combinatorio
  • Variabili aleatorie
  • Da uno a più bit per definire una variabile
  • Aggregati di variabili aleatorie
  • Funzioni di variabili aleatorie
  • Teoremi limiti
• Inferenza statistica
  • L’approccio predittivo
  • Intervalli di confidenza
  • Stimatori puntuali
  • Test di ipotesi

Metodi didattici

Il corso si articola attraverso lezioni teoriche volte spiegare i ragionamenti alla base della modellistica probabilistica e dell’inferenza statistica ed esercitazioni nelle quali a questi ragionamenti si da un riscontro operativo, in termini di regole ed algoritmi per definire quantitativamente decisioni in ambito incerto.

Giudizio sul corso

I giudizi di seguito espressi sono il parere personale degli studenti,
e potrebbero non rispecchiare il parere medio dei frequentanti.
Non vi è comunque alcun intento di mettere alla gogna i docenti del corso!

Interesse della materia (da 1 a 5 - aiuto)

_3___________________

Difficoltà del corso (da 1 a 5 - aiuto)

_5___________________

Difficoltà del corso per non frequentanti (da 1 a 5 - aiuto)

_5___________________

Ore di studio richieste (da 1 a 5 - aiuto)

_5___________________

Diario del corso 2007/2008

Lezione del 01/10/07 - Teoria

• Definizioni di ESITO, EVENTO, PROBABILITA' (prima meta' del cap.1 del MOOD)

Lezione del 05/10/07 - Teoria

• Assiomi di Kolmogorov
• Evento certo
• Evento impossibile

Lezione del 08/10/07 - Teoria

• Probabilita' dell'unione come somma delle probabilita'

Lezione del 12/10/07 - Teoria

• Probabilita' condizionata (Teorema di Bayes o Chain Rule)
• Teorema delle probabilita' totali

Lezione del 19/10/07 - Teoria

• Funzione indicatrice (o caratteristica)
• Variabili casuali
• Funzione di ripartizione
• Distribuzione Bernoulliana Uniforme

Lezione del 22/10/07 - Teoria

• Funzione di ripartizione
• Probabilita' condizionata
• Binomiale: Sm e P(Sm=k)

Lezione del 24/10/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 13/09/2007: Svolgimento

Lezione del 26/10/07 - Teoria

• Variabile Casuale Binomiale
• Funzione di densita' (o funzione di probabilita' discreta) di Var.Cas. Binomiale

Lezione del 29/10/07 - Teoria

• Distribuzione Binomiale
• Legge Debole dei Grandi Numeri
• Chebyshev
• Moda

Lezione del 31/10/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 13/09/2007: Parole chiave

• dimostrazione "4 dummies" di Chebyshev

$I_{B}={\bigg \{}{1\ se\ \omega \in B \atop 0\ altrimenti}$

quindi $I_{B}$ e' BERNOULLIANA.

$E(Z)=\sum _{{j=0}}^{n}(z_{j}P(Z=z_{j})=z_{1}P_{1}+z_{2}P_{2}+...+z_{n}P_{n}$ $E(I_{B}\cdot Z)=\sum _{{j=0}}^{n}(I_{B}(z_{j})\cdot z_{j}P(Z=z_{j})=z_{1}P_{1}I_{B}(z_{1})+z_{2}P_{2}I_{B}(z_{2})+...+z_{n}P_{n}I_{B}(z_{n})$

=> se tutti i termini sono tali che $I_{B}=1$, allora $E(I_{B}\cdot Z)=E(Z)$

=> ma se almeno un termine e' tale che $I_{B}=0$, allora $E(I_{B}\cdot Z)<E(Z)$

=> in nessun caso posso avere $E(I_{B}\cdot Z)>E(Z)$

premesso questo, ne segue che:

$E(I_{B}\cdot Z)\leq E(Z)$

$B=\{\omega \in \Omega \ |\ Z(\omega )\geq k\}$

$E(Z)\geq E(I_{B}\cdot Z)\geq E(I_{B}\cdot k)$

$E(I_{B}\cdot k)=k\cdot E(I_{B})$

ma $I_{B}$ e' bernoulliana, allora:

$E(I_{B})=P(B)=P(Z\geq k)$

quindi:

$E(I_{B}\cdot k)=k\cdot P(Z\geq k)$

riassumendo:

$E(Z)\geq k\cdot P(Z\geq k)$

percio' dividendo per k e invertendo i termini e il verso della disequazione:

$P(Z\geq k)\leq {E(Z) \over k}$

Lezione del 02/11/07 - PONTE

PONTE

Lezione del 05/11/07 - Teoria

• Valore atteso
• Varianza
• Chebyshev

Lezione del 07/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 05/07/2007: Svolgimento

Lezione del 09/11/07 - Teoria

• Esempio tema d'esame del 13/09/2007

Lezione del 12/11/07 - Teoria

• Chebyshev sul continuo
• Covarianza
• Varianza della Binomiale (var(Sm))

Lezione del 14/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

• Tema d'esame del 05/07/2007: Svolgimento
• Tema d'esame del 05/07/2007: Parole chiave:
  • V.C. continua
  • V.C. uniforme
  • V.C. esponenziale
  • V.C. poissoniana
  • approssimazione della binomiale con la poissoniana

Lezione del 16/11/07 - Teoria

Riscrittura di Chebyshev dopo note su:

• E(X)
• Proprieta' di E(X)
• Proprieta' della var(X)
• cov(X,Y)

Legge Debole dei Grandi Numeri

Lezione del 19/11/07 - Teoria

Chebyshev

Lezione del 21/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 13/06/2007: Svolgimento

Lezione del 23/11/07 - Teoria

Svolto tema d'esame del 12/01/2005

Lezione del 26/11/07 - Teoria

• Svolto tema d'esame del 24/02/2000
• Polya - contagio
• Note sulla covarianza

Lezione del 28/11/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 13/06/2007: Parole chiave:

• Funzione di ripartizione
• Funzione di ripartizione congiunta
• Proprieta' Fx singola e multipla
• Funzione di densita' congiunta
• Distribuzioni condizionali
• Somma di variabili casuali

Lezione del 30/11/07 - Teoria

• Polya
• Chebyshev per la Binomiale
• Chebyshev per la Ipergeometrica
• var(Sm) con contagio
• Stima migliore sul problema delle viti (tema d'esame del 12/01/2005)

Lezione del 03/12/07 - Teoria

• Polya
• Distorsione stimatori
• Distribuzione Geometrica
• Probabilita' condizionata

Lezione del 05/12/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 12/01/2005: Svolgimento

Lezione del 07/12/07 - FESTA

FESTA

Lezione del 10/12/07 - Teoria

• Ipergeometrica
• Estrazioni indipendenti
• Estrazioni senza contagio
• Geometrica

Lezione del 12/12/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

• Tema d'esame del 24/02/2000
• Tema d'esame del 13/09/2006

Lezione del 14/12/07 - Teoria

• Tema d'esame del 14/09/2005
• Tema d'esame del 14/01/2004
• Geometrica
• Chebyshev per la Geometrica

Lezione del 17/12/07 - Teoria

• Normale
• Poissoniana
• Funzione generatrice dei momenti

Lezione del 19/12/07 - Esercitazione "Corso Ombra"

Tema d'esame del 14/01/2004

Lezione del 21/12/07 - Teoria

• Poissoniana
• Moda
• Somma di Poissoniane
• Gaussiana
• Normale
• Continua Uniforme

Lezione del 07/01/08 - Teoria

• Geometrica
• Esponenziale
• Relazione tra Geometrica ed Esponenziale

Lezione del 11/01/08 - Teoria

Ancora da fare

Lezione del 14/01/08 - Teoria

• Variabili Casuali Continue
• Distribuzione Normale